浅议张量分析的形成及其应用
张量及其运算的定义及应用
张量及其运算的定义及应用
张量的定义
张量是指在向量、矩阵等数学对象的基础上扩展形成的一种数
学工具。
它是一种多重线性函数，可以表示多个向量之间的关系。
张量在物理学、数学、计算机等领域都有广泛的应用。
在线性代数中，张量可以由向量和矩阵生成。
在物理学中，张
量可以描述弹性力学、流体运动和电磁学等现象。
张量的运算
张量在运算中主要有以下几种方式：
1. 张量乘法：张量乘法是指将一个张量与另一个向量或矩阵相乘。
这种方法常用于求解矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的相
似性等问题。
2. 张量变形：将张量的某些维度进行重新排列，得到新的张量。
这种方法常应用于机器学习、计算机视觉等场景中。
3. 张量积：将两个不同的向量或矩阵进行混合，生成一个新的张量。
4. 条件张量积：是指将两个张量按某种方式组合起来，形成一个新的张量。
这种方法广泛应用于量子计算和量子信息等领域。
应用领域
1. 物理学：张量在物理中的应用广泛，如爱因斯坦场方程、黎曼张量等都是张量概念的应用。
2. 工程学：张量在工程学领域中也有广泛的应用，如机械工程领域中常用的应力张量、应变张量等，在材料工程领域中也有重要应用。
3. 计算机：张量也是计算机领域中的热门话题，如深度学习模型中的卷积神经网络、循环神经网络等都是基于张量的设计。
总之，张量作为一种数学工具在不同领域都有着广泛的应用和巨大的发展前景。
张量概念的形成与张量分析的建立
张量概念的形成与张量分析的建立【摘要】：张量分析在数学物理学中占据重要地位。
由于广义相对论的成功,张量分析逐渐被人们所重视。
更重要的是规范场论和弦理论的建立,张量分析被应用到了更加广泛的领域。
而如此重要的数学分支的历史却极少被研究,这不能不说是一个很大的缺憾。
在发掘、搜集、整理、分析张量数学的原始文献的基础上,运用概念分析的方法,梳理、研究、探讨了张量数学的发展史,得到了若干新的发现。
首先,找到了向量的代数定义的原始文献,这是张量数学发展史研究的中间链条。
如果没有向量的代数定义,这种扩张量是无法超出三维情形的。
而张量是一种高维的数学量,因此向量的代数定义是通向张量概念的非常重要的概念。
在关于张量数学史的研究中,这是一个被忽略的内容。
其次,解读了张量概念的电磁学起源。
从电磁学角度揭示了张量概念的物理学源头。
而在过去,则一直把弹性力学作为张量概念起点,事实上,应用力学与张量概念的起源关系不大。
论文最重要的发现是考证了第一个在现代意义上使用tensor的学者。
论文系统论述了张量分析的建立过程。
从非欧空间观念、高斯的内蕴思想、黎曼的n维流形、格拉斯曼的高维空间观念、凯莱的n维向量空间开始,逐一陈述了张量数学的历史。
张量分析作为解决曲线坐标系中微分运算的数学方法,是从高斯的内蕴几何开始孕育的。
而第一个真正提出这个问题的是黎曼,他的n维流形的构想,具体地提出了弯曲空间中二次微分形式的变换问题,这是通向张量分析的起点。
随后,经过贝尔特拉米、克里斯托夫、里奇等人的发展,这种方法终于得以建立。
作为补充,简述了张量分析的应用史。
包括爱因斯坦、希尔伯特的引力场方程,以及外尔、列维-齐维塔的黎曼几何学。
这里的新发现是考证了“黎曼几何学”这个名词的最早出处。
张量分析的产生,依赖19世纪的代数和几何的解放。
正是非欧几何和抽象代数的出现,使得张量分析得以产生。
而张量分析与黎曼几何的深入发展,极大地促进了现代数学的进步。
这使得对张量数学史的研究具有深刻的意义。
张量分析及其应用
2.10 协变导数，逆变导数
在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为
grr
2.10.1协变导数
设 T 为任意张量，则 T 构成新的张量，称为 T 的梯度。例如 T T ij k gi g j gk ，则
T grr (T ij k gi g j gk ) gr[rTij k gi g j gk T ij k (r gi g j gk r gi g j gk r gi g j g k )]
r i
ai
p ri
r p
rar
ai
r ri
r ri
i (log
g ) r (log
g)
