高级中学物理竞赛静电场
真空中的静电场
基 本 要 求
一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定
理的重要意义及其应用。
三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。
内 容 提 要
一、真空中的库仑定律
)(412210
r
r q q r
F ?
=
πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度
电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。
电场强度的定义式
q F E =
点电荷场强公式
)(4120r
r q r E ??=πε
场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点
产生的场强的叠加（矢量和）。
几种常见带电体的场强
1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强
a λ
E 02πε=
2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强
2εσE = 方向垂直于带电平面。
3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布
r r>R 时，02 04r E r Q πε= 4、带电Q 、体密度为ρ的均匀带电球体场强分布 r 04R Q πε= r>R 时，02 04r E r Q πε= 三、电通量 高斯定理 电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小。 电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。 电场强度通量 ???=s e d ΦS E 电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条数。 高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度 通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/ε 0倍。 ε∑??= ?内 S S q d S E 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 四、静电场的保守性 环路定理 静电力做功的特点 电场力做的功只取决于被移动电荷的起点和终点的位置，与移动的路径无关。 静电场的环路定理 0=??l E d 上式说明静电场力所做的功与路径无关，也说明静电场是保守力场。 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。环路定理要求电场线不能闭合，说明静电场是无旋场。 五、电势能、电势和电势差 保守力做功和势能增量的关系 A a →b = (W b W a ) q 0在电场中a 、b 两点电势能之差等于把q 0自a 点移至b 点过程中电场力所做的功。 ????=?=-b a b a b a d q d W W l E l F 0 电势能 选标准点（势能零点），且取W 标=0，q 0在电场中某点a 的电势能为 ??=标 0a a d q W l E 即q 0自a 移到 “标准点”的过程中电场力做的功。电势能应属于q 0和产生电场的源电荷系统共有。 电势差 a 、b 两点的电势差即把单位正电荷自a →b 过程中电场力做的功。 ??=-=-b a b a b a d q W W U U l E 0 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“标 准点”过程中电场力做的功。 ??==标0 a a a d q W U l E 点电荷电势公式 r q U 04πε= 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产 生的电势的叠加（代数和）。 六、场强和电势的关系 电势梯度 等势面 电势相等的点组成的面。 等势面和电场线的关系 ①等势面与电场线处处垂直；②电场线从高电势处指向低电势处；③等势面密处场强大。 场强和电势梯度的微分关系 U grad -=E 或 U -?=E 解题方法与例题分析 一、求场强的方法 在普通物理学中，求解静电场的场强的基本方法通常有以下三种：1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强；2. 由高斯定理求场强，这种方法只能求解一些典型的对称性分布的带电体的场强；3. 已知或求出电势分布U 后，再由U grad -=E 求场强。熟练掌握求解静电场场强的这三种方法是学好电磁学的关键。 1. 用点电荷场强公式和场强叠加原理求场强 原则上说，用点电荷场强公式和场强叠加原理可以求任何带电体所产生的场强。带电体可以分为连续和非连续带电体，非连续带电体（如电偶极子）的场强的求解方法较简单，本书主要介绍连续带电体的场强的求解方法——积分法。 用积分方法求任意带电体的场强的基本思想是把带电体看作电荷元的集合（电荷元可以是线元、面元或体元）。在电场中某点的场强为各电荷元在该点产生的场强的矢量和。积分法解题的主要步骤如下： ①将带电体分成无数的电荷元，每一电荷元可视为点电荷，任一电荷元在空间某点场强为 02 041r E ??=r dq d πε ②由场强的叠加原理，带电体在该点产生的场强 02 041r E E ??==r dq d πε 选择适当的坐标系，把矢量积分?=E E d 化为分量积分式，如取直角坐标系，则E x =?d E x ，E y =?d E y ，E z =?d E z 。 ③根据积分式中各变量之间的关系，找出统一变量，由选定的坐标系和带电体的形状确定积分限，注意积分要遍及整个带电体。 ④进行积分求得E x 、E y 、E z ，再求出E 。 在某些情况下，可把电荷连续分布的带电体看作由许多微小宽度的带电直线（或圆环）或者具有微小厚度的圆盘（或球壳）所组成。如无限大均匀的带电直圆柱体可看作无限多圆盘所组成，这时可以取带电圆盘为电荷元，以便求出无限大带电圆柱体轴线上一点的场强。这样取电荷元的好处是可以把二重积分或三重积分化为单重积分来做，使运算简化。 2. 由高斯定理求场强 用高斯定理求场强必须要根据电场的对称性，选择适当的高斯面使场强E能提到积分号外。用高斯定理求场强的步骤大体如下： ①分析给定问题中电场的对称性，如电场强度分别具有球对称性、平面对称性（无限大均匀带电的平板或平面）以及轴对称性（无限长均匀带电的圆柱体、圆柱面或直线等）时，能用高斯定理求解； ②选择适当的高斯面，使场强E能提到积分号外面。如电场具有球对称性时，高斯面选与带电球同心的球面；电场具有轴对称性时，高斯面取同轴的柱面；电场具有平面对称性时，高斯面取轴垂直于平面并于平面对称的柱面； ③求出高斯面所包围的净电荷q，代入高斯定理的表示式求出场强的大小。由场强的对称性确定场强的方向。 3. 求电势分布U后，由U E求场强 -? = 因为电势是标量，已知电荷分布用积分求电势比用积分求场强更为方便，所以对不能用高斯定理求场强的情况，先求电势的函数式，再用上述关系求电场强度往往是比较方便的。 例1长l厘米的直导线AB均匀地分布着线密度为λ的电荷。求： （1）在导线的延长线上与导线一端B相距R处P点的场强； （2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距R'处Q点的场 解 （1）如图8—1（a ）所示，取A 点为坐标原点，向右为x 轴正方向。