高数各章综合测试题与答案
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第十一章 无穷级数测试题
一、单项选择题 1、若幂级数
1
(1)n
n
n a x ∞
=+∑在1x =处收敛,则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不定.
2、下列级数条件收敛的是( ).
(A) 1(1);210
n n n
n ∞
=-+∑
(B) 1
n n -∞
= (C)
1
1
1
(1)
();2
n
n n ∞
-=-∑
(D) 1
1
(1)n n ∞
-=-∑ 3、若数项级数
1
n
n a
∞
=∑收敛于S ,则级数
()121
n
n n n a
a a ∞
++=++=∑( )
(A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a
为正常数,则级数
21sin n na n ∞
=⎡⎢⎣
∑( ).
(A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2
(),01f x x x =<≤,而1
()sin π,n
n S x b
n x x ∞
==-∞<<+∞∑,
其中10
2
()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1
()2
S -等于( ) (A) 1;2- (B) 1
;4
- (C) 1;4 (D) 12.
二、填空题 1、 设
14n n u ∞==∑,则1
11
()22n n
n u ∞
=-=∑( ) 2、 设
()
1
1
1n n n a x ∞
+=-∑的收敛域为[)2,4-,则级数
()
1
1n
n
n na x ∞
=+∑的收敛区间为( )
3、 设3
2,10
(),01x f x x x -<⎧=⎨
<⎩
≤≤,则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2
()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为
()01
cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞
=++∑ 则3b =( )
5、级数()1(1)221!
n n n
n ∞
=-+∑的和为( )
三、计算与应用题 1、求级数
()1
13;3n
n
n x n ∞
=-⋅∑的收敛域 2、求
()211
12
n
n n ∞
=-⋅∑的和 3、将函数()
2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数,并求()(1)
0n f
+
4、求20
12!n
n
n n x n ∞
=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x
n n f x f x x -'=+,n 为正整数,且e
(1)n f n
=
,求函数项级数()1
n n f x ∞
=∑的和函数.
6、 设有方程10n x nx +-=,其n 中为正整数,证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当
1α> 时,级数1n
n x α
∞
=∑收敛. 四、证明题
设π
40
tan d n n a x x =
⎰
(1) 求
()211
n n n a a n
∞
+=+∑ (2) 试证:对任意常数0λ>,级数
1
n
n a n λ∞
=∑收敛 提示:()()2111n n a a n n n ++=+,()2111n n n a a n
∞
+=+=∑.
因为2
11n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111n
n n a n n
λλ∞∞
+==<∑∑ 第十一章 无穷级数测试题答案与提示
一、
1、A ;
2、D ;
3、B ;
4、C ;
5、B. 二、
1、1;
2、()4,2-;
3、32;
4、2π3
;5、cos1sin1-. 三、
1、答案:[)0,6.
2、答案:
53
ln 284
- 提示:原式为级数()
211n n x n ∞
=-∑的和函数在1
2x =点的值.
而()
22221121211n n n
n n n x x x n n n ∞
∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可. 3、答案:110
(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞
+=--⎡⎫
=∈-⎪⎢+⎣⎭∑
()1
(1)
(1)20!1
n n n f
n n ++--=⋅
+. 提示: ()
()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++
4、答案:222
011e 1,2!42x
n n
n n x x x x n ∞
=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭
∑ 提示:()2011112!1!2!2n
n
n n n n n n n x x x n n n ∞
∞∞===+⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
∑∑∑,
而()1011e ,e 1!!
x
n x
n n n x x x n n ∞
∞
====-∑∑
5、答案:
()()[)1
e ln 1,
1,1x
n n f x x x ∞
==--∈-∑
提示:先解一阶线性微分方程,求出特解为()e x
n x f x n
=
()1
11e e x x
n n n n x x f x n n ∞
∞
∞=====∑
∑∑,记1()n x S x n
∞
==∑,则可得()ln(1)S x x =--
6、提示:设()1n
n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.
而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,
00110n x x n n -<=<,故当1α> 时,级数1
n n x α
∞
=∑收敛.