【高中数学专项突破】专题15 函数的最大值专题突破(含答案)
【高中数学专项突破】
专题15 函数的最大值
1.函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为（）
A.2
B.
C.－2或2
D.－2
2.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
3.函数y＝x＋的最值的情况为（）
A.最小值为，无最大值
B.最大值为，无最小值
C.最小值为，最大值为2
D.无最大值，也无最小值
4.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为（）
A.
B.
C.
D.
5.定义域为R的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，则当x∈（－1,0]
时，f（x）的最小值为（）
A.－
B.－
C.0
D.
6.若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取得最小值，则a等于（）
A.1＋
B.1＋
C.3
D.4
7.若函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（）
A.f，f
B.f（0），f
C.f（0），f
D.f（0），f（2）
8.若函数f（x）＝的最小值为f（0），则实数m的取值范围是（）
A.[－1,2]
B.[－1,0]
C.[1,2]
D.[0,2]
9.函数f（x）在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）
A.－2，f（2）
B.2，f（2）
C.－2，f（5）
D.2，f（5）
10.下列函数在[1,4]上最大值为3的是（）
A.y＝＋2
B.y＝3x－2
C.y＝x2
D.y＝1－x
11.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）.
（1）当a＝4时，求f（x）的最小值；
（2）当a＝时，求f（x）的最小值；
（3）若a为正常数，求f（x）的最小值.
12.已知函数f（x）＝.
（1）判断函数在区间[1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
13.（1）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值；
（2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值；
（3）已知函数f（x）＝x－2－3，求函数f（x）的最值.
14.（1）已知函数f（x）＝x4－2x2－3，求函数f（x）的最值；
（2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
（3）如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，].求水流喷出的高度h的最大值是多少？
15.函数f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值.
16.函数f（x）＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）.
（1）试写出g（t）的函数表达式；
（2）求g（t）的最小值.
17.已知函数f（x）＝（x－a）2－（a2＋1）在区间[0,2]上的最大值为g（a），最小值为h（a）（a∈R）. （1）求g（a）和h（a）；
（2）作出g（a）和h（a）的图象，并分别指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各为多少？
18.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.
（1）设AD的长为x米，试写出总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式；
（2）问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值.
19.已知函数f（x）＝（x>0）.
（1）求证：f（x）在（0,1]上为增函数；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值.
20.已知函数f（x）＝＋.
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）设F（x）＝m＋f（x），求函数F（x）的最大值的表达式g（m）.
21.已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）＝－.
（1）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值与最小值.
专题15 函数的最大值问题
1.函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为（）
A.2
B.
C.－2或2
D.－2
【答案】C
【解析】当k＞0时，y max＝2k＋b，
y min＝k＋b，∴2k＋b－（k＋b）＝2，
∴k＝2；
当k＜0时，y max＝k＋b，
y min＝2k＋b，∴k＋b－（2k＋b）＝2，
∴k＝－2.综上k＝±2，故选C.
2.若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是（）A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】∵f（x）＝x2－3x－4＝2－，
∴f＝－，又f（0）＝－4，
故由二次函数图象可知（如图）：
m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是.故选A.
3.函数y＝x＋的最值的情况为（）
A.最小值为，无最大值
B.最大值为，无最小值
C.最小值为，最大值为2
D.无最大值，也无最小值
【答案】A
【解析】∵y＝x＋在定义域[，＋∞）上是增函数，∴函数的最小值为，无最大值，故选A.
4.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由得函数的定义域是{x|－3≤x≤1}，
y2＝4＋2·＝4＋2，
当x＝－1时，y取得最大值M＝2；
当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2，
∴＝.
5.定义域为R的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，则当x∈（－1,0]时，f（x）的最小值为（）
A.－
B.－
C.0
D.
【答案】A
【解析】若x∈（－1,0]，则x＋1∈（0,1].
因为当x∈（0,1]时，f（x）＝x2－x，
所以f（x＋1）＝（x＋1）2－（x＋1）＝x2＋x.
