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2010全国高考数学

2010全国高考数学引言2010年全国高考数学试题是中国教育系统一年一度的国家级考试的一部分。

数学试题是高考中最重要的科目之一，也是评价学生数学水平的重要指标之一。

本文将对2010年全国高考数学试题进行详细的解析和分析，帮助考生更好地理解试题及解题思路。

第一部分：选择题2010年全国高考数学试卷的选择题部分共有30小题，每小题分值为4分，共计120分。

下面是其中的几道题目以及解析：第1题已知集合A = {x | x = 2k, 1 <= k <= 4, k ∈ Z}，则集合A中的元素个数为:A. 1B. 2C. 3D. 4解析：根据集合A的定义可知，集合A中的元素为2的倍数且在1到4之间的整数。

显然，集合A中的元素有4个，因此选项D为正确答案。

第5题已知函数f(x) = x^2 + kx + 3，若二次函数图像与x轴有两个相交点，则实数k的取值范围是：A. (-∞, -6] 或[2, +∞)B. (-6, 2)C. (-6, -2)D. [-2, 6]解析：当二次函数图像与x轴有两个相交点时，其判别式必须大于0。

根据判别式的公式可得Δ = k^2 - 4ac。

由于a的系数是1，b的系数是k，c的系数是3，则Δ = k^2 - 4 * 1 * 3 = k^2 - 12。

又因为Δ > 0，所以k^2 - 12 > 0，解得k < -2或k > 2。

综合选项可知，实数k的取值范围为A选项。

…第二部分：解答题2010年全国高考数学试卷的解答题部分共有10小题，每小题分值为12分，共计120分。

下面是其中的一道题目以及解析：第11题已知等差数列{a_n}的公差是d，且前四项依次为a_1 - 2d，a_1 + 2d，a_2- 2d，a_2 + 2d。

已知S_4 = 12，则数列的第一个非零项是多少？解析：首先，根据等差数列的性质，可以得到以下等式：a_2 = a_1 + d和a_3 = a_1 + 2d。

2010年上海市三校生高考数学试题及解答

2010年上海市三校生高考数学试题及解答一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是.5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为. 到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是 . 13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）. （B）. （C）. （D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）. （B）.（C）. （D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项, 组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D ；16．B；17．B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。

2010年上海重点中学高三数学高考模拟试卷(理科)答案

2010年上海重点中学高三数学五月高考模拟试卷（理科）答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1． “1a =”是函数22cos sin y ax ax =-，的最小正周期为π的___ ___条件．2．若向量,a b的夹角为120︒，2a b == ，则)(b a a -∙= ．3．已知函数213()log (2)f x x x =+，则()f x 的单调增区间为．4．设集合(){}2lg lg 815,A x x x x R ==-∈，cos0,2xB x x R ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂的元素的个数为_______．5．设数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，它们前n 项和分别为n S 和n T ，且121n nS n T n +=+，则55b a = ____．6．若10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项共有项．7．若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛13cos sin 1031αα，则=α ． 8．数列{}n a 中，前n 项和2nn S =（n 为正整数），则n a = ．9．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位;当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位.若青蛙跳动2次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X ，则E(X)＝__________.10．某算法的程序框如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是．11．常数 597182818284.211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→nn n e ，定义函数2)(xxee xf --=为双曲正弦函数，记为x sinh ，定义函数2)(xxee x g -+=为双曲余弦函数，记为x cosh .则以下三个命题正确的是__________.（只需填正确命题序号）（1）y x y x y x sinh sinh cosh cosh )cosh(⋅-⋅=+；（2）y x y x y x sinh cosh cosh sinh )sinh(⋅+⋅=+；（3）()()1cosh sinh 22=-x x .12.已知向量)0,2(=OB ，)2,2(=OC ，)sin 2,cos 2(αα=CA ，则OB OA 与的夹角的取值范围是__________.13．过椭圆C:143422=+y x上的点），1A(1作斜率为k 与-k （)0k ≠的两条直线，分别交椭圆于N M , 两点，则直线MN 的斜率为_____________.14．设()()1212,,,a a a b b b == ，定义一种向量积()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⊗=。

2010高考数学全国卷1(题题详细解析)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一．选择题 (1)复数3223i i+=-(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1．A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i ii i +++++-===--+.(2)记cos(80)k -︒=,那么tan 100︒=A.21k k- B. -21k k- C.21k k- D. -21k k-2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin 801cos 801cos (80)1k=-=--=-,所以tan 100tan 80︒=-2sin 801.cos 80k k-=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域（如右图），由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则a a a=(A) 52(B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====(5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式0x y += 1Oy x = y20x y --=xA0:20l x y -=2-2 AA BC DA 1B 1C 1D 1O的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x 的项为3303551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x 的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23B33C 23D637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D A C D DA C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则12211133sin 60(2)2222AC D S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆== .所以1312333AC D AC D S D D aD O a S a∆∆===,记DD 1与平面AC 1D 所成角为θ,则13sin 3D O D D θ==,所以6cos 3θ=.（8）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b,c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为 (A)32(B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a P F e x a e x x c=--=+=+，22000||[)]21aPF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y =（10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a=，所以a+2b=2a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ∙的最小值为 (A) 42-+(B)32-+(C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，PO=21x +，21sin 1xα=+，||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+，令P A P B y ∙= ，则4221x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ∙=-+.此时21x =-.（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有A B C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.PABO。