直导线上任一dx 线元到A 点距离为x ，其电场强度为 20)(41R x l dx dE +-= λπε 而各段在P 处产生场强方向相同（沿x 轴正方向），故总场强为 ) 1 1(4)(41) (41000 2 l R R λR x l λR x l dx dE E l l P +-=+-?= +-==??πεπελπε 方向沿x 轴正方向。 （2）若以导线AB 中心为坐标原点，如图8—1（b ）所示。dx 线元在Q 点产生的电场为 )(41220R x dx dE '+= λπε（方向如图所示） 由于对称性，其叠加场强沿y 正方向，水平方向相互抵消。在Q 点的场强为 ?? -'+' ? '+? = =2 2122220 )()(41cos l l Q R x R R x dx dE E λπεθ 2 2 2202 023220)(2)(42l l x R R x R R x dx R +''?'='+'= ?πελπελ ()[] 2 12 20214l R R l +'? '= πελ 方向沿y 轴正方向。 当导线l 为无限长时，由上式可求得场强为)2/(0R E '=πελ。 例2 一带电细线弯成半径为R 的半圆形，其电荷线密度为λ=λ0sin θ，式中θ为半径R 与x 轴所成的夹角，λ 0为一常数，如图8—2所示，试求环心O 处的电场 强度。 解 在θ处取电荷元，其电量 为 dl dq 0λ=θθλd R sin 0= 它在O 点处产生的场强为 204R dq dE πε=R d 004sin πεθθλ= 在 x 、y 轴上的两个分量 θcos dE dE x -=， θsin dE dE y -= ?=- =πθθθπελ000 0cos sin 4d R E x R d R E y 0002 008sin 4ελθθπελπ- =-=? 所以 j i E y x E E +=j R λ00 8ε- = 例3 利用带电量为Q 、半径为R 的均匀带电圆环在其轴线上任一点的场强公式( ) 2 3 2 204x R Qx E += πε推导一半径为R 、电荷面 密度为σ的均匀带电圆盘在其轴线上任一点的场强，并进一步推 导电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面的场强。 解 设盘心O 点处为原点，x 轴沿轴线方向，如图8—3所示，在任意半径r 处取一宽为dr 的圆环，其电量 rdr dq πσ2= 图8—2 dE y dE ()??+= =R x r rdr x dE E 02 32202εσ R x r x 022012????????+-=εσ??? ?????+-=2201 12x R x x εσ 当 R →∞时，即为“无限大”带电平面 220 εσεσ±==x x E 例4 如图8—4所示，一厚为a 的无限大带电平板，电荷体 密度ρ = kx (0≤x ≤a )， k 为一正值常数。求： （1）板外两侧任一点 M 1、M 2的电场强度大小； （2）板内任一点M 的电场强度； （3）场强最小的点在何处。 解 （1）在x 处取厚为dx 的平板，此平板带电量 S dx dq ?=ρ 电荷面密度为 dx S dq ρσ== 则 02εσ=dE 02ερdx =0 2εkxdx = ?=a dx kx E 00 2ε02 4εka = （2）板内任一点M 左侧产生的场强方向沿x 轴正向 图8—4 x dx kx E a ?=00 12ε024εkx = M 右侧产生的场强方向沿x 轴负向 dx kx E a x ?=0 22ε() 02 24εx a k -= 所以 () 0220244εεx a k kx E --=() 220 24a x k -=ε （3）E = 0 时场强最小，即0222=-a x 2a x = 例5 如图8—5所示，圆锥体底面半径为R ，高为H ，均匀 带电，电荷体密度为ρ，求顶点A 处的场强。 解 在离顶点A 为x 处选厚为dx 的薄圆盘，此圆盘半径为r 。由图知 R H r x = 即 x H R r = 此薄圆盘的带电量 dx r dV dq 2ρπρ== 电荷面密度 σ=电量/面积=dx r dx r ρπρπ=2 2 利用例3均匀带电圆盘在轴线上任一点的场强结果 ??? ? ??+-= 220112R x x x E εσ 可得此薄圆盘在A 点的场强 ??? ? ??+-= 22012R r x dE εσ A 图8—5 ^. ( ) d x R H H 220 12 +-= ερ dx R H H E H ??? ? ? ?+-=? 220 012ερ ??? ? ? ?+-= 220 12H R H H ερ 此题也可以在柱面坐标系中用三重积分来计算。 例6 半径为R 、长为τ的均匀带电圆柱 体，电荷体密度为0ρ，求圆柱体轴线上O 点的场强。设O 点离圆柱体近端的距离为b ，如图8—6所示。 解 用积分法求解这题目时，如取点电 荷为积分元，则要用三重积分。但是我们取 圆盘为积分元，用圆盘在轴线上一点产生的场强的公式，只要计算定积分就可以求得圆柱体轴线上一点的场强。 如图8—6取坐标，距O 点的距离y 处，一厚度为dy 的圆盘在O 点产生的场强的大小 dE = 02εσ = dE ]1[22y R y +- 方向与Y 轴相反，式中σ是厚度为dy 的圆盘上的电荷面密度， σ和圆柱体的电荷密度0ρ的关系 =σ2 20R dy R ππρ=dy 0ρ 所以有 dE =?= dE ? +b b dy τερ002]1[22y R y +- = ? +-τ ερb b dy 02? ++τερb b y R ydy 2 002 = 2ερ [-τ+++22)(b R τ22b R +] 例7 如图8—7（a ）所示，在XY 平面内有与Y 轴平行、位于x= a/2和x=- a/2处的两条无限长平行的均匀带电细线，电荷密度分别为λ和-λ，求Z 轴上任一点的 电场强度。 图8—7 解 过Z 轴上任一点(0，0，z )分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图8—7（b ）所示，按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 )/(210r E πε±=-+ 式中正负号分别表示场强方向沿径向朝外和朝里，如图所示，按场强叠加原理，该处合场强的大小为 θcos 2+=E E r a r 2 /0? =πελ （a ） ) 4(22 20z a a += πελ 方向如图所示或用矢量表示 i E ) 4(2220z a a +-=πελ 例8 真空中有一高h =20cm 、底面半径R =10cm 的圆锥体。在其顶点与底面中心的中点上置一q =10-6C 的点电荷，求通过该圆锥体侧面的电场强度通量。 （a ） （b ） 图8—8 解 以顶点与底面圆心的中点为球心，22/2)(h R r +=为半径做一球面。可以看出，通过圆锥侧面的电通量等于通过整个球面的电通量减去通过以圆锥底面为底的球冠面的电通量。整个球面的电通量为 00/εφq = 通过球冠面的电通量 001/S S φφ=2 04) 2/(2r h r r q ππε-? = ??? ? ? ?+-= 220 )2/(2 /12h R h q ε 式中S 为球冠面面积 S =2πr (r - h/2)，S 0为整球面积。 通过圆锥侧面的电通量 102 φφφ-= 2 20 00 )2/(42h R qh q q ++- =εεε ???? ? ?++=220 /2)(2 /12h R h q ε/C m N 100.624??= 二、求电势的方法 在普通物理学范围内，求解静电场电势的基本方法通常有以下两种：1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强；2. 已知或求出场强分布E 后，再由U P =?∞ ?P d l E 求电势。熟练掌握求解静 电场电势的这两种方法是对学好电磁学大有裨益的。 