复变函数与积分变换 复旦大学出版社

§1.1 复 数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
n
k ( n z )k n re
0 n re
i
i
0 2 kπ
n
, k=0,1,2,…,n-1
i 2 kπ n
0
n
k 0e
,
k=0,1,2,…,n-1
复数的n次方根是n个复数，这 些方根的模都等于这个复数的 模的n次算术根，它们均匀分 布在一个圆周上。
例1.4 求1-i的立方根.
Arg( z1z2 ) Argz1 Argz2.
z1 z1 z1 z2 , Argz1 Arg Argz2 , z2 z2
z1 z1 z1 , Arg Argz1 Argz2 . z2 z2 z2
两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角 等于被除数的幅角与除数的幅角的差.
2.直线和半平面 设L表示C中的直线，如果a是L上的任一点，b是 它的方向向量，那么 L {z a tb : t }
za za 对于L上的z，有 Im 0 L z : Im 0 b b
za za z : Im 0 z : Im 0 b b 假定|b|=1，a=0. H 0 z : Im z 0 b b ei z rei z / b rei ( )
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
复数的开方 设是 z rei 已知的复数，n为正整数，则称满足方程 n z 的所有的复数为z的n次方根，并且记为 n z .
设 ei
n nein rei
记 0 arg z n r, n 0 2kπ, k=0,±1,±2,…. 0 2kπ n r , , k=0,±1,±2,….
解： 1 i 2e
i 7π 4
6
2e
i
i
7π / 4 2 kπ 3
i
6 2e
15 π 6 12
i
7π 8 kπ 12
i 23 π 12
, k 0,1, 2.
1-i的立方根是
6
2e
7 π 6 12
, 2e
, 2e
.
例1.5 计算n次单位根. 解：1 ei 0
2π n 4π n 2( n 1)π n
复数的乘方
z n (r (cos i sin ))n r n (cos i sin )n r n (cos n i sin n ) r n ein .
z z
n
n
ห้องสมุดไป่ตู้
r=1时，得棣莫拂(de Moivre)公式
(cos i sin ))n cos n i sin n
k=0,±1,±2,….
z eiπ 例1.2 计算
解： eiπ cos π i sin π 1
例1.3 把复数 3 i 表示成三角形式和指数形式.
3 解：r 3 1 2, cos . 2
3 i 对应的点在第一象限
π arg( 3 i ) 6
π π 3 i 2 cos i sin 6 6
定理1.1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区 域，以曲线为公共边界. 这两个区域，一个是有界的，称为的内部； 一个是无界的，称为的外部. 如果曲线在[ , ] 上有 x(t )和 y(t ) 存在、连续，而 且不同时为零，则称曲线为光滑曲线.由有限条光滑 曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线. (7)单连通区域 设D为复平面上的区域，如果在D内的任意简单 曲线的内部均属于D，则称D为单连通区域，否则就 称为多连通区域.
如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两个复数相等.
2. 复数的向量表示和复平面 复数可用点z(a,b)表示 用直角坐标系表示的复数 的平面称为复平面，x轴叫 做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点表示实数；除 了原点外，虚轴上的点表 示纯虚数. 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数. z a ib z a ib
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的
夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
复数的指数形式
z rei
例1.1 求arg(-3-i4). 解： Arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k, k=0,±1,±2,…. 点-3-i4位于第三象限
(4) 4 arg(3 i 4) arctan π arctan π (3) 3
4 Arg(3 i 4) arctan (2k 1)π, 3
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
复数的模和共轭复数的性质
1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
1,e
i
,e ,,e
i
i
.
立方单位根是
1 1 1, (1 i 3), (1 i 3). 2 2
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 (1) 邻域 集合
D( z0 , ) {z : z z0 }
称为z0的邻域，其中>0, D( z0 , ) \{z0} {z : 0 z z0 } 称为z0的去心邻域.
(2)内点、开集 若点集E的点z0，有一个z0的邻域 D( z0 , ) E ， 则称z0为E的一个内点；如果点集E中的点全为内点， 则称E为开集.
(3)边界点、边界 如果点z0的任意邻域内，既有属于E中的点，又有 不属于E中的点，则称z0为E的边界点；集合E所有边界 点称为E的边界，记作E . (4)区域 如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折 线连接起来，则称集E为连通集. 连通的开集称为区域. 区域D和它的边界D的并集称为闭区域，记为D (5)有界区域 如果存在正数M，使得对一切zE，有 z M, 则称E为有界集.若区域D有界，则称为有界区域.
于是 z H 0，当且仅当 sin( ) 0即 π .
如果 “按照b的方向沿着L前进”，H0是位于L的 左边的半平面.
za H a z : Im 0 , b Ha a H0 {a w : w H0}
任一实数的共轭复数仍是它本身.
在复平面上,复数 z a ib 还可以用由原点引向点z 的向量Oz 来表示,这种表示方式建立了复数集C与平面 向量 Oz 所成的集合的一一对应（实数0与零向量对 应）.向量 Oz 的长度称为复数z的模，记为 |z|或r .
r a 2 b2 0 z
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0
不规定其意义.
设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为 无穷远点.复平面加上，称为扩充复平面C=C{}.为 使的规定合理，规定扩充复平面上只有一个无穷远点. 记R3中的单位球面为
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr2 z1 z2 1
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr2 z1 z2 1
Ha是由半平面H0平移a而得到的，因此，Ha是位于L的 左边的半平面.
za Ka z : Im 0 是位于L的右边的半平面. b
§1.3 扩充复平面及其球面表示
设a是异于的一个复数，规定 (1) a ，则 a a ； (2) a 0 ，则 a a ；
2 2 S {( x1, x2 , x3 ) : x12 x2 x3 1}
N=(0,0,1)为S上的北极点, 把C等同于R3中的点集 x1, x2 ,0) : x1, x2 R {( 对于复平面C内任意一点z，用直线将z与北极点N相 连接，此直线与球面S恰好交于一点ZN. 若|z|>1，Z位于北半球面上； 若|z|<1，Z点位于南半球面上； 若|z|=1，那么Z=z. 当|z|时，ZN.
Re z z Re z Im z , Im z z Re z Im z .
3. 复数的运算 复数的运算，有关复数的模和共轭 复数的性质
z1 a ib, z2 c id 加法 z1 z2 (a c) i(b d )
减法
z1 z2 (a c) i(b d )