又f（x＋1）＝2f（x），则
f（x）＝x2＋x＝2－，
所以当x＝－时，f（x）取得最小值－.故选A.
6.若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取得最小值，则a等于（）
A.1＋
B.1＋
C.3
D.4
【答案】C
【解析】设2＜x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝－
＝（x2－x1）.
∵x2－x1＞0，当－1＞0时，即当2＜x＜3时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f （x）＝x＋为减函数；当x>3时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）＝x＋为增函数，
∴函数f（x）＝x＋在x＝3处取得最小值，∴a＝3.
7.若函数y＝f（x），x∈[－2,2]的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为（）
A.f，f
B.f（0），f
C.f（0），f
D.f（0），f（2）
【答案】C
【解析】函数最大值对应图象中的最高点纵坐标f（0），同理，最小值对应f.
8.若函数f（x）＝的最小值为f（0），则实数m的取值范围是（）
A.[－1,2]
B.[－1,0]
C.[1,2]
D.[0,2]
【答案】D
【解析】当x≤0时，f（x）＝（x－m）2，f（x）min＝f（0）＝m2，
所以对称轴x＝m≥0.
当x>0时，f（x）＝x＋＋m≥2＋m＝2＋m，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号，
所以f（x）min＝2＋m.
因为f（x）的最小值为m2，
所以m2≤2＋m，所以0≤m≤2.
9.函数f（x）在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）
A.－2，f（2）
B.2，f（2）
C.－2，f（5）
D.2，f（5）
【答案】C
【解析】由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5），故选C.
10.下列函数在[1,4]上最大值为3的是（）
A.y＝＋2
B.y＝3x－2
C.y＝x2
D.y＝1－x
【答案】A
【解析】B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
11.已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）.
（1）当a＝4时，求f（x）的最小值；
（2）当a＝时，求f（x）的最小值；
（3）若a为正常数，求f（x）的最小值.
【答案】（1）当a＝4时，f（x）＝x＋＋2，
易知，f（x）在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞）上是增函数，
∴f（x）min＝f（2）＝6.
（2）当a＝时，f（x）＝x＋＋2.
易知，f（x）在[1，＋∞）上为增函数.
∴f（x）min＝f（1）＝.
（3）函数f（x）＝x＋＋2在（0，]上是减函数，
在[，＋∞）上是增函数.
当>1，即a>1时，f（x）在区间[1，＋∞）上先减后增，
∴f（x）min＝f（）＝2＋2.
当≤1，即0 12.已知函数f（x）＝. （1）判断函数在区间[1，＋∞）上的单调性，并用定义证明你的结论； （2）求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 【答案】（1）函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数.证明如下： 任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1＜x2， f（x1）－f（x2）＝－＝. ∵x1－x2＜0，（x1＋1）（x2＋1）＞0， ∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数. （2）由（1）知函数f（x）在[1,4]上是增函数， 故最大值f（4）＝，最小值f（1）=. 13.（1）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f（x）的最值； （2）已知函数f（x）＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值； （3）已知函数f（x）＝x－2－3，求函数f（x）的最值. 【答案】（1）∵函数f（x）＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1， ∴f（x）在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f（0）＝f（2）. ∴f（x）max＝f（0）＝f（2）＝－3，f（x）min＝f（1）＝－4. （2）∵对称轴x＝1， ①当1≥t＋2即t≤－1时， f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3， f（x）min＝f（t＋2）＝（t＋2）2－2（t＋2）－3＝t2＋2t－3. ②当≤1 f（x）max＝f（t）＝t2－2t－3， f（x）min＝f（1）＝－4. ③当t≤1<，即0 f（x）max＝f（t＋2）＝t2＋2t－3， f（x）min＝f（1）＝－4. ④当1 f（x）min＝f（t）＝t2－2t－3. 设函数f（x）的最大值为g（t），最小值为φ（t），则有 g（t）＝ φ（t）＝ （3）设＝t（t≥0），则x－2－3＝t2－2t－3. 由（1）知y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增. ∴当t＝1即x＝1时，f（x）min＝－4，无最大值. 14.（1）已知函数f（x）＝x4－2x2－3，求函数f（x）的最值； （2）求二次函数f（x）＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值； （3）如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式为h＝－x2＋2x＋，x∈[0，].