1. 用点电荷电势公式和电势叠加原理求场强 把带电体看为由许多电荷元组成的，带电体在电场中某点产生的电势为各电荷元在该点产是的点势dU 的叠加，即 U=?dU 用积分求电势的步骤和用积分求场强相同，只是U =?dU 是一个标量积分，不用取分量式。 2. 已知或求出场强分布E 后，再由U P =?∞ p Edr ，求电势 对有限大小的带电体，通常选无限远为电势的零点，所以有 U P =?∞ p Edr 用上式求电势时应注意： ①选择适当的路径，因为上述积分与路径无关，我们取积分 路径时，总是设法选取使积分计算比较简便的路径； ②对于在积分路径上不同区域内场强的函数形式不同的情况，积分必须分段进行。如从r 到R 范围内的场强为E 1(r )，从R 到“无穷远”处场强为E 2(r )，则P 点的电势 U P （r ）=?R r E 1(r )dr +?∞ R E 2(r )dr 对能用高斯定理求场强的问题，用这种方法求电势比较方便。 例9 一根长为L 的细棒，弯成半圆形，其上均匀带电，电荷线密度为λ+，试求在圆心O 点的电势。 解 半圆形导线半径：π L R = O 点电势由电势迭加原理求解。 R dq dU 04πε= ， dl dq λ= ∴ 0 000444ελ πελπελ= ===? ?R L R dl dU U L 例10 如图8—9所示，两个均匀带电的同心球面，半径分 别为R 1和R 2，带电量分别为q 1和q 2。求场强和电势的分布。 解 （1）对称性分析：①场强沿径向；②离球心O 距离相等处，场强的大小相同。可见场强具有球对称性可以用高斯定理求场强。 （2）选择高斯面：选与带电球面同 心的球面作为高斯面。 当r>R 2时，取半径为r 的高斯面S 1，如图所示。由高斯定理 ?+=?s q q d 102 1εS E 因为场有上述的对称性，所以 ?+=?=?s q q r E d 1 212 4επS E 解得 2 02 14r q q E πε+= 当R 1 ? =?2 1 S q d εS E 因场强有球对称性，故 1 242 επq r E d S =?=?? S E 解出 2 014r q E πε= 当r 03 =?? S E d S 因场强是球对称的，则有 0423 =?=?? r E d S πS E 所以 E=0 从上面计算的结果得到场强的分布为 ???? ?????<<<>+=12 12 012 202 1,0,4,4R r R r R r q R r r q q E πεπε 知道了场强分布，可以从电势的定义出发求出空间的电势分布 当r>R 2时 r q q dr r q q dr E U r r 02 12 02144πεπε+=+=?=? ?∞ ∞ 当R 1 2 02 0120212012 2 12 014441144422R q r q R q q R r q dr r q q dr r q dr E U R R r r πεπεπεπεπεπε+=++???? ??-=++=?=? ? ?∞ ∞ 当r dr r q q dr r q dr dr E U R R R R r r ? ? ??∞ ∞ +++?=?=22 1 1 2 2 12 01440πεπε 202101202 121 01444114R q R q R q q R R q πεπεπεπε+=++???? ??-= 当然，也可以用电势叠加原理来求电势的分布，把空间各点 的电势看为两个带电球壳在空间产生的电势的叠加，求得的结果和从电势定义出发求得的结果相同。如果我们对一个均匀带电球面在空间产生的电势分布的函数关系比较熟悉，那么用后一种解法是比较方便的。 习 题 一、填空题 1、两个正点电荷所带电量分别为q 1和q 2，当它们相距r 时，两电荷之间相互作用力为F = 。若q 1+q 2=Q ，欲使两电荷间的作用力最大，则它们所带电量之比q 1：q 2= 。 2、四个点电荷到坐标原点O 的距离均为d ，如图8—10所示，则O 点的电场强度E= 。 3、真空中两块互相平行的无限大均匀带电平面，其中一块的面电荷密度为+σ,另一块的面电荷密度为+2σ，两极板间的电场强度大小为 。 4、半径为R ，均匀带电Q 的球面，若取无穷远处为零电势，则球心处的电势V 0= ；球面外离球心r 处的电势V r = 。若在此球面挖去一小面积ΔS （连同其上电荷），则球心处的电势V 0= 。 二、选择题 1、边长为a 的正方体中心放置一个电荷Q ，通过一个侧面的电位移矢量通量为：[ ] A. πε4Q ； B.πε2Q ； C.πεQ ； D. 6Q 2、如图8—11所示，闭合面S 内有一点电荷q , P 为S 面上一点，S 面外A 点有一点电荷q'，若将q' 移到S 面外另一点B 处，则下述正确的是：[ ] A.S 面的电通量改变，P 点的场强不变； B.S 面的电通量不变，P 点的场强改变； C.S 面的电通量和P 点的场强都不变； D.S 面的电通量和P 点的场强都改变。 3、关于电场强度定义式E =F /q 0，指出下列说法中的正确者：[ ] A.场强E 的大小与检验电荷q 0的电量成反比； B.对场中某点，检验电荷受力F 与q 0的比值不因q 0而变； C.检验电荷受力F 的方向就是场强E 的方向； D.若场中某点不放检验电荷q 0，则F =0，从而E =0。 4、电场强度定义式E =F /q 0,这一定义的适用范围是：[ ] A.点电荷产生的电场； B.静电场； C.匀强电场； D.任何电场。 5、在SI 制中，电场强度的量纲是：[ ] A.11--MLT I ； B.21--MLT I ； C.31--MLT I ； D.3-IMLT 。 6、若将负点电荷q 从电场中的a 点移到b 点，如图8—12所示，则下述正确的是：[ ] A.电场力作负功； B.电场强度E a C.电势能减小； D.电势V a 7、一电量为-Q 的点电荷位于圆心O 处，A 、B 、C 、D 为同一圆上的四个点，如图8—13所示。现将一实验电荷从A 点分别移到B 、C 、D 各点，则：[ ] A.从A 到B ，电场力做功最大； B.从 A 到C ，电场力做功最大； C.从A 到D ，电场力做功最大； D.从A 到各点，电场力做功相等。 三、判断题 （）1、闭合曲面内的电荷的代数和为零，闭合曲面上任一点的场强一定为零。 （）2、闭合曲面上各点的场强为零，闭合曲面内一定没有电荷。（）3、闭合曲面上各点的场强仅由面内的电荷决定。 （）4、通过闭合曲面的电通量仅由面内的电荷决定。 （）5、凡是对称分布的均匀带电系统都可以通过高斯定理求它的电场强度。 四、计算题 1、用细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，棒两端点间的缝隙为1cm，棒上均匀分布着3.12×10-9C的正电荷。求圆心处场强的大小和方向。 2、半径为R的非金属球带有正电荷，电荷体密度随径向距离变化的规律满足br ρ ，其中b为常数，r为离球心的距离，求球内、外的场强和电势分布。 3、在半径为R1和R2的同心球面上，分别均匀地分布着正电荷q1和q2，求场强分布，并画出场强分布曲线。 4、如图8—14所示，一均匀带电直线，长度为L，电荷线密度为λ。求： （1）通过以直线的中点为球心，半径为R的球面的电位移通量； 静电场的能量 一、电容器的静电能 研究电容器的充电过程。 一开始电容器的电势差很小，搬运电荷需要做的功也很小，充电后两 板间电势差增加，搬运电荷越来越困难，需要做的功变多。可以看成 是一个变力（变电势差）做功问题。 图像法用面积表示做功。 画Q -U 图像还是U -Q 图像 2 2111222Q E QU CU C === 电容器充电过程中，电荷和能量均由电源提供。 在电源内部，可以看成是正电荷从负极移动到正极。由于电源电动势（即电压）不变，克服电场力做功为： W QU = 在电容器充电过程中电源消耗的能量和电容器增加的静电能不相等！ 