河北省衡水市桃城区第十四中学2020-2021学年高一上学期一调考试数学试卷含答案
D．“ a 5 ”是“ a 3 ”的必要条件
11．下列结论正确的是（ ）
） D． 1 x 1
A．当 x 0 时， x 1 2 x
B．当 x 2 时， x 1 的最小值是 2 x
C．当 x 5 时， 4x 2 1 的最小值是 5
4
4x 5
D．设
x
0
，
y
0
，且
x
y
2
，则
1 x
4 y
19.已知集合 A={x∈R|ax2﹣3x+2=0}，其中 a 为常数，且 a∈R． ①若 A 是空集，求 a 的范围； ②若 A 中只有一个元素，求 a 的值； ③若 A 中至多只有一个元素，求 a 的范围．
-3-
20.已知集合 A {x | x2 3x 10 0}, B {x | m 1 x 2m 1} 且 B .
A. 3
B. 4
C. 7
3.已知 a, b R ，则“ ab > 1”是“ a + b > 2 ”的
D. {5，6}
） D. 8
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知命题 p : x (1,1) ， x2 1 ，则 p 为（ ）
A. x (1,1) ， x2 1
所以在
x 1, m 上，
f
x
max
m 成立，
所以 f 1 m 且 f m m,
所以 2 m 且 m2 3m m. 解得 0 m 4 . 又 m 1, 所以1 m 4
所以实数 m 的取值范围为 1, 4
-6-
22.（1）由题可知， x2 bx 0 解得 x 0 或 x b ，
因为不等式 f x 0 的解集包含1和 2 两个正整数，
故解集为 x 0 x 3 ，所以 f x 0 的根为 0 和 3
由 9 3b 0 得 b 3.
所以 f x x2 3x . .
（2）因为不等式 f x m 在 x 1 , m 时恒成立，
只有一项是符合题目要求的。 1.若全集 U={0，1，2，3，4，5，6，7}，集合 A={3，4，5，6}，集合 B={1，3，4}，则集合 CU A CU B
（）
A. {0，1，2，5，6，7} B. {1}
C. {0，2，7}
A x Z x2 x 2 0
2.已知集合
，则集合 A 的真子集个数为（
C. x0 , 1 1, ， x02 1
B. x0 (1,1) ， x02 1
D. x , 11, ， x2 1
41 5.已知正实数 x、y 满足 x y 3 ，则 x y 的最小值（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
6.下列命题中，不正确的是（ ）
10
D.
3
A. 若 a b ， c d ，则 a d b c
9.下列不等式中可以作为 x2 1 的一个充分不必要条件的有（
A． x 1
B． 0 x 1
C． 1 x 0
10．下列说法正确的有（ ）
A．不等式
2x 3x
1 1
1 的解集是
(2,
1 3
)
B．“ a 1， b 1”是“ ab 1 ”成立的充分条件
C．命题 p : x R ， x2 0 ，则 p : x R ， x2 0
8.若两个正实数
x，y
满足
4
x
y
xy
，且不等式
x
y 4
m2
3m
有解，则实数
m
的取值范
围是（ ）
A.(－1,4)
B.(－∞,－1) ∪(4,+∞)
C. (－4,1)
D.(－∞,0] ∪[3,+∞)
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
14.已知命题 p： x R ， x2 2x a 0 是真命题，则实数 a 的取值范围是______ ．
15.已知角 α，β满足 2
2 ，0＜α+β＜π，则 3α－β的取值范围是
．
16.已知命题 p : x2 2a 4 x a2 4a 0 ，命题 q : x 2 x 3 0 ，若 p 是 q 的充
分不必要条件，则 a 的取值范围为
．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
17.（（3﹣2x）的最大值； 2
（2）解关于 x 的不等式 x2-（a+1）x+a＜0．
18.设全集U x | x 4 ， A x | 2 x 3 ， B x | 3 x 3 ，求 CU A ， A B ， CU A B ， CU A B .
m 1 2m 1
m 1 2
，解得 2 m 3
2m 1 5
（2） B ，m 1 2m 1 ，m 2 ；由 q 为真，则 A B ，
2
m1 m2
5
，2
m
4
.
21.解：(Ⅰ) A x | x 1或x 3 ，由题意得， a 1 1且a+1=3,所以a=2 .
(Ⅱ) 由题意得 a 1 1或a 1 3, a 0或a 4.
当 a≠0，此时△=9﹣8a=0，解得：a=
∴a=0 或 a= ； ③若 A 中至多只有一个元素，则 A 为空集，或有且只有一个元素
-5-
由①②得满足条件的 a 的取值范围是：a=0 或 a≥ ．
20.解 x2 3x 10 0 得 2 x 5 ，则 A x | 2 x 5 ，
（1） “命题 p : x B, x A ”是真命题， B A, B ，
13.
1,
3 2
14. ,1
15. ( , 2 )
16.1, 2
17.（1）设
0＜x＜
3 2
，∵函数
y＝x（3﹣2x）
9 8
2
x
3 4
2
，故当
x
3 4
时，函数取得最
9
大值为 ．
8 （2）关于 x 的不等式 x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．
当 a＝1 时，不等式即 （x﹣1）2＜0，不等式无解；
22.设函数 f x x2 bx b Z ，不等式 f x 0 的解集中恰有两个正整数.
（1）求 f(x)的解析式;
（2）若 m > 1 ，不等式 f x m 在 x 1, m 时恒成立，求实数 m 的取值范围.
答案
-4-
1-8：C A A B B C A B
9. BC 10．ABD 11．AD 12．BCD
（1）若“命题 p : x B, x A ”是真命题，求 m 的取值范围. （2）“命题 q : x A, x B ”是真命题，求 m 的取值范围 21.已知命题 p : x A ,且 A {x | a 1 x a 1} ,命题 q : x B ,且 B {x | x2 4x 3 0}. (Ⅰ)若 A B , A B R ,求实数 a 的值； (Ⅱ)若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.
B. 若 a2 x a2 y ，则 x y
C.
若
a
b
，则
a
1
b
1 a
D.
1
若
a
1 b
0 ，则 ab b2
-1-
7.如果不等式 mx2 mx m 1 0 对任意实数 x 都成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. m 0
C. m 4 3
B. 4 m 0 3
D. m 4 或 m 0 3
的最小值是
9 2
12．下列四个不等式中，解集为 的是（ ）
A． x2 x 1 0
B． 2x2 3x 4 0
-2-
C． x2 3x 10 0
D．
x2
4x
a
4 a
0(a
0)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1 2 13.关于 x 的不等式 x 1 的解集为________.
当 a＞1 时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}；
当 a＜1 时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．
综上可得，当 a＝1 时，不等式的解集为∅ ，当 a＞1 时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当 a
＜1 时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}．
18.
全集U x | x 4 ， A x | 2 x 3 , B x | 3 x 3 ，
CU A x x 2 或 3 x 4 ，
A B x | 2 x 3 ，
CU A B x | x 2 或 3 x 4 ， CU A B x | 3 x 2 或 x 3 .
