2020东北三省三校二模高三数学文试卷答案
202年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2022年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.复数其中i为虚数单位的模为( )A. 1B.C.D. 53.双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.4.命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点：x91011y1110865若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则据此计算残差为0的样本点是( )A. B. C. D.6.将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得图象对应的函数( )A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 图象关于点对称D. 图象关于直线对称7.下列说法错误的是( )A. 由函数的性质猜想函数的性质是类比推理B. 由，，猜想是归纳推理C. 由锐角x满足及，推出是合情推理D. “因为恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论8.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积( )A. B. C. 1 D.9.已知圆锥的顶点为点S ，高是底面半径的倍，点A ，B 是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为( )A.B.C.D. 10.定义域为R 的奇函数满足，则( )A. 0 B.C. 1D. 不确定11.椭圆C ：的左焦点为点F ，过原点O 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，若，，，则椭圆C 的离心率为( )A.B.C.D. 12.已知实数a ，b ，c 满足，，，，，，则( )A.B.C. D.13.盒子中装有编号为0，1，2，3，4的五个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______.14.在爱尔兰小说《格列佛游记》里，有格列佛在小人国一顿吃了1728份小人饭的叙述，作者为什么要使用这么复杂的数字呢？许多研究者认为，之所以选用这个数字，跟英国人计数经常使用的十二进制有关系．中国文化中，十二进制也有着广泛应用，如12地支，12个时辰，12生肖．十二进制数通常使用数字以及字母A ，B 表示，其中A 即数字10，B 即数字对于右面的程序框图，若输入，，则输出的结果为______.15.在正六边形ABCDEF中，点G为线段含端点上的动点，若，则的取值范围是______.16.如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，平面ABCD，，且，，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：①当H为棱DE的中点时，平面ABE；②存在点H，使得；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥的外接球表面积为其中正确的结论序号为______填写所有正确结论的序号17.如图，正三棱柱中，，点D是棱的中点．求证：；求点B到平面的距离．18.五常市是黑龙江省典型农业大县市、国家重要的商品粮食基地，全国粮食生产十大先进县之一，也是全国水稻五强县之一，被誉为张广才岭下的“水稻王国”．五常大米受产区独特的地理、气候等因素影响，干物质积累多，直链淀粉含量适中，支链淀粉含量较高．由于水稻成熟期产区昼夜温差大，大米中可速溶的双链糖积累较多，对人体健康非常有益．五常大米根据颗粒、质地、色泽、香味等评分指标打分，得分在区间内分别评定为四级大米、三级大米、二级大米、一级大米．某经销商从五常市农民手中收购一批大米，共400袋每袋，并随机抽取20袋分别进行检测评级，得分数据的频率分布直方图如图所示：求a的值，并用样本估计，该经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量能否达到采购总量一半以上；该经销商计划在下面两个方案中选择一个作为销售方案：方案1：将采购的400袋大米不经检测，统一按每袋300元直接售出；方案2：将采购的400袋大米逐袋检测分级，并将每袋大米重新包装成5包每包，检测分级所需费用和人工费共8000元，各等级大米每包的售价和包装材料成本如表所示：大米等级四级三级二级一级售价元/包55688598包装材料成本元/包2245该经销商采用哪种销售方案所得利润更大？通过计算说明理由．19.已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，求数列，的通项公式；若恒成立，求实数的最小值．20.设函数若，过点作曲线的切线，求切点的坐标；若在区间上单调递增，求整数a的最大值．21.已知点F为抛物线E：的焦点，点，，若过点P作直线与抛物线E 顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点求抛物线E的标准方程；求证：直线BC过定点；若直线BC所过定点为点Q，，的面积分别为，，求的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．点A，B的极坐标分别为，，圆以AB为直径，直线l的极坐标方程为求圆及直线l的直角坐标方程；圆经过伸缩变换得到曲线，已知点P为曲线上的任意一点，求点P到直线l距离的取值范围．23.已知函数的值域为若，，求证：；若，，求证：答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为，，则故选：由已知先求出集合M，N，然后结合集合并集运算可求．本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，故选：根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线的，，由双曲线的渐近线方程，则所求渐近线方程为故选求出双曲线的a，b，再由渐近线方程，即可得到所求．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，故选：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.【答案】B【解析】解：由表中数据可得，，，关于x的回归直线方程为，，故y关于x的回归直线方程为，对于A，当时，，即残差不为0，故A错误，对于B，当时，，即残差为0，故B正确，对于C，当时，，即残差不为0，故C错误，对于D，当时，，即残差不为0，故D错误．故选：根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及残差的定义，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：将函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得函数的图象；再向右平移个单位，可得函数的图象．在区间上，，函数单调递增，故A正确；在区间上，，函数单调递增，故B不正确；令，可得，为最大值，故的图象关于直线对称，故C不正确；，可得，可得故的图象关于点对称，故D不正确，故选：由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：对于A，由类比推理的定义得：由函数的性质猜想函数的性质是类比推理，故A正确；对于B，由归纳推理的定义得：由，，猜想是归纳推理，故B正确；对于C，由锐角x满足及，推出是演绎推理，故C错误；对于D，由三段论的定义得：“因为恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论，故D正确．故选：由类比推理的定义判断A；由归纳推理的定义判断B；由合理推理和演绎推理的定义判断C；由三段论的定义判断本题考查命题真假的判断，考查类比推理、归纳推理、合情推理、演绎推理、三段论等基础知识，是基础题．8.【答案】D【解析】解：因为，，所以由正弦定理可得，可得，又，整理可得，解得，或舍去，又，则的面积故选：由正弦定理求得c的值，利用余弦定理可求b的值，再根据同角的三角函数关系可求的值，进而利用三角形面积公式求出结果．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，是基础题．9.【答案】D【解析】解：设圆锥的母线长为l，圆锥底面半径为r，高为h，由题意可得，由为等边三角形，且面积为，所以，解得，在直角三角形SOA中，有，所以，解得，所以圆锥的侧面积，故选：设圆锥的母线长为l，圆锥底面半径为r，高为h，依题意可得，由三角形的面积为可得母线长，在直角三角形SOA中，由勾股定理可得r，进而可计算圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的侧面积的计算，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：为R上的奇函数，，又，，，即是以4为周期的函数，，故选：依题意，可得的周期为4，从而可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的判断与应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：设右焦点为H，连接PH，QH，则由对称性知四边形FPHQ是平行四边形，设，，则，，，，，，，在中，，即，①，在中，，即，②，则①-②得，，，，，解得，，椭圆的离心率，故选：设右焦点为H，连接PH，QH，则由对称性知四边形FPHQ是平行四边形，根据椭圆定义以及余弦定理建立方程组求出a的值，即可求出椭圆的离心率．本题主要考查椭圆离心率的计算，根据平行四边形的性质以及椭圆定义建立方程求出a的值是解决本题的关键，是中档题．12.【答案】D【解析】解：设，则，当时，则，单调递减，当时，则，单调递增，当时，取得最小值为，又，当时，则，方程有两个不等的根，，，，，，又，，，，，，，，故选：设，利用导数判断函数的单调性，得到方程有两个不等的根，，，，，即可求解．本题考查三个数的大小的求法，利用构造函数的单调性是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】解：从0，1，2，3，4五个数中任取两个球编号的所有可能为，，，，，，，，，，共10种，其中两个球的编号之和为偶数所包含的基本事件有，，，，共4种，故所求概率为故答案为：先确定从0，1，2，3，4五个数中任取两个球编号的所有可能，再确定其中两个球的编号之和为偶数所包含的基本事件个数，最后即可利用古典概型概率计算公式进行求解．本题考查古典概型概率计算公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】1000【解析】解：第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，满足退出循环的条件；所以输出r的值为故答案为：根据程序框图知，该程序的功能是利用循环结构计算q，r并输出变量r的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，设，，，，，即，即，，，故，故；故答案为：作图，设，利用线性运算及平面向量基本定理化简即可．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．16.【答案】①③④【解析】【分析】本题考查了空间位置关系及其判定、三棱锥与球的体积，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．①如图所示，取AE的中点M，连接MH，BM，利用三角形中位线定理与平行四边形的判定定理可得四边形BGHM为平行四边形，再利用线面平行的判定定理可得平面②连接BD，AC，由已知可得平面ABCD，进而得出平面BDE，而平面BDE，且GH 与平面BDE不平行，即可判断出正误．③设点H到平面BCF的距离为d，由平面BCF，可得d为定值，而三棱锥的体积，即可判断出正误．④由AB，BC，CF两两垂直，可得棱锥的外接球的直径为以CD，CB，CF为相邻的棱的长方体的对角线，进而判断出正误．【解答】解：①如图所示，取AE的中点M，连接MH，BM，为DE的中点，，，，四边形BGHM为平行四边形，又平面ABE，平面当H为棱DE的中点时，平面因此①正确．②连接BD，AC，四边形ABCD为正方形，，平面ABCD，，又，平面BDE，点平面BDE，平面BDE，平面BDE，且GH与平面BDE不平行，不存在点H，使得，因此②不正确．③设点H到平面BCF的距离为d，，平面BCF，平面BCF，平面BCF，为定值．三棱锥的体积为定值，因此③正确．④，BC，CF两两垂直，棱锥的外接球的直径为以CD，CB，CF为相邻的棱的长方体的对角线，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球表面积，因此④正确．综上可得其中正确的结论序号为①③④．故答案为：①③④．17.