求水流喷出的高度h的最大值是多少？ 【答案】（1）设x2＝t（t≥0），则x4－2x2－3＝t2－2t－3. y＝t2－2t－3（t≥0）在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增. ∴当t＝1即x＝±1时，f（x）min＝－4，无最大值. （2）∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f（x）在[2,4]上是增函数， ∴f（x）min＝f（2）＝6－4a. 当a>4时，f（x）在[2,4]上是减函数， ∴f（x）min＝f（4）＝18－8a. 当2≤a≤4时，f（x）min＝f（a）＝2－a2. ∴f（x）min＝ （3）由函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.对于函数h＝－x2＋2x＋，x∈[0，]， 当x＝1时，函数有最大值h max＝－12＋2×1＋＝. 于是水流喷出的最高高度是m. 15.函数f（x）＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值. 【答案】f（x）＝4（x－）2－2a＋2， ①当≤0，即a≤0时，函数f（x）在[0,2]上是增函数. ∴f（x）min＝f（0）＝a2－2a＋2. 由a2－2a＋2＝3，得a＝1±. ∵a≤0，∴a＝1－. ②当0<<2，即0 由－2a＋2＝3，得a=（0,4），舍去. ③当≥2，即a≥4时，函数f（x）在[0,2]上是减函数， f（x）min＝f（2）＝a2－10a＋18. 由a2－10a＋18＝3，得a＝5±. ∵a≥4，∴a＝5＋. 综上所述，a＝1－或a＝5+. 16.函数f（x）＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1]（t∈R）上的最小值记为g（t）. （1）试写出g（t）的函数表达式； （2）求g（t）的最小值. 【答案】（1）f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8. 当t>2时，f（x）在[t，t＋1]上是增函数， ∴g（t）＝f（t）＝t2－4t－4； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g（t）＝f（2）＝－8； 当t＋1<2，即t<1时，f（x）在[t，t＋1]上是减函数， ∴g（t）＝f（t＋1）＝t2－2t－7. 从而g（t）＝ （2）g（t）的图象如图所示，由图象易知g（t）的最小值为－8. 17.已知函数f（x）＝（x－a）2－（a2＋1）在区间[0,2]上的最大值为g（a），最小值为h（a）（a∈R）. （1）求g（a）和h（a）； （2）作出g（a）和h（a）的图象，并分别指出g（a）的最小值和h（a）的最大值各为多少？ 【答案】（1）∵f（x）＝（x－a）2－（a2＋1），又x∈[0,2]， ∴当a≤0时，g（a）＝f（2）＝3－4a，h（a）＝f（0）＝－1； 当0 当1 当a≥2时，g（a）＝f（0）＝－1，h（a）＝f（2）＝3－4a. 综上可知g（a）＝ h（a）＝ （2）g（a）和h（a）的图象分别为： 由图象可知，函数y＝g（a）的最小值为－1， 函数y＝h（a）的最大值为－1. 18.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上（图中的阴影部分）铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2. （1）设AD的长为x米，试写出总造价Q（单位：元）关于x的函数解析式； （2）问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值. 【答案】（1）设AM＝y，AD＝x， 则x2＋4xy＝200，∴y＝. 故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38000＋4000x2＋（0 （2）令t＝x2，则Q＝38000＋4000（t＋），且0 ∵函数u＝t＋在（0,10]上单调递减，在[10,200）上单调递增， ∴当t＝10时，u min＝20. 故当x＝时，Q min＝118000（元）. 19.已知函数f（x）＝（x>0）. （1）求证：f（x）在（0,1]上为增函数； （2）求函数f（x）的最大值和最小值. 【答案】（1）证明设x1，x2是区间（0，＋∞）上的任意两个实数，且x1 ＝＝. 当0 ∴f（x1）－f（x2）<0，f（x1） ∴f（x）在（0,1]上单调递增. （2）解当1≤x1 f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）， ∴f（x）在[1，＋∞）上单调递减. ∴结合（1）（2）可知，f（x）max＝f（1）＝，无最小值. 20.已知函数f（x）＝＋. （1）求函数f（x）的定义域和值域； （2）设F（x）＝m＋f（x），求函数F（x）的最大值的表达式g（m）. 【答案】（1）要使函数f（x）有意义， 需满足得－1≤x≤1. 故函数f（x）的定义域是{x|－1≤x≤1}. ∵[f（x）]2＝2＋2，且0≤≤1， ∴2≤[f（x）]2≤4，又∵f（x）≥0， ∴≤f（x）≤2， 即函数f（x）的值域为[，2]. （2）令f（x）＝t，则t2＝2＋2， 则＝－1， 故F（x）＝m（t2－1）＋t ＝mt2＋t－m，t∈[，2]， 令h（t）＝mt2＋t－m， 则函数h（t）的图象的对称轴方程为t＝－. ①当m>0时，－<0，函数y＝h（t）在区间[，2]上单调递增，∴g（m）＝h（2）＝m＋2. ②当m＝0时，h（t）＝t，g（m）＝2； ③当m<0时，－>0，若0<－≤， 即m≤－时，函数y＝h（t）在区间[，2]上单调递减， ∴g（m）＝h（）＝， 若<－≤2，即－ g（m）＝h（－）＝－m－； 若－>2，即－ 函数y＝h（t）在区间[，2]上单调递增， ∴g（m）＝h（2）＝m＋2. 综上，g（m）＝ 21.