19.①若 A 是空集，则方程 ax2﹣3x+2=0 无解
此时△=9﹣8a＜0，即 a＞
②若 A 中只有一个元素，则方程 ax2﹣3x+2=0 有且只有一个实根 当 a=0 时方程为一元一次方程，满足条件
数学试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，
大名县一中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
河北省大名县一中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案2020届高一第一次月考数学试卷考试时间:90分钟一.单项选择题:每题5分，共计40分.1。
已知集合M＝{－1,0，1},N＝{0,1，2｝，则M∪N＝（）A．｛－1，0，1}B．{－1，0，1,2}C．{－1,0，2} D．{0，1}2．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(）A．－5 B．－4C．4 D．53。
不等式(x＋1）（x－2）≤0的解集为()A．{x｜－1≤x≤2} B.{x|－1＜x＜2｝C．｛x|x≥2或x≤－1｝D。
{x｜x＞2或x＜－1｝4。
集合{y｜y＝－x2＋6，x,y∈N}的真子集的个数是()A．9 B．8C．7 D．65．函数y＝错误!（x〉1)的最小值是（)A．2错误!＋2 B．2错误!－2C．2错误!D．26．如图，已知全集U＝R，集合A＝｛x|x＜－1或x＞4｝，B＝{x｜－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(）A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．｛x｜－2≤x≤－1}D．{x｜－1≤x≤3}7．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B。
－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D.－1＜α－β＜18。
已知正实数a，b满足a＋b＝3,则错误!＋错误!的最小值为（）A．1 B。
错误!C.98 D.2二．多项选择题：全部选对得5分，部分选对得3分,有选错的得0分.共计20分9．（多选)下列说法错误的是（)A．在直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy＞0｝B．方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为｛－2,2}C．集合｛(x，y)|y＝1－x｝与{x｜y＝1－x}是相等的D．若A＝｛x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A10。
(多选)满足M⊆｛a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M可能是（）A．｛a1,a2｝B．｛a1，a2，a3｝C．{a1，a2,a4｝D．｛a1，a2，a3，a4｝11。
树人高级中学2020_2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段考试试题时间：120分钟 满分：150分一．单选题（每题5分，共8题）1.若0a b >>,则下面不等式中成立的是( ） A 。
2a ba b ab +>>> B.2a ba ab b +>>> C.2a ba b ab +>>>D 。
2a ba ab b +>>> 2.下面关于集合的表示正确的个数是；; ；． A 。
0B. 1C. 2D 。
33。
已知1(0,)4x ∈，则(14)x x -取最大值时x 的值是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．1104。
命题“所有能被2整除的整数都偶数"的否定（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B 。
所有能被2整除的整数都不是偶数 C 。
存在一个不能被2整除的整数是偶数 D 。
存在一个能被2整除的整数不是偶数5。
已知0,0,22x y x y >>+=，则x y 的最大值为（ ） A.2B 。
1 C.12D.146.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt>;③22x y >;④110x y<<.其中能成为x y >的充分条件的是（ ）A 。
①②B 。
②③C 。
③④D 。
①④7。
函数的最小值是A. 4B. 6C. 8D 。
108.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为%R （即每销售100元征税R 元），若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件,要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是（ ） A.[]4,8B.[]6,10C 。
[]4%,8%D.[]6%,100%二、不定项选择题（本题共4小题，每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
安平中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案
河北省安平中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案安平中学2020—2021学年第一学期第一次月考高一数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集{}5,4,3,2,1=U ,集合A={}3,2,1,集合B={}4,2，则A C U B =( ）A 。
∅B 。
{2} C. ｛4} D 。
｛2，4}2．已知集合2{0,1,}=A a ,{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于（ ）A. -1或3 B 。
0或-1 C. 3 D 。
-13。
“错误!”是“错误!〉0”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4.命题“关于x 的方程ax 2－x －2＝0在（0，＋∞）上有解”的否定是（ ）A ．∃x ∈（0，＋∞），ax 2－x －2≠0B ．∀x ∈（0，＋∞），ax 2－x －2≠0C ．∃x ∈(－∞，0),ax 2－x －2＝0D ．∀x ∈(－∞,0），a x 2－x －2＝0 5．已知4t a b =+，24s a b =++，则t 和s 的大小关系是( ）A 。
t s > B. t s ≥ C. t s < D 。
t s ≤6。
若函数f （x)＝x ＋错误!（x 〉2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋错误!B ．1＋错误!C ．3D ．47．已知集合A ＝｛x ｜x 〈a ｝,B ＝｛x ｜x<2}，且A ∪（∁R B)＝R ，则a 满足( )A ．｛a|a ≥2｝B ．｛a|a 〉2}C ．{a|a 〈2}D ．{a|a ≤2｝8。
一元二次方程ax 2+2x+1=0（a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A. a <0B. a >0C. a 〈 —1 D 。
河北省衡水市桃城区第十四中学2020-2021学年高一上学期一调考试物理试卷
物理试卷注意事项：1.本场考试物理，卷面满分共100分，考试时间为90分钟。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题纸上指定的位置。
3.答案书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效，选择题答案必须按要求填涂。
试卷Ⅰ（共60 分）一．选择题（本题共25小题，共60分。
第1~15题为单项选择题，每题2分；第16~25为多项选择题，全部选对的得3分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
）1．物体做匀加速直线运动，其加速度的大小为2 m/s2，下列说法正确的是()A．每间隔1秒，物体的速度就增大2 m/sB．物体在任意一秒末的速度一定是该秒内初速度的2倍C．每间隔0.5秒，物体的速度不一定增大1 m/sD．物体在第3秒末的速度比在第2秒初的速度大2 m/s2．如下图是水平匀速飞行的飞机投掷炸弹瞬间的照片，不计空气阻力，下列判断正确的是( )A.以飞机为参考系，炸弹的运动轨迹是曲线B．以地面为参考系，炸弹的运动轨迹是直线C．研究炸弹的运动轨迹时，可将它视为质点D．研究炸弹的飞行姿态时，可将它视为质点3.如图是高速路上某一“区间测速”的标牌，该路段全长66km、全程限速100 km/h，一辆汽车通过监测起点和终点的速度分别为95km/h和90 km/h，通过测速区间的时间为30 min.下列判断正确的是( ) A．全长66 km属于位移B．起点速度95 km/h属于瞬时速度C．该汽车全程的平均速度是92.5 km/hD．该汽车没有超速4．如右图所示，自行车的车轮半径为R，车轮沿直线无滑动地滚动，当气门芯由轮子的正上方第一次运动到轮子的正下方时，气门芯位移的大小为( )A．πR B．2RC．2πR D．R4＋π25．某物体做匀变速直线运动，初速度为10 m/s ，经过2 s 后，速度大小仍为10 m/s ，方向与初速度方向相反，则在这2 s 内，该物体( ) A ．加速度为0，平均速度为10 m/sB ．加速度大小为10 m/s 2，与初速度同向；平均速度为0 C ．加速度大小为10 m/s 2，与初速度反向；平均速度为0D ．加速度大小为10 m/s 2，平均速度为10 m/s ，二者都与初速度反向 6．关于速度、速度的变化和加速度的关系，下列说法中错误的是( ) A ．速度变化的方向为正，加速度的方向为负 B ．物体加速度增大，速度可能反而越来越小 C ．速度越来越大，加速度可能反而越来越小 D ．加速度可能既不与速度同向，也不与速度反向7．某同学在研究一辆汽车的运动时发现，汽车沿直线运动，以速度v 1＝20 m/s 行驶了13的路程，接着以速度v 2＝30 m/s 跑完了其余的23 的路程，他根据这些数据算出了汽车在全程的平均速度，你看下列哪一个是正确的( ) A ．25 m/s B ．24 m/s C ．23 m/sD ．25.7 m/s8.如图所示为一质点运动的v －t 图像，下列说法正确的是( ) A ．该图像表示质点做曲线运动 B ．10 s 末质点离出发点最远C ．前10 s ，质点的加速度方向与速度方向可能相反D ．0～20 s 质点的加速度先减小后增大9.做单向直线运动的物体，关于其运动状态，下列情况可能的是( ) A ．物体的速率在增大，而位移在减小B ．物体的加速度大小不变且不为零，速率也不变C ．物体的速度为零时加速度达到最大D ．物体的加速度和速度方向相同，当加速度减小时，速度也随之减小10．有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示．根据图像做出的以下判断中正确的是( )A．物体A和B均做匀变速直线运动B．在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小C．t＝3 s时，物体C、D的速度相同D．在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐减小11．观察图所示四幅图，对图中各运动物体的描述正确的是()A．图①中研究投出的篮球运动路径时不能将篮球看成质点B．图②中观众欣赏体操表演时不能将运动员看成质点C．图③中研究地球绕太阳公转时不能将地球看成质点D．图④中研究子弹射穿苹果的时间时可将子弹看成质点12．一只蜜蜂和一辆汽车在平直公路上以相同的速度并列运动．如果这只蜜蜂的眼睛紧盯着汽车车轮边缘上某一点，那么它看到的这一点的运动轨迹应是下图中的()13．一物体做加速度为－1 m/s2的直线运动，t＝0时速度为－5 m/s，下列说法正确的是( ) A．初速度为－5 m/s说明物体在做减速运动B．加速度为－1 m/s2说明物体在做减速运动C．t＝1 s时物体的速度为－4 m/sD．初速度和加速度方向相同，物体在做加速运动14．某质点以20 m/s的初速度竖直向上运动，其加速度保持不变，经2 s到达最高点，上升高度为20 m，又经过2 s回到出发点时，速度大小仍为20 m/s，关于这一运动过程的下列说法中正确的是( )A．质点运动的加速度大小为10 m/s2，方向竖直向下B．质点在这段时间内的平均速率为零C．质点在最高点时加速度为零D．质点落回抛出点时的速度与开始离开抛出点时的速度相同15.如图所示的位移—时间(x－t)图像和速度—时间(v－t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是( )A. 甲车做直线运动,乙车做曲线运动B. 0～t1时间内,甲车通过的路程大于乙车通过的路程C. 0～t2时间内,丙、丁两车在t2时刻相距最远D. 0～t2时间内,丙、丁两车的平均速度相等16.(多选)关于位移和路程，下列说法中正确的是( )A．在某段时间内，质点运动的位移为零，该质点不一定是静止的B．在某段时间内，质点运动的路程为零，该质点不一定是静止的C．在直线运动中，质点位移的大小一定等于其路程D．在曲线运动中，质点位移的大小一定小于其路程17．(多选)有人提出“加速度的变化率”的概念，基于你的理解，下列说法正确的是()A．“加速度的变化率”的单位应是m/s3B．加速度的变化率为零的运动是匀速直线运动C．若加速度与速度同方向，如图所示的a－t图像表示的是物体的速度在减小D．若加速度与速度同方向，如图所示的a－t图像表示的是物体的速度在增大18.(多选)下列关于瞬时速度和平均速度的说法正确的是( )A．若物体在某段时间内任一时刻的瞬时速度都等于零，则它在这段时间内的平均速度一定等于零B．若物体在某段时间内的平均速度等于零，则它在这段时间内任一时刻的瞬时速度一定都等于零C．匀速直线运动中，物体在任意一段时间内的平均速度等于它在任一时刻的瞬时速度D．变速直线运动中，物体在任意一段时间内的平均速度一定不等于它在某一时刻的瞬时速度19.(多选)一质点沿一边长为2 m的正方形轨道运动，每秒钟匀速移动1 m，初始位置在bc 边上的中点A，由A向c运动，如图2所示，A、B、C、D分别是bc、cd、da、ab边的中点，则下列说法正确的是( )A．第2 s末的瞬时速度是1 m/sB．前2 s内的平均速度为22m/sC．前4 s内的平均速度为0.5 m/sD．前2 s内的平均速度为2 m/s20.(多选)如图甲所示，火箭发射时，速度能在10 s内由0增加到100 m/s；如图乙所示，汽车以108 km/h的速度行驶，急刹车时能在2.5 s内停下来，下列说法中正确的是( ) A．10 s内火箭的速度改变量为10 m/sB．2.5 s内汽车的速度改变量为－30 m/sC．火箭的速度变化比汽车的快D．火箭的加速度比汽车的加速度小21.(多选)质点由静止开始做直线运动，加速度与时间的关系如图所示，t2＝2t1，则( )A.