2016-2017学年北师大版必修二 空间两点间的距离公式 课件(31张)
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高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式课件
3．3 空间1)决定空间两点间距离的主要因素是什么？空间两点间的距 离与两点的顺序有关吗？ (2)平面内两点间的距离与空间两点间的距离有何异同之处？
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间中两点间的距离
[典例] 长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中 点，点N是AB的中点，建立如图所示空间 直角坐标系．
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十六)” (单击进入电子文档)
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
两点间的距离公式的应用
[典例] 如图所示，正方体棱长为1， 以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直 线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P 为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式在几何中的应用 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二 次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想， 此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就 可以将几何问题代数化，再分析函数即可．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
(1)写出点D，M，N的坐标； (2)求线段MD，MN的长度．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间中两点间的距离
[典例] 长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中 点，点N是AB的中点，建立如图所示空间 直角坐标系．
“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十六)” (单击进入电子文档)
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
两点间的距离公式的应用
[典例] 如图所示，正方体棱长为1， 以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直 线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz， 点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P 为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式在几何中的应用 利用空间两点间的距离公式，将空间距离问题转化为二 次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想， 此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就 可以将几何问题代数化，再分析函数即可．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
(1)写出点D，M，N的坐标； (2)求线段MD，MN的长度．
高中数学北师大版必修2名师第二章空间两点间的距离公式
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
北师大版数学必修二：2.1.5平面直角坐标系中的距离公式ppt课件
3
7
1
9
3
D. 或
|6 +3+1|
解析
|-3-4+1|
2 +1
7
1
9
3
,解得 a=- 或 a=- .
1
2
3
4
4
6
5
3.直线 − =1 与 3x-2y+27=0 之间的距离为
4
6
解析:直线 − =1 可化为 3x-2y-12=0,因此所求距离
|27-(-12)|
2
122 +(-5)2
=
13
2
13
1
= .
2
探求一
探求二
探求三
易错辨析
未思索直线斜率不存在的情形而致误
典例求经过点A(1,2)且原点到直线的间隔等于1的直线方程.
错解:∵所求直线过点A(1,2),
∴可设直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的间隔为1,
∴
|- +2|
由|PA|=|PB|得 x=1,
所以点 P 的坐标为(1,0),
且|PA|= (1 + 1)2 + (0-2)2 =2 2.
探求一
探求二
探求三
易错辨析
探求二点到直线的间隔公式及其运用
【例2】 (1)求点P(-1,2)到直线3x=2的间隔;
3
1
(2)求点P(3,-2)到直线 y=4x+4 的间隔.
解:(1)由图可知直线 3x=2 平行于 y 轴,
2 +1
3
=1,解得 k= ,
高中数学北师大必修2课件：第二章 §3 3.3 空间两点间的距离公式
体的长、宽、高分别为a，b，c时，对角线 的长d＝
a2＋b2＋c2 .
2．空间两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB| ＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)长方体的对角线长度都相等． (2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点． ( √ ) ( × )
[解]
(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，
∴N(2,1,0)． 同理可得M(1,2,3)， 又D是原点，则D(0,0,0)． (2)|MD|＝ 1－02＋2－02＋3－02＝ 14， |MN|＝ 1－22＋2－12＋3－02＝ 11.
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
3． 3
空间两点间的距离公式
预习课本P92～94，思考并完成以下问题
(1)决定空间两点间距离的主要因素是什么？空间两点间的距 离与两点的顺序有关吗？
(2)平面内两点间的距离与空间两点间的距离有何异同之处？
[新知初探]
1．长方体的对角线 如图，连接长方体两个顶点 A，C′的
线段AC′ _________ 称为长方体的对角线．当长方
[活学活用] 已知△ABC的三顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC 中最短边的边长．
解：由空间两点间距离公式得： |AB|＝ 1－22＋5－32＋2－42＝3， |BC|＝ 2－32＋3－12＋4－52＝ 6， |AC|＝ 1－32＋5－12＋2－52＝ 29. ∴△ABC中最短边是BC，其长度为 6.
a2＋b2＋c2 .
2．空间两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB| ＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22
.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)长方体的对角线长度都相等． (2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点． ( √ ) ( × )
[解]
(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，
∴N(2,1,0)． 同理可得M(1,2,3)， 又D是原点，则D(0,0,0)． (2)|MD|＝ 1－02＋2－02＋3－02＝ 14， |MN|＝ 1－22＋2－12＋3－02＝ 11.
求空间两点间距离的关键及方法 (1)关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间 的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定 两点的坐标． (2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说 来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结 合平面直角坐标系的知识确定．
3． 3
空间两点间的距离公式
预习课本P92～94，思考并完成以下问题
(1)决定空间两点间距离的主要因素是什么？空间两点间的距 离与两点的顺序有关吗？
(2)平面内两点间的距离与空间两点间的距离有何异同之处？
[新知初探]
1．长方体的对角线 如图，连接长方体两个顶点 A，C′的
线段AC′ _________ 称为长方体的对角线．当长方
[活学活用] 已知△ABC的三顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC 中最短边的边长．
解：由空间两点间距离公式得： |AB|＝ 1－22＋5－32＋2－42＝3， |BC|＝ 2－32＋3－12＋4－52＝ 6， |AC|＝ 1－32＋5－12＋2－52＝ 29. ∴△ABC中最短边是BC，其长度为 6.
