安徽省长丰县高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式教案新人教A版必修5
2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式（共 1 课时）一、知识与技能1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.二、过程与方法1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.三、情感态度与价值观通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题.教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.导入新课师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子)(1)0，5，10，15，20，25，…;(2)48，53，58，63，…;(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….请你们来写出上述四个数列的第7项.生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510.师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的是共同特征.生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.师作差是否有顺序，谁与谁相减？生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.这就是我们这节课要研究的内容.推进新课等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列{a n}，若a n-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差.师定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)生从“第二项起”和“同一个常数”.师很好！师请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？生数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….师好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考.［合作探究］等差数列的通项公式师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么?生a2-a1=d,即a2=a1+d.师对，继续说下去!生a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;……师好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?生由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d.师很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a n了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?生前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,a n-a n-1=d.将它们相加便可以得到：a n =a 1+(n -1)d .师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.［教师精讲］由上述关系还可得：a m =a 1+(m-1)d ,即a 1=a m -(m-1)d .则a n =a 1+(n -1)d =a m -(m-1)d +(n -1)d =a m +(n -m)d ,即等差数列的第二通项公式a n =a m +(n -m)d .(这是变通的通项公式)由此我们还可以得到nm a a d n m --=. ［例题剖析］【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 分析（1）师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗? 生1 这题太简单了!首项和公差分别是a 1=8,d =5-8=2-5=-3.又因为n =20，所以由等差数列的通项公式，得a 20=8+(20-1)×(-3)=-49.师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.分析（2）生2由a 1=-5,d =-9-(-5)=-4得数列通项公式为a n =-5-4(n -1).由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得-401=-5-4(n -1)成立,解之,得n =100，即-401是这个数列的第100项.师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式就是a n ,a 1,d ,n 组成的方程(独立的量有三个). 说明:(1)强调当数列｛a n ｝的项数n 已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式a n ，判断是否存在正整数n ，使得a n =-401成立.【例2】 已知数列{a n }的通项公式a n =p n +q ，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？例题分析：师由等差数列的定义，要判定{a n}是不是等差数列，只要根据什么?生只要看差a n-a n-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.师说得对，请你来求解.生当n≥2时，〔取数列{a n}中的任意相邻两项a n-1与a n(n≥2)〕a n-a n-1=(p n+1)-［p(n-1)+q］=p n+q-(p n-p+q)=p为常数,所以我们说{a n}是等差数列，首项a1=p+q，公差为p.师这里要重点说明的是：(1)若p=0，则{a n}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….(2)若p≠0，则a n是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，a n)均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项a n=p n+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.课堂练习(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为a n=3+(n-1)×4，即a n=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.评述：关键是求出通项公式.(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2.所以该数列的通项公式为a n=10+(n-1)×(-2)，即a n=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n值，使得a n等于这个数.解：根据题意可得a 1=2，d =9-2=7.因而此数列通项公式为a n =2+(n -1)×7=7n -5.令7n -5=100，解得n =15.所以100是这个数列的第15项.(4)-20是不是等差数列0， 213-，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.解：由题意可知a 1=0，213=d ,因而此数列的通项公式为2727+-=n a n . 令202727-=+-n ，解得747=n .因为202727-=+-n 没有正整数解，所以-20不是这个数列的项.课堂小结师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力) 生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a n -a n -1=d (n ≥2);其次要会推导等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d (n ≥1).师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道a n ，a 1，d ，n 中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式a n =a m +(n -m)d 和a n =p n +q(p 、q 是常数)的理解与应用.布置作业课本第45页习题2.2 A 组第1题，B 组第1题.等差数列的概念、等差数列的通项公式1.定义2.数学表达式 例1.(略)3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习。
2017_2018学年高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.1等差数列课件新人教A版必修5
4 代入,得差为常数即可; ������������
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)证明 bn+1-bn= =
4- ������
∵b1=
4 -2
������
1
1 ������������ 1 ������������ -2 1 − = − = = . ������������ -2 2( ������������ -2) ������������ -2 2(������������ -2) 2
64 4 + ( ������ − 1) × 15 15
=
4 ������ + 4. 15
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,求数列{an} 的通项公式. 解设首项为a1,公差为d,则 ������3 = ������1 + 2������ = 5, ������ = 1, 解得 1 ������7 = ������1 + 6������ = 13, ������ = 2. 故an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
题型一
题型二
题型三
题型四
求等差数列的通项公式 【例1】 已知数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an. 分析先求出a1,d,再求an. 解设等差数列{an}的公差为d, ������15 = ������1 + 14������ = 8, 由题意,知 ������60 = ������1 + 59������ = 20,
1 , 2 1 2 1 1
1 − ������������+1 -2 ������������ -2
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列课件新人教A版必修5
[规范解答] 方法一：设等差数列{an}的前三项分别为
a1，a2，a3.依题意得aa11·＋a2a·a23＋＝a63＝ 6，18，
∴a31a·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66，
2分
解得ad1＝＝－115 或ad1＝＝51.，
6分
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的项，且为第10项.