div a rar arr (log
g)
1( g
gar ),r
2.10.3旋度
设 T T ij k gi g j gk
curlT T grr (T ij kgig jgk ) gr gir (T ij kg jgk )
自习： （二）曲率张量
1）曲率张量的定义 2）曲率张量的性质（推导）
gil g r
glr
(T
ij
k
g
jgk
)
gil
gs
srl rLeabharlann (Tijk
g
jgk
)
gil srlrT ij k gs g j g k
srl rTl
j k
gs
j
k
srirTi j k gs j k
若 T a ai gi ，则 curla grr (ai gi ) gr r (ai gi )
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
张量分析在图像处理和模式识别中的应用
张量分析在图像处理和模式识别中的应用
张量分析是一种数学工具，它在图像处理和模式识别中有着广泛的应用。
它的核心思想是将高维数据转化为多维矩阵，通过矩阵运算来实现对数据的分析和处理。
在图像处理领域，张量分析可以用来提取图像中的特征信息。
图像可以看作是一个二维矩阵，但是这个矩阵中的每个元素都是一个三维向量，表示该像素在RGB颜色空间中的取值。
通
过对这个三维向量进行张量分析，可以提取出图像中的纹理、形状等特征信息，从而实现图像的分类、识别等任务。
除了在图像处理领域，张量分析还有着广泛的应用。
在机器学习领域，张量分析可以用来处理高维数据，例如视频、语音等。
通过对这些数据进行张量分解，可以得到它们的低维表示，从而方便后续的分析和处理。
在计算机视觉领域，张量分析可以用来实现目标检测、跟踪等任务。
通过对视频数据进行张量分解，可以得到每一帧图像的特征信息，从而实现对目标的跟踪和识别。
除了以上应用，张量分析还可以应用于信号处理、医学图像处理等领域。
可以说，张量分析已经成为了现代科技中不可或缺的一部分。
总之，张量分析作为一种数学工具，在图像处理和模式识别中有着广泛的应用。
它可以帮助我们从高维数据中提取出有用的信息，从而实现对数据的分析和处理。
相信随着科技的不断发展，张量分析在更多领域中将会发挥出更大的作用。
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量理论与张量分析的应用
计算方法：通过对张量的分量进行 变换和组合，可以计算出张量的对 称性。
添加标题
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分类：根据对称性的不同，可以将 张量分为不同类型，如对称张量、 反对称张量等。
应用：张量的对称性分析在物理学、 工程学等领域有着广泛的应用，如 弹性力学、流体力学等。
定义：特征值是线性变换下的不变量，特 征向量是线性变换下的向量。
描述张量在环境科学中的具体应用场景 介绍张量在环境科学中的重要性和作用 分析张量在环境科学中的优势和局限性 探讨张量在环境科学中的未来发展方向
汇报人：XX
添加项标题
张量分析在数据科学中的应用：利用张量分析的方法对多维数 据进行处理、分析和挖掘
添加项标题
张量在数据降维中的应用：通过张量分解等方式降低数据的维 度，提高处理效率和可解释性
添加项标题
张量在数据分类和聚类中的应用：利用张量表示的数据结构对 数据进行分类和聚类，提高分类和聚类的准确性和稳定性
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
张量是一个数学概 念，用于描述物理 现象中的多维数据
张量具有标量、向 量和矩阵等基本数 学对象的性质
张量可以表示物理 量在不同参考系下 究电磁场、电流 密度等物理量
振动分析：用于研 究结构的振动特性、 频率响应等
金融数据分析：利用张量进行多维数据分析，挖掘金融市场的潜在规律和趋势。 风险评估：利用张量模型评估金融市场的风险，为投资决策提供支持。 预测模型：利用张量构建时间序列预测模型，预测经济指标和金融市场的走势。 营销策略：利用张量分析消费者的购买行为和偏好，制定更精准的营销策略。
张量及其性质的介绍及应用
张量及其性质的介绍及应用张量是一个线性空间到它自身或另一个线性空间的多重线性映射，是现代数学、物理学和工程学中极为重要的概念之一。
