概率统计各大题型总结
古典概型、概率的基本性质【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)2025年新高考数学一轮复习
古典概型、概率的基本性质【八大题型】【题型1 古典概型】................................................................................................................................................3【题型2 有放回与无放回问题的概率】................................................................................................................4【题型3 概率基本性质的应用】............................................................................................................................6【题型4 几何概型】................................................................................................................................................7【题型5 古典概型与函数的交汇问题】..............................................................................................................10【题型6 古典概型与向量的交汇问题】..............................................................................................................12【题型7 古典概型与数列的交汇问题】..............................................................................................................14【题型8 古典概型与统计综合】.. (16)1、古典概型、概率的基本性质【知识点1 古典概型及其解题策略】1．古典概型(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型：①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.2．古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.3．求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.4．古典概型与统计结合有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.【知识点2 概率的基本性质】1．概率的基本性质(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.【方法技巧与总结】1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.【题型1 古典概型】【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（）A．25B．35C．110D．310【解题思路】利用列举法结合古典概型分析求解.【解答过程】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，总共包含{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}，{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}这10个基本事件，抽到的2张卡片上的数都是奇数包含其中{1,3},{1,5},{3,5}这3个基本事件，所以抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为310.故选：D.【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【解题思路】求出所有的样本点，然后由古典概型的概率公式求解即可.【解答过程】2个a和3个b随机排成一行的样本空间为:Ω={aabbb,ababb,abbab,abbba,baabb,babab,babba,bbaab,bbaba,bbbaa}，共10个样本点，其中2个a不相邻的样本点有ababb,abbab,abbba,babab,babba,bbaba，共6个，所以所求概率为：P=610=35=0.6.故选：C.【变式1-2】（2024·西藏拉萨·二模）从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（）A．23B．34C．25D．35【解题思路】列举所有的基本事件，再找到满足和为偶数的基本事件，根据概率公式计算即可.【解答过程】从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，有10种不同的结果：(3,4,5),(3,4,6),(3,4,7),(3,5,6),(3,5,7),(3,6,7),(4,5,6),(4,5,7),(4,6,7),(5,6,7)，其中取出3个数字的和为大于10的偶数的结果有6个：(3,4,5),(3,4,7),(3,5,6),(3,6,7),(4,5,7),(5,6,7)，所以所求概率P=610=35.故选：D.【变式1-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2）A．110B．15C．310D．25【解题思路】列出所有可能情况种数及对应颜色为一白一黑的情况种数计算即可得.【解答过程】设这五个球中白球为a，红球分别为b1、b2，黑球分别为c1、c2，则从袋中任取两球，有ab1、ab2、ac1、ac2、b1b2、b1c1、b1c2、b2c1、b2c2、c1c2共十种可能，其中一白一黑有ac1、ac2共两种可能，所以一白一黑的概率P=210=15．故选：B.【题型2 有放回与无放回问题的概率】【例2】（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（）4236【解题思路】由古典概率公式求解．【解答过程】由于抽取两次是不放回的，且盒子里有2个奇数球，2个偶数球，则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为：24×13=16，故选：D.【变式2-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ）A ．15B ．13C ．25D ．23【解题思路】利用列举法，根据古典概型概率公式即得．【解答过程】从6张卡片中无放回抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种结果，其中数字之和为3的倍数的有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5种结果，故抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为515=13.故选：B.【变式2-2】（23-24高二下··阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．25【解题思路】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.【解答过程】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A ，则事件A 共包含以下10种情况：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)，而有放回的连续抽取2张卡片共有5×5=25（种）不同情况，则P(A)=1025=25故选：D.【变式2-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（ ）5535【解题思路】根据题意，用列举法分析“从六张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【解答过程】根据题意，从六张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数有(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,6)，(5,6)，共9种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是3的倍数的概率P =915=35；故选：A ．【题型3 概率基本性质的应用】【例3】（2024·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）A ．415B ．715C ．815D ．1115【解题思路】设“两个球都是红球”为事件A ，“两个球都是白球”为事件B ，“两个球颜色不同”为事件C ，则A ，B ，C 两两互斥，C =A ∪B ，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.【解答过程】设“两个球都是红球”为事件A ，“两个球都是白球”为事件B ，“两个球颜色不同”为事件C ，则P (A )=215，P (B )=13，且C =A ∪B .因为A ，B ，C 两两互斥，所以P (C )=1―=1―P (A ∪B )=1―[P (A )+P (B )]=1―215―13=815.