质点一直沿着正方向运动B．质点在某个位置附近来回运动C．在0～t2时间段内，质点在t1时刻的速度最大D．在0～t2时间段内，质点在t2时刻回到出发点22.(多选)骑自行车的人沿斜坡直线向下行驶，在第1 s、第2 s、第3 s、第4 s内通过的位移分别是1 m、2 m、3 m、4 m，有关其运动的描述，下列说法中正确的是A.整个过程中的平均速度是2.5 m/sB.在第3、4两秒内的平均速度是3.5 m/sC.第3 s末的瞬时速度为3 m/sD.该运动一定是匀加速直线运动23.(多选)跳伞运动员从高空悬停的直升机上跳下，运动员沿竖直方向运动的v－t图像如图5所示，下列说法中正确的是( )A．0～10 s内运动员做加速度逐渐减小的加速运动B．15 s以后运动员处于静止状态C．0～15 s内运动员的加速度方向始终与速度方向相同D．运动员在10～15 s内的平均加速度大小等于2 m/s224.(多选)若某物体做直线运动的v－t图像如下图所示，则下列说法正确的是( )A．t＝3 s时物体运动的速度方向发生改变B．t＝3 s时物体运动的加速度方向发生改变C．t＝3 s时物体离出发点最远D．t＝3 s时物体的加速度为零25.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x－t)图线．由图可知( )A．在时刻t1，a车追上b车B．在时刻t2，a、b两车运动方向相反C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大D．t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大试卷Ⅱ（共40 分）二、实验填空题：（每空2分，共16分）26.(1)电磁打点计时器使用的电源是____________(填“交变6V”或“交变220 V”)电源，实验室使用我国民用电(频率50 Hz)时，如果每相邻的计数点间还有4个点未标出，则相邻两个计数点的时间间隔为________ .(2)在“练习使用打点计时器”的实验中，某同学选出了一条清晰的纸带，并取其中的A、B、C…七个点进行研究，这七个点和刻度尺标度对应的位置如图所示．(打点计时器所用电源频率为50 Hz)可求出A点到D点的距离是________ cm.(3)由实验数据可得A点到D点的平均速度是________ m/s；B点的瞬时速度是________m/s.(结果均保留两位有效数字)27.如图所示是一条打点计时器打出的纸带，电源频率为50 Hz,0、1、2、3、4、5、6是七个计数点．每相邻两个计数点之间还有四个点未画出，各计数点到0的距离如图所示．(1)求出2、4计数点的瞬时速度并填入表格．v1v2v3v4v5数值/(m·s－1)0.200.610.70(2)在下图直角坐标系中画出运动物体的速度—时间图像．二．计算题（本题共3小题，共24分.解答应有必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分．有数值计算的，答案中必须写出数值和单位。
甘肃省临夏州临夏中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷含答案
2020-2021学年甘肃省临夏州临夏中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（共60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}2．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．3．（5分）若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．4．（5分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（）A．1，﹣3B．3，﹣1C．1，2D．（3，0），（﹣1，0）5．（5分）函数f（x）＝+lg的定义域是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（2，3）∪（3，4]D．[2，3）∪（3，4）6．（5分）函数的零点一定位于下列哪个区间（）A．B．C．D．7．（5分）已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b8．（5分）已知幂函数f（x）＝kx a的图象过点（2，），则k+a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣29．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝5，AD＝4，AA1＝3，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为（）A．B．C．50πD．200π10．（5分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法错误的是（）A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增B．f（x）在区间（1，4）上单调递减C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x）的图象关于点（1，0）对称二、填空题（共20分）13．（5分）若直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则直线a与b的位置关系为．14．（5分）设g（x）＝，则g（g（））＝．15．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于．16．（5分）给出下列结论：①；②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限：④函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）．其中正确的序号是．三、解答题（共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）计算：．18．（12分）已知函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，C＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E．F分别为A1B，A1C 的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．（1）求证：AN⊥平面BCM；（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）解不等式f（lnx）＞0．2020-2021学年甘肃省临夏州临夏中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共60分）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】判定函数为奇函数排除B，C；分别求出f（）与f（1）的值排除D．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，又f（﹣x）＝，∴f（x）为奇函数，排除B，C；又f（）＝＞0，f（1）＝0，∴排除D．故选：A．【点评】本题考查函数的图象及图象变换，考查函数奇偶性的判定及其应用，是基础题．3．（5分）若x＞0，y＞0，n∈N*，则下列各式中，恒等的是（）A．lgx•lgy＝lgx+lgy B．lgx2＝（lgx）2C．D．【分析】根据对数的运算性质判断每个选项的等式是否恒等即可．【解答】解：A．lgx+lgy＝lg（xy）≠lgx•lgy，∴该式不恒等；B．lgx2＝2lgx≠（lgx）2，∴该式不恒等；C.，∴该式恒等，该选项正确；D.，∴该式不恒等．故选：C．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数y＝x2﹣2x﹣3的零点是（）A．1，﹣3B．3，﹣1C．1，2D．（3，0），（﹣1，0）【分析】函数y＝x2﹣2x﹣3的零点即对应方程的根，故只要解二次方程即可．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）＝0，x＝3或x＝﹣1，所以函数y＝x2﹣2x ﹣3的零点是3或﹣1故选：B．【点评】本题考查函数的零点的概念和求法．属基本概念、基本运算的考查．5．（5分）函数f（x）＝+lg的定义域是（）A．（2，4）B．（3，4）C．（2，3）∪（3，4]D．[2，3）∪（3，4）【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得：2≤x＜3或3＜x＜4，故函数的定义域为[2，3）∪（3，4）．故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决此类问题的关键．6．（5分）函数的零点一定位于下列哪个区间（）A．B．C．D．【分析】判断函数是连续函数，利用零点判断定理，判断选项即可．【解答】解：函数是连续函数，f（2）＝+2﹣2＝＞0，f（）＝+2＝＜0，可得f（2）f（）＜0，由零点判断定理可知函数的零点在（，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．7．（5分）已知，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log20.2＜log21＝0，20.2＞20＝1，0＜0.20.3＜0.20＝1，∴a＜c＜b．故选：D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于简单题．8．（5分）已知幂函数f（x）＝kx a的图象过点（2，），则k+a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】由幂函数的定义和解析式求出k的值，把已知点代入求出a的值，可得答案．【解答】解：∵f（x）＝k•x a是幂函数，∴k＝1，幂函数f（x）＝x a的图象过点（2，），∴2a＝，则a＝﹣2，则k+a＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题．9．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝5，AD＝4，AA1＝3，且此长方体内接于球O，则球O的表面积为（）A．B．C．50πD．200π【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，∴长方体的对角线，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为，可得半径，因此，该球的表面积为，故选：C．【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养，球的表面积的计算等知识，属于基础题．10．（5分）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2＝R2+r2，∴R2＝r2，∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为：πr2＝πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选：A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．C．D．【分析】作出平面AMN的过直线BD的平行平面a，求解即可【解答】解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截该正方体所得截面为平面BDFEBD＝，EF＝＝，DF＝，梯形BDFE如图：过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，∴FG＝＝＝，故四边形BDFE的面积为＝．故选：B．【点评】本题考查正方体截面面积的求法，平面平行的判定，等知识，综合考查证明和计算，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），则下列说法错误的是（）A．f（x）在区间（﹣2，1）上单调递增B．f（x）在区间（1，4）上单调递减C．f（x）的图象关于直线x＝1对称D．f（x）的图象关于点（1，0）对称【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断单调区间，根据f（1+x）＝f（1﹣x）判断函数对称轴，判断f（2﹣x）＝﹣f（x）是否成立，从而判断函数是否关于（1，0）对称．【解答】解：由f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x），可得：，解得﹣2＜x＜4，因为f（x）＝ln（x+2）+ln（4﹣x）＝ln[（x+2）（4﹣x）]＝ln（﹣x2+2x+8），令t（x）＝﹣x2+2x+8，开口向下，对称轴为x＝1，所以函数t（x）在（﹣2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，根据复合函数的单调性可得f（x）在（一2，1）上单调递增，在（1，4）上单调递减，故A，B正确；因为f（1﹣x）＝ln（3﹣x）+ln（3+x），f（1+x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x），所以f（1+x）＝f（1﹣x），所以函数f（x）的图象关于x＝1对称，故C正确，因为f（2﹣x）＝ln4+ln（x+2），﹣f（x）＝﹣ln（x+2）﹣ln（4﹣x），因为f（2﹣x）≠﹣f（x），所以f（x）的图象不关于点（1，0）对称，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了复合函数的单调性，“同增异减”，利用判定函数的对称轴，注意复合函数的定义域是研究单调区间的前提，属于中档题．二、填空题（共20分）13．（5分）若直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则直线a与b的位置关系为平行或异面．【分析】以长方体为截体，列举出所有情况，由此能判断线a与b的位置关系．【解答】解：直线a∥平面α，直线b⊂平面α，如图，在正方体AC1中，A1B1∥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AB∥A1B1；A1B1∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，A1B1与BC是异面直线．则直线a与b的位置关系为平行或异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查空间中线线间的位置关系的判断等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．14．（5分）设g（x）＝，则g（g（））＝．