思考：两者是否一定是两倍的关系 多余的电能消耗在电路中（定性解释） 例1、极板相同的两个平行板电容器充以相同的电量，第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间，并使所有极板都相互平行，问系统的静电能如何改变。 例2、平行板电容器C 接在如图所示电路中，接通电源充电，当电压达到稳定值U 0时，就下列两种情况回答，将电容C 的两极板的距离从d 拉到2d ，电容器的能量变化为多少外力做功各是多少并说明做功的正负 (1)断开电源开关． (2)闭合电源开关． 例3、图中所示ad为一平行板电容器的两个极板，bc是一块长宽都与a板相同的厚导体板，平行地插在a、d之间，导体板的厚度bc=ab=cd.极板a、d与内阻可忽略电动势为E的蓄电池以及电阻R相连如图．已知在没有导体板bc 时电容器a、d的电容为C0 ,现将导体板bc抽走，设已知抽走导体板bc的过程中所做的功为A，求该过程中电阻R上消耗的电能． 例4、如图所示，电容器C可用两种不同的方法使其充电到电 压U=NE。（1）开关倒向B位置，依次由1至2至3??????至N。 （2）开关倒向A位置一次充电使电容C的电压达到NE。试求 两种方式充电的电容器最后储能和电路上损失的总能量。（电 源内阻不计） §1、5 静电场的能量 1．5．1、 带电导体的能量 一带电体的电量为Q ，电容为C ，则其电势C Q U =。我们不妨设想带电体上 的电量Q ，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功，就是带电 体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的函数关系如 图1-5-1所示，斜率为C 1 。设每次都搬运极少量的电荷 Q ?，此过程可认为导体上的电势不变，设为i U ，该过程中搬运电荷所做的功为Q U W i i ?=，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过程中，带电导体储存的能量为 ∑∑?==Q U W W i i 其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若Q ?取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。 2 221221CU C Q QU Q U W i ===?=∑ 上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。 1．5．2、 电场的能量 由公式2 21CU W =，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在 电荷上的。其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量 的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究 图1-5-1 竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。 k Sd E d E kd S CU W πεπε8421212222=?== 单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用ω来表示 k E V W πεω82 == 上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。 1．5．3、电容器的充电 如图1-5-2所示，一电动势为U 的电源对一电容为C 的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量 CU Q = 电容器所带能量 2 21CU W = 而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为 W CU QU W 22===' 也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。 例7、用N 节电动势为ε的电池对某个电容器充电，头一次用N 节电池串联后对电容器充电；第二次先用一节电池对电容器充电，再用两节串联再充一次， 11.6静电场例题 例1、在惯性系S中有匀强电场E，其方向如图所示．在电场中与E平行的一条几何直线上，有两个静止的小球A和B．两小球的质量均为m，A球所带电量为Q(Q>0)，B球不带电，开始时两球相距为l．在电场力的作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生弹性正碰撞，从而使B球也参与运动.设在各次碰撞过程中，A、B球之间并无电量的转移，设万有引力可略去不计．试证明A、B球相邻的两次碰撞之间的时间间隔相同，并求出该时间间隔T. 例2、半径为R的带电金属球被沿与球心相距为h的平面分成两部分(图)．求这两 部分排斥力．球的总电量为Q． 例3、如图所示，A'ACBB'是一根无限长的均匀带电细线．其中ACB是半径为R半圆弧，AA’平行于BB'，AA'、BB'水平,而且整个线框置于竖直平面内．O是一个质量为m、带电量为q的小球(可视为点电荷)，它在四根伸直的、互相垂直的绝缘细线的约束下静止于圆弧ACB的圆心处．已知A'ACBB'带电总量为Q，求 四根约束O球的绝缘线上的张力最小值． 和R3，内有同心放置的半径 例4、一带电量为Q的金属球壳，其内外半径分别为R 为R1的接地导体球．(1)求小球的带电量q；(2)讨论Q为正电荷时q的正负，并求出此时球壳与小球间的电势差；(3)导体球壳与同心接地导体球的电容为多少?若R2=R3=R．则情况又如何? 例5、半径为R的均匀带电半球面，电荷面密度为σ。求球心处的电场强度． 例6、如图所示，两个同心导体半球面，相对共底面的半径R1>R2，R1面均匀带电密度为σ1，R2面均匀带电密度为σ2，问大半球底面的直径AOB上电势是如何分布的? 例7、如图所示，正四面体ABCD各面均为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四个面的静电势分别为φ1、φ2、φ 和φ4，求四面体中心O点的电势φ． 第一讲电场 §1、1 库仑定律和电场强度 1．1．1、电荷守恒定律 大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持 k 数， 0ε q F E = 式中q 是引入电场中的检验电荷的电量，F 是q 受到的电场力。 借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为 2 2r Q k q r Qq k q F E === 式中r 为该点到场源电荷的距离，Q 为场源电荷的电量。 1．1．4、场强的叠加原理 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强，等于每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。 原则上讲，有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。 例1、如图1-1-1（a ）所示，在半径为R 、体电荷密度 为ρ的均匀带电球体内部挖去半径为R '的一个小球，小球球心O '与大球球心O 相距为a ，试求O '的电场强度，并证明空腔内电场均匀。 ρ,R O 1．1．5．电通量、高斯定理、 （1）磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数，其大小为θsin BS =Φ，其中θ 为截面与磁感线的夹角。