故选：C.【变式3-1】（24-25高二上·吉林·阶段练习）设A, B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12, P (B )=35, PA =12，则P (AB )=（ ）A ．13B ．15C ．25D ．110【解题思路】先利用和事件的概率公式求出P AB P (AB )=P (A )―P AB .【解答过程】因为P(A)=12，P(B)=35，所以P A =12,P(B )=25，又P A +=P (A )+P B ―P =12+25―P AB =12，所以P =25，所以P (AB )=P (A )―P AB =12―25=110.故选：D.【变式3-2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12，=712，+=14，则P (A +B )=（ ）A ．712B ．23C ．1112D ．34【解题思路】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可.【解答过程】因为P (A )=12，=712，故=12，P (B )=512，因为AB 与AB 为互斥事件，故+=AB +P =14，又AB +P (AB )=P (B ),P AB +P (AB )=P (A )，所以有P (B )―P (AB )+P (A )―P (AB )=512+12―2P (AB )=14，故P (AB )=13，故P (A +B )=P (A )+P (B )―P (AB )=12+512―13=712.故选：A.【变式3-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知A ，B ，C ，D 四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A 则1，4B 则2，3号灯就会亮，只要打开开关C 则3，4号灯就会亮，只要打开开关D 则2，4号灯就会亮.开始时，A ，B ，C ，D 四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．56【解题思路】根据古典概型以及对立事件的概率关系列式计算可得解.【解答过程】由题意，随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关中的两个不同的开关，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD 种，其中只有打开AC 开关时2号灯不会亮，其余情况2号灯均会亮，所以2号灯灯亮的概率为1―16=56.故选：D.【题型4 几何概型】【例4】（2024·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）A ．18B ．38C ．516D ．332【解题思路】设小正方形边长为1，求出大正方形的边长，以及黑色平行四边形的底和高，再结合几何概型公式求解.【解答过程】设小正方形边长为1黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为故种子落入黑色平行四边形区域的概率为22=18．故选：A.【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正六边形OPQRST 的顶点是正六边形ABCDEF 的对角线的交点.在正六边形ABCDEF 内部任取一点，则该点取自正六边形OPQRST 内的概率为（ ）A B ．14C ．13D 【解题思路】先求出AB 的长，再分别求出正六边形ABCDEF 和正六边形OPQRST 的面积，再根据几何概型的面积比即可求得结论.【解答过程】设正六边形OPQRST 的边长为1，在正六边形ABCDEF 中，AC =CE =EA =BD =DF =FB ，则易得AC =3ST =3，所以AB =S 六边形ABCDEF =62=S 六边形OPQRST =62=所以所求概率为S 六边形OPQRSTS 六边形ABCDEF ==13.故选：C.【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知､道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）A B ．3πC D 【解题思路】先求出正六边形的面积和内切圆的面积，由几何概型的公式代入即可得出答案.【解答过程】设正六边形的边长为2×22×6=而其内切圆的半径r =2=π×2=3π，由几何概型得P ==故选：C.【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O 是正三角形ABC 的内切圆，则在△ABC 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A 14B ―14C 12D ．1【解题思路】利用等面积法求出正三角形ABC 的边长与其内切圆半径的关系，再利用几何概型求解即可.【解答过程】设正三角形ABC 的边长为a ，内切圆的半径为r ，由S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC ，得12×a ×=3×12ar ，所以a =，所以S △ABC =2，内切圆得面积S 1=πr 2，所以阴影部分得面积为2―πr 2，=1―故选：D.【题型5 古典概型与函数的交汇问题】【例5】（2024·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a ，b ，则“在函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的条件下，满足函数g (x )=a x ―b ―x(a+b )x 为偶函数”的概率为（ ）A ．417B ．219C ．519D ．319【解题思路】首先列出满足函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的基本事件,再找出符合函数g (x )=a x ―b ―x(a+b )x 为偶函数的基本事件,最后根据古典概型的概率公式计算可得.【解答过程】解：函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点，则Δ=a 2―4b ≥0，则满足该条件的(a,b)有：(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共有19个满足函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的条件；函数g(x)=a x ―b ―x(a+b)x 为偶函数，只需ℎ(x)=a x ―b ―x 是奇函数，即ℎ(―x)=a ―x ―b x =―(a x ―b ―x)=―ℎ(―x)，所以a=b．函数g(x)=a x―b―x(a+b)x为偶函数：有(6,6)，(5,5)，(4,4)共3个．所以则“在函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有交点的条件下，满足函数g(x)=a x―b―x(a+b)x为偶函数”的概率P=319．故选：D．【变式5-1】（23-24高二上·山东菏泽·开学考试）已知集合A={0,1,2,3}，a∈A，b∈A，则函数f(x)=ax2 +bx+1有零点的概率为（）A．34B．12C．38D．516【解题思路】先得到共有16种情况，再得到符合要求的情况个数，相除得到答案.【解答过程】f(x)=ax2+bx+1中，a,b均有4种选择，共16种情况，当a=0,b=0时，f(x)=ax2+bx+1无零点，当a=0,b=1,2,3时，f(x)=bx+1有零点，当a≠0时，Δ=b2―4a≥0时，f(x)=ax2+bx+1有零点，若a=1，则b=2,3满足要求，若a=2，则b=3满足要求，故共有6种情况，满足要求，所以函数f(x)=ax2+bx+1有零点的概率为616=38.故选：C.【变式5-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2―4nx+1在[1,+∞)上是增函数的概率是（）A．16B．14C．34D．45【解题思路】分析可知m、n∈{1,2,3,4,5,6}，由二次函数的单调性得出m≥2n，求出所有的基本事件数，并确定事件“m≥2n”所包含的事件数，利用古典概型的概率公式可求得结果.【解答过程】由题意可知，m、n∈{1,2,3,4,5,6}，若函数y=mx2―4nx+1在[1,+∞)上是增函数，则――4n2m =2nm≤1，即m≥2n.以(m,n)代表一个基本事件，所有的基本事件数为62=36个，满足m≥2n的基本事件有：(2,1)、(3,1)、(4,1)、(4,2)、(5,1)、(5,2)、(6,1)、(6,2)、(6,3)，共9个，由古典概型的概率公式可知，所求概率为P=936=14.故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合A={1,2,3,4,5,6},a∈A,b∈A，则“使函数f(x)= ln(x2+ax+b)的定义域为R”的概率为（）A．1336B．1536C．1736D．1936【解题思路】先利用对数函数的定义和二次函数的知识求得函数f(x)定义域为R的充分必要条件，进而用列举法求得数组(a,b)的总组数和满足定义域为R的条件的组数，求得所求概率.【解答过程】由题意知a2―4b<0.又因为a∈{1,2,3,4,5,6},b∈{1,2,3,4,5,6}，所以数a,b形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),⋯,(6,6)，共36种情况，其中(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3)，(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)，共17种情况满足a2―4b<0，所以所求概率p=1736.故选：C.