在许多领域，张量用来描述物理系统、分析数据结构和解决优化问题，因此对于张量的理解和应用是非常有意义的。
1. 张量的定义和性质1.1 张量的概念一个张量可以被定义为一个多维数组，它由一些数值构成，并且这些数值是根据某些规律排列成矩阵、向量或其他更高阶的数组。
这些规律可以通过不同的方式表示，例如作为矩阵的元素、矢量空间中的向量或在一些几何空间中的点。
1.2 张量的性质张量有一些独特的性质，包括线性性、多重线性性、对称性、反对称性等。
这些属性让它们非常适合用来描述物理现象或建模数据，并且能够应用于各种学科领域。
2. 张量的应用2.1 物理学中的应用在物理学中，张量可以用来描述物理系统的不同特征，例如电磁场、流体力学和广义相对论。
它们的应用能够使得物理学模型更为准确和精确，并且帮助科学家更好地理解基本的物理过程。
2.2 工程学中的应用在工程学中，张量常用于解决力学问题、对结构进行优化和分析，例如应力分析、材料疲劳和结构动力学。
张量的应用能够帮助工程师更好地理解和优化物理系统，从而提高系统的性能和功能。
2.3 数据分析中的应用在数据分析中，张量可以被用来解决各种优化问题，例如图像和语音处理、人工神经网络、数据压缩和信号分析。
张量的应用能够使数据分析更加准确和高效，从而提高数据处理的速度和效率。
3. 总结张量的概念和性质在数学、物理学和工程学等领域中都有重要的应用，能够被用来描述物理系统、分析数据结构和解决优化问题。
希望本文对于读者能够提供张量的基本概念及其应用的介绍，使人们更加深入地理解张量在各种学科中的应用及其优越性。
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浅议张量分析的形成及其应用摘要：张量分析是现代数学物理学的基础工具。
从广义相对论开始，到规范场论，以至后来的弦理论的建立都得力于张量分析。
张量分析所提供的对曲线坐标系的微分方法，真正实现了非欧几何从概念到演算的革命，而所有这一切都是以张量概念的产生为基础的。
同时叙述了张量分析在相对论以及连续介质力学方便的应用。
关键词：张量分析；线性变换；相对论；连续介质力学1引言张量是向量(矢量)的自然推广。
简单说，三维向量是有三个分量的矩阵函数，三维张量(也叫二阶张量)是有九个分量的矩阵函数。
但是并不是只要把九个数写成矩阵形式就可以成为张量，还要必须满足线性变换形式不变这个条件。
向量是一种平移不变量，在坐标系变换的时候，向量保持长度和方向不变。
建立在向量基础上的微积分运算，也就是向量分析，为麦克斯韦的电磁理论提供了数学工具。
不过，向量分析是笛卡儿空间中的分析，即三维直角坐标系中的向量微积分运算，它的局限性是很明显的，物理量中很多都有超过三个的分量，如果把分量理解为维数，那就需要处理高维空间中的分析的数学方法，张量分析因此有存在和发展的必要。
2张量概念的起源2.119世纪初的非欧几何学1826年，喀山大学的罗巴切夫斯基(H. N. Lobachevsky，1792-1856)演讲了他的关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，被视为非欧几何诞生的标志。
罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，提出一个和欧氏平行公理相矛盾的命题，假如用它与欧氏几何的前四个公设结合成一个公理系统，然后展开一系列的推理，那么在此过程中，将得出一个个在直觉上很难理解，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
罗巴切夫斯基由此提出了新的几何理论，后来被称为罗巴切夫斯基几何，这是第一个被提出的改变空间观念的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，1832年，匈牙利数学家波尔约(Janos Bolyai，1802-1860)从第五公设证明了非欧几何学的存在。
1868年，意大利数学家贝尔特拉米(E. Beltrami，1835-1900)发表了著名的论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的拟球曲面上实现。