2010年上海高考各科试卷

2010年上海市普通高校招生统一文化考试试卷评析语文——稳定中体现课改精神变化中彰显命题追求2010年秋季高考语文卷的命制在稳定中体现课程改革的精神，在变化中彰显试题的选拔功能与对中学语文教学的导向功能。

1、阅读材料的选文的重要性是不言而喻的，今年的阅读材料的选择体现了以下特点：(1)选文体裁多样，题材丰富。

今年选文涉及到五种体裁，有利于不同认知风格的考生展现各自的才能。

题材涉及到的范围也较宽，有对传统文化艺术的思考，有细腻的写景抒情，有记叙人物的传记等。

结合上海市二期课改的要求，书法绘画、传统节日、历史优秀人物等题材同时体现了“两纲教育”的宗旨。

(2)选文平实，又有一定深度。

选文平实可以避免学生在阅读时出现过大的障碍，同时又有一定深度，体现了选拔性测试中对试题区分度的要求，保证了测试的效度。

2、今年的阅读试题力求科学，全面、均衡地设置测量目标。

首先，考试手册、“课程标准”的要求是命题的基本依据，今年高考试题更加关注每一道试题与“课程标准”中目标是否一致。

其次，整体把握文本的能力依然是阅读能力测试的重点，直接测量对文本的整体把握能力的试题有6题，共计23分，占阅读部分的比例接近29%；间接测量文本整体把握能力的试题4题，共计12分，占阅读部分的比例接近15%。

再次，关注语文教材，设计与高中语文教材内容有关的试题是近年语文高考试题的一大亮点，今年的试题与高中语文教材仍紧密结合，如第17题词语解释及18题对词汇用法和意义的考查都密切结合文言文教学内容，另---------------------------------------------------------精品文档外，今年的试题在与教材结合的方式更为深层、自然。