已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>0时，f（x）<0，f（1）＝－. （1）求证：f（x）在R上是减函数； （2）求f（x）在[－3,3]上的最大值与最小值. 【答案】（1）令x＝y＝0，得f（0）＋f（0）＝f（0）， ∴f（0）＝0. 令y＝－x，得f（x）＋f（－x）＝f（x－x）＝f（0）＝0， ∴f（－x）＝－f（x）. 对任意x1，x2∈R，且x1 f（x2）－f（x1）＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2－x1）. ∵x2－x1>0，且当x>0时，有f（x）<0， ∴f（x2－x1）<0，即f（x2）－f（x1）<0， ∴f（x2） （2）[－3,3]R，由（1），知f（x）在R上是减函数， 故f（x）max＝f（－3）＝－f（3）＝－f（2＋1） ＝－[f（2）＋f（1）]＝－[f（1＋1）＋f（1）] ＝－[f（1）＋f（1）＋f（1）]＝－3f（1）＝－3×（－）＝2； f（x）min＝f（3）＝f（2＋1）＝f（2）＋f（1） ＝f（1＋1）＋f（1）＝f（1）＋f（1）＋f（1） ＝3f（1）＝3×（－）＝－2. 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 （数学1必修）函数及其表示 一、选择题 1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =； ⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。 A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸ 2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 3．已知集合{}{} 421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且* ,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5 4．已知2 2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-??=-< 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1) 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． 2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点． 例1设a＞0，求函数 ) ln( ) (a x x x f+ - =(x∈(0，＋∞))的单调区间． 分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式 ()0 f x '≥ (递增)及 ()0 f x '< (递减)。 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 函数专题练习 1.函数1()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1(0,)3 (C )11 [,)73 (D )1 [,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠ ， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()l g f x x = 设 63(),(),52a f b f ==5 (),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1 (,)3 -+∞ B . 1 (,1)3 - C . 11 (,)33 - D . 1 (,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ 7、函数()y f x =的反函数1 ()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 高中数学构造函数解决导数问题专题复习 【知识框架】 【考点分类】 考点一、直接作差构造函数证明； 两个函数，一个变量，直接构造函数求最值； 【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（） （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围． 【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数. （Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，求实数的值； （Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围. ()()()h x f x g x =-2 1()ln 2 f x ax x x = -+,0a R a ∈≠2a =()y f x =(1,(1))f [)1,+∞()f x y ax =a ()ln ,()(0)a f x x g x a x ==- >1a =()y f x =00(,())M x f x ()y g x =00(,())P x g x 0x (0,]x e ?∈3 ()()2 f x g x ≥+a 【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 【练1-2】已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）讨论函数零点的个数． 【练1-3】已知曲线. (Ⅰ)若曲线C 在点处的切线为，求实数和的值； (Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围. 