对称项设法.
2．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值 分别为________，________，________；
(2)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求 数列{an}的通项公式．
解析： (1)因为数列8，a,2，b，c是等差数列， 所以2a＝8＋2，所以a＝5， 因为公差d＝5－8＝－3， 所以b＝2＋(－3)＝－1，c＝－1＋(－3)＝－4.
解析： (1)∵a4＝10，a10＝4， ∴d＝a1100－－a44＝－66＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. (2)∵a2＝12，d＝－2， ∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20， ∴n＝18.
等差数列的定义
如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的_前__一__项___的差 等于_同__一__常__数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个__常__数__ 叫做等差数列的__公__差__，通常用字母__d__表示．
高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质课件2新人教A版必修 (2)
巧
传
播
陷阱规避
陷阱一 陷阱二 陷阱三
【易错典例】
已知数列{an } 满足 a1 1， an 3n1 an1(n 2) ，求 a1 ， a2 ；
等差数列
2
概念
性质
典题剖析
题型一：等差数列 的简单判定
例 1．（1）求等差数列 8、5、2… …的第 20 项
（2） 401是不是等差数列 5、 9、 13… …的项？如果是，是第几项？
题型二：等差中 项的应用
例2：在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
题型三：等差数列的推 理与证明
例 3．已知数列{an} 的通项公式 an pn q ，其中 p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公 差分别是多少？
技巧传播
1．判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是
2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d 或 a，a＋d，a＋2d；
第二章 数列
等差数列的性质
等 差 数 列
等差数列的 定义
定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫 做等差数列的公差（常用字母“ d ”表示） 注意：
注意事项
等差数列的 通项
推导
累加法
等差中项
等差中项：如果 a ，G ， b 成等差数列，那么G 叫做a ，b 的等差中项 性质：G a b
高中数学第二章数列2.2等差数列2.2.1等差数列的概念及通项公式课件新人教A版必修5
探究三
探究四
典型例题1
(1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an; (2)已知数列{an}为等差数列, a3=
5 7 ,a7=- ,求a15的值. 4 4
思路分析:设出首项与公差,列出方程组,并求出首项与公差,再写出通项公式.
探究一
探究二
探究三
探究四
解 :(1)设等差数列 {an}的公差为 d, ������1 + 4������ = 10, ∵a5=10,a12=31,则 解得 ������1 = -2, ������1 + 11������ = 31, ������ = 3. 因此这个等差数列的首项是-2,公差是 3. ∴an=-2+3(n-1)=3n-5. (2)设等差数列 {an}的公差为 d,首项为 a1, 由 ������3 = ������7 =
5 , 4 得 7 4
������1 + 2������ = ������1 + 6������ =
31 4
5 , 4 解得 7 - , 4
11 ������1 = , 4 3 ������ = - . 4
∴a15=a1+(15-1)d
= +14× 11 4 3 4
=- .