3、作文命题今年依然是材料作文。

今年的材料类型较去年有所变化，属于组合型材料，一中一外，一古一今，考生可以进行比较，减少作文审题上的失误。

提示语还直接引导考生关注生活，关注社会，这也符合上海市二期课改关于作文教学的理念。

上海卷,高考数学理科卷

2010年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试··理科数学(上海卷)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(2010上海,理1)不等式xx +−42>0的解集是_______.答案:(-4,2)2.(2010上海,理2)若复数z =1-2i(i 为虚数单位),则z ·z +z =_______.答案:6-2i3.(2010上海,理3)若动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x +2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为_______.答案:y 2=8x 4.(2010上海,理4)行列式6πcos 3πsin 6πsin 3πcos 的值为_______.答案:05.(2010上海,理5)圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =_______.答案:36.(2010上海,理6)随机变量ξ的概率分布由下表给出:x 78910P (ξ=x )0.30.350.20.15则随机变量ξ的均值是_______.答案:8.27.(2010上海,理7)2010年上海世博会园区每天9:00开园,20:00停止入园.在下边的框图中,S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数,a 表示整点报道前1个小时内入园人数,则空白的执行框内应填入_______.答案:S ←S +a8.(2010上海,理8)对任意不等于1的正数a ,函数f (x )=log a (x +3)的反函数的图像都过点P ,则点P 的坐标是_______.答案:(0,-2)9.(2010上海,理9)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张,事件A 为“抽得红桃K ”,事件B 为“抽得为黑桃”,则概率P (A ∪B )=_______(结果用最简分数表示).答案:26710.(2010上海,理10)在n 行n 列矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛1- 2- 3- 2 1 2 1 5 4 31 1- 4 3 2 1- 2- 3 2 1n n n n n n n n n n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯中,记位于第i 行第j 列的数为a ij (i ,j =1,2,…,n ).当n =9时,a 11+a 22+a 33+…+a 99=_______.答案:4511.(2010上海,理11)将直线l 1:nx +y -n =0、l 2:x +ny -n =0(n ∈N *,n ≥2)、x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为S n ,则lim ∞→n S n=_______.答案:112.(2010上海,理12)如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,剪去△AOB ,将剩余部分沿OC 、OD 折叠,使OA 、OB 重合,则以A (B )、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为_______.答案:32813.(2010上海,理13)如图所示,直线x =2与双曲线Γ:42x -y 2=1的渐近线交于E 1、E 2两点,记1OE =e 1,2OE =e 2,任取双曲线Γ上的点P ,若OP =a e 1+b e 2(a ,b ∈R ),则a 、b 满足的一个等式是_______.答案:4ab =114.(2010上海,理14)从集合U ={a ,b ,c ,d }的子集中选出4个不同的子集,需同时满足以下两个条件:(1)∅,U 都要选出；(2)对选出的任意两个子集A 和B ,必有A ⊆B 或B ⊆A.那么,共有_______种不同的选法.答案:36二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.(2010上海,理15)“x =2k π+4π(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A 16.(2010上海,理16)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧−=+=ty t x 221(t ∈R ),则l 的方向向量d 可以是A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)答案:C 17.(2010上海,理17)若x 0是方程(21)x =31x 的解,则x 0属于区间A.(32,1) B.(32,21) C.(21,31) D.(0,31)答案:C18.(2010上海,理18)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是131、111、51,则此人能A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形答案:D三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(2010上海,理19)(本题满分12分)已知0<x <2π,化简:lg(cos x ·tan x +1-2sin 22x )+lg ［2cos(x -4π)］-lg(1+sin2x ).解:原式=lg(sin x +cos x )+lg(sin x +cos x )-lg(1+sin2x )=lg 02sin 12sin 1lg 2sin 1)cos (sin 2=++=++xx x x x .20.(2010上海,理20)(本题满分13分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分8分.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n -5a n -85,n ∈N *.(1)证明:{a n -1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式,并求出n 为何值时,S n 取得最小值,并说明理由.解:(1)证明:当n =1时,a 1=S 1=1-5a 1-85,解得a 1=-14,则a 1-1=-15.当n ≥2时,S n -1=(n -1)-5a n -1-85,∴a n =S n -S n -1=1-5a n +5a n -1,∴6a n =5a n -1+1,即a n -1=65(a n -1-1),∴{a n -1}是首项为-15,公比为65的等比数列.(2)解:a n -1=-15·(65)n -1,∴S n =n -5［1-15·(65)n -1］-85=n +75·(65)n -1-90.当n ≥2时,设S n -S n -1=a n =1-15·(65)n -1>0,即15·(65)n -1<1,解得n >151log 65+1≈15.85.当2≤n ≤15时,S n <S n -1；当n ≥16时,S n >S n -1.