【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方； ()ln a f x x x =-a ∈R 2a =()f x (1,(1))f (1,)x ∈+∞()2f x x >-+a ()=ln +1,f x x ax a R -∈=()y f x (1,(1))P f l =()(1)y f x x ≠l =()y f x :e ax C y =(0,1)2y x m =+a m a C l y ax b =+b ()2 1ln 2 f x x x = +()1,+∞()f x ()3 23 g x x = 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。 函数专题训练（一） 一、选择题 1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f (2x )x 的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2) (理)(2013·湖北荆门期末)函数f(x)＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) 2．(文)(2012·江西文，3)设函数f(x)＝????? x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1.则f(f(3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.139 (理)已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x>0， 则f(2014)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 3．已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1， 若f[f(0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 4．(2013·银川模拟)设函数f(x)＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0， 则不等式f(x)>f(1)的解集是( A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3) 5．(文)函数f(x)＝22x －2 的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) (理)若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x ) 的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103] 6．a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f(x)＝x ，则a ＋b I1例］ 定义在］R上的函数/(?T)满足：/(x) + f\x)> 1, /(()) =4,则不等式e x f(x) >e x + 3 (其中e为 自然对数的底数)的解集为()。 A： (O.+oo) B： (—00,0) U (3, +oo) C： (-00, 0) U ((), +8) D： (3,+oc) (单选)定义在(O.+x)上的函数/仗)满足： /(x) > xf(x)9且/(2) = 4,则不等式f(x) - 2x > 0 的解集为()。 A. (2,4-oc) B. (0.2) C. (0.4) D. (4. -Foo) (单选)已知定义在R上的可导函数"==/(“)的导函数为fk),满足/(") 2的解集为()。 e4* A. (―x.()) B. (0.+oc) C. (一oo?2) D. (2,+oc) (单选)定义域为R的可导函数"二几门的导函数为d 满足/(」 ?)>/‘(?“，且/(0)=1,则不等式凹V 1的解集为()。 A.(—oo.()) B.(0, +x) C.(—oo.2) D.(2. +oc) (单选)函数/何的定义域为R, /(-1) = 2,对任意T€R,f(x) > 2,则f(x) > 2x + 4 的解集为()o A. (― 1. +oo) B. (-oo.-l) C. (2?+x) D. (—oo. 一2) 函数/(x)的定义域为R, /(-1) = 2015，对任意的 XER .都有f\x) < 3z2成立，则不等式 /(.r) < r34-2016 的解集为() A. (―l.+oc) B. (-1,0) C?(-oc. -1) D. (-oo.-Foo) F 例7 (单选)函数/⑴的定义域是R, /(0) = 2,对任意 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 三、值域问题 例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0 )2()(2 ≥? ? ? ? ? =x f x f , 又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=?? ? ??-+11 ,求f(x)的解析式。 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ---- ,1 2)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用 （2） :)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*) 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.23 2|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:0 2)x (x f 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12 =++=-与已知得得代换用，. 23 2 |)x (f |,024)x (9f 02 ≥ ∴≥?-≥?得由 3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值； （2）对任意的11 (0,)2 x ∈，21(0,)2 x ∈，都有f (x 1)+2 高中数学函数专题 1．