【答案】解：证明：取AC中点O，中点M，连接BO，OM，易证，又在正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，，，又，，以O为坐标原点，OB，OA，OM所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，；由知，，设平面的一个法向量为，，令，则，，平面的一个法向量为，又，点B到平面的距离为【解析】取AC中点O，中点M，连接BO，OM，可证OB，OA，OM两两垂直，以O为坐标原点，OB，OA，OM所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证；求平面的一个法向量与直线BD的方向向量，用向量法求点B到平面的距离．本题考查线面垂直与点到面的距离，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：由题意得，，解得；在样本中，一级大米和二级大米占比为，故估计该经销商采购的这批大米中，一级大米和二级大米的总量达到了采购总量一半以上；采用方案1，该经销商可获得利润为元，采用方案2，该经销商可获得利润为元，，该经销商采用方案2所得利润更大．【解析】由频率分布直方图的各长方形面积之和为1求a，再由频率分布直方图求一级大米和二级大米的频率，从而判断；分别计算两种方案可获得利润，比较大小即可．本题考查了频率分布直方图的应用，属于中档题．19.【答案】解：设数列的公差为d，则，因为，所以，即，化简得，①，又，所以②，由①②解得，，，所以数列的通项公式为，因为，即，因为，所以，即，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故，综上所述，，因为恒成立，即，所以恒成立，设，原问题转化为，所以，当时，，即，有，当时，，即，当时，，即，所以当或5时，取得最大值，所以，故实数的最小值为【解析】结合等差中项的性质与等差数列的通项公式，求得首项和公差d，即可得；将因式分解，推出数列是首项为1，公比为的等比数列，得解；原问题等价于恒成立，设，则，再通过作差法，推出数列的单调性后，可得，得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，数列的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：时，，设切点为，则点P处切线方程为，将代入，得即，解得，或，时，，时，，切点坐标为和；，记，在上单调递增，时，恒成立，又，即时，时，，，，在上单调递增，，故，时满足条件．，即时，在上，，，所以，单调递减，在上，，，所以，单调递增，，记，在上单调递减，，因为，时满足条件，由i和ii知，满足条件的整数a的最大值为【解析】本题考查了利用导数研究函数的切线方程和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．设切点为，表示出点P处切线方程，将代入解得，或，求出切点坐标为和；把题意转化为时，恒成立，对a分类讨论：时，时，分别求出满足条件的整数a的范围，再确定a的最大值．21.【答案】解：由题意可知，，又，，抛物线E的标准方程为证明：显然直线AB斜率存在，设直线AB的方程为，联立方程，消去x得，，设，，，，①，直线AC的方程为，联立方程，化简得，，设，则②，由①②得，③，若直线BC斜率不存在，则，又，，，直线BC的方程为，若直线BC的斜率存在，为，直线BC的方程为，即，将③代入得，，直线BC斜率存在时过点，由可知，直线BC过定点解：，，由得，，，由，且，可得，且，，设，，，，且，，，的取值范围为【解析】利用表示出，化简即可求出p的值，从而得到抛物线E的标准方程．设出直线AB，与抛物线方程联立，利用韦达定理则可表示出A，B两点的关系，再由点A写出直线AC 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理则可表示出A，C两点的关系，写出直线BC的方程，根据两个关系式消掉A点，则可得出结果．将，，用A，B，C点表示出来，再利用韦达定理用直线AB的斜率k表示出，最后化简即可得出结论．本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题，属于中档题．22.【答案】解：点A，B的极坐标分别为，，，，同理可得，，，圆以AB为直径，圆的方程为，直线l的极坐标方程为，，即，故直线l的参数方程为圆经过伸缩变换得到曲线，则，，，，为，点P为曲线上的任意一点，可设，则上任意一点P到l的距离，当时，d取得最小值4，当时，d取得最大值8，综上所述，点P到直线l距离的取值范围为【解析】根据已知条件，结合极坐标公式，即可求解．根据条件，对圆伸缩变换可得，，再结合参数法，以及点到直线的距离公式，即可求解．本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】证明：，当且仅当，即或时，等号成立，，故函数的值域为，原不等式等价于，即，，，，即，，成立，，原不等式得证．证明：由可得，，，则不等式，，即，，，当且仅当时，等号成立，，即得证．【解析】根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式可求得函数的值域，原不等式等价于，再结合x，y的取值范围，即可求解．根据已知条件，结合绝对值三角不等式公式，即可求解．本题主要考查不等式的证明，掌握绝对值三角不等式公式是解本题的关键，属于中档题．。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2020年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，，则集合A. 2，B. 2，C. D. 2，3，4，2.若i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若实数x、y满足，则的最大值为A. 3B. 0C.D.4.已知，是两个不同的平面，直线，下列命题中正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.已知正项等比数列，若向量，则A. 12B.C. 5D. 187.我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著九章算术中．九章算术将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为A. B. 1 C. 2 D. 38.已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知，则的值为A. B. C. D.10.设函数，则下列说法中正确的是A. 关于中心对称B. 的极小值为C. 的最小正周期为D. 图象的一条对称轴为11.已知双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为A. 81B.C.D. 9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为______．14.已知实数a、c满足，关于x的不等式的解集为______．15.直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为______．16.设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则______；若边AC上的点D满足，则的面积______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是公差不为0的等差数列，且，．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．18.如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ当时，求三棱锥的体积．19.2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．Ⅰ已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？Ⅱ此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20.已知函数．Ⅰ求的单调区间；Ⅱ当时，若函数与图象交于、两点，求实数a的取值范围21.已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点，，且的面积为1，其中O为坐标原点．Ⅰ为定值；Ⅱ设线段AB的中点为M，求的最大值．22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是，曲线C的参数方程是为参数以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求直线l和曲线C的极坐标方程；Ⅱ若是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．23.已知a、b、，且．Ⅰ当时，求的最小值；Ⅱ证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：因为集合A、B均为集合2，3，4，5，的子集，且，，，所以：，，1，，4，，4，；故集合2，．故选：A．根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．2.答案：D解析：解：因为，且；所以：，；复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：画出的可行域如图：．令变形为作直线将其平移至时，直线的纵截距最大，最大为：0．故选：B．画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．4.答案：D解析：解：对于选项A：若，则也可能，故错误．对于选项B：若，则也可能，故错误．对于选项C：若，则也可能与相交，故错误．对于选项D，直线，，则是面面垂直的判定，故正确．故选：D．直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话．故选：D．根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6.答案：D解析：解：由题意，向量，则，即，根据等比中项的知识，可得，，，．故选：D．本题先根据平行向量的坐标运算可得，再根据等比中项的知识，可计算出，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．7.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，，，侧棱底面ABCD，且．该几何体的体积．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，，，侧棱底面ABCD，且再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.答案：D解析：解：如图所示，设，，，由图可知，当时，的取值最小，此时，则，而没有最大值，故则的取值范围为，故选：D．如图所示，设，，，由图可知，当时，的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9.答案：A解析：解：，则，．故选：A．由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．10.答案：D解析：解：对于A选项，关于中心对称，首先表达错误，应该说的图象关于某个点中心对称，其次不恒等于2，所以A错误；对于B选项，，令有或．当时，有，当时，两边平方可得，，此时，所以的极小值不可能为，所以B错误；对于C选项，，所以不是的最小正周期，所以C错误；对于D选项，，，所以图象的一条对称轴为，故D正确．故选：D．借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．本题考查三角函数的性质，属于中档题．11.答案：B解析：解：双曲线上存在一点M，过点M向圆做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正方形，，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以．故选：B．利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.答案：A解析：解：，令，则，，．设关于t的一元二次方程有两实根，，，可得或．，．又，当且仅当时等号成立，由于，，不妨设，，，．则可知，．．故选：A．把的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题．13.答案：700解析：解：设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为，．由题意可得，．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得，故答案为：700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.答案：或解析：解：由题意可得且，因为，所以或，故不等式的解集为或．故答案为：或．由已知可转化为二次不等式即可求解．