故n =15时,S n 取得最小值.21.(2010上海,理21)(本题满分13分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分8分.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝.骨架将圆柱底面8等分.再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).(1)当圆柱底面半径r 取何值时,S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为点,安装一些霓虹灯.当灯笼底面半径为0.3米时,求图中两根直线A 1B 3与A 3B 5所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数表示).解:(1)设圆柱的高为h ,由题意可知,4(4r +2h )=9.6,即2r +h =1.2.S =2πrh +πr 2=πr (2.4-3r )=3π［-(r -0.4)2+0.16］,其中0<r <0.6.∴当半径r =0.4(米)时,S max =0.48π≈1.51(平方米).(2)当r =0.3时,由2r +h =1.2,解得圆柱的高h =0.6(米).如图所示,以直线A 3A 7、A 1A 5及圆柱的轴为x 、y 、z 轴,建立空间直角坐标系.则有A 1(0,-0.3,0),B 3(0.3,0,0.6),A 3(0.3,0,0),B 5(0,0.3,0.6),31B A (0.3,0.3,0.6),53B A =(-0.3,0.3,0.6),异面直线A 1B 3、A 3B 5所成角α有cos α=32)36.009.009.0(36.02=++.∴两根霓虹灯A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为arccos32.22.(2010上海,理22)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分10分.若实数x 、y 、m 满足|x -m |>|y -m |,则称x 比y 远离m .(1)若x 2-1比1远离0,求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a 、b ,证明:a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ab ；(3)已知函数f (x )的定义域D ={x |x ≠4π2π+k ,k ∈Z ,x ∈R }.任取x ∈D ,f (x )等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数f (x )的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明)解:(1)解:由题意得|x 2-1|>1,x 2-1<-1或x 2-1>1,即x 2<0或x 2>2,∴x 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)证明:当a 、b 是不相等的正数时,a 3+b 3-(a 2b +ab 2)=(a -b )2(a +b )>0,又a 2b +ab 2>2ab ab ,则a 3+b 3>a 2b +ab 2>2ab ab >0,于是|a 3+b 3-2ab ab |>|a 2b +ab 2-2ab ab |,∴a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2ab ab .(3)解:若|sin x |>|cos x |,即sin 2x >cos 2x ,cos2x <0,2k π+2π3π222π+<<k x ,k π+4π<x <k π+4π3(k ∈Z );同理,若|cos x |>|sin x |,则k π+4π3<x <k π+4π5(k ∈Z ).于是,函数f (x )的解析式是f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+<<+∈+<<+).(4π54π3,cos ),(4π34π,sin Z Z k k x k x k k x k x ππππ函数f (x )的大致图像如下:函数f (x )的最小正周期T =2π.函数f (x )是非奇非偶函数.当x =2k π或x =2k π+2π(k ∈Z )时,函数f (x )取得最大值1.当x =2k π+π或x =2k π+2π3(k ∈Z )时,函数f (x )取得最小值-1.函数f (x )在区间(2k π+4π,2k π+4π］,［2k π+π,2k π+4π5),［2k π+2π3,2k π+4π7),(2k π+4π7,2k π+2π］(k ∈Z )上单调递增.在区间［2k π,2k π+4π),［2k π+2π,2k π+4π3),(2k π+2π3,2k π+π］,(2k π+2π5,2k π+2π3］(k ∈Z )上单调递减.23.(2010上海,理23)(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为2222by a x +=1(a >b >0),点P 的坐标为(-a ,b ).(1)若直角坐标平面上的点M 、A (0,-b )、B (a ,0)满足PM =21(PA +PB ),求点M 的坐标；(2)设直线l 1:y =k 1x +p 交椭圆Γ于C 、D 两点,交直线l 2:y =k 2x 于点E .若k 1·k 2=-22a b ,证明:E 为CD 的中点；(3)对于椭圆Γ上的点Q (a cos θ,b sin θ)(0<θ<π),如果椭圆Γ上存在不同的两个交点P 1、P 2满足PQ FP PP =+21,写出求作点P 1、P 2的步骤,并求出使P 1、P 2存在的θ的取值范围.解:(1)设点M 的坐标为(x 0,y 0),∵PA =(a ,-2b ),PB =(2a ,-b ),PM =21(+)=(b a 23,23−)=(x 0+a ,y 0-b ),于是,点M 的坐标为(2,2b a −).(2)证明:由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1,22221b y a x p x k y 得(b 2+a 2k 12)x 2+2a 2k 1px +a 2p 2-a 2b 2=0,∴CD 中点坐标为(21222212212,k a b p b k a b p k a ++−).∵k 1·k 2=-22a b ,∴k 2=-122k a b .由⎪⎩⎪⎨⎧−=+=,,1221x k a b y p x k y 得l 1与l 2的交点E 的坐标为(21222212212,k a b p b k a b p k a ++−).∴l 1与l 2的交点E 为CD 的中点.(3)第一步:取PQ 的中点R (2sin ,2cos b b a a +−θθ)；第二步:过点R 作斜率为-)sin 1()1(cos θθ+−a b 的直线交Γ于P 1、P 2两点.由(2)可知,R 是P 1P 2的中点,则PP 1QP 2是平行四边形,有PQ PP PP =+21.要使P 1、P 2存在,则点R (2sin ,2cos b b a a +−θθ)必须在椭圆内.将x =2cos a a −θ代入椭圆Γ的方程,得y 2=b 2［1-4)1(cos 2−θ］,当且仅当4)1(sin 22+θb <b 2［1-4)1(cos 2−θ］时,点R 在椭圆内.整理得(1+sin θ)2+(cos θ-1)2<4,即2sin θ-2cos θ<1,亦即sin(θ-4π)<42,又0<θ<π,∴0<θ<4π+arcsin 42.。