与此相似，电通量是指穿过某一截面的电场线的条数，其大小为 θ?sin ES = θ为截面与电场线的夹角。 高斯定量：在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为 ∑=i q k π?4 （ 041πε= k ） Nm C /1085.82120-?=ε为真空介电常 数 O O ' P B r a ） 式中k是静电常量，∑i q为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少高等数学知识，因此选取的高斯面即闭合曲面，往往和电场线垂直或平行，这样便于电通 量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求，但笔者认为简单了解高斯定律的内容，并 利用高斯定律推导几种特殊电场，这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。 （2）利用高斯定理求几种常见带电体的场强 ①无限长均匀带电直线的电场 一无限长直线均匀带电，电荷线密度为η，如图1-1-2（a）所示。考察点P到直线的 距离为r。由于带电直线无限长且均匀带电，因此直线周围的电场在竖直方向分量为零， 即径向分布，且关于直线对称。取以长直线为主轴，半径为r，长为l的圆柱面为高斯面， E 图1-1-5 高中物理竞赛：电场 一、知识网络或概要： 1、 库仑定律、电荷守恒定律 2、 电场强度、电场线、点电荷场强、场强叠加、均匀带电球壳内外场强 3、 电场中导体、静电屏蔽 4、 电势、电势差、等势面、点电荷电场电势公式、电势叠加原理、电势能 5、 电容、电容器的连接、平行板电容器的电容公式，电容器充电后的电能、电介质的 极化、介电常数 二、知识点剖析与训练 一、221r q q k F =库仑定律描述的是真空中的两个点电荷间的相互作用力。当带电体不可以看作点荷时，应把带电体“分割”成许多小的部分（每一小部分可看作点电荷），对每一小部分应用库仑定律求出静电力，最后求各小部分所受静电力的合力。 库仑定律中的r 是两个“电荷”中心间的距离。若两带电小球中心间的距离r 不是远大于球的半径，则球上的电荷分布不均匀，那么带电小球不能看作点电荷，就不能用库仑定律计算库仑力的大小，是讨论此时的库仑力与能看作点电荷算出的库仑力是偏大还是偏小？ 二、只要有电荷存在，在电荷的周围就存在着电场。静止电荷在真空中产生的电场，叫静电场。该电荷称为真空中静电场的场源电荷，电场对放入电场中的电荷有力的作用。 在点电荷组成的电场里，任一点的场强等于各个点电荷单独存在时各自在该点产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。 三、几种典型电场的场强： （1）点电荷电场：2 r Q k E = （2）均匀带电球壳内外的电场： 设有带电量为Q ，半径为R 有均匀带电球壳。由电场线的分布可知，只要球壳内没有电荷，壳内就没有电场线分布，即内部的场强E 内=0（r<=R ） 对于球壳外，电场线分布与点电荷Q 在球心处的电场线一样。因此壳外的场强E 外为：2 r Q k E =（r>R ） 高中物理竞赛热学电学教程 第四讲物态变化 第一讲 电场 电场 §1、1 库仑定律和电场强度 1．1．1、电荷守恒定律 大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。 我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移，静电感应现象是电荷在同一物体上、不同部位间的转移。此外，液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定律。 1．1．2、库仑定律 真空中，两个静止的点电荷1q 和2q 之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积成正比，和它们之间距离r 的平方成正比；作用力的方向沿它们的连线，同号相斥，异号相吸 221r q q k F = 式中k 是比例常数，依赖于各量所用的单位，在国际单位制（SI ）中的数值为： 229/109C m N k ??=（常将k 写成041 πε= k 的形式，0ε是真空介电常数， 22120/1085.8m N C ??=-ε） 库仑定律成立的条件，归纳起来有三条：（1）电荷是点电荷；（2）两点电荷是静止或相对静止的；（3）只适用真空。 条件（1）很容易理解，但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元（可视作点电荷）的集合，再利用叠加原理，求得非点电荷情况下，库仑力的大小。由于库仑定律给出的是一种静电场分布，因此在应用库仑定律时，可以把条件（2）放宽到静止源电荷对运动电荷的作用，但不能推广到运动源电荷对静止电荷的作用，因为有推迟效应。关于条件（3），其实库仑定律不仅适用于真空，也适用于导体和介质。当空间有了导体或介质时，无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷，此时必须考虑它们对源电场的影响，但它们也遵循库仑定律。 1．1．3、电场强度 电场强度是从力的角度描述电场的物理量，其定义式为 q F E = 式中q 是引入电场中的检验电荷的电量，F 是q 受到的电场力。 借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为 物理竞赛练习题《电场》 班级____________座号_____________姓名_______________ 1、半径为R的均匀带电半球面，电荷面密度为σ，求球心处的电场强度。 2、有一均匀带电球体，半径为R，球心为P，单位体积内带电量为ρ，现在球体内挖一球形空腔，空腔的球心为S，半径为R/2，如图所示，今有一带电量为q，质量为m的质点自L点（LS⊥PS）由静止开始沿空腔内壁滑动，不计摩擦和质点的重力，求质点滑动中速度的最大值。 3、在-d ≤x ≤d 的空间区域内，电荷密度ρ>0为常量，其他区域均为真空。若在x =2d 处将质量为m 、电量为q （q <0）的带电质点自静止释放。试问经多长时间它能到达x =0的位置。 4、一个质量为M 的绝缘小车，静止在光滑水平面上，在小车的光滑板面上放一个质量为m 、带电量为+q 的带电小物体（可视为质点），小车质量与物块质量之比M ：m =7：1,物块距小车右端挡板距离为l ，小车车长为L ，且L =1.5l 。如图所示，现沿平行于车身方向加一电场强度为E 的水平向右的匀强电场，带电小物块由静止开始向右运动，之后与小车右挡板相碰，碰后小车速度大小为碰前物块速度大小的1/4。设小物块滑动过程中及其与小车相碰过程中，小物块带电量不变。 （1）通过分析与计算说明，碰撞后滑块能否滑出小车的车身？ （2）若能滑出，求由小物块开始运动至滑出时电场力对小物块所做的功;若不能滑出，求小物块从开始运动至第二次碰撞时电场力对小物块所做的功。 E 物理竞赛练习题 《电势和电势差》 班级____________座号_____________姓名_______________ 1、两个电量均为q =3.0×10-8C 的小球，分别固定在两根不导电杆的一端，用不导电的线系住这两端。将两杆的另一端固定在公共转轴O 上，使两杆可以绕O 轴在图面上做无摩擦地转动，线和两杆长度均为l =5.0cm 。给这系统加上一匀强电场，场强E =100kV/m ，场强方向平行图面且垂于线。某一时刻将线烧断，求当两个小球和转轴O 在同一条直线上时，杆受到的压力（杆的重力不计）。 2、半径为R 的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为σ的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势。 