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15.答案：解析：解：由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以，设，，所以，所以，代入抛物线的方程可得即所以，所以直线AB的方程为：，直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：，，由抛物线的性质可得，解得，所以抛物线的方程为：，故答案为：．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：根据题意，化简得，所以，，；做出图形如下：由题意不妨设，则，，所以，在中由正弦定理得，将，代入化简得，．，，易得．．故答案为：．利用余弦定理容易求出B的大小；引入角，根据得，再利用内角和定理将A用表示出来，最后在中利用正弦定理可求出，问题迎刃而解．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意，可知，，，，，，即，整理，得，解得舍去，或．，，．Ⅱ由Ⅰ知，，．解析：本题第Ⅰ题先根据数列是公差不为0的等差数列可知，再列出、、关于d的表达式，根据有，代入表达式可得关于d的方程，解出d 的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列的通项公式；第Ⅱ题先根据第Ⅰ题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：证明：Ⅰ，，平面平面PAD，交线为AD，平面PAD，从而，，，，平面PAB，平面PAB，；解：Ⅱ，取AD中点O，连接PO，则，由平面平面PAD，交线为AD，得平面ABCD．又，，得，．即三棱锥的体积为．解析：Ⅰ推导出，，，从而平面PAB，由此能证明；Ⅱ取AD中点O，连接PO，则，证明平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.答案：解：Ⅰ利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取人，从美洲运动员中抽取人，从欧洲运动员中抽取人；Ⅱ从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是加拿大队，瑞士队，加拿大队，英国队，加拿大队，瑞典队，加拿大队，中国队，瑞士队，英国队，瑞士队，瑞典队，瑞士队，中国队，英国队，瑞典队，英国队，中国队，瑞典队，中国队共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为．解析：Ⅰ利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；Ⅱ利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20.答案：解：，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故的单调递增区间，单调递减区间；由题意可得在上有2个不同的零点，即在上有2个不同的零点，令，，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，且，时，，，故．解析：先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；由已知分离参数可得在上有2个不同的零点，构造函数，，然后结合导数及函数的性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21.答案：解：Ⅰ当直线l的斜率不存在，设l：，代入椭圆方程可得，由的面积为1，可得，解得，则；当直线l的斜率存在，设，联立椭圆方程可得，设，，可得，，，由的面积为1，可得，化简可得，则，而，综上可得，为定值4；Ⅱ设，当直线的斜率不存在时，，，则；当直线的斜率存在时，由Ⅰ可得，，则，可得．，．可知．综上，的最大值为2．解析：Ⅰ当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程求解，结合的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得，结合的面积为1，可得，则的值可求，从而说明为定值；Ⅱ设，当直线的斜率不存在时，，，则；当直线的斜率存在时，由Ⅰ可得M的坐标，求得，写出，结合转化为关于的二次函数求最值．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ直线l的方程是，转换为极坐标方程为，曲线C的参数方程是为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．Ⅱ点是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ当时，，，又当且仅当时取等号，则，，即的最小值为9；Ⅱ证明：，由柯西不等式有，当且仅当时取等号，，又，，即当且仅当，，时取等号．解析：Ⅰ依题意，，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；Ⅱ将不等式左边化简可得，运用柯西不等式即可得证．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。
2020年东北三省高三第二次联合模拟文科数学试题(解析
数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}根据两个集合的交集，看出两个集合中都含有这两个元素，根据A的补集与B的交集的元素，看出B中不含有元素6，得到结果．因为集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，所以：3∈B，6∉B，1，2∈B，4，5∉B，4，5∉A；故集合B＝{1，2，3}．故选：A．本题考查子集与交集，并集的转换，是一个基础题，本题典型的解法是利用文恩图看出集合B中的元素．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．因为a+2i＝（1﹣i）（1+bi）＝（1+b）+（b﹣1）i，∴a＝1+b且2＝b﹣1；所以：a＝4，b＝3；∴复数a﹣bi在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限．故选：D．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9画出可行域，将目标函数变形画出相应的直线，将直线平移至B时纵截距最大，z最大．画出的可行域如图：⇒B（6，6）．令z＝y﹣x变形为y＝x+z作直线y＝x将其平移至B（6，6）时，直线的纵截距最大，最大为：0．故选：B．本题主要考查利用线性规划求函数的最值，关键是将目标函数赋予几何意义．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β直接利用线面垂直和平行的判定和性质的应用求出结果．对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．本题考查的知识要点：线面垂直和平行的判定和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁根据题意判断其中两人说话矛盾，有人说话，其他人说真话，可推出．由乙说：“丁未完成作业，与丁说：“我完成作业了”，则乙丁有一人说谎，则甲丙说的真话，可知丙完成作业了，丁未完成作业，进而可以判断丁说了假话．故选：D．本题考查简单的合情推理，属于基础题．6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18本题先根据平行向量的坐标运算可得a2•a8＝16，再根据等比中项的知识，可计算出a5＝4，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项．由题意，向量，则8•2﹣a2•a8＝0，即a2•a8＝16，根据等比中项的知识，可得a2•a816，∵a5＞0，∴a5＝4，∴log2a1+log2a2+…+log2a9＝log2（a1a2 (9)＝log2[（a1a9）•（a2a8）•（a3a7）•（a4a6）•a5]＝log2a59＝9log24＝18．故选：D．本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问题．考查了转化与化归思想，平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝1．再由棱锥体积公式求解．由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝3，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝1．∴该几何体的体积V．故选：C．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，求出最小值，没有最大值，即可得到结果．如图所示，设，，∠CAB＝45°，由图可知，当BC⊥AC时，||的取值最小，此时，则||，而||没有最大值，故则的取值范围为[，+∞），故选：D．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．由已知结合同角平方关系，诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解．∵，则sin（60°+α）＝sin（90°﹣30°+α）＝cos（α﹣30°）＝cos（30°﹣α），＝1﹣2sin2（15°﹣α）＝1．故选：A．本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为借助于三角函数的性质逐项进行判断，选出正确选项．对于A选项，f（x）关于（0，1）中心对称，首先表达错误，应该说f（x）的图象关于某个点中心对称，其次f（x）+f（﹣x）＝2cos x+2不恒等于2，所以A错误；对于B选项，∵f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1∴f′（x）＝cos x﹣sin x+cos2x，令f′（x）＝0有sin x＝cos x或sin x+cos x＝﹣1．当sin x＝cos x＝±时，有f（x）＝±，当sin x+cos x＝﹣1时，两边平方可得1+2sin x cos x＝1，sin x cos x＝0，此时f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1＝0，所以f（x）的极小值不可能为，所以B错误；对于C选项，f（x+π）＝﹣sin x﹣cos x+sin x cos x+1≠f（x），所以π不是f（x）的最小正周期，所以C错误；对于D选项，∵f（）＝sin（）+cos（）+sin（）cos （）+1＝cos x+sin x+sin x cos x+1＝f（x），∴f（）＝f（x），所以f（x）图象的一条对称轴为x，故D正确．故选：D．本题考查三角函数的性质，属于中档题．11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．利用已知条件，推出a的关系式，即可求解结果．双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，可知MAOB是正方形，MO，所以双曲线的实半轴长的最大值为，所以a∈．故选：B．本题考查双曲线的简单性质，圆的切线性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9把f（x）的零点转化为a﹣3的零点，令t＝3，t∈（0，+∞），可得方程9t2﹣（51+a）t+81＝0有两实根t1，t2，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得6，t1t2＝9，进一步得到t1＞3，3，结合x1＜1＜x2＜x3，可得3，3，33，则可知t1，3t2，则．f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2⇒a﹣3，令t＝3，则，t∈[3，+∞），⇒a﹣3⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的一元二次方程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴6，t1t2＝9．又∵t1+t2，当且仅当t1＝t2＝3时等号成立，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴3，3，33．则可知t1，3t2．∴．故选：A．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为二次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为y2＝4x．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代入抛物线的方程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的方程为：y（x），直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．