高一数学函数模型及其应用3
高一数学《函数模型及其应用》教案
高一数学《函数模型及其应用》教案函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.了解解实际应用题的一般步骤;2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法;3.渗透建模思想，初步具有建模的能力.自学评价1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键.3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域. 【精典范例】例1.写出等腰三角形顶角(单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本(万元)、单位成本(万元)、销售收入(万元)以及利润(万元)关于总产量(台)的函数关系式.分析：销售利润销售收入成本,其中成本(固定成本可变成本).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
(新)高一数学函数模型及其应用复习例题讲解
3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型一、点击考点1．数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。
［例］某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (km)表示为时间t (h)（从A 地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象.［解］汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系是：⎪⎩⎪⎨⎧--=),5.3(50150,150,60t t x ].5.6,5.3(],5.3,5.2(],5.2,0[∈∈∈t t t它的图象右如图所示.速度v km/h 与时间t h 的函数关系是：⎪⎩⎪⎨⎧-,50,0,60x ).5.6,5.3[),5.3,5.2[),5.2,0[∈∈t t它的图象如右图所示2．数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
［例］渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为).0(>k k（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围. ［例］（1）)0)(1(m x m x kx y <<-=；（2）∵.4)2()(22km m x m k mx x m k y +--=--= ∴当2m x =时，y 取得最大值.4km （3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即.0m y x <+<因为当2m x =时，4km y =最大，所以联想到“a y x f y x f <⇔),(),(max ”这一等价转化命题，则有m km m <+<420，解得.22<<-k 但0>k ，从而得.20<<k 思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何？3．数学模型为指数函数的问题一般地，形如)10(≠>=a a a y x 且的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数k a b y x +•=作为模型的应用问题很常见.［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少31，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：4771.03lg ,3010.02lg ==） ［分析］每次过滤杂质含量降为原来的32，过滤n 次后杂质含量为n )32(1002•，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型. ［解析］依题意，得10001)32(1002≤•n ，即201)32(≤n .则)2lg 1()3lg 2(lg +-≤-n ，故,4.72lg 3lg 2lg 1≈-+≥n 考虑到N ∈n ，即至少要过滤8次才能达到市场要求。
函数模型的应用 高一数学
2.与指数函数有关的函数模型:y=kax+b(k≠0,a>0,且a≠1)
与对数函数有关的函数模型:y=klogax+b(k≠0,a>0,且a≠1).
二、解决函数实际应用问题的基本步骤
解决函数实际应用问题的一般步骤
(1)设恰当的变量:研究实际问题中的变量之间的关系,并用x,y
剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)
与时间t(单位:小时)之间近似满足曲线如图所示.
(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治
疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.
解:(1)当 0≤t<1 时,y=4t;
的打“×”.
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数型函数模
型来表述.( √ )
(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.
( √ )
(3)当自变量在不同的范围下,对应关系不同时,可以选择分段
函数模型.( √ )
合作探究·释疑解惑
探究一 与指数函数有关的函数模型的应用
【例1】 某医药研究所开发了一种新药,假设成年人按规定的
相差0.16;
对于选项B,当x=1时,y=0.3;当x=2时,y=0.8;当x=3时,y=1.5,相差
较大,不符合题意;
对于选项C,当x=1,2时,符合题意;当x=3时,y=0.8,与0.76相差
0.04,与选项A比较,更符合题意;
对于选项D,当x=1时,y=0.2;当x=2时,y=0.45;当x=3
表示问题中的变量.
(2)建立函数模型:将y表示为x的函数,写出y关于x的解析式,并
人教A版高中数学必修1第三章《函数的应用》思维导图
人教A版高中数学必修1第三章《函数
的应用》思维导图
用思维导图复习，一天顶一个月。
高中数学必修和选修课本共计13本，通常两年内学完，平均一年6本，每学期3本。
每本平均三到四章，每学期5个月，大约半月学完一章。
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当然，我们并不是说教材不重要，相反，教材非常重要。
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本文，我们主要梳理了人教版A版高中数学必修1（也就是高一数学）第三章《函数的应用》。
主要内容大纲如下：
其中重点在于零点问题、函数模型及函数的应用。
下面我们逐一展开回忆下。
一、函数与方程
二、函数模型及其应用
到本文为止，有关人教版A版高中数学必修一（也就是高一数学必修1）的内容，我们就在前面三篇文章给大家梳理完了，至于第一章《集合与函数的概念》及第二章《基本初等函数（I）》，请大家查阅我们前面两天的文章即可。
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高一上册数学函数模型及其应用知识点
精心整理高一上册数学函数模型及其应用知识点
1.抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量;
2.建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建
3.