3、如图所示，半径为r 的金属球远离其他物体，通过R 的电阻器接地。电子束从远处以速度v 落到球上，每秒钟有n 个电子落到球上。试求金属球每秒钟释放的热量及球上电量。 真空中的静电场 基 本 要 求 一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内 容 提 要 一、真空中的库仑定律 )(412210 r r q q r F ? = πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。 电场强度的定义式 q F E = 点电荷场强公式 )(4120 r r q r E ??= πε 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强 1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强 a λE 02πε= 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 2εσ E = 方向垂直于带电平面。 3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布 r r>R 时，02 04r E r Q πε= 三、电通量 高斯定理 电场线（电力线）画法 1. 电场线上某点的切线方向和该点场强方向一致；2. 通过垂直于E 的单位面积的电场线的条数等于该点E 的大小。 电场线的性质 1. 两条电场线不能相交；2. 电场线起自正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处），电场线有头有尾，不是闭合曲线。 电场强度通量 ???=s e d ΦS E 电场强度通量也可形象地说成是通过该面积S 的电场线的条数。 高斯定理 真空中静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的电量的代数和的1/ 倍。 ε∑??= ?内 S S q d S E 高斯定理是描写静电场基本性质的基本定理，它反映了电场与形成电场的场源（电荷）之间的关系，说明静电场是有源场。 第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、填空（问答）题（每题5分，共25分） 1．有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。这种分布的静电场是否可能存在？试述理由。 2．海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆，近日点到太阳中心的距离为0.914天文单位（1天文单位等于地日间的平均距离），则其近日点速率的上限与地球公转（轨道可视为圆周）速率之比约为（保留2位有效数字） 。 3．用测电笔接触市电相线，即使赤脚站在地上也不会触电，原因是 ；另一方面，即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作，测电笔仍会发亮，原因是 。 4．在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为E 0，所有电阻器的电阻值均为R 0，所有电容器的电容均为C 0，则图示电容器A 极板上的电荷量为 。 5．如图，给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度，使之开始运动。一学生利用角动量定理来考察 此木块以后的运动过程：“把参考点设于如图所示的地面上一点O ，此时摩擦力f 的力矩为0，从而地面木块的角动量将守恒，这样木块将不减速而作匀速运动。”请指出 上述推理的错误，并给出正确的解释： 。 二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角A 的连 线OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OA OP ，求桌面对桌腿1的压力F 1。 三、（15分） 1．一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u 作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。 A 精品文档 真空中的静电场 基 本 要 求 一、理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内 容 提 要 一、真空中的库仑定律 )(41 2210r r q q r F ?=πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力； 2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。 电场强度的定义式 q F E = 点电荷场强公式 )(4120r r q r E ??=πε 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。 精品文档 几种常见带电体的场强 1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强 a λE 02πε= 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 2εσE = 方向垂直于带电平面。 3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布 r 精心整理 电磁学 静电学 1、 静电场的性质 静电场是一个保守场，也是一个有源场。 F dl o ?=?u r u u r ?高斯定理 静电力环路积分等于零o s q E ds E ?=∑??u u r u u r ò 电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系 a b E dr U U ?=-∑u r r ① 过程E dr dU ?=-u r r 一维情况下x dU E dx dx =- x dU E dx =- ② 2、 几个对称性的电场 （1） 球对称的电场 场源 E U 点电荷 均匀对电球面 均匀带点球体 例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E u r (2) 求空腔中心处的电势U 解:(1)在空腔中任选一点p , p E u u r 可以看成两个均匀带电球体产生的电场 强度之差, 即() 1212333p o o o E r r r r E E E ρρρ=-=-u u r u r u r u r u r 令12a o o =r u u u u r 这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o E a E ρ=u u u r r (2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理 p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差 即()()()22222 2212123303666o o o o U R a R R R a E E E ρ ρ ρ??= -- -= --? ? 假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s V V ,计算i s V ,受到除了i s V 上电荷之处,球面 上其它电荷对i s V 的静电力,这个静电力包含了j s V 上电荷对i s V 上电荷的作用力. 