【题型6 古典概型与向量的交汇问题】【例6】（2024·安徽黄山·{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m=(a,b)与向量n=(2,―1)垂直的概率为（）A．19B．29C．13D．23【解题思路】求出组成向量m=(a,b)的个数和与向量n=(2,―1)垂直的向量个数，计算所求的概率值．【解答过程】解：从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，可以组成向量m=(a,b)的个数是3×3=9（个)；其中与向量n=(2,―1)垂直的向量是m=(1,2)和m=(2,4)，共2个；故所求的概率为P=29．故选：B．【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知m,n∈{―2,―1,1,2}，若向量a=(m,n),b=(1,1)，则向量a与向量b夹角为锐角的概率为（）A．316B．14C．516D．38【解题思路】根据古典概型列出向量a的所有可能，由a与b的夹角为锐角找出所有符合题意的向量，即可求得其概率.【解答过程】向量a与向量b夹角为锐角等价于a⋅b>0且a与b不同向，即a⋅b=m+n>0，且m≠n；易知a共有16个，分别是(―2,―2)，(―2,―1),(―2,1),(―2,2),(―1,―2),(―1,―1),(―1,1),(―1,2),(1,―2),(1,―1),(1,1),(1,2),(2,―2),(2,―1),(2,1),(2,2)，满足条件的a为(―1,2),(2,―1),(1,2),(2,1)共4个，故所求的概率为416=14，故选：B．【变式6-2】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3，4,6}中随机地取一个数b，则向量m=(b,a)与向量n=(1,―2)垂直的概率为（）A．112B．13C．14D．16【解题思路】先求出基本事件的个数，然后求解满足向量m⊥n的个数，结合古典概率的求解公式可求.【解答过程】解：从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，{3，4,6}中随机地取一个数b，共有12种取法，当向量m=(b,a)与向量n=(1,―2)，b=2a，故m=(4,2)或m=(6,3)共2种取法，则所求概率P=212=16.故选：D.【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量a=(2m―3,n―1)，b=(1,―1)的夹角为θ，则θ为钝角的概率是（）A．518B．13C．1336D．1136【解题思路】先根据已知求出满足条件的m,n满足的关系式，然后分别令m=1,2,3,4,5,6，求得满足条件的n.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.【解答过程】由a//b可得，(2m―3)×(―1)―(n―1)×1=0，所以n=4―2m.因为θ为钝角，所以a⋅b<0，且a,b不共线，所以(2m―3)×1+(n―1)×(―1)<0n≠4―2m，即n>2m―2，且n≠4―2m.当m=1时，有n>0且n≠2，所以n可取1，3，4，5，6；当m=2时，有n>2，n可取3，4，5，6；当m=3时，有n>4，n可取5，6；当m=4，m=5，m=6时，n>2m―2>6，此时无解.综上所述，满足条件的m,n有11种可能.又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，所以θ为钝角的概率p=1136.故选：D.【题型7 古典概型与数列的交汇问题】【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=an2―4an+b，在数集{―1,0,1}中随机抽取一个数作为a，在数集{―3,0,3}中随机抽取一个数作为b，则满足S n≥S2(n∈N∗)的概率为()A．13B．29C．14D．23【解题思路】将S n配方，S n≥S2恒成立等价于S2是S n的最小值，根据常数函数和二次函数性质，结合古典概型概率计算方法即可求解.【解答过程】由已知得S n=a(n―2)2+b―4a，如果a=0，则S n=b，满足S n≥S2，概率为13，如果a≠0，则S2是S n的最小值，根据二次函数性质可知，a＞0，故a=1，此时概率为13，∴S n≥S2的概率为13+13=23，故选：D．【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n= a n―1+a n―2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．13B．6732021C．12D．6742021【解题思路】由斐波那契数列中偶数出现的周期性求前2021项中偶数的个数，再由古典概型概率求法求概率即可.【解答过程】由题设，斐波那契数列从第一项开始，每三项的最后一项为偶数，而20213=673...2，∴前2021项中有673个偶数，故从该数列的前2021项中随机地抽取一个数为偶数的概率为6732021.故选：B.【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列{F n}因数学家莱昂纳多⋅斐波那契(LeonardodaFibonaci)以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，F nF n+1无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{F n}满足F1=F2=1，F n+2=F n+1 +F n，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（）A．12B．712C．23D．34【解题思路】由题中给出的递推公式，求出数列的前12项，然后找出其中是奇数的个数，由古典概型的概率公式求解即可．【解答过程】解：由题意可知“兔子数列”满足F1=F2=1，F n+2=F n+1+F n，所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，其中是奇数的有：1，1，3，5，，21，55，89，故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为812=23．故选：C.【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列{a n}的通项公式为a n=(―1)n―1，记在数列{a n}的前n+2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为P n，则（）A．P1=13B．P2n<P2n+2C．P2n―1<P2nD．P2n―1+P2n<P2n+1+P2n+2.【解题思路】由已知得数列{a n}的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列{a n}的偶数项为―1，即偶数项为负数，当n=1时，P1=13，由此判断A选项；将2n―1代入，求得P2n―1；将2n代入，求得P2n；将2n+1代入，求得P2n+1；将2n+2代入，求得P2n+2，再运用作差比较法，可判断得选项.【解答过程】解：因为数列{a n}的通项公式为a n=(―1)n―1，所以数列{a n}的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列{a n}的偶数项为―1，即偶数项为负数，又数列{a n}的前n+2(n∈N*)项中，任取两项都是正数的概率为P n，当n=1时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为P1=13，故A正确；将2n―1代入，数列{a n}的前2n+1(n∈N*)项中，有(n+1)个正数，n个负数，任取两项都是正数的概率为P2n―1=C2n+1C22n+1=n(n+1)(2n+1)⋅(2n)=n+14n+2，将2n代入，数列{a n}的前2n+2(n∈N*)项中，有(n+1)个正数，(n+1)个负数，任取两项都是正数的概率为P2n=C2n+1C22n+2=n(n+1)(2n+1)⋅(2n+2)=n4n+2，将2n+1代入，数列{a n}的前2n+3(n∈N*)项中，有(n+2)个正数，(n+1)个负数，任取两项都是正数的概率为P2n+1=C2n+2C22n+3=(n+1)(n+2)(2n+3)⋅(2n+2)=n+24n+6，将2n+2代入，数列{a n}的前2n+4(n∈N*)项中，有(n+2)个正数，(n+2)个负数，任取两项都是正数的概率为P2n+2=C2n+2C22n+4=(n+1)(n+2)(2n+3)⋅(2n+4)=n+14n+6，所以P2n―P2n+2=n4n+2―n+14n+6=―2(4n+2)⋅(4n+6)<0，所以P2n<P2n+2，故B正确；P2n―1―P2n=n+14n+2―n4n+2=14n+2>0，所以P2n―1>P2n，故C错误；(P2n―1+P2n)―(P2n+1+P2n+2)=―=2n+14n+2―2n+34n+6=12―12=0，所以P2n―1+P2n=P2n+1+P2n+2，故D错误，故选：AB.【题型8 古典概型与统计综合】【例8】（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在[76,84)的游客人数为18．(1)求频率分布直方图中a,b的值；(2)从抽取的50名游客中满意度评分在[60,68)及[92,100]的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)的概率．【解题思路】（1）根据评分在[76,84)的游客人数为18和总人数为50得到b=0.045，利用频率之和为1得到方程，求出a=0.01；（2）根据分层抽样的方法得到评分在[60,68)的人数为2，设为x1,x2，满意度评分在[92,100]的人数为3，设为y1,y2,y3，列举出所有情况和2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)的情况，求出概率.