（l）利用余弦定理容易求出B的大小；（2）引入角α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题迎刃而解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2•a3＝a8有•，代入表达式可得关于d的方程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2•a3＝a8，∴•，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，∴BA⊥平面P AD，从而BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD．又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（人），从美洲运动员中抽取102（人），从欧洲运动员中抽取105（人）；（Ⅱ）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大队，中国队}，{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为P．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；（2）由已知分离参数可得a在（0，+∞）上有2个不同的零点，构造函数h（x），x∈（0，+∞），然后结合导数及函数的性质可求．（I），当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），单调递减区间（1，+∞）；（II）由题意可得在（0，+∞）上有2个不同的零点，即a在（0，+∞）上有2个不同的零点，令h（x），x∈（0，+∞），则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，函数单调递减，且h（0）＝﹣1，x→+∞时，h（x）＜0，h（x）max＝h（1），故﹣1．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解|AB|，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设y＝kx+t，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得|OM|，结合△AOB的面积为1，可得1+4k2＝2t2，则的值可求，从而说明为定值；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得M的坐标，求得|OM|，写出|OM|•|AB|，结合1+4k2＝2t2转化为关于的二次函数求最值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m，代入椭圆方程可得y2＝1，由△AOB的面积为1，可得|m|•21，解得m＝±，则；当直线l的斜率存在，设y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，|AB|•••，由△AOB的面积为1，可得••|AB|＝1，化简可得1+4k2＝2t2，则（）2﹣2•4，而4，综上可得，为定值4；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得x0，y0＝kx0+t，则|OM|，可得|OM|•|AB|•．∵，∴0．可知|OM|•|AB|＜2．综上，|OM|•|AB|的最大值为2．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅰ）直线l的方程是y＝2，转换为极坐标方程为ρsinθ＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．（Ⅱ）点A（ρ1，α）是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；（Ⅱ）将不等式左边化简可得a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯西不等式即可得证．（Ⅰ）当c＝5时，a+b＝1，∴，又（当且仅当a＝b时取等号），则，∴，即的最小值为9；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当a ＝b﹣1＝c﹣2时取等号），∴，又a+b+c＝6，∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2（当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取等号）．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。
2020年东北三省四市教研联合体暨沈阳市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年东北三省四市教研联合体暨沈阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. 0，1，D. 0，2.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，满足，，且，则A. B. C. 5 D. 44.为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是A. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲稳定，应选乙参加比赛5.等比数列中，、是函数的两个零点，则等于A. B. 3 C. D. 46.大学生积极响应“大学生志愿服务西部计划”某高校学生小刘、小李、小孟、分别去西部某地一中、二中、三中3所学校中的一所学校支教，每校分配一名大学生，他们三人支教的学科分别是数学，语文，英语，且每学科一名大学生．现知道：教语文的没有分配到一中，教语文的不是小孟，教英语的没有分配到三中，小刘分配到一中．小盂没有分配到二中，据此判断．数学学科支教的是谁？分到哪所学校？A. 小刘三中B. 小李一中C. 小盂三中D. 小刘二中7.设a，b是两条直线，，是两个平面，则的一个充分条件是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8.已知函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，且，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.9.已知直线与函数，其中的相邻两交点间的距离为，则函数的单调递增区间为A. B.C. D.10.若函数有且只有一个零点，则a的取值范围是A. B. ，C. D.11.已知与椭圆焦点相同的双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线的左支上有一点M到右焦点的距离为12，N为的中点，O为坐标原点，则等于A. B. 2 C. 3 D. 412.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是当时，直线与白色部分有公共点；黑色阴影部分包括黑白交界处中一点，则的最大值为2；设点，点Q在此太极图上，使得，b的范围是．其中所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A 发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：231232210023122021321220031231103133132001320123130233由此可以估计事件A发生的概率为______．15.长方、堑堵、阳马、鱉臑这些名词出自中国古代数学名著九章算术商功其中阳马和鱉臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼．取一长方，如图长方体，按平面斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱．称该三梭柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四梭锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体称为鱉臑．已知长方体中，，，，按以上操作得到阳马．则该阳马的最长棱长为______．16.已知数列的各项均为正数，其前n项和满足，设，为数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．Ⅰ求tan B；Ⅱ若，的面积为6，求BC．18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修50成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950Ⅰ根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；Ⅱ现用分层抽样的方法在选修生涯规划课的成绩优秀和成绩不够优秀的学生中随机抽取5名学生作为代表，从5名学生代表中再任选2名学生继续调查，求这2名学生成绩至少有1人优秀的概率．参考附表：k参考公式，其中．19.四棱锥中，，，，，底面ABCD，E在PB上．Ⅰ证明：；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知点，B为抛物线上任意一点，且B为AC的中点，设动点C的轨迹为曲线E．Ⅰ求曲线E的方程；Ⅱ是否存在斜率为1的直线l交曲线E于M、N两点，使得为以MN为底边的等腰三角形？若存在，请求出l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数，，若曲线与曲线都过点且在点P处有相同的切线l．Ⅰ求切线l的方程；Ⅱ若关于x的不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．Ⅰ求曲线C的参数方程与直线l的普通方程；Ⅱ设点P为曲线C上的动点点M和点N为直线1上的点，且，求面积的取值范围．23.已知函数，，．Ⅰ当时，有，求实数m的取值范围．Ⅱ若不等式的解集为，正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合0，1，，0，，故选：D．先求出集合A，再利用集合交集的运算即可算出结果．本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：根据题意，，，且，则有，解可得，即，则，故；故选：C．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．4.答案：B解析：解：根据茎叶图中数据知，甲得分为：18，26，28，28，31，33，且集中在内；乙得分为：12，18，19，25，26，32，且分布在内；所以甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定；应选甲参加比赛．故选：B．根据茎叶图中数据的分布情况知，甲的平均数大于乙的平均数，且甲比乙稳定．本题考查了利用茎叶图分析平均数与稳定性的问题，是基础题．5.答案：B解析：解：、是函数的两个零点，、是方程的两个根，，由等比数列的性质可得：．故选：B．利用根与系数的关系求得，再由等比数列的性质得答案．本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.答案：C解析：解：由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，且教数学，故选：C．由于小刘分配到一中，小盂没有分配到二中，教英语的没有分配到三中，则可知小盂分配到三中，问题得以解决．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．7.答案：C解析：解：A、B、D的反例如图．故选：C．根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．8.答案：D解析：解：函数是定义在R上的奇函数，在上是增函数，函数是在上是增函数，又，，由，得或，或．的取值范围是．故选：D．由奇函数的图象关于原点对称及在为增函数，可得函数是在上是增函数，结合，转化为不等式组求解．本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．9.答案：B解析：解：与函数，其中的相邻两交点间的距离为，函数的周期，即，得，则，由，，得，，即函数的单调递增区间为，，故选：B．根据最值点之间的关系求出周期和，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数单调性的应用，根据最值性求出函数的周期和，以及利用三角函数的单调性是解决本题的关键．难度不大．10.答案：B解析：解：当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，当时，，，，所以或，即或，故选：B．当时，因为，所以有一个零点，所以要使函数有且只有一个零点，则当时，函数没有零点即可，即恒为负或恒为正，进而求出a的取值范围即可．