已知在实数域R 上可导的函数)(x f y =对任意实数21,x x 都有 ),()()(2121x f x f x x f ?=+若存在实数b a ,，使0)(0)(>'≠b f a f 且， 求证：（1）0)(>x f ；（2）),()(+∞-∞=在x f y 上是单调函数 证明：（1）2 )]2 ([)2()2()22()(x f x f x f x x f x f =?=+= 又()[()]()()0,()022222x x x x x f a f a f f a f =+-=?-≠∴≠,0)(0)]2 ([2 >>∴x f x f 即 （2）x x f b f x b f x f b f x b f x b f b f x x x ?-?=?-?=?-?+='→?→?→?1 )(lim )()()()(lim )()(lim )(000 即)() ()(]1)()[(lim )()()(1)(lim 00b f b f x f x x f x f x f b f b f x x f x x '?=?-?='∴'=?-?→?→? 0)(0)(,0)(,0)(>'∴>>'>∴x f b f b f x f )(x f ∴在R 上是单调递增函数. 2．已知抛物线C 的方程为F x y ,42 =为焦点，直线()00:1>=+-k k y kx l 与C 交于A 、 B 两点，P 为AB 的中点，直线2l 过P 、F 点。 （1）求直线2l 的斜率关于k 的解析式)(k f ，并指出定义域； （2）求函数)(k f 的反函数)(1 k f -；（3）求1l 与2l 的夹角θ的取值范围。 （4）解不等式()()1,0121log 1 ≠>>????? ?+-a a x xf a 。 解：（1）()???+==142x k y x y ???>>-=??=+-?0 0161604422 k k k y ky 10<-+= -k k k k f （3）?? ? ??∈∴<<∴<<=+-=4,0,10,10,)(1)(3πθθθtg k k k kf k k f tg Θ （4）4124121)(221 +=+=+-x x x xf ，∴原不等式为 ()0241log 2>>??? ? ? +x x a 当1>a 时，41,41222->∴->a x a x ；当10< 抽象函数问题专题 抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。 由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。 一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数 【例1】⑴（04全国IV ）设函数f (x )（x ∈R ）为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ········································································································································· （ ） A ．0 B ．1 C ．52 D ．5 ⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足 f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ······························································································· （ C ） A. 幂函数 B. 对数函数 C. 指数函数 D. 余弦函数 ⑶（2011广东文10）设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g )(x )和(f ?g )(x )；对任意x ∈R ，(f g )(x )＝f (g (x ))；(f ?g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ） A. ((f g ) ?h ) (x )＝((f ?h )(g ?h ))(x ) B. ((f ?g ) h ) (x )＝((f h )?(g h ))(x ) C. ((f g ) h ) (x )＝((f h )(g h ))(x ) D. ((f ?g ) ?h ) (x )＝((f ? h )?(g ?h ))(x ) 【例2】⑴已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x ＋2)的定义域是 ； ⑵已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x 2)的定义域是 ； ⑶已知函数f (x ＋2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑷已知函数f (x 2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ； ⑸已知函数f (x )的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x )＋4f (x )的值域是 . 【例3】已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ). .word 格式. 2.1 映射与函数、函数的解析式 一、选择题： 1．设集合A{ x | 1x2}，B{ y | 1y 4} ，则下述对应法则 f 中，不能构成 A 到B 的映射的是（） A ．f : x y x2B． f : x y 3x 2 C ．f : x y x 4 D ．f : x y 4 x 2 2．若函数f (32x) 的定义域为[－1，2]，则函数 f (x) 的定义域是（） A．[5 1]B． [ －1， 2]C．[ －1，5] 1 ,D．[ ,2] 22 3，设函数 f (x) x1(x1) ）( x ，则 f ( f ( f ( 2))) =（ 11) A． 0B． 1C． 2D．2 4．下面各组函数中为相同函数的是（） A．f ( x)( x 1) 2 , g( x)x 1 B．