【解答过程】（1）由题知，b=1850×8=0.045，8×(a+0.015+0.025+0.030+0.045)=1，解得a=0.01．（2）由题知，抽取的50名游客中满意度评分在[60,68)的人数为0.01×8×50=4，满意度评分在[92,100]的人数为0.015×8×50=6，∴抽取的5人中，满意度评分在[60,68)的人数为2，设为x1,x2，满意度评分在[92,100]的人数为3，设为y1,y2,y3，∴从5人中随机抽取2人的不同取法为{x1,x2},{x1,y1}，{x1,y2},{x1,y3},{x2,y1},{x2,y2},{x2,y3},{y1,y2},{y1,y3}, {y2,y3}，共有10种不同取法，设“2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)”为事件M，则事件M包含的取法为{x1,y1},{x1,y2},{x1,y3},{x2,y1}，{x2,y2},{x2,y3}，共有6种不同取法．∴P(M)=610=35．【变式8-1】（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．时长t[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]学生人数5010020012525(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)和[20,40)的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)的概率．【解题思路】（1）利用频率分布表估算平均数即可得解.（2）求出两个指定区间内的人数，利用列举法求出概率.【解答过程】（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数t=10×50500+30×100500+50×200500+70×125500+90×25500=49，所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49．（2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)内有：6×50150=2人，在[20,40)内有4人，记[0,20)内的2人为A，B，记[20,40)内的4人为a,b,c,d，从这6人中随机选2人的基本事件有：AB,Aa,Ab,Ac,AdBa,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd，共15种，其中至少有一人每天课外阅读平均时长在[0,20)的基本事件有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd，共9种，设M=“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在[0,20)”，则P(M)=915=35．【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：(1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率.(2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长；【解题思路】（1）利用图形的面积算出对应频率，乘以样本容量40即可得相应频数；先用分层抽样，再用超几何分布概率公式即可求出事件的概率；（2）由百分位数的定义结合频率分布直方图即可求出；利用第10名就是40名同学的25%，从而可以利用第25百分位数估计其学习时长，【解答过程】（1）①由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为(0.03+0.015)×5=0.225，则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225=9人．②由图可知，则40名学生中周末的学习时间在[20,25)的人数为0.03×5×40=6人，则40名学生中周末的学习时间在[25,30]的人数为0.015×5×40=3人，从中用分层抽样抽取6人，即周末的学习时间在[20,25)的有4人，周末的学习时间在[25,30]的有2人，再从中选派3人接受检测，设检测的3人来自同一区间的事件为A，则P(A)=C 3 4C36=420=15;（2）①学习时间在5小时以下的频率为0.02×5=0.1<0.25，学习时间在10小时以下的频率为0.1+0.04×5=0.3>0.25，所以25%分位数在区间[5,10)内，则5+5×0.25―0.10.2=8.75，所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时．②第10名是40名同学的25%，因而问题相当于求25%分位数，也就是估计第10名同学的学习时长为8.75小时．【变式8-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占37．。
高三数学高考考点解析概率与统计问题的题型与方法 全国通用
概率与统计问题的题型与方法一、考试内容离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和平方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归。
二、考试要求⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。
⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。
⑷会用样本频率分布去估计总体分布。
⑸了解正态分布的意义及主要性质。
⑹了解假设检验的基本思想。
⑺会根据样本的特征数估计总体。
⑻了解线性回归的方法。
三、复习目标1． 了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。
2． 了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。
3． 在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
4． 了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。
5． 了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用。
6． 通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。
7． 了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。
8． 了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算。
9． 了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。
四、双基透视㈠随机事件和统计的知识结构：㈡随机事件和统计的内容提要1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。
2．随机变量的概率分布 （1）离散型随机变量的分布列：两条基本性质①,2,1(0=≥i p i ...)； ②P 1+P 2+ (1)（2）连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)； 总体分布密度函数的两条基本性质： ①f(x) ≥0(x ∈R)；②由曲线y=f(x)与x 轴围成面积为1。
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第1 章随机事件及其概率在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
Ω为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
1°Ω={1,2 n}，12°P(1) =P(2) = P(n) =n。
设任一事件A ，它是由1,2 m组成的，则有P(A)= {(1) (2) (m)}= P(1) +P(2) + +P(m)=m=A所包含的基本事件数n 基本事件总数第二章随机变量及其分布设随机变量X 的分布律为k-P( X =k ) = e ，> 0 ，k = 0,1,2 ，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ () 或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
e-x , x≥0,f (x) =0, x < 0 ,其中> 0 ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。
X 的分布函数为1 -e-x, x≥0,F (x) =0,x<0。
记住积分公式：+∞⎰x n e -x dx =n!正态分布设随机变量 X 的密度函数为 21-( x -) 2- ∞ < x < +∞f (x ) =e 2 ， ， 2其中、> 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为 X ~ N (,2) 。
f (x ) 具有如下性质：1° f (x ) 的图形是关于 x = 对称的；2° 当 x = 时， f ()= 1 为最大值；若 X ~ N (,2) ，则 X 2 的分布函数为1 x e- ( t - ) 2F (x ) =⎰- 2 2dt2∞参数= 0 、= 1时的正态分布称为标准正态分布，记为X ~ N (0,1) ，1 其-密x 2度函数记为 (x ) = e 22 ， - ∞ < x < +∞ ，分布函数为21x - t Φ(x ) = 2⎰ e 2dt 。
高考中常见概率统计题型解析