这就是说，非欧几何命题与相应的欧几里得几何命题一一对应，既然欧几里得几何学命题成立，那么非欧几何也就自然成立。
到此时为止，与欧几里得空间不同的空间观念建立起来了，几何学也重新回到了起点，接下来要做的是: 构造非欧的坐标系、建立非欧坐标系中的微分运算、依据这种微分运算重建微分几何学。
这个工作由高斯发起，经黎曼发展，最终在里奇(G. Ricci，1853-1925)手中完成了张量分析，所以说真正意义上的非欧几何学——黎曼几何学(以张量分析为基本方法)的诞生，与19世纪初的非欧几何学有着鲜明的承接关系。
2.2 高斯内蕴几何的思想内涵最早研究曲面的内在性质的是瑞士数学家欧拉(L. Euler，1707-1783)。
1774年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。
欧拉的内在坐标实质上是球面几何的参数表示，所以仍然是欧几里得空间中的几何形式，与高斯后来的直接把曲面作为空间是根本不同的。
欧几里得空间中的微分几何经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内蕴几何学。
其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。
他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。
古典微分几何对空间曲线的研究为高斯研究空间曲面的性质奠定了基础，高斯的内蕴几何理论发展了古典微分几何的空间观念，为黎曼革命性地构架弯曲空间的几何理论开了先河。
2.3张量概念的代数学基础19世纪，代数观念经历了深刻变革，首先是哈密顿提出四元数理论，这是第一个不满足乘法交换律的数系，为凯莱创作矩阵论提供了模板。
1843年，哈密顿在对复数的几何表示的研究中，试图将复数概念推广到三维空间，未获成功，但却意想不到的创立了四元数理论。
从此，数学家便突破了实数与复数的框架，比较自由地创造各种新的代数系统。
四元数理论成为向量代数、向量分析以及格拉斯曼线性结合代数理论的先导。
在此之后，凯莱、西尔维斯特创造性地开辟出抽象代数的研究领域，在矩阵理论、代数形式、线性变换、代数形式的不变量理论等方面，进行了开拓性的研究。
所谓不变量是指经变换后代数形式保持形式不变，凯莱计算了大量代数形式的不变量。
1845年，凯莱发表“线性变换理论”一文，探讨求不变量的方式。
1846年，凯莱发表“论线性变换”一文，引入了“协变量”的概念，这两篇文章奠定了不变量理论的基础。
受凯莱的影响，西尔维斯特在不定量理论的创立过程中也做了许多工作，“不变量”这个术语就是西尔维斯特引进的。
凯莱的不变量理论是在线性变换理论的基础上展开的，它的意义在于揭示自然界中不随坐标系而改变的内在性质。
不变量理论最终体现出其价值, 是在爱因斯坦的几何化的引力结构被发现之后。
从那时起，不变量理论成为数学中的重要而基本的内容，在黎曼几何学、数学物理学的研究中产生了直接的影响。
有了线性变换这个工具，从1854 年开始, 凯莱连续发表了一系列共10篇论代数形式的学术论文，“代数形式”是他用来指称齐次多项式的名词，现在，所谓代数形式是指包含n 个变元n x x x ...,21的m 次齐次多项式)...,(21n x x x f ，最常见的是二次型。
关于代数形式不变量的研究到了贝尔特拉米那里转向了微分形式不变量的研究，而这也正是张量概念开始的地方。
我们知道，张量分析的源头是黎曼的度量形式∑==nj i j i ij dx dx g ds 1,2这个二次微分形式。
因此，抽象代数领域的开辟，为张量数学打下了基础。
3张量分析的建立3.1 Cay ley 的向量代数定义土体中孔隙水压力会随着循环荷载作用发生变化，继而引起土体变形和强度变化，因此研究冻融粘土在不同条件下孔隙水压力的变化规律十分重要。
在动应力作用下，动孔隙水压力呈现波动变化，而又单调增长。
在1858年的第一篇矩阵文章“矩阵论的研究报告”中，凯莱引进了矩阵的基本概念和运算；给出了零矩阵、单位矩阵的定义，两个矩阵的和。
他注意到，上述定义不仅适用于n ×n 矩阵，而且可用于任意的m ×n 矩阵，他指出，矩阵加法满足结合律和交换律。
对于一个数m ，凯莱定义m A 为这样的矩阵，其每一个元素都是A 的对应元素的m 倍。