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）＝，∴g（）＝ln＝﹣ln2＜0，∴g（g（））＝g（﹣ln2）＝e﹣ln2＝＝2﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．15．（5分）已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于3π．【分析】根据圆角轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【解答】解：∵圆锥的轴截面是正三角形ABC，边长等于2∴圆锥的高AO＝×，底面半径r＝×2＝1∴这个圆锥的表面积：S＝πrl+πr2＝π×1×2+π×12＝3π．故答案为：3π．【点评】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）给出下列结论：①；②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限：④函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）．其中正确的序号是③④．【分析】由题意，①可根据指数的运算判断；②可由二次函数的性质判断；③由幂函数的性质判断；④由指数函数的性质判断．【解答】解：①不正确，因为等号左边是正数，右边是负数；②∵y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，∴y在x＝0时取到最小值1，故函数的值域不是[2，5]，此结论错误；③幂函数图象一定不过第四象限，由幂函数的性质知，此结论正确：④对于函数f（x）＝a x+1﹣2（a＞0，a≠1），令x+1＝0解得x＝﹣1，此时函数f（x）的值是﹣1，故函数的图象过定点（﹣1，﹣1），此结论正确．综上得，③④结论正确．故答案为：③④．【点评】本题考查命题真假的判断，解答的关键是熟练掌握所判断的命题的背景知识及命题真假判断的原理，本题属于简单题，三、解答题（共70分）17．（10分）（1）计算：；（2）计算：．【分析】（1）利用指数性质、运算法则直接求解．（2）利用对数、指数性质、运算法则直接求解．【解答】解：（1）＝+100+﹣3+＝100．（2）＝﹣﹣2+1＝﹣．【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）已知函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，C＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）求A∩B；（2）若B∪C＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B．（2）由B∪C＝B，知C⊆B，当C＝∅时，则2a＞a+3，当C≠∅时，则，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域A，g（x）＝﹣x2+1的值域为B，由题，可得，解得﹣1≤x＜2且x≠1，∴函数f（x）的定义域A＝{x|﹣1≤x＜2且x≠1}，∵对任意x∈R，x2≥0，所以﹣x2+1≤1，∴函数g（x）的值域B＝{y|y≤1}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜1}．（2）C＝{x|2a≤x≤a+3}，由B∪C＝B，知C⊆B，当C＝∅时，则2a＞a+3，解得a＞3；当C≠∅时，则，解得a≤﹣2．综上，实数a的取值范围为{a|a＞3或a≤﹣2}．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD ＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．【分析】四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面，V＝V圆台﹣V圆锥，进而得到答案．【解答】（12分）解：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，S表面＝S圆台底面+S圆台侧面+S圆锥侧面＝π×52+π×（2+5）×5+π×2×2＝（4+60）π．V＝V圆台﹣V圆锥＝π（+r1r2+）h﹣πr2h′＝π（25+10+4）×4﹣π×4×2＝π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆台和圆锥的体积和表面积，难度中档．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E．F分别为A1B，A1C 的中点，D为B1C1上的点，且A1D⊥B1C．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）若三棱柱所有棱长都为a，求二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值．【分析】（1）由EF∥BC，即可证EF∥平面ABC；（2）由A1D⊥平面BCC1B1，即可证平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）由二面角的平面角的作法可得：∠A1HD是二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角，再运算即可得解．【解答】（1）证明：因为E，F分别为A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，又EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，故EF∥平面ABC；（2）证明：∵BB1⊥平面A1B1C1，A1D⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1D，∵A1D⊥B1C，B1C∩BB1＝B1，∴A1D⊥平面BCC1B1，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BCC1B1；（3）解：此时，D为B1C1的中点，过点D作B1C垂线，垂足为H，连接A1H，∵A1D⊥B1C，DH⊥B1C，A1D∩DH＝D，∴B1C⊥平面A1DH，B1C⊥A1H，则∠A1HD是二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角，∴，，，故二面角A1﹣B1C﹣C1的平面角的正切值为．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．（1）求证：AN⊥平面BCM；（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．【分析】（1）根据AC2+BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四边形ACMN为正方形，进而即可求证；（2）先算出点M到平面GBC的距离即为AC＝2，由，可求出，设点G到平面BCM的距离为h，则，进而求出点G到平面BCM的距离．【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点，∵AC＝BC＝2，，∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴BC⊥平面ACFD，则BC⊥AN，∵M、N分别为AD、CF的中点，且AD＝4，AC＝2，∴四边形ACNM为正方形，则CM⊥AN，又BC∩CM＝C，∴AN⊥平面BCM；（2）由（1）知，即AC⊥BC，又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA∥FC，则点M到平面GBC的距离即为AC＝2，∴＝，由（1）知，BC⊥CM，且，∴，设点G到平面BCM的距离为h，则，∴，则，即点G到平面BCM的距离为．【点评】本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．22．（12分）已知函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（3）解不等式f（lnx）＞0．【分析】（1）由定义在R上的奇函数f（0）＝0，即可求得a值；（2）判断f（x）在R上是增函数，利用单调性的定义即可证明；（3）由f（lnx）＞0，可得，解之即可得解．【解答】解：（1）∵e x+1≠0的解集是R，∴f（x）的定义域是R．又∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝0．∴f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1．经检验知，当a＝1时，f（﹣x）＝﹣f（x），符合题意．（2）由（1）知，经判断可知f（x）在R上是增函数．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣＝，∵y＝e x为增函数，x1＜x2，∴0．∴＞0，＞0 ＜0．∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在R上是增函数．（3）由，可得，∴，解得x＞1，∴原不等式的解集为（1，+∞）．【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题．。
安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高一上学期第一次阶段考试数学试卷含答案
2020-2021学年度第一学期高一第一次阶段考试数学试卷时间：120分钟 满分：150分一．单选题（每题5分，共8题）1.若0a b >>，则下面不等式中成立的是( )A.2a b a b +>>>2a ba b +>>>C.2a b a b +>>>2a ba b +>>> 2.下面关于集合的表示正确的个数是( )①{2,3}≠{3,2}； ②{(x,y)|x +y =1}={y|x +y =1}； ③{x|x >1}={y|y >1}； ④{x|x +y =1}={y|x +y =1}．A. 0B. 1C. 2D. 33.已知1(0,)4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．1104.命题“所有能被2整除的整数都偶数”的否定( ) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数5.已知0,0,22x y x y >>+=,则x y 的最大值为（ ）B.1C.12D.146.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y <<.其中能成为x y >的充分条件的是( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④7.函数y =2x +2x−2(x >2)的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 108.某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为%R (即每销售100元征税R 元)，若年销售量为5302R ⎛⎫- ⎪⎝⎭万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是( ) A.[]4,8B.[]6,10C.[]4%,8%D.[]6%,100%二、不定项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·河北高二学业考试）已知集合{}012M =,,，{}1,2N =，则M N ⋃=（ ）．A ．{}1,2B ．{}0C ．{}0,1,2D ．{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得：{}0,1,2M N =.故选：C.2．（2019·浙江高二学业考试）已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >，则a b b >≥，即a b >，故22a b >. 取1,2a b ==-，此时22a b >，但a b <， 故22a b >推不出a b >， 故选：A.3．（2019·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D.4．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试（理））设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，532b =，21log 3c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，503221>=，221log log 103<=， ∴c a b <<. 故选：C5．（2020·江苏南通市·高三期中）已知角α的终边经过点()3,4P ，则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．50-B ．50C ．50-D ．50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ，5OP ∴==，由三角函数的定义知：3cos 5α=，4sin 5α， 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选：A.6．（2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中）函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()3f x +关于3x =-对称，若()21f -=，则()21f x -≤的x 的取值范围（ ）A ．[]22-,B ．(][),22,-∞-+∞C ．()[),04,-∞+∞D ．[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称，所以()()221f f -==， 又()f x 在[)0,+∞单调递增，由()21f x -≤可得222x -≤-≤，解得：04x ≤≤， 故选：D7．（2020·浙江高一期末）对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确；当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误； 当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④错误. 故选：A8．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知， 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图，由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点(1,1)对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选：A9．