高考中常见概率统计题型解析作者：吴文辉来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2015年第01期在江苏高考试卷中，概率统计题考试题型多为填空题，在前八题中出现，为中档题，本文从古典概型、几何概型和常见统计题三类题型中选取典型例题进行题型的介绍和方法的总结.古典概型：1.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型.2.对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去解决.例1 （2012·安徽高考）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ; ;.解析：设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为（a，b1），（a，b2），（a，c1），（a，c2），（a，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15个.两球颜色为一白一黑的基本事件有（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共6个.因此其概率为615=25.方法小结：计算古典概型事件的概率可分三步：（1）算出基本事件的总个数n;（2）求出事件A所包含的基本事件个数m;（3）代入公式求出概率P.例2 （2012·江西高考）如图所示，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0），B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点.（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;（2）求这3点与原点O共面的概率.解析：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，共4种;y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，共4种;z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共4种.所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种.因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.（1）选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1=220=110.（2）法一：选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2=1220=35.法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2，共8种，因此这3个点与原点O共面的概率为P2=1-820=35.例3 （2012·江苏高考）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ; ;.解析：由题意得an=（-3）n-1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P=610=35.答案：35方法小结：求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型.必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.几何概型1.几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关.2.几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果.（1）与长度、角度有关的几何概型例4 （2011·湖南高考）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25.（1）圆C的圆心到直线l的距离为 ; ;;（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 ; ;.解析：（1）根据点到直线的距离公式得d=255=5;（2）设直线4x+3y=c到圆心的距离为3，则|c|5=3，取c=15，则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.答案：5，16方法小结：求与长度（角度）有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度（角度），然后求解.确定点的边界位置是解题的关键.（2）与面积有关的几何概型例5 （1）（2012·湖北高考）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ; ;.解析：（1）法一：设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA=OB=2，则OD=DA=DC=1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1=π4+12×1×1-（π4-12×1×1）=1，所以整体图形中空白部分面积S2=2.又因为S扇形OAB=14×π×22=π，所以阴影部分面积为S3=π-2.所以P=π-2π=1-2π.法二：连接AB，设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA=2.由题意知C∈AB且S弓形AC=S弓形BC=S弓形OC，所以S空白=S△OAB=12×2×2=2.又因为S扇形OAB=14×π×22=π，所以S阴影=π-2.所以P=S阴影S扇形OAB=π-2π=1-2π.方法小结：求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率.这类问题常与线性规划知识联系在一起.（3）与体积有关的几何概型例6 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 ; ;.解析：（1）点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A，则P（A）=23-12×4π3×1323=1-π12.方法小结：与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化;也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域.统计中常见题型（1）用样本估计总体例7 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在[120，130]内的学生人数为 ; .解析：由题意知a×10+0.35+0.2+0.1+0.05=1，则a=0.03，故学生人数为0.3×100=30.1.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，而平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高的矩形的中点的横坐标.2.注意区分直方图与条形图，条形图中的纵坐标刻度为频数或频率，直方图中的纵坐标刻度为频率/组距.3.方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.（2）用样本的频率分布估计总体分布例8 （2012·广东高考）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求图中a的值;（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分;（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x∶y1∶12∶13∶44∶5解析：（1）由频率分布直方图知（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1，解得a=0.005.（2）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.005×10=73（分）.（3）由频率分布直方图知语文成绩在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90）各分数段的人数依次为0.005×10×100=5，0.04×10×100=40，0.03×10×100=30，0.02×10×100=20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5，40×12=20，30×43=40，20×54=25.故数学成绩在[50，90）之外的人数为100-（5+20+40+25）=10.方法小结：解决频率分布直方图问题时要抓住：（1）直方图中各小长方形的面积之和为1.（2）直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积.（3）直方图中每组样本的频数为频率×总体数.综上，在概率统计题型中，题型方法比较多，和高中阶段其他数学知识的联系比较多，注重对典型例题的分析和方法的总结有利于在高考中取得高的分数.（作者：吴文辉，江苏省长泾中学）。
初中数学概率题解题方法归纳
初中数学概率题解题方法归纳概率是数学中一个重要的概念，而在初中数学中，概率题目也是我们经常遇到的题型之一。
掌握概率的解题方法不仅能够提高我们的数学水平，还可以帮助我们更好地理解概率的概念和应用。
本文将对初中数学概率题解题方法进行归纳总结，希望能帮助大家更好地解决概率题目。
1. 统计法统计法是解决概率问题的最基本方法之一。
在使用统计法解题时，需要进行实际的尝试和实验，并根据实验结果来计算概率。
通过大量实验，可以获得更加准确的概率结果。