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
名师点拨
对等差数列定义的理解: (1)等差数列定义中的关键词是:“从第2项起”与“同一个常数”.
①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差
是同一个常数,那么此数列不是等差数列.
②如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管是常数,但这个数列也不
高中数学第二章数列2.2等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式aa高二数学
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将本例的条件改为“f(x)＝2－1 x”，其他条件不变，试证明数 列xn－1 1为等差数列．
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证明：因为 f(x)＝2－1 x，所以 xn＝2－1xn－1(n≥2)，
所
以
1 xn－1
－
1 xn－1－1
＝
1 2－1xn－1－1
－
1 xn－1－1
逻辑推理
证明方法
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问题导学 预习教材 P36～P38，并思考下列问题： 1．等差数列是如何定义的？ 2．等差数列的通项公式是什么？ 3．等差中项的定义是什么？
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1．等差数列的定义 如果一个数列从第___2_项______起，每一项与它的__前__一__项___的差 等于_____同__一__个__常__数_____，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的_公__差______，公差通常用字母_d_____ 表示．
12[注意] (1)通项公式法不能作为证明． (2)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列； 要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等 差数列即可． (3)当 n≥2 时，an＋1－an＝d(d 为常数)，无法说明数列{an}是 等差数列，因为 a2－a1 不一定等于 d.
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等差数列的判定
已知函数 f(x)＝x3＋x3，数列{xn}的通项由 xn＝f(xn－ 1)(n≥2 且 x∈N*)确定． (1)求证：数列x1n是等差数列； (2)当 x1＝12时，求 x2 019.
高中数学第2章数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式第2课时等差数列的性质讲义苏教版必修5
第2课时 等差数列的性质1．等差数列与一次函数(1)等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d ，a m ，a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a mn －m，从而有a n ＝a m ＋(n －m )d . 思考1：已知等差数列中任意两项是否可以直接求公差？[提示] 等差数列{a n }的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点(n ，a n )(m ，a m )(m ≠n )，类比直线的斜率公式可知公差d ＝a n －a mn －m. 2．等差中项如果a ，A ，b 这三个数成等差数列，那么A ＝a ＋b2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 和b 的等差中项．3．等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p＋a q .(2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(3)若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有(4){a n }n n ＝0⇔{a n }为常数列．思考2：等差数列{a n }中，若a 5＝7，a 9＝19，则a 2＋a 12＝________，a 7＝________. [提示] ∵a 2＋a 12＝2a 7＝a 5＋a 9＝26， ∴a 2＋a 12＝26，a 7＝13.思考3：还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？ [提示] 利用1＋100＝2＋99＝….1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝10，则a 1＋a 7等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 C [a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.]2．等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( ) A ．2 B ．20 C ．100D ．不确定A [∵a 100－a 90＝10d ，∴10d ＝20，即d ＝2.]3．在等差数列{a n }中，若a 5＝6，a 8＝15，则a 14＝________. 33 [由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.]4．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 15 [由等差数列的性质得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16， 又∵a 4＝1，∴a 12＝15.]【例1】 n 1n )，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求p ，q 的值．思路探究：由x 1，x 4，x 5成等差数列得出一个关于p ，q 的等式，结合x 1＝3推出2p ＋q ＝3，从而得p ，q .[解] 由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4得， 3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， ②由①②得，q ＝1，p ＝1.在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.1．在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列． [解] (1)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5，∴该数列为－1,1,3,5,7.