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解：因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B.10．（2020·河北高二学业考试）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则不等式()2f x ≤的解集是（ ）． A ．[]3,3- B ．[]4,4-C ．(][),33,-∞-+∞D ．(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时，()()2log 1f x x =+，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴在R 上单调递增，易知()()223log 31log 42f =+==，()()332f f -=-=-， 由()2f x ≤， 解得：()22f x -≤≤， 由()f x 在R 上单调递增， 解得：33x -≤≤，()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选：A.第II 卷 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．（2020·上海青浦区·高三一模）圆锥底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π； 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ，所以圆锥的底面周长为2cm π， 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==， 故答案为：π.12．（2020·浙江宁波市·高三期中）设2log 3a =，则4a =______（用数值表示），lg 36lg 4=______.（用a 表示）【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =，22394429log log a ∴===，4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+， 故答案为：9，1a +．13．（2020·深圳科学高中高一期中）某移动公司规定，使用甲种卡，须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）30元，在国内通话时每分钟另收话费0.10元；使用乙种卡，不收“基本月租费”，但在国内通话时每分钟话费为0.2元．若某用户每月手机费预算为50元，则使用__________种卡才合算；若要使用甲种卡合算，则该用户每月手机费预算（元）的区间为__________． 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意，设月通话时间为t 分钟，有甲费用为300.1t +，乙费用为0.2t ， ∴每月手机费预算为50元，则：由300.150t +=知，甲的通话时间为200分钟， 由0.250t =知，乙的通话时间为250分钟， ∴用户每月手机费预算为50元，用乙种卡合算；要使用甲种卡合算，即月通话时间相同的情况下甲费用更低，即300.10.2t t +<， 解得300t >时，费用在(60,)+∞. 故答案为：乙，(60,)+∞14．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______． 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时，由13x e -≤得1ln3x ≤+，所以1x <； 当1≥x 时，由213x ≤得9x ≤，所以19x ≤≤． 综上，符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞． 故答案为：(,9]-∞.15．（2020·辽宁本溪市·高二月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为110m ，到达最高点时，距离地面的高度为120m ，能看到方圆40km 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到min t 后距离地面的高度为m H ，则转到10min 后距离地面的高度为______m ，在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤. 【解析】如图，设座舱距离地面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系.设0min t =时，游客甲位于点()0,55P -，以OP 为终边的角为π2-； 根据摩天轮转一周大约需要30min ， 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad ， 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，030t ≤≤.当10t =时，π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：1852；π55cos 6515H t =-+，030t ≤≤ 16．（2020·浙江建人专修学院高三三模）已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =，所以43a =，即2a =01a <<，所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17．（2020·上海虹口区·高三一模）已知(0,)απ∈，且有12sin2cos2αα-=，则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,)απ∈，所以sin 0α≠，因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈，而22sin cos 1(1)αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈，因此cos α=.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末（文））函数()22xxaf x =-是奇函数． ()1求()f x 的解析式；()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()122xxf x =-；（2）5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数， ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-，故1a =， 故()122xx f x =-； ()2当()0,x ∈+∞时，()24x f x m ->⋅+恒成立，即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立，令()2(2)42x xh x =-⋅，(0)x >，显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-， 故14m +<-，解得：5m <-．19．（2020·宁夏长庆高级中学高三月考（理））已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】（1）最小正周期为2π；（2）()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈，所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当433x ππ+=，即x π=时，函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤，得6x ππ≤≤，所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20．（2019·河北师范大学附属中学高一期中）已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-，方程()0f x =的解集为{}0,2.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）21()2f x x x =-+；（2）存在；2m =-，0n =. 【解析】（1）由已知，设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-，所以()4442a -=-，解得12a =-， 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+； （2）假设满足条件实数m ，n 的存在， 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，因此122n ≤，即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线，且对称轴方程1x =，可知()f x 在区间[],m n 上递增，故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩，并注意到14m n <≤，解得2m =-，0n =. 综上可知，假设成立，即当2m =-，0n =时，()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21．（2020·山西吕梁市·高三期中（文））已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=，求ϕ的值. 【答案】（1）37π；（2）14π. 【解析】（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 可知：236T πππω-≤=，故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 4x π∴=时，函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+， 又因为012ω<≤，所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. （2）由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考）设函数()()21x x a t f x a--=（0a >，且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）求t 的值；（2）若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，是否存在正数()1m m ≠，使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2t =；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，∴2t =；经检验知符合题意.（2）函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2132a a -=， ∴2a =（12a =-舍去）， 假设存在正数m ，且1m ≠符合题意，由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦， 设22x x t -=-，则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+，∵[]21,log 3x ∈，2[2,3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记()22h t t mt =-+， ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0，∴（i ）若01m <<时，则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1， 由于对称轴122m t =<，∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭，不合题意. （ii ）若1m 时，则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，且最大值为1，最小值大于0， ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩， 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 故()g x 在[]21,log 3无意义， 所以7324m =应舍去； ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解， 综上所述：故不存在正数m ，使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0．。