例如，当要计算抛一个骰子时出现奇数的概率时，可以进行多次抛骰子的实验，统计出奇数出现的次数，再除以总次数，就可以得到近似的概率。
2. 列举法列举法是解决概率问题的另一种常用方法。
在使用列举法解题时，需要将所有可能的情况列出，然后计算符合条件的情况的个数，并将个数除以总情况数，得到概率结果。
例如，要计算两个骰子之和为7的概率，可以将所有可能的情况列举出来，然后统计符合和为7的情况数，再除以总情况数。
3. 基本概率公式基本概率公式也常用于解决概率题目。
基本概率公式是指当所有情况的概率相等时，某个事件发生的概率等于该事件发生的次数除以总情况数。
例如，抛一个硬币，正面朝上的概率为1/2，即正面的次数除以总次数。
4. 互斥事件的概率计算互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
当计算互斥事件的概率时，可以使用加法规则，即事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
例如，抛一个骰子，计算出现奇数或大于等于4的概率时，可以将出现奇数的概率加上出现大于等于4的概率。
5. 独立事件的概率计算独立事件是指两个事件发生与否不受对方影响的情况。
当计算独立事件的概率时，可以使用乘法规则，即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
例如，抽一张扑克牌，第一次抽到黑桃，第二次抽到红桃的概率等于抽黑桃的概率乘以抽红桃的概率。
6. 条件概率计算条件概率是指在某个条件下某个事件发生的概率。
行测概率问题详细总结
概率论及应用数理统计基础概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
概率是随机事件发生的可能性的数量指标。
在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。
就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。
任何事件的概率值一定介于0和1之间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。
具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。
如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的，这就是正态分布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。
10.2.1 古典概率所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)。
规定P(A)≥0，P(Ω) = ，而事件A 所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：Ω1。
满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。
在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N 。
10.5 （取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。
（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。
高中数学概率与统计题型解答方法
高中数学概率与统计题型解答方法概率与统计是高中数学中的重要内容，也是学生们普遍感觉较为困难的部分。
在这篇文章中，我将为大家介绍一些解答概率与统计题型的方法和技巧，希望能够帮助大家更好地理解和应对这一部分的考试内容。
一、概率题型解答方法概率题型主要涉及到事件的发生可能性以及事件之间的关系。
在解答概率题型时，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定样本空间：首先要明确问题中所涉及的所有可能结果，这些结果构成了样本空间。
例如，如果问题是抛一枚硬币，我们可以得到样本空间为{正面，反面}。
2. 确定事件：根据问题的要求，确定我们关注的事件。
例如，如果问题是抛一枚硬币，要求出现正面的概率，那么我们可以将事件定义为“出现正面”。
3. 计算概率：根据事件发生的可能性和样本空间的大小，计算事件发生的概率。
例如，对于抛一枚硬币出现正面的问题，由于样本空间中只有两个结果，所以事件发生的概率为1/2。
除了基本的概率计算，还有一些特殊的概率题型，例如条件概率、独立事件等。
对于这些题型，我们需要根据具体情况使用相应的公式和方法进行计算。
二、统计题型解答方法统计题型主要涉及到数据的收集、整理和分析。
在解答统计题型时，我们可以按照以下步骤进行：1. 收集数据：首先要明确问题中所要求的数据类型和范围，然后进行数据的收集。
例如，如果问题是调查学生的身高，我们可以通过测量学生的身高来收集数据。
2. 整理数据：将收集到的数据进行整理和分类，以便后续的分析。
例如，可以将学生的身高按照一定的范围进行分组，并制作成频数表或直方图。
3. 分析数据：根据问题的要求，对数据进行分析和计算。
例如，可以计算出数据的平均值、中位数、众数等统计量，以及数据的方差和标准差等。
除了基本的数据分析，还有一些特殊的统计题型，例如假设检验、相关性分析等。
对于这些题型，我们需要根据具体情况使用相应的统计方法和检验标准进行分析。
三、举一反三在解答概率与统计题型时，我们可以通过举一反三的方法拓展思路，将相似的题目进行比较和联系，从而更好地理解和解答题目。
高中数学概率统计解题技巧
高中数学概率统计解题技巧概率统计是高中数学中的一门重要课程，也是考试中常见的题型。
掌握好解题技巧，能够帮助学生提高解题效率，更好地应对考试。
本文将从几个常见的概率统计题型入手，分析其考点和解题方法，帮助学生掌握解题技巧。
一、排列组合题排列组合是概率统计中常见的题型，它要求我们计算某种情况下的可能性。
例如，某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？这类题目的关键在于确定组合的方式。
对于上述问题，我们可以使用组合公式C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)来计算。
其中，n表示总数，m表示选取的个数。
二、事件概率题事件概率题是概率统计中最基础的一类题型，它要求我们计算某个事件发生的概率。
例如，抛一枚骰子，问出现奇数的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}，而出现奇数的事件为{1,3,5}，所以概率为3/6=1/2。
三、条件概率题条件概率题是概率统计中较为复杂的一类题型，它要求我们在给定某个条件下计算事件发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取一个学生，问选到女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定条件下的样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，在给定条件下，样本空间为{男生，女生}，而选到女生的事件为{女生}，所以概率为10/30=1/3。
四、独立事件题独立事件题是概率统计中常见的一类题型，它要求我们计算多个事件同时发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取两个学生，问选到两个女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定事件的独立性和事件发生的可能性。
对于上述问题，选到第一个女生的概率为10/30=1/3，选到第二个女生的概率为9/29。
由于两个事件是相互独立的，所以选到两个女生的概率为(1/3)*(9/29)=3/29。
古典概型、概率的基本性质【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)2025年新高考数学一轮复习
古典概型、概率的基本性质【八大题型】【题型1 古典概型】................................................................................................................................................3【题型2 有放回与无放回问题的概率】................................................................................................................3【题型3 概率基本性质的应用】............................................................................................................................4【题型4 几何概型】................................................................................................................................................4【题型5 古典概型与函数的交汇问题】................................................................................................................6【题型6 古典概型与向量的交汇问题】................................................................................................................6【题型7 古典概型与数列的交汇问题】................................................................................................................7【题型8 古典概型与统计综合】. (8)1、古典概型、概率的基本性质【知识点1 古典概型及其解题策略】1．