高数第一章答案

第一章 函数，极限与连续

第一节 函数

一、集合与区间

1.集合

一般地说，所谓集合（或简称集）是指具有特定性质的一些事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。

由有限个元素组成的集合称为有限集。

由无穷多个元素组成的集合称为无限集。

不含任何元素的集合称为空集。

数集合也可以称为（数轴上的）点集。区间是用得较多的一类数集。 设a,b 为实数，且a

数集{x|a

数集}|{b x a x ≤≤称为闭区间，记作[a,b],即[a,b]= }|{b x a x ≤≤。

类似地，[a,b),（a,b]称为半开区间，即[a,b)＝}|{b x a x <≤，（a,b]＝}|{b x a x ≤< 以上这些区间都称为有限区间，此外还有无限区间，引进记号∞及-∞，则可类似表示

}|{),(},|{),(},|{),[+∞<<-∞=∞-∞<=-∞≤=+∞x x b x x b x a x a 还有一类可变开区间，我们称其为邻域。

设δ与a 是两个实数，且δ>0。开区间),(δδδ+-a a 称为点a 的δ邻域，记作),(δa U ，即}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U 。其中a 叫作这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。

在点a 的领域中去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作),(),(}||0|{),(),,(0

0δδδδδ+⋃-=<-<=a a a a a x x a U a U 即 二、函数概念

定义：设x 和y 是两个变量，若对于x 的每一个可能的取值，按照某个法则f 都有一个确定的y 的值与之对应，我们称变量y 是变量x 的函数，记为y =)(x f .这里称x 为自变量，y 为因变量。自变量x 的所以可能取值的集合称为定义域，记为D(f)；因变量y 的相

应的值的集合称为值域，记为R(f)。这里D(f)与R(f)都是数集，且R(f)＝{)(x f |x ∈D(f)}。

三、函数的几种特性

1.函数的有界性

设函数)(x f 在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满|)(x f |≤M ，则称函数)(x f 在D 上有界，或称)(x f 是D 上的有界函数。

若这样的正数M 不存在，则称)(x f 是D 上无界函数。

2.函数的单调性

设函数)(x f 的定义域为D ，区间D I ⊆，若对于任意的I x x ∈21,，当1x <2x 时总有

f (1x )

则称)(x f 是区间I 上的单调增加函数；若对于任意的I x x ∈21,，当1x <2x 时总有f (1x )>f (2x )，则称)(x f 是区间I 上的单调减少函数。单调增加或单调减少的函数均称为单调函数。

若在某个区间上，函数)(x f 为单调函数，则称该区间为函数)(x f 的单调区间。

3.函数的奇偶性

设函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，即若x ∈D ，则必x -∈D 。若对于任意的x ∈D 总有)(x f -=)(x f ，则称)(x f 是偶函数；若对于任意的x ∈D 总有)(x f -=)(x f -，则称)(x f 是奇函数。

4.函数的周期性

设函数)(x f 的定义域为D ，若存在不为零的数T ，使得对于任一x ∈D 有D T x ∈±)(， 且f )(T x ±＝)(x f 总成立，则称)(x f 是周期函数，T 称为周期函数)(x f 的周期。由定义容易得出，若T 为)(x f 的周期，则2T ，3T ，…，nT ，…都是)(x f 的周期。如果在周期中存在最小的正值，我们把它称为最小正周期，通常我们说周期函数的周期均指最小正周期。

四．反函数

设函数)(x f y =的定义域为D ，值域为R 。若对于任意的R y ∈只有唯一D x ∈与之