2020-2021学年河北省石家庄市高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y），则A∩B＝（）A．{（﹣1，﹣1）}B．{（1，﹣1）}C．{（﹣1，1）}D．{（1，1）} 2．（5分）已知，则＝（）A．5B．C．6D．3．（5分）下列函数中与函数值域相同的是（）A．y＝log4x B．y＝2x C．D．y＝x2﹣2x+1 4．（5分）若0＜a＜1，则“log a|x|＞log a|y|”是“a x＞a y”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）的最小值是1D．f（x）的值域为（0，+∞）6．（5分）设a＝log38，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5分）已知函数f（x）＝|log3x|在上的值域为[0，2]（3m）的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[1，3]D．[0，3]8．（5分）已知函数，函数g（x）＝（m﹣1）x（1≤x≤2）．若任意的x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的取值范围为（）A．B．（1，+∞）C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（）A．1、4B．1、2C．2、1D．2、410．（5分）若函数f（x）＝在R上为单调增函数，则实数b的值可以为（）A．1B．C．2D．311．（5分）如图是三个对数函数的图象，则（）A．a＞1B．0＜b＜1C．2b＜2c＜2a D．c＜b12．（5分）已知函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点，其图象是连续不断的，若f（0），f（1）f（2）f（3）＜0，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（1，2）内B．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（1，2）和（2，3）内C．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（2，3）内D．函数f（x）的两个零点不可能同时在区间（1，2）内三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数，则＝，函数f（x）的定义域为．14．（5分）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x≤a}，则a的取值范围是．15．（5分）若正实数a，b满足，则a+b的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝m•22x+n•2x+n2﹣2n﹣1（m，n∈R）存在最小值，且对于n的所有可能的取值都满足f（0），则m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17．（10分）已知角θ的终边上有一点，且．（1）求实数m的值；（2）求sinθ，tanθ的值．18．（12分）已知．（1）化简f（θ）；（2）若θ为第四象限角，且，求f（θ）的值．19．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝log a x（a＞1），并且它在上的最大值为1（1）求a的值；（2）令，判断函数F（x）的奇偶性（x）的值域．20．（12分）设指数函数f（x）＝（m+2）x，幂函数g（x）＝（m2+m+1）x3．（1）求m；（2）设a＜0，如果存在x1，x2∈[﹣2，2]，使得af（x1）＞g（x2），求a的取值范围．21．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式．22．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）关于x的方程f（﹣x2+ax）＝0恰有三个解，求实数a的取值集合；（3）若f（x1）＝f（x2）＝m，且x2＞2x1＞0，求实数m的取值范围．2020-2021学年河北省石家庄市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y），则A∩B＝（）A．{（﹣1，﹣1）}B．{（1，﹣1）}C．{（﹣1，1）}D．{（1，1）}【分析】解方程组即可得出A∩B的元素，从而得出A∩B．【解答】解：由得，∴A∩B＝{（1，3）}．故选：D．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知，则＝（）A．5B．C．6D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】解：因为，所以．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，属于基础题．3．（5分）下列函数中与函数值域相同的是（）A．y＝log4x B．y＝2x C．D．y＝x2﹣2x+1【分析】分别求出函数的值域，进行对比即可．【解答】解：函数≥0的值域为[0，A．函数的值域为R．B．函数的值域为（0，不满足条件．C．函数的值域为{y|y≠3}．D．y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2≥6，值域是[0．故选：D．【点评】本题主要考查函数值域的求解，求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．4．（5分）若0＜a＜1，则“log a|x|＞log a|y|”是“a x＞a y”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用对数的性质从必要性和充分性两个方面进行判断即可．【解答】解：因为0＜a＜1，所以当log a|x|＞log a|y|时，|x|＜|y|，所以充分性不成立；当a x＞a y时，x＜y，所以必要性不成立，故“log a|x|＞log a|y|”是“a x＞a y”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了对数性质的理解和应用，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．5．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）的最小值是1D．f（x）的值域为（0，+∞）【分析】画出函数的图象，然后判断选项即可．【解答】解：函数，的图象如图：由图象可知，函数不是偶函数，也不是增函数．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的简单性质，考查计算能力．6．（5分）设a＝log38，b＝log0.50.2，c＝log424，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用对数的运算性质及其对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a＝log38∈（4，2），∵b＝log0.40.2＝＝＝＝log23＝，c＝log424＝，∴b＞c＞2．∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查了对数的运算性质及其对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）＝|log3x|在上的值域为[0，2]（3m）的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[1，3]D．[0，3]【分析】根据对数函数的图象和性质，得到m的取值范围，结合对数函数的单调性进行求解即可．【解答】解：f（）＝|log6|＝|﹣4|＝2，由f（x）＝0，即m∈[3，9]，27]上单调递增，3]．故选：C．【点评】本题主要考查函数值域的应用，结合对数函数的图象和性质是解决本题的关键，是基础题．8．（5分）已知函数，函数g（x）＝（m﹣1）x（1≤x≤2）．若任意的x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的取值范围为（）A．B．（1，+∞）C．D．【分析】由分离变量转化f（x），讨论m＜1和m≥1，结合指数函数和一次函数的单调性，求得f（x），g（x）的最值，由题意可得f（x）的值域为g（x）的子集，解不等式可得所求范围．【解答】解：由，①当m≥5时，函数f（x）单调递减，可得f（x）∈[，]，2m﹣8]，由题意可得m﹣1≤＜≤4m﹣2，解得；②当m＜4时，函数f（x）单调递增，此时，必有2m﹣7≤＜≤m﹣1，解得m∈∅．故实数m的取值范围为．故选：D．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及函数的最值求法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的半径、扇形的圆心角的弧度数可以是（）A．1、4B．1、2C．2、1D．2、4【分析】设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，然后求出周长以及面积，联立方程即可求解．【解答】解：设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得，解得或，故选：AC．【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式用，考查了运算能力，属于基础题．10．（5分）若函数f（x）＝在R上为单调增函数，则实数b的值可以为（）A．1B．C．2D．3【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得b的取值范围，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则有，解可得1≤b≤6，分析选项可得：b＝1、、2符合题意，故选：ABC．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数单调性的定义，属于中档题．11．（5分）如图是三个对数函数的图象，则（）A．a＞1B．0＜b＜1C．2b＜2c＜2a D．c＜b【分析】由题意利用指数函数、对数函数的性质，得出结论．【解答】解：ABC由对数函数图象得a＞1，0＜b，令y＝2，由log b b＝log c c＝1，及已知图象得b＜c．而y＝2x是增函数，∴2b＜2c＜2a，故选：ABC．【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的性质，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点，其图象是连续不断的，若f（0），f（1）f（2）f（3）＜0，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（1，2）内B．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（1，2）和（2，3）内C．函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（2，3）内D．函数f（x）的两个零点不可能同时在区间（1，2）内【分析】根据函数零点的判断方法，结合题意，利用图形判断即可．【解答】解：对于A，由f（0）＞0，可令f（1）＜0，f（3）＞8得函数f（x）的两个零点可以分别在区间（0，1）和（5，A正确；对于B，由f（0）＞0，可令f（1）＞0，f（3）＞5得函数f（x）的两个零点可以分别在区间（1，2）和（3，B正确；对于C，由f（0）＞0，1）和（3，则f（1）＜0，f（2）＜0，所以f（1）f（2）f（3）＞2，如图3所示：所以函数f（x）的两个零点不能分别在区间（0，4）和（2，C错误；对于D，如果函数f（x）的两个零点都在区间（1，如图5所示：由f（0）＞0，则f（1）＞0，所以f（3）＞6，所以函数f（x）的两个零点不能都在区间（1，2）内．故选：ABD．【点评】本题考查了函数零点的判断问题，应考虑全面，结合图形判断求解，是中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数，则＝，函数f（x）的定义域为（0，1）∪（1，2]．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，得，得4＜x＜1或1＜x≤3，即函数的定义域为，（0，2]．．故答案为：，（0，2]．【点评】本题主要考查函数值的计算以及函数定义域的求解，结合函数成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．14．（5分）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x≤a}，则a的取值范围是[2，3）．【分析】利用集合交集的定义结合数轴进行分析求解即可/【解答】解：A＝{1，2，2}，A∩B有两个元素，可得a的取值范围是[2，3）．故答案为：[4，3）．【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．15．（5分）若正实数a，b满足，则a+b的最小值为3+．【分析】利用1的代换以及基本不等式即可求解．【解答】解：因为a+b＝，当且仅当＝2a时取等号，故答案为：2+．【点评】本题考查了基本不等式的应用，涉及到1的代换思想，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）＝m•22x+n•2x+n2﹣2n﹣1（m，n∈R）存在最小值，且对于n的所有可能的取值都满足f（0），则m的取值范围为[1，+∞）．【分析】令t＝2x，t∈（0，+∞），则y＝mt2+nt+n2﹣2n﹣1，由题意可得m+n+n2﹣2n﹣1＞0对任意n＜0恒成立，即m＞﹣n2+n+1，由配方法求得﹣n2+n+1的范围，可得m的取值范围．【解答】解：令t＝2x，t∈（0，+∞）6+nt+n2﹣2n﹣2．∵函数f（x）存在最小值，∴m＞0，，即n＜8．又f（0）＞0，则m+n+n2﹣2n﹣1＞0对任意n＜5恒成立，即m＞﹣n2+n+1＝，得m≥1．∴m的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查化归与转化思想，考查二次函数最值的求法，是中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17．（10分）已知角θ的终边上有一点，且．（1）求实数m的值；（2）求sinθ，tanθ的值．【分析】（1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，进而即可解得m的值．（2）根据m的值，分类讨论利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：（1）由三角函数的定义有，，解得，故实数m的值为．（2）①当时，，，②当时，，．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．18．（12分）已知．（1）化简f（θ）；（2）若θ为第四象限角，且，求f（θ）的值．【分析】（1）由三角函数诱导公式即可化简得解．（2）由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：（1）由三角函数诱导公式有：．（2）因为θ为第四象限角，且，可得，可得．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）＝log a x（a＞1），并且它在上的最大值为1（1）求a的值；（2）令，判断函数F（x）的奇偶性（x）的值域．【分析】（1）根据函数的单调性和最值建立方程进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的定义进行判断，结合函数单调性的性质求解值域即可．【解答】解：（1）因为a＞1，则f（x）max＝f（3）＝log a3＝8，则a＝3；（2）∵a＝3，∴＝，由，∴函数F（x）的定义域关于原点对称．∵F（﹣x）＝F（x），∴F（x）为偶函数.，，令，∴．∴F（x）的值域为（﹣∞，﹣2]．【点评】本题主要考查与对数函数有关的单调性和奇偶性的判断，利用对数函数的性质结合函数性质的定义是解决本题的关键．20．（12分）设指数函数f（x）＝（m+2）x，幂函数g（x）＝（m2+m+1）x3．（1）求m；（2）设a＜0，如果存在x1，x2∈[﹣2，2]，使得af（x1）＞g（x2），求a的取值范围．