同样j s V 受到除了i s V 上电荷以外,球面上其它电荷对j s V 上电荷的作用力,这个力同样包含了i s V 对j s V 的作用力. 如果把这里的i j s s V V 所受力相加,则,i j s s V V 之间的相互作用力相抵消。 出于这个想法，现在把上半球面分成无限小的面元，把每个面元上所受的静电力（除 去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力。 求 法:2 2 222 2=f 224o o o R Q F R R E E R σππππ??=?== ??? g L 再观察下,均匀带电球面上的电场强度=? 通常谈论的表面上电场强度是指什么? 电力?o f = 例:求均匀带电球面(),Q R ,单位面积受到的静解:令()R R R R R →+≤V V 过程无限缓慢 得出此过程中静电力做功的表达式: 或者算出2o o f E E E σ σ =?= 表面表面 而且可以推广到一般的面电荷()σ 在此面上电场强度()121 2 E E E = +表面 例:一个半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,求上下两半球之间的静电力? 解:原则上,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强 度的空间分布,对上半球面上各电荷作用力之和,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布,所以这样计较有困难. 例:求半径为R,带电量为Q 的均匀带电球面,外侧的静电场能量密度. 解:静电场(真空)能量密度21 2 o E E ω= 1、一半圆均匀带电，电荷线密度为>0，试求该半圆圆心处的场强。 解：我们采用微元法，如图所示，设半圆半径为，微元所对圆心角为，在点的场强为 而 则 根据对称性，半圆上各个微元在点场强的y轴方向分量互相抵消。点处场强为各个在x轴上分量的和 也可表为 2、证明：在静电场中没有电荷分布的地方，如果电场线相互平行，则电场强度的大小必处处相等。 解：电场线的性质都可由高斯定理和安培环路定理推 出，故此处，可考虑用这两个定理。 先证明同一场线上不同地方的场强相同。 如图（a），取一圆柱面形高斯面，其轴与平行，长， 截面积足够小，则可认为上各点电场相同。 因空间无电荷，由高斯定理 得 其中，分别为圆柱两端面上的场强。 再证明不同电场线上的场强相同。 如图（b），取安培环路为。、均垂直于电力线，且、的长度足 够小，则可认为、段上的场强为定值，分别为，。由安培环路定理 得 综上，即可得题中所述场确定为匀强场。 注意，若场区有电荷存在，则即使电场线平行，也不会为匀强场。电场线可在电荷处中断。如图（c）。 3、在点电荷的电场中，放入一个半径为的接地导体球，从到导体球球心的距离为，求导体球对的作用力。 解：如图所示，根据对称性，肯定在或其延长线上，设到的距离为，对导体球表面上任意一点A而言，它的电势应该由和 的电势叠加而成，由因为导体接地，所以有 设为原点，为轴，A点的坐标为，则有 因为A点位于球心在原点的球面上，、的一次项及常数项都应该是零，于是有 可解得和 而“电像”和感应电荷是等效的。这样，就可以很容易地用库仑定律求得感应电荷对作用力（即导体球对的作用力）的大小为 方向指向方向。 2021.03.07 真空中的静电场 欧阳光明（2021.03.07） 基本要求 一、理解电场强度和电势这两个基本 概念和它们之间的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基 本定理——高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内容提要 一、真空中的库仑定律 *欧阳光明*创编 2021.03.07 2021.03.07 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。 电场强度的定义式 点电荷场强公式 场强叠加原理电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的 *欧阳光明*创编 2021.03.07 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强 1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 方向垂直于带电平面。 3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布 r 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 r 静电场 一、电场强度 1、实验定律 a 、库仑定律：[内容]条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k 进行修正(如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /εr )。只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点(但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的)。 b 、电荷守恒定律 c 、叠加原理 2、电场强度 a 、电场强度的定义(使用高斯定理) 电场的概念；试探电荷(检验电荷)；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性)。 b 、不同电场中场强的计算：决定电场强弱的因素有两个，场源(带电量和带电体的形状)和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出—— ⑴点电荷：E = k 2 r Q 结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强 ⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P ：E = 2 322) R r (kQr +，其中r 和R 的意义见图。 ⑶均匀带电球壳 内部：E 内 = 0 外部：E 外 = k 2 r Q ，其中r 指考察点到球心的距离 如果球壳是有厚度的的(内径R 1 、外径R 2)，在壳体中(R 1＜r ＜R 2)：E = 23 1 3r R r k 34-πρ ，其 中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解〔)R r (3 433-πρ即为图中虚线以内部分的总电量〕。 ⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ)：E = r k 2λ ⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ)：E = 2πkσ 二、电势 1、电势：把一电荷从P 点移到参考点P 0时电场力所做的功W 与该电荷电量q 的比值，即U = q W 参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W 则为电荷的电势能。 2、典型电场的电势 a 、点电荷 以无穷远为参考点，U = k r Q b 、均匀带电球壳 以无穷远为参考点，U 外 = k r Q ，U 内 = k R Q 3、电势的叠加：由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。 4、电场力对电荷做功 W AB = q(U A － U B )= qU AB 电磁学 静电学 1、 静电场的性质 静电场是一个保守场，也是一个有源场。 