C．f ( x)x 21, g( x)x 1 x 1 f ( x)( x 1) 2 , g( x)( x 1) 2 D ．f ( x)x 2 1 , g( x)x21 x2x2 5. 已知映射 f ：A B ，其中，集合A3,2, 1,1,2,3,4 ,集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f下的象，且对任意的 a A, 在B中和它对应的元素是 a ，则集合B中元素的个 数是( ) (A) 4(B) 5(C) 6(D) 7 7．已知定义在[0,) 的函数f ( x)x2(x2) x2(0x 2) 若 f ( f ( f (k )))25 ，则实数 k 4 2.2 函数的定义域和值域 1．已知函数 1 x 的定义域为 N ，则 M ∩ N= . f ( x) 的定义域为 M ， f[f(x)] 1 x 2. 如果 f(x) (0,1) ， 1 0 ，那么函数 g(x)=f(x+a)+f(x-a) 的定义域为 a 的定义域 2 为 . 3. 函数 y=x 2-2x+a 在 [0,3] 上的最小值是 4，则 a= ；若最大值是 4，则 a=. 2 ） 4．已知函数 f(x)=3-4x-2x , 则下列结论不正确的是（ A ．在（ - ∞， +∞）内有最大值 5，无最小值， B ．在 [-3 ，2] 内的最大值是 5，最小值是 -13 C ．在 [1 ， 2）内有最大值 -3 ，最小值 -13 ， D ．在 [0 ， +∞）内有最大值 3，无最小值 5．已知函数 y x 3 , y x 2 x 2 9 的值域分别是集合 P 、 Q ，则（ ） x 4 7 x 12 A ． p Q B ． P=Q C ．P Q D ．以上答案都不对 6．若函数 y mx 1 的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围是（ ） mx 2 4mx 3 A ． (0, 3 ] B ． (0, 3 ) C ．[0, 3 ] D ．[0, 3 ) 4 4 4 4 7．函数 y 2 x 2 4x ( x [ 0,4]) 的值域是（ ） A ．[0 ， 2] B ．[1 ，2] C ．[ －2，2] D ．[－ 2， 2] 8. 若函数 f ( x) 3x 1 的值域是 { y | y 0} { y | y 4}, 则f (x) 的定义域是 ( ) x 1 A ． [1 ,3] B ． [ 1 ,1) (1,3] C ． ( , 1 ]或[3, ) D ．[3,+ ∞ ) 3 3 3 9．求下列函数的定义域： ① y 1 x 2 x 1 2x 2 10．求下列函数的值域： ① y 3x 5 ( x 1) ② y=|x+5|+|x-6| ③ y 4 x 2 x 2 5x 3 x ④ y x 1 2x ⑤ y x 2 2 x 4 1 11．设函数 f ( x) x 2 x . 4 （Ⅰ）若定义域限制为 [0 ，3] ，求 f ( x) 的值域； （Ⅱ）若定义域限制为 [ a, a 1] 时， f ( x) 的值域为 [ 1 1 , ] ，求 a 的值 . 2 16 高中数学解题方法与技巧 构造函数法证明不等式的六种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的六种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f ?+=)1ln()(，求证：当1?>x 时，恒有 x x x ≤+≤+?)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(?++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+?=?+=′x x x x f ∴当01<′x f ，即)(x f 在)0,1(?∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(?，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞?上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1?>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤?+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(?+++=x x x g ， 2 2)1()1(111)(+=+?+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′?∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(?∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞?上的最小值为0)0()(min ==g x g ， 如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 抽象函数常见题型解法 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类 函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型: 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 目录：一、定义域问题 二、求值问题 三、值域问题 四、解析式问题 五、单调性问题 六、奇偶性问题 七、周期性与对称性问题 八、综合问题 一、定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。 评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ??-x f 3log 21 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。[] 11log ,132014高中数学抽象函数专题
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