【分析】（1）由题意利用指数函数、幂函数的定义和性质，求得m的值．（2）由题意可得当x1，x2∈[﹣2，2]时，[af（x1）]max＞[g（x2）]min，求得[af（x1）]max和[g（x2）]min，可得a的范围．【解答】解：（1）由指数函数f（x）＝（m+2）x，幂函数g（x）＝（m2+m+6）x3，可得m2+m+5＝1，m+2≠7，求得m＝0．（2）由（1）知f（x）＝2x，g（x）＝x7，∵存在x1，x2∈[﹣4，2]1）＞g（x8），等价于当x1，x2∈[﹣5，2]时1）]max＞[g（x6）]min，又a＜0，所以，，由，得a＞﹣32，所以，a∈（﹣32．【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的定义和性质，求函数的最值，属于中档题．21．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式．【分析】（1）结合奇函数的性质可知f（0）＝0，然后结合奇函数定义得f（﹣1）＝﹣f （1），代入可求a，b，（2）结合（1）中f（x）解析式，代入后，利用指数函数的单调性可求．【解答】解：（1）由题意可知，，整理得，又由f（﹣5）＝﹣f（1），即，整理得，即，解得a＝1，所以，当a＝b＝2时，经检验，所以a＝b＝1；（2）由（1）可知，，不等式时化为，有2⋅（2x﹣2x）+（2x+6）2≤3⋅7x⋅（2x+1）有，得故不等式的解集为．【点评】本题主要考查了利用奇函数的定义及性质求解函数解析式，还考查了利用指数函数的单调性求解不等式，体现了转化思想的应用．22．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）关于x的方程f（﹣x2+ax）＝0恰有三个解，求实数a的取值集合；（3）若f（x1）＝f（x2）＝m，且x2＞2x1＞0，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用换元法，直接解出；（2）换元法直接解，转化成方程的根的问题，即即x2﹣ax+64＝0恰有一解，即可解出；（3）换元法，设log2x1＝t1，log2x2＝t2，即可转化成关于t的函数，再利用根与系数的关系，即可解出．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为x∈（0，+∞）2x＝t∈R，则，所以f（x）的值域为[﹣32，+∞）；（2）设log2x＝t∈R，由（1）可知，令g（t）＝4，解得t1＝﹣2，t4＝6，所以log2x＝﹣4或log2x＝6，解得，因为f（﹣x2+ax）＝8恰有三个解，所以2+ax＝64恰有三个解，即x2﹣ax+64＝4恰有一解，所以Δ＝a2﹣4×64＝4，解得a＝±16，所以a的取值集合为{16，﹣16}；（3）设log2x1＝t8，log2x2＝t7，因为x2＞2x5，所以log2x2＞log4x1+1，即t8＞t1+1，则g（t）＝（7t+4）（t﹣6）＝m的两根为t4，t2，整理得2t3﹣8t﹣m﹣24＝0，所以t7+t2＝4，，所以t8＝4﹣t1＞t4+1，∴，t＝＝﹣，∴解得．【点评】本题考查了函数中常用的换元法，转化与划归思想，属于中档题．。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。
2021-2022学年河北省邯郸市大名县第一中学高一下学期开学摸底考数学试卷含详解
2021-2022学年第二学期高一开学考试数学试题2022.6一、单择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知向量(1,3),(2,1)a b →→==-，则23a b →→-=（）A.(8,3)- B.(8,3)-- C.(8,3)D.(8,3)-2.在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C =A.30︒B.150︒C.45︒D.135︒3.在ABC 中，60,A a b ︒===B 等于（）A.45︒B.45︒或135︒C.135︒D.以上答案都不对4.复数12ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为（）A.12i-- B.12i-+ C.2i-- D.2i-+5.从2,4,6,8中任取2个不同的数,a b ，则4a b -=的概率是（）A.12B.13C.14 D.166.如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A.4B.6C.8D.2+7.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AB ，DD 1中点，则异面直线A 1M 与C 1N 所成的角是（）A.0B.4π C.3πD.2π8.若所有棱长都是111ABC A B C -的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.20πB.24πC.28πD.32π二、多选题（每小题5分，全部选对5分，部分选对2分，有选错的0分）9.甲､乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（）A.甲获胜的概率是16B.甲不输的概率是23C.乙输的概率是23D.乙不输的概率是1210.如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为侧棱PA 、PB 的中点，O 是底面四边形ABCD 对角线的交点，下列结论正确的有（）A.//PC 平面OMNB.平面//PCD 平面OMNC.OM PA⊥ D.PD ⊥平面OMN11.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组），则下列结论正确的是（）A .直方图中0.005a =B.此次比赛得分不及格的共有40人C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5D.这100名参赛者得分的中位数为6512.已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（）A.MA MB MC ==B.0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu rC.2133BM BA BD=+ D.1233CM CA CD=+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知3a = ，5b = ，12a b ⋅=- ，且e 是与b 方向相反的单位向量，则a 在b上的投影向量为______.14.已知圆锥的底面圆的半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为______.15.如图，在正四棱锥O ABCD -中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30E F ︒，，分别是线段,OB OC 上的一点，则AE EF FD ++的最小值为_______．16.已知一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且21x +22x +…+210x =2020，平均数11x =，则该组数据的标准差为_________.四、解答题：本大题共6小题，17题10分，18-22题各12分.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a = ，b = ．（1）求a b ⋅ ，a b +；（2）求a 与a b +的夹角的余弦值．18.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[]40,100内，将笔试成绩按照[)40,50、[)50,60、L、[]90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若13a =，5b c +=，求△ABC 的面积.20.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（ED 是三棱锥E ACD -的高）（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求三棱锥D AEC -的体积.21.已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，13.求：（1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率.22.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝2，BC ＝3M ，N 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：MN//平面PAC；（2）求证：平面PBC⊥平面PAM；（3）在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由．2021-2022学年第二学期高一开学考试数学试题2022.6一、单择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知向量(1,3),(2,1)a b →→==-，则23a b →→-=（）A.(8,3)- B.(8,3)-- C.(8,3)D.(8,3)-C【分析】直接利用平面向量的坐标运算求解.【详解】解：由题得23(2,6)(6,3)(8,3)a b →→-=--=．故选：C2.在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C =A.30︒ B.150︒C.45︒D.135︒C【详解】22222πcos 2224a b c C C ab ab +-====,选C.3.在ABC 中，60,A a b ︒===B 等于（）A.45︒B.45︒或135︒C.135︒D.以上答案都不对A 【分析】由正弦定理求得sin sin 2b A B a ==，再结合a b >，即可求解.【详解】在ABC 中，60,A a b ︒===sin sin a bA B=，所以sin 2sin2b A B a ===，又因为a b >，可得A B >，所以45B = .故选：A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用正弦定理求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.4.复数12ii-（i 为虚数单位）的共轭复数为（）A.12i -- B.12i-+ C.2i-- D.2i-+D【分析】先化简，再根据共轭复数的定义可得答案.【详解】2(12)221i i i i i -⋅+==---，则其共轭复数为2i -+.故选：D ．5.从2,4,6,8中任取2个不同的数,a b ，则4a b -=的概率是（）A.12B.13C.14 D.16B【分析】列举从2,4,6,8中任取2个不同的数,a b 的所有结果，共6个基本事件，符合条件的共2个基本事件，结合古典概型计算结果．【详解】从2,4,6,8中任取2个不同的数,a b ，共有()()()()()()2,4,2,6,2,8,4,6,4,8,6,86个基本事件，取出的2个数之差的绝对值为4有()()2,6,4,82个基本事件，所以所求概率为2163P ==故选：B ．6.如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A.4B.6C.8D.2+C 【分析】根据斜二测画法求解.【详解】直观图如图所示：由图知：原图形的周长为13138OA AB BC CO +++=+++=,故选：C7.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AB ，DD 1中点，则异面直线A 1M 与C 1N 所成的角是（）A.0B.4π C.3πD.2πD【分析】取1AA 的中点，连接1,EN EB ，1EB 交1A M 于F ，则可证得CN ∥1EB ，则1A FE ∠或其补角为异面直线A 1M 与C 1N 所成的角，然后由1A AM ≌11B A E ，可求出1A FE ∠的大小【详解】取1AA 的中点E ，连接1,EN EB ，1EB 交1A M 于F ，因为N 为DD 1中点，所以11A E D N =，1A E ∥1D N ，所以四边形11B C NE 为平行四边形，所以1C N ∥1EB ，所以1A FE ∠或其补角为异面直线A 1M 与C 1N 所成的角，因为M 为AB 中点，E 为1AA 的中点，1AB AA =,所以1AM A E =，因为111111,90AA A B A AM B A E =∠=∠=︒，所以1A AM ≌11B A E ，所以111AA M A B E ∠=∠，因为111190A EB A B E ∠+∠=︒，所以11190A EB AA M ∠+∠=︒，所以190A FE ∠=︒，所以异面直线A 1M 与C 1N 所成的角是2π，故选：D8.若所有棱长都是23的直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.20πB.24πC.28πD.32πC【分析】球心在上下底面中心的连线的中点上，球半径为球心到各顶点的距离，找出球半径和棱长的关系再代入球的面积计算公式即可.【详解】如图，设1O 、2O 为棱柱两底面的中心，球心O 为1O 2O 的中点，又直三棱柱的棱长为231113233,23223OO AO =⨯==⨯=，所以2222117R OA OO AO ==+=，所以球的表面积2428==ππS R ,故选：C二、多选题（每小题5分，全部选对5分，部分选对2分，有选错的0分）9.甲､乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则下列说法正确的是（）A.甲获胜的概率是16B.甲不输的概率是23C.乙输的概率是23D.乙不输的概率是12AB【分析】A.由“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件求解判断；B.由“甲不输”是“甲获胜”、“和棋”的并事件求解判断；C.由“乙输”则“甲获胜”求解判断；D.利用对立事件求解判断.【详解】A.“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是1111236p =--=，故正确；B.“甲不输”是“甲获胜”、“和棋”的并事件，所以甲不输的概率是112263p =+=，故正确；C.“乙输”则“甲获胜”，所以乙输的概率是1111236p =--=，故错误；D.乙不输的概率是15166p =-=，故错误；故选：AB10.如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为侧棱PA 、PB 的中点，O 是底面四边形ABCD 对角线的交点，下列结论正确的有（）A.//PC 平面OMNB.