【例2】 n 1815910(2)数列{a n }为等差数列，已知a 2＋a 5＋a 8＝9，a 3a 5a 7＝－21，求数列{a n }的通项公式； (3)在等差数列{a n }中，a 15＝8，a 60＝20，求a 75的值． 思路探究：(1)利用等差中项求解；(2)利用m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 求解； (3)利用d ＝a m －a nm －n求解． [解] (1)由等差数列的性质，得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，又2a 9＝a 8＋a 10， ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. (2)∵a 2＋a 8＝2a 5，∴3a 5＝9， ∴a 5＝3，∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝6，①又a 3a 5a 7＝－21， ∴a 3a 7＝－7.②由①②解得a 3＝－1，a 7＝7或a 3＝7，a 7＝－1. ∴a 3＝－1，d ＝2，或a 3＝7，d ＝－2. 由通项公式的变形公式a n ＝a 3＋(n －3)d ， 得a n ＝2n －7或a n ＝－2n ＋13. (3)∵a 60＝a 15＋(60－15)d ， ∴d ＝20－860－15＝415，∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.解决本类问题一般有两种方法一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.提醒：递增等差数列d >0，递减等差数列d <0，解题时要注意数列的单调性对d 的取值的限制.2．已知等差数列{a n }，满足a 2＋a 3＋a 4＝18，a 2a 3a 4＝66，求a 2，a 3，a 4.[解] ∵{a n }为等差数列，∴2a 3＝a 2＋a 4，∴3a 3＝18，∴a 3＝6，设公差为d ，则(6－d )×6×(6＋d )＝66，∴d 2＝25，∴d ＝±5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1.[探究问题1．若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？[提示] 设等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，这样计算较为方便．2．若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？[提示] 设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，计算较为方便．【例3】 已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求此三个数．思路探究：根据这三个数成等差数列，可设这三个数为x －d ，x ，x ＋d . [解] 设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )(x ＋d )＝5x ，x ＋x ＋d ＝8(x －d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，d ＝6，故此三数分别为0,0,0或3,9,15.(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求此数列．[解] 设所求数列为a －d ，a ，a ＋d (d >0)， 根据题意得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，②由①得a ＝6.将a ＝6代入②， 得d ＝2，d ＝－2(舍)． 所以所求数列为4,6,8.设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d . (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .(3)等差数列的通项可设为a n ＝pn ＋q .1．在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断正误(1)若{a n }是等差数列，则{|a n |}也是等差数列．( ) (2)若{|a n |}是等差数列，则{a n }也是等差数列．( )(3)若{a n }是等差数列，则对任意n ∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5，则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√[提示] (1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列． (2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列． (3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n ∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2成立． (4)正确．因为a n ＝3n ＋5的公差d ＝3，而直线y ＝3x ＋5的斜率也是3. 2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 C [∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100， ∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d )－(a 7＋6d )＝2a 7＝40.]3．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77且a k＝13，则k ＝________.18 [∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17， ∴a 7＝173.又∵a 4＋a 5＋…＋a 13＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7. 故d ＝a 9－a 79－7＝7－1732＝23.∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝13， ∴13－7＝(k －9)×23，∴k ＝18.]4．(1)已知{a n }是等差数列，且a 1－a 4＋a 8－a 12＋a 15＝2，求a 3＋a 13的值． (2)已知在等差数列{a n }中，若a 49＝80，a 59＝100，求a 79. [解] (1)因为{a n }是等差数列， 所以a 1＋a 15＝a 4＋a 12＝a 3＋a 13＝2a 8.又因为a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，所以a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.(2)因为{a n}是等差数列，可设公差为d.由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.又因为a79＝a59＋20d，所以a79＝100＋20×2＝140.。