2010年高考试题——数学(上海春季)

2010上海市春季高考数学试卷解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数1sin 22y x =的最小正周期T = 。

答案：π解析：由周期公式得222T πππω===。

2、已知函数2()2f x ax x =+是奇函数，则实数a = 。

答案：0解析：由奇函数定义有()()0f x f x -+=得222()2()220a x x ax x ax -+-++==，故0a =。

3、计算：21i i=+ （i 为虚数单位）答案：1i + 解析：22(1)2211(1)(1)2i i i i i ii i -+===+++-。

4、已知集合1{|||2},{|0}1A x xB x x =<=>+，则A B ⋂= 。

答案：{|12}x x -<<解析：由题知{|22}A x x =-<<，{|1}B x x =>-，故{|12}A B x x ⋂=-<<.5、若椭圆2212516xy+=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离是答案：4解析：由椭圆的定义知12||||210PF PF a +==,1||6P F =,故2||4PF =。

6、某社区对居民进行上海世博会知晓情况的分层抽样调查。

已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600人、1400人。

若在老年人中的抽样人数是70，则在中年人中的抽样人数应该是。

答案：80。

解析：由题可知抽取的比例为701140020k ==，故中年人应该抽取人数为116008020N =⨯=。

7、已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是。

答案：223122x y-=。

解析：设双曲线的方程为223(0)y x λλ-=≠，将点(1,1)代入可得2λ=-。

2010年上海市高考数学试卷引发的思考

ｉＸ—ｍＩＹ—ｍＩ＞ｆ，则称Ｘ比远离ｍ．
（）Ｘ１若一１远离０求Ｘ比１，的取值范围；（）２对任意两个不相等的正数ａｂ、，证明：ｎ＋６比ａｂｂ远离２ｂ／；。。２＋ａ２ａｘ￣
０１Ｘｙ＝０（，２：＋ｎ —ｎｎ∈Ｎ，轴、围成的）Ｘ轴封闭图形的面积记为Ｓ，ｌｎ：ｎ则ｉＳ＝ｍ．
解题过程中对审题、究、探表达等也有较高的要求，体现了对改善数学解题教学的积极引导．
考生解答本题，首先要认真审题，能将从集合中选出的４不同子集满足的条件分析清个楚，并建立与相关知识（集合、集合的子集、集合之间的关系、组合计数等）的联系；其次要善于探索，能抓住如何选定中除、以外的子
本题以求图形面积的极限为背景，解题时要
注意到直线ｌ１均过定点，ｌ２、并关注所围成图形的面积随ｎ变化的趋势．试题将数列极限、直线方程、图形面积等核心知识融于一体，把数形结合、有限与无限等数学思想的运用整合于其中．
试卷能有效地检测考生真实的数学学习水平，又能引起高中数学教师对改进教学的积极思考，是
再转化成ａ＝１５《） —１・
＞０ｎ≥２；（）
然后利用指数函数与对数函数的性质，将它表达
成ｎ＞ｌ昙＋１ｏｇ的形式，再利用计算器求出结果．解答本题，突出了思考问题的过程与策略，
第（）２小题还体现了数列、不等式、函数等知识之间的内在联系和转化，时问题的解决落实在同
一
份值得充分肯定的好试卷．本文主要从试卷对高中数学教学正确导向