F dl o ?=? u r u u r ? 高斯定理 静电力环路积分等于零 i o s q E ds E ?=∑??u u r u u r ò i v q dv ρ?? → ??? ∑??? 电场强度与电势是描述同一静电场的两种办法，两者有联系 b a b a qE d r w w ?=-∑u r r a b E dr U U ?=-∑u r r ① 过程 E dr dU ?=-u r r 一维情况下 x dU E dx dx =- x dU E dx =- ② 2、 几个对称性的电场 （1） 球对称的电场 3 14o Q r r R E R π≤ ()22 3 1342o Q Q R r r R E r R π-≤ 3 3 342o 143o R r R E r E r πρρπ??= ??? 例:一半径为1R 的球体均匀带电,体电荷密度为ρ,球内有一半径为2R 的小球形空腔,空腔中心与与球心相距为a ,如图 (1) 求空腔中心处的电场E u r (2) 求空腔中心处的电势U 解:(1)在空腔中任选一点p , p E u u r 可以看成两个均匀带电球体产生的电场强度之 差, 即 () 1212333p o o o E r r r r E E E ρρρ=-=-u u r u r u r u r u r 令12a o o =r u u u u r 3p o E a E ρ=u u r r 这个与p 在空腔中位置无关,所以空腔中心处23o o E a E ρ=u u u r r (2)求空腔中心处的电势 电势也满足叠加原理 p U 可以看成两个均匀带电球体产生电势之差 即 ()()()22222 2212123303666o o o o U R a R R R a E E E ρ ρ ρ??= -- -= --? ? 假设上面球面上,有两个无限小面原i j s s V V ,计算i s V ,受到除了i s V 上电 荷之处,球面上其它电荷对i s V 的静电力,这个静电力包含了j s V 上电荷对i s V 上电荷的作用力. 同样j s V 受到除了i s V 上电荷以外,球面上其它电荷对j s V 上电荷的作用力, 高中物理竞赛——静电场习题 一、场强和电场力 【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。 如图7-5所示，在球壳内取一点P ，以P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS 1和ΔS 2 ，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P 点激发的场强分别为 ΔE 1 = k 21 1r S ?σ ΔE 2 = k 22 2r S ?σ 为了弄清ΔE 1和ΔE 2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ ，显然 2 11r cos S α? = ΔΩ = 2 2 2r cos S α ? 所以 ΔE 1 = k α ?Ωσcos ，ΔE 2 = k α ?Ωσcos ，即：ΔE 1 = Δ E 2 ，而它们的方向是相反的，故在P 点激发的合场强为零。 同理，其它各个相对的面元ΔS 3和ΔS 4 、ΔS 5和ΔS 6 … 激发的合场强均为零。原命题得证。 【模型变换】半径为R 的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。 【解析】如图7-6所示，在球面上的P 处取一极小的面元ΔS ，它在球心O 点激发的场强大小为 ΔE = k 2R S ?σ ，方向由P 指向O 点。 无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS 激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x 方向、y 方向上的对称性，Σix E ? = Σiy E ? = 0 ，最后的ΣE = ΣE z ，所以先求 ΔE z = ΔEcos θ= k 2 R cos S θ ?σ ，而且ΔScos θ为面元在xoy 平面的投影，设为ΔS ′ 所以 ΣE z = 2 R k σΣΔS ′ 而 ΣΔS ′= πR 2 【答案】E = k πσ ，方向垂直边界线所在的平面。 〖学员思考〗如果这个半球面在yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？ 高中物理竞赛—静电场 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 真空中的静电场 基 本 要 求 一、 理解电场强度和电势这两个基本概念和它们之间 的联系。 二、掌握反映静电场性质的两个基本定理——高斯定理和环流定 理的重要意义及其应用。 三、掌握从已知的电荷分布求场强和电势分布的方法。 内 容 提 要 一、 真空中的库仑定律 )(412210 r r q q r F ? = πε 库仑定律的适用条件：1. 点电荷；2. 电荷静止（或低速）。 二、电场和电场强度 电场 电荷能够产生电场。电场是一种客观存在的物质形态。电场对外表现的性质：1. 对处于电场中的其他带电体有作用力；2. 在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功，这也表明电场具有能量。 电场强度的定义式 0q F E = 点电荷场强公式 )(4120 r r q r E ??= πε 1 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加（矢量和）。 几种常见带电体的场强 1、电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线外一点的场强 a λE 02πε= 2、电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面外一点的场强 2εσE = 方向垂直于带电平面。 3、带电Q 、半径为R 的均匀带电导体球面或导体球的场强分布 r 第八部分静电场 第一讲基本知识介绍 在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。 如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。 一、电场强度 1、实验定律 a、库仑定律 内容； 条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /εr）。只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。 b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义 电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。 b、不同电场中场强的计算 决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出—— Q ⑴点电荷：E = k 2 r 结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电 场的场强，如—— ⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E = ，其 中r和R的意义见图7-1。 ⑶均匀带电球壳 内部：E内= 0南师附中物理竞赛讲义 11.4静电场的能量
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