平面//PCD 平面OMNC .OM PA⊥ D.PD ⊥平面OMNABC【分析】A 选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B 选项，在A 选项的基础上证明面面平行；从而推导出D 错误；由勾股定理的逆定理得到PA PC ⊥，从而得到OM PA ⊥.【详解】因为O 为底面四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 的中点，由M 是PA 的中点，可得∥PC MO ，因为PC ⊄在平面OMN ，OM ⊂平面OMN ，所以//PC 平面OMN ，A 正确；同理可推得//PD 平面OMN ，而PC PD P ⋂=，所以平面//PCD 平面OMN ，B 正确；因为PD ⊂平面PCD ，故PD 不可能垂直平面OMN ，D 错误；设该正四棱锥的棱长为a ，则,===PA PC a AC ，所以PA PC ⊥，因为∥PC MO ，所以OM PA ⊥，C 正确.故选ABC ．11.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40,90]内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组），则下列结论正确的是（）A.直方图中0.005a =B.此次比赛得分不及格的共有40人C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5D.这100名参赛者得分的中位数为65ABC【分析】由频率和为1求参数a ，判断A ；由直方图求60分以下的人数、求[60,80)的频率判断B 、C ；由中位数的性质求中位数即可判断D.【详解】因为(0.010.020.030.035)101++++⨯=a ，所以0.005a =，所以A 正确；因为不及格的人数为100(0.0050.035)1040⨯+⨯=，所以B 正确；因为得分在[60,80)的频率为(0.030.02)100.5+⨯=，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60,80)的概率为0.5，所以C 正确；这100名参赛者得分的中位数为0.160650.03+≠，所以D 错误．故选：ABC.12.已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（）A.MA MB MC== B.0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r C.2133BM BA BD =+ D.1233CM CA CD =+ BD 【分析】根据三角形重心的性质，结合平面向量加法的运算性质逐一判断即可.【详解】A ：当ABC 是等边三角形时，三角形重心和三角形外心重合，本选项等式才能成立，故本选项不符合题意；B ：因为M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，所以22()0MA MD MA MD MB MC MA MB MC =⇒=-=-+⇒++= ，因此本选项等式成立，故本选项符合题意；C ：2212()3333BM BA AM BA AD BA AB BD BA BD =+=+=++=+ ，因此本选项等式不成立，故本选项不符合题意；D ：2212()3333CM CA AM CA AD CA AC CD CA CD =+=+=++=+ ，因此本选项等式成立，故本选项符合题意，故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知3a = ，5b = ，12a b ⋅=- ，且e 是与b 方向相反的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______.125e 【分析】先求解出cos ,a b <> ，然后根据投影向量的计算公式可直接求解出结果.【详解】因为3a = ，5b = ，12a b ⋅=- ，所以4cos ,5a b a b a b⋅<>==- ，所以a 在b 上的投影向量为()12cos ,5a a b e e ⋅<>⋅-= ，故答案为：125e .14.已知圆锥的底面圆的半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为______.8π【分析】利用勾股定理求出母线的长度，利用扇形的面积公式求面积即可.【详解】由题意得：圆锥的母线4l =，则圆锥的侧面积为122482ππ⨯⨯⨯=.故答案为：8π15.如图，在正四棱锥O ABCD -中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30E F ︒，，分别是线段,OB OC 上的一点，则AE EF FD ++的最小值为_______．42AE EF FD ++的最小值为AD ，根据数据求解即可．【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则AE EF FD ++的最小值为AD ；在OAD △中，4,90OA OD AOD ==∠=︒，则242AD OA ==所以AE EF FD ++的最小值为42.故答案为：4216.已知一组样本数据x 1，x 2，…，x 10，且21x +22x +…+210x =2020，平均数11x =，则该组数据的标准差为_________.9【分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案．【详解】根据题意，一组样本数据1210,,...,x x x ，且22212102020x x x ++⋯+=，平均数11x =，则其方差()()()()22221210110S x x x x x x =-+-+⋯+-()()222221210111020201011811010x x x x =++⋯+-=-⨯=，则其标准差819S ==，故答案为：9.四、解答题：本大题共6小题，17题10分，18-22题各12分.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，b = ．（1）求a b ⋅ ，a b + ；（2）求a 与a b + 的夹角的余弦值．（1）6a b ⋅=-，a b += ；（2【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出a b ⋅ 的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出a b += 的值；（2）计算出()a ab ⋅+ 的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得a 与a b + 的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得2cos 362a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，a b +== ；（2）设a 与a b +的夹角为α，则()25cos 5a a b a a b a a b a a b α⋅++⋅===⋅+⋅+ ，因此，a 与ab + 的夹角的余弦值为5.18.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[]40,100内，将笔试成绩按照[)40,50、[)50,60、L 、[]90,100分组，得到如图所示频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；（3）若计划面试150人，请估计参加面试的最低分数线．（1）0.020a =（2）众数为75，平均数为74.5（3）65【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得a 的值；（2）利用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值为众数，将矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全加可得应聘者笔试成绩的平均数；（3）计算出25%百分位数，可得结果.【小问1详解】解：由题意有()0.0050.0100.0300.015101a a +++++⨯=，解得0.020a =.【小问2详解】解：应聘者笔试成绩的众数为7080752+=，应聘者笔试成绩的平均数为450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】解：1500.75200= ，所以，面试成绩的最低分为25%百分位数，前两个矩形面积之和为0.050.10.15+=，前三个矩形的面积之和为0.150.20.35+=，设25%百分位数为m ，则()0.15600.020.25m +-⨯=，解得65m =.因此，若计划面试150人，估计参加面试的最低分数线为65.19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.（1）A 3π=；（2）【分析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有()sin sin B A C =+，完成化简并计算出A 的值；（2）利用A 的值以及余弦定理求解出bc 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出△ABC 的面积.【详解】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C -= ，由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=，三角形中sin 0B ≠，解得cos A 12=，()0,A π∈，∴A 3π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，a =5b c +=，()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯432⨯=【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题.熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用.20.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（ED 是三棱锥E ACD -的高）（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求三棱锥D AEC -的体积.（1）证明见解析（2）23【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接EO ，证得1//EO BD ，结合线面平行的判定定理，即可证得1//BD 平面ACE .（2）根据D ACE E ACD V V --=，结合三棱锥的体积公式，即可求解.【小问1详解】证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ，因为E 为1DD 的中点，则EO 是BDD 的中位线，所以1//EO BD ，又因为EO ⊂平面ACE ，且1BD ⊄平面ACE ，所以1//BD 平面ACE .【小问2详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，可得12222ACD S =⨯⨯=V ，又由DE ⊥平面ACD ，且1DE =，所以11221333E ACD ACD V S ED -=⋅=⨯⨯=，又因为D ACE E ACD V V --=，所以三棱锥D ACE -的体积为23.21.已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，13.求：（1）3人都通过体能测试的概率；（2）只有2人通过体能测试的概率.（1）110；（2）2360.【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式直接计算作答.（2）把只有2人通过体能测试的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的加法公式、乘法公式求解作答.【小问1详解】设事件A =“甲通过体能测试”，事件B =“乙通过体能测试”，事件C =“丙通过体能测试”，由题意有：()25P A =，()34P B =，()13P C =.设事件1M =“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件1M ABC =，而事件A ，B ，C 相互独立，所以3人都通过体能测试的概率是()12311()()()()54310P M P ABC P A P B P C ==⋅⋅=⨯⨯=.【小问2详解】设事件2M =“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则2M ABC ABC ABC =++，由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ，ABC ，ABC 两两互斥，因此()()()()()()()()()()2P M P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅2321312311154354354301326⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以只有2人通过体能测试的概率是2360.22.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝2，BC ＝3M ，N 分别为BC ，AB 的中点．（1）求证：MN//平面PAC；（2）求证：平面PBC⊥平面PAM；（3）在AC上是否存在点E，使得ME⊥平面PAC，若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，3 2【分析】(1)根据线面平行得判定定理即可证明；(2)要证平面PBC⊥平面PAM，先证BC⊥平面PAM.，再由面面垂直判定定理可证；(3)过点M作ME⊥AC交AC于点E即可证满足条件.【小问1详解】因为M，N分别为BC，AB的中点，所以MN//AC.因为MN⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以MN//平面PAC.【小问2详解】因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为AB＝AC＝2，M为BC的中点，所以AM⊥BC.因为AM∩PA＝A，所以BC⊥平面PAM.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAM.【小问3详解】存在．过点M作ME⊥AC交AC于点E，因为PA⊥平面ABC，ME⊂平面ABC，所以PA⊥ME.因为ME⊥AC，AC∩PA＝A，所以ME⊥平面PAC.因为在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3M为BC的中点，所以ME＝3 2。