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，是中档题．11.答案：C解析：解：如图，可得，双曲线的离心率为，．椭圆与双曲线焦点相同，，，，故选：C．可得，由椭圆与双曲线焦点相同，离心率为，可得a即可．本题考查了双曲线、椭圆的方程与性质，属于中档题．12.答案：A解析：解：对于，将y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，正确；对于，直线，圆的方程为，联立可得，，，但是两根之和为负，两根之积为正，所以两根都为负，即说明直线与白色部分没有公共点，错误；对于，设l：，由线性规划知识可知，当直线l与圆相切时，z最大，由解得舍去，错误；对于，要使得，即需要过点P的切线所成角大于等于90度，所以，即，于是，解得．故选：A．根据“太极图”和各选项对应知识，即可判断真假．本题主要考查图象的应用，考查学生识图用图以及运用相关知识的能力，涉及几何概型的计算公式，直线与圆的位置关系，以及线性规划知识的应用，属于较难题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得，由得：，显然直线过A时，z最大，z的最大值是，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14.答案：解析：解：袋子中有四张卡片，分别写有“国”、“富”、“民”、“强”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“国”“富”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率，利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“国”、“富”、“民”、“强”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数，其中事件A发生的随机数有：210，021，031，103，001，130，共6个，估计事件A发生的概率为．故答案为：．经随机模拟产生了以下18组随机数，利用列举法求出其中事件A发生的随机数有6个，由此能估计事件A发生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.答案：解析：解：在阳马中，底面ABCD为长方形，侧棱底面ABCD，且，，，则，，．该阳马的最长棱长为．故答案为：．由已知线段长度利用勾股定理求得阳马的所有棱长得答案．本题考查棱柱与棱锥的结构特征，考查空间中线段长度的计算，是基础题．16.答案：解析：解：数列的各项均为正数，其前n项和满足，．可得时，，解得，时，，又，相减可得，化为，由，可得，则，，可得．故答案为：．由数列的递推式：时，；时，，结合等差数列的通项公式和求和公式，化简整理可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．17.答案：解：，利用正弦定理可得：，又，化为：，．，，可得，．．，可得：．又，可得．，解得．解析：由，利用正弦定理可得：，又，化简即可得出．由，，可得，，由正弦定理：，可得：又，可得即可得出a．本题考查了正弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ由已知表格中的数据，可得的观测值．有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”；Ⅱ由题意得，在成绩优秀的学生中抽取人，分别记为A，B，C，在成绩不够优秀的学生中抽取人，分别记为a，b．则从5名学生中任选2名学生的全部基本事件为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，其中所选2人至少有1人成绩优秀的事件为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb共9种．这2名学生中至少有1人优秀的概率为．解析：Ⅰ由列联表中的数据结合公式求得得的观测值k，结合临界值表得结论；Ⅱ利用枚举法写出从5名学生中任选2名学生的全部基本事件，再求出所选2人至少有1人成绩优秀的事件数，由古典概型概率公式求解．本题考查独立性检验，考查古典概型概率的求法，是基础题．19.答案：解：Ⅰ证明：过A作于F，，，，，，，又底面ABCD，平面ABCD，，又PA，平面PAD，，平面PAD，又平面PAD，．Ⅱ解：，，，，三棱锥的体积．解析：Ⅰ过A作于F，推导出，，从而平面PAD，由此能求出．Ⅱ由，能求出三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，是AC的中点，则，在抛物线上，，，化简得：，曲线E的方程为：；Ⅱ设直线l的方程为：，，，联立方程，消去y得：，，，，的中点，，，，不符合，直线l不存在．解析：Ⅰ设，，利用中点坐标公式得到，代入抛物线方程，即可求出点C的轨迹方程，即曲线E的方程；Ⅱ设直线l的方程为：，与曲线E的方程联立，得到，利用韦达定理求出MN 的中点P的坐标，再利用求出t的值，经检验不满足，从而直线l不存在．本题主要考查了动点轨迹，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：Ⅰ，，由已知可得，即，解得，，，切线的斜率，切线l的方程为，即，Ⅱ由Ⅰ可得，，设，即，对任意恒成立，从而，，当时，，在上单调递减，又，显然不恒成立，当时，，解得，，当时，即时，，单调递增，又，显然不恒成立，当时，即时，，单调递增，，即恒成立，当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，解得，，综上所述得．解析：Ⅰ根据导数的几何意义即可求出切线方程；Ⅱ构造函数，利用导数求出函数的最小值，使得最小值大于等于0，需要分类讨论．此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22.答案：解：Ⅰ由，得，，即，曲线C的参数方程为为参数．由为参数，消去参数t，可得．直线l的普通方程为；Ⅱ设到直线l的距离为d，，而．．面积的取值范围为解析：Ⅰ由，得，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的普通方程，结合平方关系可得曲线C的参数方程；直接把直线l的参数方程中的参数t消去，可得直线l的普通方程；Ⅱ设到直线l的距离为d，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d，利用三角函数求最值可得面积的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程、利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：由题意得：在上恒成立，恒成立，即又，即令，若，则解集为，不合题意；若，则有，即又解集为，，解得当且仅当，即时，等号成立，此时，时的最小值为7解析：利用绝对值三角不等式性质利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．本题考查绝对值三角不等式，以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题。
【附加15套高考模拟试卷】黑龙江省哈三中2020届高三下期第二次模拟考试数学文试题含答案
ln
x
0, ln x,
0 x 1
，现有四个命题：
x 1
①若 a 0,b 0 ，则 ln (ab ) b ln a
②若 a 0,b 0 ，则 ln (ab) ln a ln b
③若 a 0,b 0 ，则 ln ( a ) ln a ln b b
④若 a 0,b 0 ，则 ln (a b) ln a ln b ln 2
，若
a b
1
2cos C
cos B
，且
2 3
，则
a b
的值为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x 3 2t, 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 y 4 2t （ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
3
12
图像，若 g x1 g x2 9 且 x1, x2 [2 , 2 ] ，则 2x1 x2 的最大值为( )
49 A． 12
35 B． 6
25 C． 6
17 D． 4
10．已知点 是抛物线
上的动点，以 为圆心的圆经过抛物线的焦点 ，且圆 与直线 相交于
两点，则
的取值范围是（ ）
6
4
为（ ）
A．
6
,
2
B．
3
,
5 6
C．
3
,
2 3
Байду номын сангаас
D．
4
,
3 4
3．定义在 R 上的偶函数 f (x) e xk cos x（其中 e 为自然对数的底），记 a f (log 1 3) ，b f (log2 5) ， 2
辽宁省名校联盟(东北三省三校)2024—2025学年高三9月联考语文试题及答案
辽宁省名校联盟（东北三省三校）2024—2025学年高三9月联考语文试题本试卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成1～5题。
材料一：培育壮大新质生产力是一项长期任务和系统工程。
我们要坚持系统观念，坚持以实体经济为根基，以科技创新为核心，以产业升级为方向，着力推动劳动者、劳动资料、劳动对象及其优化组合的跃升和质变。
正确处理新质生产力发展中的一系列重大关系。
一是处理好生产力和生产关系之间的关系。
形成适应新质生产力发展要求的新型生产关系，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用，加快构建有利于新质生产力发展的体制机制。
二是处理好新质生产力诸要素之间的关系。
发挥科技创新的支撑引领作用，多管齐下培育新型劳动者、创造新型生产工具、拓展新的劳动对象，促进新质生产力诸要素实现高效协同匹配。
三是处理好自主创新和开放创新之间的关系。
坚持自主创新与开放创新协同共进，在开放环境下大力推进自主创新，用好全球创新资源，加快建设具有全球竞争力的开放创新生态。
四是处理好新质生产力和传统生产力之间的关系。
统筹推进二者发展，及时将科技创新成果应用于具体产业和产业链，一手抓培育壮大新兴产业和布局建设未来产业，一手抓改造提升传统产业，建设具有完整性、先进性、安全性的现代化产业体系。
培育新型劳动者队伍。
推动教育、科技、人才有效贯通、融合发展，打造与新质生产力发展相匹配的新型劳动者队伍，激发劳动者的创造力和能动性。
,坚持教育优先发展，着力造就拔尖创新人才，培养造就更多战略科学家、一流科技领军人才以及具有国际竞争力的青年科技人才后备军。
2020年东北三省三校高三第二次联合模拟考试数学(文科)试题(含解析)
2020年高三第二次联合模拟考试文科数学时间：150分钟满分：150分注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A 、B 均为集合{}6,5,4,3,2,1=U 的子集，且{}3)(=B A C U ，{}6)(=A B C U ，{}2,1=B A ，则集合B=（）A ．{}3,2,1B ．{}6,2,1C ．{}2,1D ．{}5,4,3,2,12．若),,)(1)(1(2为虚数单位i R b a bi i i a ∈+-=+，则复数bi a -在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学3．若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥-6362x y x y x ，则y-x 的最大值为（）A ．3B ．0．C ．-3D ．-94．已知βα、是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（）A ．若βα⊥，则β∥mB ．若βα⊥，则β⊥mC ．若β∥m ，则βα∥D ．若β⊥m ，则βα⊥5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话?（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知正项等比数列{}n a ，若向量b a a b a a ∥),2,(),,8(82==，则922212log log log a a a +++ =（）A ．12B ．5log 82+C ．5D ．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A ．21B ．1C ．2D ．38．已知两个不相等的非零向量b a ,2=b ，且b 与a b -的夹角为45a ）A ．]2,0(B ．)2,2[C ．]2,0(D ．),2[+∞9．已知210tan )215sin(=-α，则)60sin(α+ 的值为（）A ．31B ．31-C ．32D ．32-10．设函数1cos sin cos sin )(+++=x x x x x f ，则下列说法中正确的是（）A ．f （x ）关于（0，1）中心对称B ．f （x ）的极小值为2-21C ．f （x ）的最小正周期为πD ．f （x ）图象的一条对称轴为4π=x 11．已知双曲线)1(14222>=-a y a x 上存在一点M ，过点M 向圆122=+y x 做两条切线MA 、MB ，若0=⋅MB MA ，则实数a 的取值范围是（）A ．