.
例
，
则
-2[2+(a-x)(b-
由图形知函数的定义域为{x|0
又0b,即a>3b
时，
S(x)在(0,b]
上是增函数，
此时当x=b时，S有值为
-2(b-)2+=ab-
综上可知，当a≤3b时，x=时，
四边形面积
当
元的某种商品按
个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利
元，
显然
30h后将侵袭到
变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，
需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x-(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台).
(1)把利润表示为年产量的函数
(2)年产量是多少时，工厂所得利润
(3)年产量是多少时，工厂才不亏本
解：(1)当x≤5时，产品能售出x百台
当
=
(2)L(x)=4.75x--0.5，
当万元
当为减函数，
此时台时利润(3)
得百台
∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不亏本。
2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件
70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的 变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快 随 x 值增大，
图象与 y 轴 接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢 随 x 值增大，
图象与 x 轴 接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳 随 n 值变 化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R
高一数学必修1第三章知识点
高一数学必修1第三章知识点第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数yf(x)的图象联系起来，○并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。
k(k0)没有零点。
x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。
②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。
⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。
6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。
7、确定零点在某区间a,b个数是的条件是：①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。
8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续持续，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过持续地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型实行分析评价，选出合适的函数模型12扩展阅读：高一数学必修1各章知识点总结金太阳新课标资源网高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合相关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
高三数学复习课件 2.9 函数模型及其应用
综上,当 t=12 时,S(t)取最大值2 5300;当 t=100 时,S(t)取最小值 8.
答案
专题突破
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函 数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型, 利用二次函数的图象与单调性解决.
专题突破
品的生产.
①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?
②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得
最大利润?其最大利润约为多少万元?
专题突破
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)设 A,B 两种产品都投资 x 万元(x≥0),所获利润分别 为 f(x)万元、g(x)万元,由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2√������,
专题突破
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
令√������=t,t∈[0,3√2], 则 y=14(-t2+8t+18) =-14(t-4)2+127. 故当 t=4 时,ymax=127=8.5, 此时 x=16,18-x=2.
所以当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企
业获得最大利润 8.5 万元.
根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2√������(x≥0).
(2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2√9=6,
故总利润 y=8.25(万元).
②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可获
总利润为 y 万元, 则 y=14(18-x)+2√������,0≤x≤18.
高一数学三角函数摩天轮模型
高一数学三角函数摩天轮模型
高一数学三角函数摩天轮模型是一种利用三角函数来模拟摩天轮
转动的模型。
它是一种有趣而有意义的数学模型，而且还可以帮助我
们理解数学的概念和应用，特别是三角函数的概念和应用。
整个模型是通过x轴、y轴和z轴来定义的。
在x轴上，摩天轮转
动的半径是固定的，但在y轴上它转动的角度是不断变化的，而z轴
上则表示该摩天轮处于转动的某一角度时垂直立在x轴上的高度。
为了模拟摩天轮的转动，可以利用三角函数的性质。
一般情况下，三角函数代表的是一个波形，其中每一个周期之间的重复性都是可以
观察到的。
如果我们想要表示摩天轮的转动的话，可以用三角函数的
正弦函数和余弦函数来替代。
正弦函数可以模拟摩天轮转动的半径，而余弦函数则可以模拟摩
天轮转动的角度。
根据它们之间的关系，可以得到摩天轮当前角度与
其在x轴上的高度的函数关系。
同时，还可以得到摩天轮每一次转动
所消耗的时间及其对应的转速。
因此，使用高一数学三角函数摩天轮模型可以让我们更加深入地
了解摩天轮的原理，并能够更好地模拟它的转动，从而为更多发明者
们提供更完善的参考依据。
高一数学：3.2.1《线性函数、对数函数和指数函数模型》课件
知识探究（二）：有条件函数模型的选择
问题: 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖 励，且奖金y(单位: 万元)随销售利润x(单位: 万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万 元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖 励模型:
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思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数 函数模型与线性函数模型的增长速度有何看 法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？
y（元）
o
x（天）
思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别 是多少元？
y = 0.25x, y = log7 x +1, y = 1.002x.
其中哪个模型能符合公司的要求?
思考1:根据问题要求，奖金数y应满足哪几个 不等式？
思考2:销售人员获得奖励，其销售利润x(单 位: 万元)的取值范围大致如何？
思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司 的要求，其本质是解决一个什么数学问题？
y=ax2+bx+c或y=a·bx+c.已知4月份该产品的 产量为1.37万件，试选用一个适当的模拟函 数.
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