古典概型(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型：①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.2．古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.3．求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.4．古典概型与统计结合有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.【知识点2 概率的基本性质】1．概率的基本性质(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.【方法技巧与总结】1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.【题型1 古典概型】【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（）A．25B．35C．110D．310【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【变式1-2】（2024·西藏拉萨·二模）从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（）A．23B．34C．25D．35【变式1-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（）A ．110B ．15C ．310D ．25【题型2 有放回与无放回问题的概率】【例2】（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ）A ．14B ．12C ．13D ．16【变式2-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ）A ．15B ．13C ．25D ．23【变式2-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．25【变式2-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（ ）A ．35B ．25C ．13D ．15【题型3 概率基本性质的应用】【例3】（2024·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）A ．415B ．715C ．815D ．1115【变式3-1】（24-25高二上·吉林·阶段练习）设A, B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12, P (B )=35, PA =12，则P (AB )=（ ）A ．13B ．15C ．25D ．110【变式3-2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12，=712，+=14，则P (A +B )=（ ）A ．712B ．23C ．1112D ．34【变式3-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知A ，B ，C ，D 四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A 则1，4号灯就会亮，只要打开开关B 则2，3号灯就会亮，只要打开开关C 则3，4号灯就会亮，只要打开开关D 则2，4号灯就会亮.开始时，A ，B ，C ，D 四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．56【题型4 几何概型】【例4】（2024·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）A ．18B ．38C ．516D ．332【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正六边形OPQRST 的顶点是正六边形ABCDEF 的对角线的交点.在正六边形ABCDEF 内部任取一点，则该点取自正六边形OPQRST 内的概率为（ ）A B ．14C ．13D 【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知､道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）A B ．3πC D 【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O 是正三角形ABC 的内切圆，则在△ABC 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A 14B ―14C 12D ．1【题型5 古典概型与函数的交汇问题】【例5】（2024·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a ，b ，则“在函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的条件下，满足函数g (x )=a x ―b ―x(a+b )x 为偶函数”的概率为（ ）A ．417B ．219C ．519D ．319【变式5-1】（23-24高二上·山东菏泽·开学考试）已知集合A ={0,1,2,3}，a ∈A ，b ∈A ，则函数f (x )=ax 2+bx +1有零点的概率为（ ）A ．34B ．12C ．38D ．516【变式5-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和n ，则函数y=mx2―4nx+1在[1,+∞)上是增函数的概率是（）A．16B．14C．34D．45【变式5-3】（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合A={1,2,3,4,5,6},a∈A,b∈A，则“使函数f(x)= ln(x2+ax+b)的定义域为R”的概率为（）A．1336B．1536C．1736D．1936【题型6 古典概型与向量的交汇问题】【例6】（2024·安徽黄山·一模）从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m=(a,b)与向量n=(2,―1)垂直的概率为（）A．19B．29C．13D．23【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知m,n∈{―2,―1,1,2}，若向量a=(m,n),b=(1,1)，则向量a与向量b夹角为锐角的概率为（）A．316B．14C．516D．38【变式6-2】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3，4,6}中随机地取一个数b，则向量m=(b,a)与向量n=(1,―2)垂直的概率为（）A．112B．13C．14D．16【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量a=(2m―3,n―1)，b=(1,―1)的夹角为θ，则θ为钝角的概率是（）A．518B．13C．1336D．1136【题型7 古典概型与数列的交汇问题】【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=an2―4an+b，在数集{―1,0,1}中随机抽取一个数作为a，在数集{―3,0,3}中随机抽取一个数作为b，则满足S n≥S2(n∈N∗)的概率为()A．13B．29C．14D．23【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n―1+a n―2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．13B．6732021C．12D．6742021【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列{F n}因数学家莱昂纳多⋅斐波那契(LeonardodaFibonaci)以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，F nF n+1无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{F n}满足F1=F2=1，F n+2=F n+1 +F n，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（）A．12B．712C．23D．34【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列{a n}的通项公式为a n=(―1)n―1，记在数列{a n}的前n+2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为P n，则（）A．P1=13B．P2n<P2n+2C．P2n―1<P2nD．P2n―1+P2n<P2n+1+P2n+2.【题型8 古典概型与统计综合】【例8】（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在[76,84)的游客人数为18．(1)求频率分布直方图中a,b的值；(2)从抽取的50名游客中满意度评分在[60,68)及[92,100]的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)的概率．