微分方程数值解(生物种群的相互竞争模型)

1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， (1)y ’= y + 2x , y (0) = 1, 0

用matlab 编程如下： syms x y k

k=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x') ezplot(k,[0,1]) 其结果和图像如下：

ans=-2*x-2+3*exp(x)

2. y ’’+y cos(x ) = 0, y (0)=1, y ’(0)=0; 用matlab 编程如下： syms x y z

z=dsolve('D2y+y*cos*(x)=0','y(0)=1','Dy(0)=0') ezplot('z')

其图像和结果如下：

z =cos(cos^(1/2)*x^(1/2)*t)

3．Rossler 微分方程组：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-+=+=--=)('''c x z b z ay x y z y x

当固定参数b=2, c=4时，试讨论随参数a 由小到大变化（如a ∈(0,0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？ 用matlab 编程

建立rossler.m 文件： function r=rossler(t,x) global a; global b; global c;

r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)]; 建立exp4-3.m 如下： global a; global b; global c; b=2; c=4;

t0=[0,200];

for a=0:0.03:0.65

[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]); subplot(1,2,1);

plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');

title('x(红色),y(绿色),z(蓝色)随t 变化情况');xlabel('t'); subplot(1,2,2);

plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z'); end

(1)当a=0时，图像如下：

所以当a=0时，(x,y,z)收敛于（0,0.5,0.5） (2)当a=0.12时，图像如下：

x(红色),y(绿色),z(篮色)随t 变化情况t

相图

z

当a=0.27时，(x,y,z)仍然收敛，但是收敛速度大大降低。 (3)当a=0.27时，图像如下

(4)当a=0.39时，图像如下

(5)当a=0.52时，图像如下

t

z

x(红色),y(绿色),z(篮色)随t 变化情况t

相图

z

x(红色),y(绿色),z(篮色)随t 变化情况t

相图

z

从这一系列变化的图像中可以看出，随着 a 的增大，(x,y,z)接近极限环的速度加快。

4.Apollo 卫星的运动轨迹的绘制

用matlab 编程如下： x0=[1.2;0;0;-1.04935751]; options=odeset('reltol',1e-8);

[t,y]=ode45('appollo',[0,20],x0,options); plot(y(:,1),y(:,3))

title('Appollo 卫星运动轨迹') xlabel('X') ylabel('Y') 绘图如下：

t

z

1133

12

13

3

12112()()2,2,

1/82.45,1,

(0) 1.2,(0)0,(0)0,(0) 1.04935751

x x x y x r r y y

y x y r r r r x x y y μμμμμμμμμ+-=+--=-+-

-

==-======-

5．盐水的混合问题

一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t 后容器内盐的含量。

做出如下假设：

1.假设在不同浓度的水中的盐扩散速度都相同。

2.假设任何时刻容器内的盐水都是均匀的。

3.用y （t ）表示容器内t 时刻的盐的含量，用W （t ）表示容器内t 时刻的水的总量，用O 表示盐水流出的速度，用I 代表纯水流入的速度，时间变化t ∆后容器内盐的含量为y （t+t ∆）。考虑在t ∆内流出的盐水的为O t ∆则其流出的盐为

t O t W t y ∆)

()

(. 通过以上假设可以得如下模型：

t O t W t y t y t t y ∆-

=∆+)

()

()()( t

O I t W Odt t y t y dy t y )()()()()(0-+-

=+ 化简可得

t

O I t W O t y dt dy o )()()(-+-

= 使用MATLAB 求解：

syms x y z k;k=dsolve('Dy=-(y*Y)/(T(t0)+(C-Y)*t)','y(0)=7','t') 结果为：

(7*exp((O*log(W(t0)))/(I - O)))/exp((O*log(W(t0) + t*(I - O)))/(I - O)) 由题目可知W （t 0）=350，O=10.5，I=14，从而y(t)=7000000/(t + 100)^3。

6. 两种生物种群竞争模型

两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。假设有甲、乙

两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从 Logistic

规律，即有

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧-=-=)1()1(2222211111N x x x N x x x λλ