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与简单表示A版公开课PPT课件
阶
段
段
一
2．2 等差数列
三
第1课时 等差数列的概念与简单表示
学
阶
业
段
分
二
层
测
评
1．理解等差数列的概念．(难点) 2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点) 3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
[基础·初探] 教材整理 1 等差数列的含义 阅读教材 P36～P37 思考上面倒数第二自然段，完成下列问题． 1．等差数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项 的差等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的 公差 ， 公差通常用字母 d 表示． (2)符号语言：an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*)．
[小组合作型] 等差数列的判定与证明
已知数列{an}的通项公式 an＝pn2＋qn(p，q∈R，且 p，q 为常数)． (1)当 p 和 q 满足什么条件时，数列{an}是等差数列？ (2)求证：对任意实数 p 和 q，数列{an＋1－an}是等差数列． 【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明 an＋1－an 为一个常数即可．
等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b 是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝________. 【解析】 ∵a1＝4，d＝－2， ∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】 6－2n
高中数学第二章2.2.1等差数列的概念精品课件苏教必修5.ppt
课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是 否为等差数列． 2．掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单 问题． 重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项． 本节难点：对等差数列定义的理解和应用．
基础知识梳理
1．等差数列的有关概念 定义：一般地，如果一个数列从第_二__项起，每一项 减去它的_前__一__项_所得的差都等于_同__一__个_常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列 公的差____，公差通常用d __表示． 说明：(1)由定义可知，如果an－an－1(n≥2)是同一个 常数，那么数列{an}就是等差数列． (2)对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差 (从第2项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒．
与它前一项的差为同一个常数，即an－an－1＝d(n≥2， n∈N*)即可． 【解】 取数列{an}的任两项an和an－1(n≥2)，则an－an －1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－pn＋p－q＝p.
∵p是一个与n无关的常数，∴{an}是等差数列，且公差 为p.在通项公式an＝pn＋q中，令n＝1，可得首项a1＝p ＋q.于是{an}的首项为p＋q，公差为p. 【点评】 深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二
2．虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一 个常数，但它不是公差，而是公差的相反数．
例1 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q，其中p、q为 常数，且p≠0，那么数列{an}是否为等差数列？如果是 ，求其首项与公差．
【分析】 根据等差数列的定义可知，要证明一个数
列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项
项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个
常数与n无关．如an－an－1＝n(n≥2)，数列{an}就不是 等差数列．
高中数学2.2.2等差数列(二)课件
复习引入
1. 等差数列定义： 等差数列定义： 即an－an－1 ＝d (n≥2). － 2. 等差数列通项公式： 等差数列通项公式： an＝a1＋(n－1)d (n≥1). － 推导出公式： 推导出公式：an＝am＋(n－m)d . －
复习引入
3. 有几种方法可以计算公差 有几种方法可以计算公差d:
讲解范例: 讲解范例
已知数列{a 的通项公式为 例2. 已知数列 n}的通项公式为 an＝pn＋q，其中p、q为常数， ＋ ，其中 、 为常数， 为常数 且p≠0，那么这个数列一定是 ， 等差数列吗？ 等差数列吗？ 这个等差数列的首项与公差分 别是多少？ 别是多少？ 首项a 首项 1＝p＋q ＋ 公差d＝ 公差 ＝p.
探究: 探究
2. 在同一个直角坐标系中，画出函数 在同一个直角坐标系中， y＝3x－5的图象，你发现了什么？据 ＝ － 的图象 你发现了什么？ 的图象， 此说一说等差数列a 此说一说等差数列 n＝pn＋q与一次 ＋ 与一次 函数y＝ ＋ 的图象之间有什么关系 的图象之间有什么关系. 函数 ＝px＋q的图象之间有什么关系
等差中项： 等差中项：
数列： ， ， ， ， ， ， 数列：1，3，5，7，9，11，13… 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项； 是 和 的等差中项 的等差中项， 和 的等差中项 的等差中项； 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 的等差中项， 和 的等差中项 的等差中项. 是 和 的等差中项
总结: 总结
2. 判断数列是否为等差数列的常用方法： 判断数列是否为等差数列的常用方法： (1) 定义法 证明 n－an－1＝d (常数 定义法: 证明a 常数) 常数 － (2) 中项法 利用中项公式，若2b＝a＋c, 中项法: 利用中项公式， ＝ ＋ 成等差数列. 则a, b, c成等差数列 成等差数列