2010年上海市春季高考数学试卷标准答案与解析

2010年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．上海）函数的最小正周期T=π．．（4分）（2010? 1【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．【解答】解：由三角函数的周期公式可知，T==πsin2x的最小正周期为函数y=故答案为：π．【点评】本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．函数f（x）=Asin（ωx+φ）T=．的最小正周期为；2．+2x是奇函数，则实数a=0=ax．（4分）（2010?上海）已知函数f（x）2【考点】奇函数．【分析】由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法．，﹣f（x）【解答】解：由奇函数定义有f（﹣x）= ，=﹣（a+2））=a﹣2=﹣f（1）（﹣则f1 解得a=0．【点评】本题考查奇函数定义．上海）计算：=1+i（（2010?i为虚数单位）．43．（分）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．==1+i【解答】．解：=故答案为：1+i【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．B={x|＞0}，则A∩B={x|﹣，已知集合2010?上海）A={x||x|＜2}1＜x＜2}．（4．4（分）【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）1∞）（﹣1，+B={x|＞0}=2} ＜x={x|﹣1＜A∩B=（﹣1，2）∴2}＜﹣1＜x故答案为：{x|本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，【点评】，是解答本题的关键．求出集合A，B到另一个P的距离为6，则点上海）若椭圆+=1上一点P到焦点5．（4分）（2010?F1．4焦点F的距离是2椭圆的简单性质．【考点】计算题．【专题】| |=6，进而可求|PF|+|PF【分析】根据椭圆的定义|PF|=2a，已知|PF2211 |PF|=4．|+|PF|=2a=10，|PF|=6，故【解答】解：由椭圆的定义知|PF21124故答案为【点评】本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．上海）某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查．已知该社区2010?．（4分）（6人，若在老年人中的抽样人数是人、1400的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600 ．70，则在中年人中的抽样人数应该是80【考点】分层抽样方法．【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求中年人中需抽取的人数．N=1600．解：由题可知抽取的比例为×k==80=，故中年人应该抽取人数为【解答】80故答案为：属基解决分层抽样的关键是抓住各层抽取的比例相等，【点评】本题考查基本的分层抽样，本题．则它的一条渐近线方程为．（1，1），20107．（4分）（?上海）已知双曲线C经过点C．的标准方程是C双曲线【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题．2﹣Cy的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为【分析】根据题意，双曲线2坐标代入可得λ的值，进而可得答案．0λ（λ≠），将点C=3x的一条渐近线方程为【解答】解：根据题意，双曲线C，22 0），λ≠3x则可设双曲线的方程为y﹣=λ（2，﹣λ11C将点（，）代入可得=．2故答案为：．要求学【点评】本题考查双曲线的方程，涉及双曲线的方程与其渐近线的方程之间的关系，生熟练掌握，注意题意要求是标准方程，答案必须写成标准方程的形式．62 +）的二项展开式中，常数项是60．8．（4分）（2010?上海）在（2x【考点】二项式定理．【专题】计算题．0的值，即可求得常数项．，求出r【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2rr21266﹣﹣﹣x?T 2=?x?【解答】解：在（2x+）的二项展开式中，通项公式为r+13rr12﹣?x．= ，3r=0，解得r=412令﹣故展开式的常数项为，=60 60故答案为．求展开式中某项的系数，【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．（．值（结果用数（4分）2010?上海）连续两次掷骰子，出现点数之和等于4的概率为9．表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．个，满足条件的事【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件总的试验结果为36 ，可以列举出共3个，根据古典概型的概率公式得到结果．件是点数和为的结果为4 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，36个，试验发生包含的事件总的试验结果为4，满足条件的事件是点数和为的结果为个，1）共33（2，2），（，，1可以列举出（，3）=由古典概型概率计算公式可得P=．=．故答案为解题过程中要用到列举法本题考查古典概型，考查分步计数问题，是一个基础题，【点评】来做出事件所包含的事件数，注意列举时，做到不重不漏．．1的正四棱锥的体积V=上海）各棱长为2010分）（10．4（?棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】计算题．【专题】3【分析】先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．h=，h′，则=【解答】解：由题知斜高V=?Sh=1=?．故故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．上海）方程=0的解集为{﹣3，2}．411．（分）（2010?【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】利用矩阵的化简方法把方程的左边化简，得到一个一元二次方程，解出即可．22 18=0，12﹣4x+3x﹣【解答】=9x+2x解：﹣2即x+x﹣6=0，故x=﹣3，x=2．21故方程的解集为{﹣3，2}．【点评】考查学生化简行列的方法，解方程的方法，写解集的方法．12．（4分）（2010?上海）根据所示的程序框图（其中[x]表示不大于x的最大整数），输出r=．【考点】程序框图．4【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变更r的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：由框图的算法原理可知：b=，a=，﹣＜1；﹣a）=n=1，n（b﹣）＜1）=2；（n=2，n（b﹣a﹣）＞1=3，（n=3，n（b﹣a）m=[3]=6此时，，=，r= =r=．故输出故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．13．（4分）（2010?上海）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长2最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=2600πcm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；压轴题．【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可．【解答】解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，2 cm．×=2600ππ×50+80侧面展开图的面积S=（）×202 π故答案为：2600 本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，是基础题．【点评】阶方阵上海）设2010分）（14．4（?n5= A n任取A中的一个元素，记为x；划去x所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组1n1成n﹣1阶方阵A，任取A中的一个元素，记为x；划去x所在的行和列，…；将最2nn112﹣﹣，则=1…+x．=x+x+…+x，则S=x+x+S后剩下的一个元素记为x，记n2n2n11nn【考点】高阶矩阵；数列的极限．【专题】综合题；压轴题．2【分析】不妨取x=1，x=2n+3，x=4n+5，…，x=2n﹣1，故S=1+（2n+3）+（4n+5）+…+nn21332．）=n，故可求（2n﹣12【解答】解：不妨取x=1，x=2n+3，x=4n+5，…，x=2n﹣1，n31222故S=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+[2n+4n+…+（n﹣1）2n]=n+n23（n﹣1）×n=n，==1，故=故答案为：1．【点评】本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2010?上海）若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c（）A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义即可得出，若直线a、b、c 满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．【解答】解：如图所示：a⊥b，b⊥c，a与c可以相交，异面直线，也可能平行．从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面．