2,1(B ．]2,1(C ．)2[∞+，D ．)2(∞+，12．已知函数22)3(3ln )3()(ln 9)(x a x x a x x f -+⋅-+=有三个不同的零点321,,x x x ，且3211x x x <<<，则)ln 3)(ln 3()ln 3(3322211x x x x x x ---的值为（）A ．81B ．-81C ．-9D ．9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a 、c 满足c<1<a ，关于x 的不等式220(1)x ax cx acx --+≥-的解集为．15．直线l 经过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与直线2px =-交于点M ，若FM AF =，且163AB =，则抛物线的方程为．16．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且（a+b+c ）（a-b+c ）=3ac ，则B=；若边AC 上的点D 满足BD=CD=2AD=2，则△ABC 的面积S=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列是公差不为0的等差数列，且a 1=1，a 2·a 3=a8（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若1n n n nb a a +=⋅，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD ∥BC ，AB=BC=12AD=1，090APD BAD ∠=∠=．（Ⅰ）求证：PD ⊥PB ；（Ⅱ）当PA=PD 时，求三棱锥P —BCD的体积．19．（本小题满分12分）2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行.女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶对作为东道主，将对奥运冠军发起冲击.（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队.每支球队有四名参赛队员.若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率.20．（本小题满分12分）已知函数a x x g ex x f x +-==2)1()(,)(（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，若函数)(x f 与)(x g 图象交于))(,(),(122211x x y x Q y x P >、两点，求实数a 的取值范围21．本小题满分12分）已知椭圆1422=+y x E ：，动直线l 与椭圆E 交于不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，且AOB ∆的面积为1，其中O 为坐标原点．（Ⅰ）22212221y y x x ++为定值；（Ⅱ）设线段AB 的中点为M ，求AB OM ⋅的最大值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是y=2，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 2y x （ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若),(1αρA 是曲线C 上一点，4,(2παρ+B 是直线l 上一点，求2211OBOA +的最大值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知a 、b 、c ∈+R ，且a+b+c=6．（1）当c=5时，求)11)(11(22--ba 的最小值：（I ）证明：242222-≥-+-+c c b b a ．二模文数参考答案二． 填空题13. 700 14. (,][,)c a -∞+∞ 15. x y 42= 16.3π；233三．解答题17. （本小题满分12分） （Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，d d d a a a 71)21)(1(,832+=++=解得2=d ，……3分 )1(21-+=n a n ，所以2)12(-=n a n ；……6分（Ⅱ）])12(1)12(1[81)12()12(2222+--=+-=n n n n n b n ……9分2222222)12(2])12(1)12(15131311[81++=+--++-+-=n nn n n S n ……12分 18. （本小题满分12分）（I ）平面ABCD ⊥平面PAD ，平面 ABCD 平面PAD AD =，ABCD AB 平面⊂，AD AB ⊥，APD AB 平面⊥∴，又APD PD 平面⊂，PD AB ⊥∴，……3分A AB AP AP PD =⊥ ,，ABP ，PB ABP ，PD 平面又平面⊂⊥∴ ∴PD PB ⊥……6分（II ） 垂足为 平面ABCD ⊥平面PAD ，平面 ABCD 平面PAD AD =，APD PH 平面⊂，ABCD PH 平面⊥∴，……9分AP PD =且 故的中点为AD H ，2,==∆AD AD PA PAD Rt 中，等腰，故1=PH ，//AD BC ，1,=⊥AB AD AB ，所以21112121=⋅⋅=⋅=∆AB BC S DBC 三棱锥P BCD -的体积：611213131=⋅⋅=⋅=∆-PH S V DBC BCDP . ……12分HAD ，PH P ⊥作过H ，AD PH 于⊥19. （本小题满分12分）（Ⅰ）抽取比例4110410=⋅=k……3分 亚洲需要抽取共34112=⨯人；美洲需要抽取共2418=⨯人；欧洲需要抽取共54120=⨯人； ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）从这五支球队中选择两支球队：{加，瑞士}，{加，英}，{加，瑞典}，{加，中}，{瑞士，英}，{瑞士，瑞典}，{瑞士，中}， {英，瑞典}，{英，中}，{瑞典，中}共10个不同的选法， ……8分其中中国队被选中：{加，中}，{瑞士，中}，{英，中}，{瑞典，中}共4种不同的选法， ……10分若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出战，则中国队被选中的概率52104==P .……12分 20. （本小题满分12分） （I ）xe xx f -='1)( ……………………………………2分10)(,10)(>⇒<'<⇒>'x x f x x f ，的单调递增区间)1,(-∞，单调递减区间),1(+∞； ……………………………………4分（II ）当(0,)x ∈+∞时，若函数()()f x g x 与图像交于1122(,)(,)P x y Q x y 、21()x x >两点，即有两个不同的解，不妨设为 ，设： )21)(1()1(21)(,)1()()()()(2+--=---='---=∴-=ex x e x x F a x ex x F x g x f x F xx递减递增，在在所以),1()1,0()(,10)(;100)(+∞>⇒<'<<⇒>'x F x x F x x F ……6分若 又两个不同的解，则函数 在 有两个零点，故 时， ，所以①； ………………………………8分 且1010)0(->⇒>--⇒>a a F ②； ……………………………………………………10分 由①②得 ， 所以 ，故存在 即方程 在(0,)x ∈+∞有两个不同的解，即函数()()f x g x 与图像交于不同两点 综上 ………………………………………………12分()f x )()(,0x g x f x =>210x x <<)()(,0x g x f x =>0>x 01)1()(min <-==a eF x F ea 1<e a 11<<-043)3(3<--=a eF 0)(,0)(),3,1(),1,0(211==∈∈x F x F x x )(x F ),0(+∞e a 11<<-)()(x g x f =（I ）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，A B ，两点关于x 轴对称，所以2121x x y y ==-，．因为11()A x y ，在椭圆上，所以有221114x y +=，又因为AOB S △=1，所以11||||1x y =解得11||||x y ==，此时22124x x +=，22121y y +=，221222124x x y y +=+ ……2分（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由题意0m ≠．将y kx m =+代入方程2214x y +=中，整理得222(14)8440k x kmx m +++-=222222644(41)(44)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>①21212228444141km m x x x x k k --+==++，， ……4分则||AB ==因为点O 到直线l 的距离为d =，所以1||12ABC S AB d ==△得224120k m +-=且符合①式， 此时222121212()2x x x x x x +=+-=222222648(1)(41)41k m m k k --++=4= 2222121211144x x y y +=-+-=，所以221222124x x y y +=+，综上所述，221222124x x y y +=+（定值） ……8分（II ）因为222222121221214||||()()()()OM AB x x y y x x y y +=++++-+-=222212122[()()]x x y y +++=10所以224||||2||||52OM AB OM AB +⋅=≤，即5||||2OM AB ⋅≤当且仅当2||||OM AB ==成立，所以||||OM AB ⋅的最大值为52． ………………………………………………12分（I ）由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得直线2=y 的极坐标方程为2sin =θρ； ……………………2分将曲线C 的此时方程)(sin 2cos 2为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==y x 化为：12422=+y x 由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得曲线C 的极坐标方程为4)sin 1(22=+θρ ……………………5分 （II ）点),(1αρA 在曲线C 上，所以4)sin 1(221=+αρ，所以4sin 11221αρ+=，即4sin 1122α+=OA…………………………………………6分点)4,(2παρ+B 在直线l 上，所以2)4sin(12)4sin(22παρπαρ+==+，所以即2)4sin(1πα+=OB 所以82sin 18)22cos(14)4(sin 122απαπα+=+-=+=OB…………………………………………7分 所以)42sin(822182sin 182cos 382sin 1422cos 1182sin 14sin 111222πααααααα-+=++-=++-+=+++=+OBOA…………………………………………9分 当()322428k k k Z πππαπαπ-=+=+∈，即时，)42sin(πα-取到最大值1 2211OBOA+取到最大值8221+…………………………………………10分 23. （本小题满分10分）（Ⅰ）6a b c ++=，且5c =，所以1a b +=；()()()()2222222211111111(1)(1)2(1)(1)1a a b b a b a b a b a b a b ab ab -+-+--++-⋅-=⋅===+…………2分1a b a b =+≥=时取到等号）14ab ⇒≤…………4分 所以2211(1)(1)9a b -⋅-≥当且仅当112a b a b a b =⎧==⎨+=⎩即时取到等号 当 12a b ==时2211(1)(1)a b-⋅-取到最小值为9……………………5分（未指出取等条件扣1分）（Ⅱ）22222224(1)(2)5a b b c c a b c +-+-=+-+-- …………………………………………6分 由柯西公式：()2222222(1)(2)111(12)a b c a b c ⎡⎤+-+-⋅++≥+-+-⎣⎦（当且仅当12a b c =-=-时取到等号）， 得2222(3)(1)(2)3a b c a b c ++-+-+-≥ …………………………………………9分又因为6a b c ++=，所以222(1)(2)3a b c +-+-≥，即222242a b b c c +-+-≥-（当且仅当112263a abc b a b c c =⎧=-=-⎧⎪=⎨⎨++=⎩⎪=⎩即时取到等号） ………………………………………10分（不写取等条件可不扣分）。
2020年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(二)(有答案解析)
A.
