第八章--蒙特卡洛期权定价方法

第八章蒙特卡洛期权定价方法

在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。

如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。

蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；

在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。我们以概述由蒙特卡洛抽样产生的估计期权敏感性的基本问题来结束本章；在8.5节我们考虑一个普通的看涨期权A的简单案例。在第10.4节将讨论到随机模拟期权定价的另一个应用，它应用于美式期权；而一个简单的模拟方法在早期的应用中不可实行，并且这个问题在随机动态优化的框架里被强制转换。

8.1 路径生成

蒙特卡洛期权定价方法的应用的出发点是对样本基本因素路径的产生。对于一般的期权就像在第四章里面一样不需要产生路径：只需要关注标的资产到期日的价格。但是如果路径依赖型期权，我们就需要整条路径或者至少需要在给定时刻的一系列价值。如果服从几何布朗运动，情况的处理就非常简单。事实上，必须认识到在路径生成中有两个误差源：样本误差、离散误差。

样本错误时因为蒙特卡洛方法的随机性，这个问题可以通过减小方差的办法得到缓解。为了理解什么是离散错误，我们考虑一个典型的离散连续时间模型，例如：伊藤随机微分方程：

【1】在第五章我们看到离散收敛不是很容易的。

t t t t dW t S b dt t S a dS ),(),(+=

根据最简单的离散的方法欧拉公式，得到以下离散时间模型：

t δ

是离散时间步，且这种方法在概念上与有限差分类似，并且在确定性微分方程上的应用会产生一个截尾误差，在离散步长很小的时候这个误差可以忽略不计【1】。当我们讨论随机过程收敛性时是一个非常重要的概念，但是我

们可以猜想我们能够通过从标准正态分布中抽取随机变量来模拟一个与连续时间方程的解密切相关的离散时间随机过程。随着样本路径和复制次数的增加，我们也就能够减小样本误差。

虽然可以更正式地证明上述理由，但我们应该认识到离散误差至可能改变特征解的概率分布例如，几何布朗运动模型：

欧拉公式

这是非常容易掌握和执行的，但是每个)(t i S S i δ=值的边缘分布比起对数正态分布更普通。事实上，取很小的就可以减小误差，但是很费时。在一个特定的案例中，我们可以通过伊藤引理的一个简单应用来同时消除随机误差，但对大多数情况

而言这种方法不可取。对于复杂的随机微分方程，我们必须生成整条样本路径。

8.1．1 模拟几何布朗运动

利用伊藤引理，我们可以把（8.1）转换为下面这种形式：

我们还记得，利用对数正态分布性质【2】，令

有：

为了模拟在时间段（0，T ）上的资产价格的路径，我们必须用一个间步长把时间离散化。从最后一个等式以及标准Wiener过程（见2.5节），得到

【1】在第五章我们看到离散收敛不是很容易的。

而是一个标准正态随机变量。以等式（8.5）为基础，很容易生成资产价格的样本路径。

在图8.1中给出了生成服从几何布朗运动的资产价格的样本路径的令。函数AssetPaths产生一个样本路径矩阵，在这个矩阵里，模拟的资产价格按行存储且每一列类似于一个时间瞬间。第一列包含了对所有路径来说相同的值和初始价格。我们必须给这个函数赋值，始价格S0，漂移率mu,波动性sigma,时间范围T，时间步长

的数量NSteps，模拟次数NRep1.值得注意的是该函数把参数作为已知的然后计算参数

例如，生成并且绘制三条为期一年的样本路径，初始价格$50,均值为0.1，标准差0.3（以一年为基础），假定时间步长为一天【3】

绘制的结果如图8.2所示。如果用另一种状态为randn标准型生成随机数，将会得到不同的结果。

图8.1 用蒙特卡洛模拟生成资产价格路径的MATLAB命令

图8.2 用蒙特卡洛模拟生成的样本路径

【4】、见[11,pp.300-302]

【5】、见[5]

图8.3 生成资产价格路径的矢量命令

图8.1中的命令是基于两个循环嵌套。有时在

MATLAB 中使用矢量命令会更有效。为了使用矢量命令，可以便于把等式（8.5）重写为

为了对行进行加总（默认的是对列进行加总），我们可以生成资产价格对数的差分然后把可选参数设置为2利用cumsum 函数。函数AssetPathsV 的结果如图8.3所示。

值得注意的是在最后一行我们把初始价格写在第一列。原因如下：

最好避免这个误差（在这里看是微不足道，但以后会发现并不是这样的。） 我们可以比较这两组实现的速度：