故选D．6熟注意全面考虑．【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题时要认真审题，练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线所成的角的定义是解题的关键．M=a，记1）∈（0，，）已知a，a1+a﹣a，N=a201016．（5分）（?上海）（上海春卷16221112）则M与N的大小关系是（．不确定．M=N DM＞N CA．M＜N B．不等式比较大小．【考点】计算题．【专题】根据题意，利用作差法进行求解．【分析】+1 ﹣aN=aa﹣a解：由【解答】M﹣2112 0，a﹣1）＞=（a﹣1）（21 N，故M＞B．故选【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．2与抛物线“直线lk，“≠0”是分）（2010?上海）已知抛物线C：y=x与直线l：y=kx+l517．（）C有两个不同交点”的（B．必要不充分条件；A．充分不必要条件．充要条件D．既不充分也不必要条件C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题．从而判定有两个不同交点的条件是：方程组有两个不同实数根，【分析】直线l与抛物线C 该题．22222，0=﹣4k+1＞=（2k﹣1）﹣4k，x【解答】解：由（kx+1）=x即k+（2k﹣1）x+1=0△有两C直线l与抛物线有两个不同的交点与抛物线C”，但“0则．故“k≠”推不出“直线l ．≠0”个不同的交点”则必有“k ．故选B第三0是第二点，0＞还是△≥【点评】本题突破口在直线l与抛物线C有两个不同交点，△是充要条件的判断．对称，则P=（）已知函数fx）的图象关于点（上海春卷（．18（5分）2010?上海）18 的坐标是（）点P0，）0．BA．．C．D（函数的图象与图象变化．【考点】7【专题】压轴题．【分析】利用对称性质和中点坐标公式进行求解．【解答】解：设P（m，n），任意给点M（x，y）关于P（m，n）的对称点为N（2m﹣x，2n﹣y），，联立方程组：由，解这个方程组得到，故选C．【点评】巧妙运用对称性质，合理借助中点坐标公式是求解对称问题的重要方法．三、解答题：（本大题74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．，求的值．＞1）上海）已知tanθ=a，（a?19．（12分）（2010【考点】两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．【专题】计算题．化简，【分析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，代入tanθ=a，求出结果即可．【解答】解：原式=．===．即：【点评】本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．x 1）≠a＞0且a2（（2010（．14分）（?上海）已知函数fx）=log8﹣）（20a的值；x）的反函数是其本身，求a（（1）若函数f ）的最大值．（﹣）（时，求函数＞）当（2a1y=fx+fx8【考点】反函数；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．（2）当a＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．xx fx）（x=，），∴8﹣2=a ，）【解答】解：（1）∵函数f（x=log（8﹣2ax．，∴故反函数为y=，∴log（8﹣2）a=2=ax（2）当a＞1时，由题意知，8﹣2＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（﹣x）的定义域（﹣3，3），x=+，（8﹣2）+f函数y=f（x）（﹣x）=log axxxx﹣﹣∴2+2≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65﹣8（2+2 ）≤49，当a＞1时，函数y=f（x）+f（﹣x）在x=0处取得最大值log49．a【点评】本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，基本不等式的应用．21．（14分）（2010?上海）已知地球半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时，飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0.1小时）？（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1千米）【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先求两地的球心角，求出球面距离，然后求飞行时间．（2）求出两点的距离，求出球心角，然后求球面距离．【解答】解：（1）∵上海与大连在同一经线上，∴它们在地球的同一个大圆上．设地球的球心为O，上海、大连分别为点A、B．由上海、大连的经、纬度知∠AOB=8°地球半径r≈6371千米×6371 的弧长：经计算得AB889.56÷720≈1.2（小时）∴从上海到大连的最短飞行时间约为1.2（小时）（2）设里斯本为C，过B作与赤道平面平行的球面的截面，设其圆心为O′，由已知得9∠BO′C=121°+10°=131°，∠OBO′=39°OB=OC=rO′C=O′B=OBcos∠OBO′=rcos39°由余弦定理可得22222BC=O′B+O′C﹣2O′B?O′Ccos131°=2rcos39°（1﹣cos131°）BOC=∠cos4﹣﹣1.87×10≈BOC≈90.01°∴∠为于是大圆的弧长BC∴大连与里斯本之间的球面距离约为10009千米．【点评】本题考查球面距离及其他计算，余弦定理的应用，是中档题．=，定义，对任意向量16分）（2010?﹣上海）在平面上，给定非零向量22．（．，求；3）），=（﹣1（1，）若=（2，3上，则位置向量Ax+By+C=0，证明：若位置向量的终点在直线（2，1）的（2）若=终点也在一条直线上；2终点=y上时，位置向量，当位置向量的终点在抛物线C3（：）已知存在单位向量x2与向量满足什么关系？l ′关于直线l对称，问直线C总在抛物线′：y=x上，曲线C和C【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；函数的性质及应用；平面向量及应用．，代入=10）根据题意，算出=7的表达式并化简整理，即可得【分析】（1，（；，﹣）到=的表达式解出=（xAx+By+C=0，上，由题中y），终点在直线（2）设=（x'，y'）满足的关系式，从而得到点）在直线Ax+By+C=0（上，化简整理得到直线（，3A+4B）x+（4A﹣，说明向量5C=0﹣3B）y的终点也在一条直线上；，解出θ）cosθ，sin，3））设=（xy），单位向量θyx关于、和的坐标形式，结=（（22终点在抛物线y=x上，建立关于x=y的终点在抛物线合x上且、y和θ的方程，化简10满l的方向向量l：y=x对称，算出（．再由曲线，）C和C′整理得到=±关于直线垂直．与向量?=0，从而得到直线足l），（﹣1，（=2，3）3，【解答】解：（1=）∵=，（﹣）=（﹣1，∴=73，=10），可得）（）﹣（﹣；，）因此==，﹣﹣=（2，3上），终点在直线Ax+By+C=0）设=（x'，y'（2，）=（=（2算出=2x'+y'=5，，，1，），=）﹣（（∴，=）﹣=（x'，y'）），y，得到，满足因此，若=（x Ax+By+C=0∵点（上，）在直线，﹣）y5C=03A+4B∴A）×x++B×（4A﹣3B+C=0，化简得（不全为零，可得以上方程是一条直线的方程A、B由的终点也在一条直线上；即向量3是单位向量，）∵（θ，=xcosθθ，sinθ）+ysin，可得?cosx∴设=（，y），=（）θ+ycos2θ，θ=（﹣xcos2﹣ysin2θ﹣2xsin2θθ（﹣所以=﹣=2xcos+ysin）22 =x=y的终点在抛物线∵x上，且终点在抛物线y上，112，+ycos2θ）θ=（﹣2xsin2θθ∴﹣xcos2﹣ysin2θ==﹣，θsin=，sinθ=﹣或cosθ化简整理，通过比较系数可得cos，（）∴=±，∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，的方向向量=（1，1）．∴l与向量垂直．l，即可得⊥?=0，因此直线终点在一条直线上时，向量的终点也在本题给出向量的关系式，求证当向量【点评】一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．=（ax为常数）．2010?上海）已知首项为x的数列{x}满足23．（18分）（n+1n1*（1）若对于任意的x≠﹣1，有x=x对于任意的n∈N都成立，求a的值；n1n+2（2）当a=1时，若x＞0，数列{x}是递增数列还是递减数列？请说明理由；n1（3）当a确定后，数列{x}由其首项x确定，当a=2时，通过对数列{x}的探究，写出“{x}nnn1是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．【考点】数列递推式．【专题】计算题；综合题；压轴题；探究型．22时，由n=1+xa+1）x，当，代入xx化简后等于x，得到ax=（【分析】（1）求出nn+2nn+1nn的值即可；x的任意性得得到a1＜﹣xx﹣x==﹣＞a=1（2）数列为递减数列，因为当且x＞1得到x0，而nn+1n1n 0，所以得证；﹣得到即可．}{x是有穷数列，可以令x=满足得到数列3（）由a=2{x}x=，因为1n+1nn==x=）∵解：（1x =【解答】nn+222，∴a=﹣x的任意性得1．时，由，当+xxa+1=x∴a（）n=11nnn（}{x）数列2是递减数列．n120. x＞∵1** N∈，﹣＜0，=﹣﹣∈＞∴x0，nN又xx=xn nnnn+1是递减数列．}故数列{x n﹣，则{x}是有穷数列．=x=满足}）满足条件的真命题为：数列（3{xx，若nn+11n【点评】考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会判断一个数列是递减或递增数列．13。