B. -
C.
D. -
6. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、 《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容， 是了解我国古代数学的重要文献．这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期．某 中学拟从这 10 部名著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（ ）
由对立事件的概率计算公式得 P=1- = ．
故选：A． 求出从 10 部名著中选择 2 部名著的方法数、2 部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数， 由对立事件的概率计算公式，可得结论． 本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题．
7.答案：C
解析：解：∵1=
＞log2018
=，
b=log2019
＜
2.答案：C
解析：【分析】 本题考查集合元素的个数，描述法表示集合，以及元素与集合的关系，属于基础题． 依题意，集合 A={（x，y）|x+y≤2，x，y∈N}，分 x 的情况讨论，即可得到集合 A 的元素 个数． 【解答】 解：依题意，因为集合 A={（x，y）|x+y≤2，x，y∈N}， 所以①当 x=0 时，y=0，y=1 或 y=2，此时有 3 个元素（0，0），（0，1），（0，2）∈A； ②当 x=1 时，y=0，或 y=1，此时有 2 个元素（1，0），（1，1）∈A； ③当 x=2 时，y=0，此时只有（2，1）∈A． 综上集合 A 有 6 个元素， 故选：C．
A.
B.
C.
D.
7. 设
，
，
，则 ， ， 的大小关系是（）．
A.
2023年东北三省三校哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学二模试卷+答案解析(附后)
2023年东北三省三校黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学高考数学二模试卷1. 已知集合，，若，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则( )A. B. C. D.3. 已知向量，，则( )A. 3B.C. 1D.4. 有7名运动员男2女参加A，B，C三个集训营集训，其中A集训营安排5人，B集训营与C集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为( )A. 18B. 22C. 30D. 365.两条直线和分别与抛物线交于异于原点的A、B两点，且直线AB过点，则( )A. B. 1 C. D. 26. 如图，直角梯形ABCD中，，，，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为( )A. B. C. D.7. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是( )A. 6B. 12C. 30D. 568. 已知三个互异的正数a，b，c满足，，则关于a，b，c下列判断正确的是( )A. B. C. D.9. 函数，则下列说法正确的是( )A. 为偶函数B. 的最小正周期是C. 在单调递增D. 的最小值为10. 金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量单位为，其中甲生产线数据统计如下：，，，，，，，，，，其方差为乙生产线统计数据的均值为，方差为，下列说法正确的是( )A. 甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是B. 甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是C. 由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值D. 由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定11. 已知正方体的棱长为，点E，F是棱，的中点，点M 是侧面内运动包含边界，且AM与面所成角的正切值为，下列说法正确的是( )A. 的最小值为B. 存在点M，使得C. 存在点M，使得平面BDFD. 所有满足条件的动线段AM形成的曲面面积为12. 已知函数，下列结论正确的是( )A. 对任意m，，函数有且只有两个极值点B. 存在m，，曲线有经过原点的切线C.对于任意，且，均满足D. 当时，恒成立13. 大气压强，它的单位是“帕斯卡”，已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为______ 米答案保留整数，参考数据14. 曲线围成的图形的面积是______ .15. 已知双曲线的右焦点为，过点F且斜率为2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M、N两点，若P是线段MN的中点，且，则双曲线的离心率为______ .16. A、B、C、D、E五个队进行单循环赛单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次，胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A队2胜2负，B队得8分，C 队得9分，E队胜了D队，则D队得分为______ .17. 记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知证明：；若，，角B的内角平分线与边AC交于点D，求BD的长.18. 调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率；假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到，试估计至少要访谈多少位业主？19.如图，已知斜四棱柱，底面ABCD为等腰梯形，，点在底面ABCD的射影为O，且，，，求证：平面平面；若M为线段上一点，且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为，求直线与平面MBC所成角的正弦值.20. 已知数列，设，若满足性质：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有，则称数列为“梦想数列”.若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；若，判断数列是否为“梦想数列”，并说明理由；判断“梦想数列”是否为等差数列，并说明理由.21. 已知椭圆：的离心率为，x轴被抛物线：截得的线段长与长轴长的比为2：求、的方程；设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A、B，直线MA、MB分别与相交于D、设直线MD、ME的斜率分别为、，求的值；记、的面积分别是、，求的最小值.22. 已知函数当时，求过原点且与相切的直线方程；若有两个不同的零点，，不等式恒成立，求实数m的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意可知，，即，解得，故故选：由已知可推得，代入即可解得，代入即可得出答案．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设，a，，因为，所以，所以，解得，，所以故选：首先设复数，再根据复数模的公式，以及复数相等，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，，所以，所以故选：根据向量的坐标运算求解即可．本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：2个女生分别去A，B，5个男生有1人去了C，有种；第2类：2个女生分别去A，C，5个男生有1人去了B，有种；第3类：2个女生分别去B，C，5个男生有去了A，有种；根据分类加法计数原理，不同的安排方案种数为种．故选：利用特殊元素优先考虑及分类加法计数原理即可求解．本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：联立，由于，可得，，即，同理可得，由直线AB经过，所以，化简得，由于，所以，故选：联立直线的方程与抛物线的方程，可得A，B的坐标，由两点斜率可得k的值．本题考查直线与抛物线的位置关系，方程思想，化归转化思想，属基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台．取圆台的轴截面，由题意知，球心O一定在线段AD或AD的延长线上，如图1，当球心O在线段AD上时．过点C作于E点，则，，所以，设球的半径为R，，，则由勾股定理可得，，整理可得，解得舍去；如图2，当球心O在DA的延长线上时．过点C作于E点，则，，所以，设球的半径为R，，则，则由勾股定理可得，，整理可得，解得所以，所以圆台外接球的表面积为故选：由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段AD或AD的延长线上．取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半径，即可得出答案．本题考查圆台外接球的表面积计算，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：因为函数满足，所以函数的图像关于直线对称，故，又是R上奇函数，所以，所以，故函数的周期为4，考虑一个周期，由函数在区间上单调递减，又由是R上奇函数，且关于直线对称，知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，故当时，，当当时，，当时，，因为方程在区间有实数根，则这实根是唯一的，又因为函数的图像关于直线对称，则方程在区间有唯一实数根，方程在区间和区间上没有实根，所以方程在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，因为函数在区间上恰好3个周期，所以根据函数周期性和对称性知，方程在区间上所有实数根之和为故答案为：利用函数是R上奇函数且满足，得出函数是周期为4的周期函数，且关于直线对称，利用周期性和对称性，讨论出函数在一个周期内的单调性，从而判断出方程在一个周期内的根的个数，并利用对称性求出两根之和，从而求出方程在区间上所有实数根之和．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为，所以，设，则，令得，令得，所以函数在递减，函数在递增，所以，当，时，，设，易知在上单调递减，且，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以；当，时，，设，易知在上单调递减，且，所以，所以，即，又，所以，所以，所以；综上可得：成立．