【变式8-1】（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．时长t[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]学生人数5010020012525(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)和[20,40)的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)的概率．【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：(1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率.(2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长；【变式8-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，．[80,90)，[90,100]，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占37(1)求抽取的200名学生的平均成绩x（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；(3)若比赛成绩x>79+s（s为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数．参考公式：s=f i是第i组的频率），≈5.5一、单选题1．（2024·贵州·模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）A．23B．12C．13D．142．（2024·陕西西安·一模）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（）A．25B．35C．57D．273．（2024·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A(A)，事件B的概率为P(B)；则1―P(A∩B)是下列哪个事件的概率（）A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数C．两个点数都是奇数D．至多有一个点数是奇数4．（2024·四川乐山·三模）在区间[―5,10]上任取一个整数m，则使函数f(x)=x2―2mx―2m存在两个不同零点的概率为（）A．116B．316C．1316D．15165．（2024·四川内江·三模）口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（）A．13B．25C．35D．1156．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的34倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）A．25B．310C．35D．127．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A．29B．827C．49D．128．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（）A．15B．25C．35D．45二、多选题9．（2024·甘肃武威·模拟预测）某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（）A．该公司四个季度的销售额先增长再下降B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为16C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为12D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为16 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ）A ．A ⊆B B ．事件B 与事件C 是互斥事件C ．P (AB )=215D ．P (B +C )=2311．（2024·广东梅州·一模）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n (n =2,3,⋅⋅⋅,9)的不同路线条数记为r n ，从1移动到9的事件中，跳过数字n (n =2,3,⋅⋅⋅,8)的概率记为p n ，则下列结论正确的是（ ）A ．r 6=8B ．r n +1>r nC ．p 5=934D ．p 7>p 8三、填空题12．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．13．（2024·江苏·模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为 ．14．（2024·四川自贡·二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为O ，O 1，O 2，半径分别为R ，r 1，r 2（其中R >r 1>r 2），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为14，则r 1r 2= .四、解答题15．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为0.35，0.30及0.25．求不命中靶的概率．16．（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时.竞赛前抽签，甲获得第一比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12个问题的答题权.(1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.17．（2024·陕西榆林·二模）甲､乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从0∼2内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数x，若2x<.已知甲选用了方案二参赛，乙选用了方案一参赛.(1)求甲获奖的概率.(2)试问甲､乙两人谁获奖的概率更大？说明你的理由.18．（2024·全国·模拟预测）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=实际行程时间，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下畅通行程时间表所示的4个等级：TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI 低的概率.19．（2024·陕西商洛·模拟预测）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这500名学生健康指数的平均数x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)现从体质健康指数在区间[75,85)和[85,95]内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这32人体质健康指数在区间[75,85)内的概率.。
2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析
2024高考数学概率统计知识点总结与题型分析概率统计作为数学课程的一个重要分支，在高考中占有重要的一席之地。
它是一个与现实生活息息相关的学科，旨在通过收集、整理和分析数据，帮助我们做出正确的判断和决策。
本文对2024高考数学概率统计的知识点进行了总结，并对可能出现的题型进行了分析。
一、基本概念和公式1. 随机事件：指在一次试验中可能发生也可能不发生的事件。
2. 样本空间：指一个试验所有可能结果的集合。
3. 必然事件：指在一次试验中一定会发生的事件。
4. 不可能事件：指在一次试验中一定不会发生的事件。
5. 事件的概率：指随机事件发生的可能性大小。
6. 加法原理：对于两个互不相容的事件A和B，它们的和事件A∪B的概率等于各个事件的概率之和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)7. 乘法原理：对于两个相互独立的事件A和B，它们的积事件A∩B的概率等于各个事件的概率之积。
P(A∩B) = P(A) × P(B)二、概率计算1. 事件的概率计算：对于离散型随机事件，概率可通过频率估计和计数原理计算。
对于连续型随机事件，概率可通过定积分计算。
2. 事件的互斥与独立：如果两个事件A和B互斥（即不能同时发生），则它们的和事件A∪B的概率等于各自事件的概率之和。
如果两个事件A和B相互独立（即一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响），则它们的积事件A∩B的概率等于各自事件的概率之积。
三、排列组合与概率计算1. 排列：排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），并有顺序地排成一列的方式。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!2. 组合：组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序地组成一个集合的方式。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 概率计算中的排列组合：当事件A与某个事件B相关时，在计算A的概率时，需要考虑B 发生的不同排列组合情况。