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2010年上海高考数学理科卷分析
正大中学黄东平
2010年上海高考数学理科卷的总原则：
依托教材紧扣标准注

重“双基”考查

坚持能力立意，依托教材、紧扣课程标准，力求难度适中，大多
数试题以常规形式呈现，试卷力求贴近中学数学教学，贴近考生。

1、注重“双基”考查
填空题的前9道、选择题前3道过渡平缓，没有台阶，前3道解答题
也没有设置思维障碍。70%的试题来源于教材，直接考对基本概念的
理解和基本方法的掌握，以及运算能力和空间想像能力的考核。知识
考的较全面，重点知识重点考，占分较多。

明确要求学生应该掌握和应用的基本方法：
具体的数学方法——比较法、消元法、换元法、待定系数法、求
函数性质的方法、求概率平均的方法、求数列的通项公式及前n项和
的方法等。

数学思想方法——数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转换
的思想等。
逻辑方法——分析法、综合法、演绎法、反证法等。
实验方法——直接观察、假想试验、类比归纳、统计抽样等。
2.保持稳定，体现差异
能力立意一直是上海高考数学卷的特色之一。今年数学卷依然设计试
题考查自主学习和探究问题的能力。比如，填空题中关于矩阵对角线
元素之和的题目，要求考生具有一定的观察、分析能力以及归纳发现
能力；理科卷14题，在分类讨论、思维的严密性等方面有一定要求。
3.强调通法，考查数学思想

近年来高考命题也更重视数学思想方法的考查，基础知识全面考，重
点知识重点考，淡化特殊技巧，注重通性通法。试卷凸显对数形结合
和分类讨论思想的考查要求，如第11题，考生对问题的转化及图形
分类标准的选择，区分了考生思维层次的差异。

4.考查应用能力
试卷恰当地考查了学生的应用能力，应用题的呈现方式既以立几
形式的综合应用。解答题的情景具有公平性，这类问题要求学生对所
提供的信息资料进行归纳、整理和分析，将实际问题抽象为数学问题，
并能用数学语言正确地表述，建立数学模型，应用相关的数学方法解
决问题。

5.坚持“能力立意”，考查研究性学习
“研究性学习”是上海二期课的亮点，也是高考命题的重点，试
卷对能力的考查落到了实处。高考命题努力使难度保持在一个理想的
范围，又能达到一个较好的区分度，体现选拔功能，做到一种理想的
平衡，需要发挥研究性学习试题的功能，发展和完善其考查能效。

6.与2009年的高考数学卷比较
今年的试卷相比去年，一是题目难易度有所下降，二是在文字叙
述上易理解，并且语言精练，减少了阅读量;三是更注重学科中的研
究性学习，数学语言的转换、数学思想的应用以及概念本质的考查，
这些均体现学科特点，试题的设计，更重视思维的深度和严谨性。

今年的倒数两题有点双压轴的意味。相对来说，命题人把相同情景的
文科题降低了一个难度，所以这里要提一下的是不管选文科还是理
科，要想拿到120分，在2010年的上海数学卷中，基本就是一个难
度的。倒数第二题的那个开放性问题完全要去碰一碰的。第二小问写
出个作差法，随便分解分解，然后。。。也许能分部得分。第三小问，
只要发现时每年必考的分段函数，那么三角性质就信手拈来。这就是
能拉开差距的好题。