故选：把变形为，构造函数，求导，得，或，，然后构造，利用函数单调性比较即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A，，因为，所以是偶函数，故选项A正确；对于B，因为，所以的最小正周期不是，故B错误；对于C，当时，，且，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D，当时，，且，所以，；当时，，且所以所以在上值域为，又，所以是的周期，所以在R上值域为，故函数的最小值为，故D正确．故选：利用奇偶性和周期性的定义可判断选项AB；求出在的单调性即可判断C；讨论去绝对值再利用三角函数的性质可得函数的最小值可判断选项本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的定义，考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：AB选项，，则从小到大排列，第8个数为上四分位数，即，A正确，B错误；C选项，甲生产线数据平均数为，故两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量为，因为，所以C正确；D选项，甲、乙生产线生产的金枪鱼罐头汞含量方差分别为，，因为，所以甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定，D正确．故选：AB选项，根据百分位数定义求解出上四分位数；C计算出甲生产线数据平均数，从而得到结论；D 选项，由两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量方差大小得到结论．本题主要考查平均数的求解，以及方差和百分数的定义，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：根据题意可知平面，所以为AM与面所成角，且，因为正方体的棱长为，AM与面所成角的正切值为，所以，解得，所以点M的轨迹为以D点为圆心，2为半径的圆在侧面内的弧，如图，此时，对于A选项，有，当且仅当M，，D三点共线时等号成立，故的最小值为，正确；对于B选项，因为平面，平面，所以，假设存在点M，使得，则，平面ADM，由于平面ADM，故有，另一方面，在侧面中，取棱的中点N，由点E是棱的中点，进而结合平面几何知识易得，故要使，则点N与点M重合，由于，，显然不重合，故错误；对于C选项，如图，设，则易知O为AC中点，连接OF，，，因为点E，F是棱，的中点，所以，在中，，，，所以，四边形为平行四边形，即，因为，平面BDF，OF，平面BDF，所以平面BDF，平面BDF，因为，所以平面平面BDF，所以当M为与弧的交点时，平面，故平面BDF，正确；对于D选项，由题知，所有满足条件的动线段AM形成的曲面是：以A为顶点，D点为底面圆心，底面半径为2的圆锥的部分侧面，所以其所在的圆锥的母线长为，因为，，所以，所以弧的长为，所以结合扇形面积公式可得：所有满足条件的动线段AM形成的曲面面积为，故正确．故选：由正方体的性质得为AM与面所成角，且，进而得点M的轨迹为以D 点为圆心，2为半径的圆在侧面内的弧，再依次讨论各选项，即可得答案．本题考查正方体中轨迹的问题，线面平行的判定定理与面面平行的判定定理，解三角形，扇形面积公式，化归转化思想，属中档题．12.【答案】BCD【解析】解：对于A，当，时，，，解得，故当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数只有一个极小值点，故A错误；对于B，由A选项知，当，时，，，假设其存在过原点知切线，则可设切点为，斜率为所以，其切线方程为：又因为其过坐标原点，则，整理解方程得，故该曲线存在过原点的切线，故B正确；对于C，对于m，，，故当时，有解，即为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，函数为凹函数，所以对于任意，且，均满足，故C正确；对于D，当时，，当m，n同为奇数时，函数为奇函数，，则，故，即成立；当m，n同为偶数时，函数为偶函数，，则，故，即成立；当m为奇数，n为偶数时，时，，当时，，即；当时，，即；故m为奇数，n为偶数时，成立；当m为偶数，n为奇数时，时，，当时，，即；当时，，即；故m为偶数，n为奇数时，成立；综上，当时，恒成立，故D正确．故选：根据当，时，，研究函数的极值点与过原点的切线问题判断AB；证明当时，函数为凹函数即可判断C；分m，n同奇数或同偶数时和m，n是一奇，一偶数时讨论判断本题主要考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查逻辑推理能力，属于难题．13.【答案】8730【解析】解：由题意可知：，解得，所以故答案为：根据题意解方程即可得解．本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：将或代入曲线方程中，曲线方程不变，曲线关于x轴，y轴对称，只需求出第一象限的面积即可，当，时，曲线方程可化为，其表示的图形占整个图形的，又表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，，围成的图形的面积为：故答案为：由于曲线围成的图形关于x轴，y轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可．本题考查利用代数方法研究曲线方程问题，属中档题．15.【答案】【解析】解：设直线MN为，双曲线的渐近线方程为，联立可得，，，不妨令，同理可得，设，则，，故，故，解得，方程两边同时除以得，，令，可得，解得或舍去，故故答案为：设出直线MN，与双曲线渐近线方程联立，得到M，N点坐标，进而得到中点P的坐标，利用，列出方程，得到，从而求出离心率．本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】1【解析】解：由题意每个队伍都进行了四场比赛，因为B队得8分，C队得9分，所以B队2胜2平，C队3胜1负，又因A队2胜2负，则B队只能和D、E是平局，所以B队胜了A、C两队，因此C队负的一场，输给B队，即C队胜了A，D，E三队，所以A队赢D、E两队，又因为E队胜了D队，所以D队负了三场，平了一场，赢了零场，所以D队得分为1分．故答案为：根据B队得8分，C队得9分，可得B队2胜2平，C队3胜1负，先分析B队的情况，再分析C队的情况，再分析A队的情况，即可得出答案．本题主要考查简单的合情推理，完成本题的关键是抓住“A队2胜2负，B队得8分，C队得9分”这三个条件，以此为突破口，根据赛制与得分之间的逻辑关系进行推理分析，进而得出结论．17.【答案】证明：因为，所以，所以，即，所以；解：由余弦定理得：，，又，所以，，由角平分线定理可得，，，在中，由余弦定理得：，所以【解析】利用余弦定理结合条件即得；利用余弦定理结合条件可得，然后利用角平分线定理及余弦定理即得．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：记：事件A“业主对物业工作表示满意”，则，所以，人，故该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人；由已知得，每位代表投赞同票的概率均为，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，所以，故某个问题能够被解决的概率；设至少要访谈n位业主，由知，该小区业主对物业工作满意的概率为，要使业主满意的比例提高到，则有，故至少要访谈48位业主．【解析】根据红球与白球的个数比例以及问卷调査的情况，通过比例求解即可；由每位代表投赞同票的概率均为，且方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，根据二项分布的概率公式运算求解即可；由知，该小区业主对物业工作满意的概率为，要使满意度提高到，可设至少要访谈n 位业主，列出关于n的不等式，解不等式即可．本题考查了二项分布的概率公式，属于中档题．19.【答案】解：证明：，，作交AB于E，如图，则可得四边形ADCE是菱形，，是等边三角形，，，，，即，又，，，平面，平面，又平面ABCD，平面平面；点在底面ABCD的射影为O，由得O在AC上，且，又，所以，而由知，因此，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，又，，，设，，，，设平面MBC的法向量为，则，取，又易知平面ABCD的法向量，，则负值舍去，，，设直线与平面MBC所成的角为，则，直线与平面MBC所成的角正弦值为【解析】根据线面垂直的判定定理，面面垂直判定定理，即可证明；建系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，向量法求解线面角问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．20.【答案】解：，，所以，当时，，，，所以，所以不是“梦想数列”；，，，，，所以是“梦想数列”；①令，，，，所以，即：、、成等差数列，②令，，，，化简为：，，两式相减得：，所以，当，2，3时也成立，综上可得，“梦想数列”是等差数列．【解析】分析条件，可得，对于数列，取两两不等的正整数、、，验证不满足，则不是“梦想数列”；由数列的通项公式可求，从而验证满足，所以是“梦想数列”；先验证，，时，、、成等差数列，再令，，，得数列的前n项和的表达式，从而求得数列的通项公式，得证．本题主要考查了数列的应用，考查了分类讨论数学思想，属于中档题．21.【答案】解：解，可得，所以，x轴被抛物线截得的线段长为由已知可得，，解得所以椭圆的方程为，抛物线的方程为由知，设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线的方程，可得，则又，，所以联立直线MA与抛物线的方程，可得，则同理：设，联立直线MA与椭圆的方程，可得，则，同理可得，由图象知，，，，所以，，当且仅当时，取等号，所以，的最小值为【解析】解，即可得出x轴被抛物线截得的线段长，进而列出方程组，求解即可得出答案；联立直线l与抛物线的方程，得到，根据韦达定理，即可得出斜率之间的关系，求出的值；联立方程组，表示出各个点的坐标．结合图象，将三角形的面积之比转化为坐标关系，即可得出表达式，然后根据基本不等式即可得出最小值．本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：的定义域为，，设切点坐标，则切线方程为：，把点代入切线得：，，得，所以的切线方程为：有两个不同零点，，则，构造函数，，所以为增函数，且，即有两个不等实根，，则，令，，则，，所以，则，，故，而两边取对数，可转化为，设，则在上恒成立，，设，，在递增，，则在递减，所以的最小值接近极限值，所以的最小值无限接近3，即得m的取值范围为【解析】设切点坐标，则切线方程为：，再把点代入切线可得参数即可得切线；有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得m的取值范围为本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于难题．。