运用矩阵代数方法，凯莱对线性变换进行了研究，从而引向了向量的代数定义。
在1845 年论文中，凯莱研究了下面的问题：如果函数∑∑=),,,(s r y x s r U 通过替换,,22,11...m m r r r r x a x a x a x +++=，,,22,11...m m s s s s y b y b y b y +++=变换为∑∑=),,,(,,,,,s r y x s r U 那么系数函数a ，b 应满足的关系。
针对这个问题，凯莱在这篇14页的论文中，详细地研究了矩阵函数的特征值。
这个工作为1846年论文作了基础工作。
在1846年论文中，Cayley 明确了向量的代数意义，即：对任意多函数的所有导数，使这些导数具有这样的性质：在变量的任意线性变换之后保持它们的形式不变。
凯莱的新思想导向了线性变换不变形式的研究, 这篇论文的重要意义在于引进“协变”量，而且通向了向量的代数定义。
Cayley 的结论揭示了向量在坐标变换下的不变性，从而为引进张量概念准备了代数基础：一方面他引进了线性变换的研究：另一方面，他对不变量理论的新方法提供了向张量数学发展的途径。
事实上，Ricci 最终能够实现绝对微分学的张量表达，在很大程度上依赖Cay ley 的工作。
3.2 张量分析形成1854年，乔治·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann ，1826-1866)在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，在这篇演说中，黎曼将流形看成一个独立的几何实体，而不再需要外维空间，从而提出了n 维微分流形的原始形式。
黎曼用微分弧长平方所确定的正定二次型刻画度量形式，用度量形式确定流形的内在性质，因此说黎曼设想了一种新的几何空间, 这种n 维弯曲的空间正是张量得以存在的空间。
Riemann 的分析技术包括度量和曲率张量，他在几何领域作出了富有意义的变革，并且改变了几何问题的前景。
Riemann 的观点主导了微分几何，直到Cardan 学派引进活动标架法。
黎曼的深刻的思想引出了曲线的微分运算，他提出一般空间的度量形式∑==nj i j i ij dx dx g ds 1,2之后，对流形的度量形式进行了微分运算，以得到给定空间的曲率。
黎曼把通常熟悉的三维空间推广到n 维空间中的m 维可微流形，黎曼的高维空间思想发展了高斯的内蕴微分几何学的思想，他把高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何。
流形不依赖于外围空间，它本身是可以弯曲的，因此每一点在该空间中的局部不一定相同。
为了刻画局部度量，黎曼从定义两个邻近点的距离ds 出发，给出了下列公式：∑==nj i j i ij dx dx g ds 1,2，即给出了被称为黎曼度量的度量形式，定义了黎曼空间。
这种空间的非欧性质提出了新的问题：传统的微分几何方法是在笛卡儿空间中进行的微分运算，坐标轴都是直线。
而黎曼空间要求曲线坐标系，从而引起了微分运算的困难，因为直线坐标系中函数的偏微分是易于表达的，而曲线坐标系的基向量也要同时被微分，这是一个困难。
要想解决这个问题，必须要有张量这个运算工具，因此，黎曼的思想在很大程度上推动了张量数学的产生。
1864年贝尔特拉米在《数学杂志》(Giornale di Matematiche)上发表文章“分析应用于几何的研究”，扩展了凯莱的代数形式不变量的研究，第一个对二次微分形式的不变量作了研究，给出了具有几何意义的两个微分不变量，开创了微分几何中的不变量研究。
在此研究的基础上, Christoffel直接继承了Riemann的思想，有所不同的是, Christoffel 虽然和Riemann一样是从二次微分形式开始的，但是他不是计算流形的曲率，而是考虑局部等价问题导出了协变微分公式。
Christoffel在1869年发表Ueber die trans-formation der homogenen different ialausdrucke zweiten grades一文，开始研究Christoffel符号，这篇论文考察了两个n变量实二次微分形式的变换，证明等价变换是由一个点的初始值决定的。