高中数学《空间两点间的距离公式》ppt
方法一：射影法 方法二：向量法 z
P1P2 (x2 x1, y2 y1, z2 z1) P1
P2
即： 结论2
y
x
| P1P2z2 2
小结： 1.空间两点的距离的公式：
| P1P2 | x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
2.空间距离问题的处理方法： 1）射影法 2）向量法 3）坐标法
3.思想方法： 1）数形结合思想
2）函数思想
OM x2 y2 z2
z
M (x, y, z)
o
Qy
x
P
结论1：在空间直角坐标系Oxyz中， 任意一点M(x，y，z)与原点的距离
OM x2 y2 z2
思考与探究1：如果|OM|是定长r， z 那么方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？
是一个球面 y
x
思考与探究2：如果P1(x1，y1，z1), P2(x2，y2，z3),|P1P2|如何计算？
复习
1.空间直角坐标系中中点公式：
则P1P2中点A坐标，及向量
为：
A(
x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2
)
2
2
2
P1P2 的坐标分别
P1(x1，y1，z1), p2(x2，y2，z3)
P1P2 (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
z
2.对称点的求法
A
关于谁对称谁不变，其他的取相反数
3.空间点坐标的求法：
y
①射影法 ②关系点法
x
引入
问题：如图,长方体边长分别 是x,y,z,求对角线OB1的长度.
P1P2 (x2 x1, y2 y1, z2 z1) P1
P2
即： 结论2
y
x
| P1P2z2 2
小结： 1.空间两点的距离的公式：
| P1P2 | x1 x2 2 y1 y2 2 z1 z2 2
2.空间距离问题的处理方法： 1）射影法 2）向量法 3）坐标法
3.思想方法： 1）数形结合思想
2）函数思想
OM x2 y2 z2
z
M (x, y, z)
o
Qy
x
P
结论1：在空间直角坐标系Oxyz中， 任意一点M(x，y，z)与原点的距离
OM x2 y2 z2
思考与探究1：如果|OM|是定长r， z 那么方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？
是一个球面 y
x
思考与探究2：如果P1(x1，y1，z1), P2(x2，y2，z3),|P1P2|如何计算？
复习
1.空间直角坐标系中中点公式：
则P1P2中点A坐标，及向量
为：
A(
x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2
)
2
2
2
P1P2 的坐标分别
P1(x1，y1，z1), p2(x2，y2，z3)
P1P2 (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
z
2.对称点的求法
A
关于谁对称谁不变，其他的取相反数
3.空间点坐标的求法：
y
①射影法 ②关系点法
x
引入
问题：如图,长方体边长分别 是x,y,z,求对角线OB1的长度.
高中数学 第二章 解析几何初步 2.3.3 空间两点间的距离公式课件5 北师大版必修2
C′
A
C′
A
K12课件
4
一.公式的计算
a, b, c, 如果一块砖的长、宽、高分别为
我们可以计算出对
角线的长度。
C′
a2 b2 c2
D′
C′
c
A′
B′
A
c
a2 b2
C
D
A
a
bC
B
A
K12课件
a2 b2 a
C
b
B
5
一般地，如果长方体的长、宽、高分别为
a,b, c, 那么对角线长
d a2 b2 c2 ①
o
x
Qx1，y2
两点 P1 x1，y1 P2 x2，y2 间的距离
P1P2 = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2
那么，空间中任意两点间的距离如何求呢？
K12课件
3
实例分析
建筑用砖通常是长方体，我们可以尺子测量出一块砖的 长、宽、高，那么怎么能够测量出它的对角线AC′的长度呢？
K12课件
6
二.坐标运算 给出空间两点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) ,如何利
用点的坐标求它们的距离？
问题1：在空间直角坐标系中点 O(0,0,0)
到点 P(x0, y0, z0) 的距离，怎么求？
z
d O
A
y
0
P z0 C
x0 B
y
d
x02 y02 z02
x
K12课件
7
问题2；给出空间任意两点
A(x1, y1, z1), B( x2, y2, z 2)
如何利用坐标求它们的距离？
高中数学 2.3.3 空间两点间的距离公式多媒体教学优质课件 北师大版必修2
第十四页，共16页。
1、会画空间直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo) 系； 2、已知点写出其空间直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)； 3、空间直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系 中距离公式.
第十五页，共16页。
不要害怕批评。当你提出新的观念 (guānniàn)，就要准备接受人批评。
过点 P1 作垂足P为2 NH,的垂线(chuí xiàn)，
z
则 MP1 z1 , MP2 z2 ,
所以 MP2 z2 z1 . (suǒyǐ)
在RtP1HP2中，
P2 P1
O M1 M M2 H N2 y
N1
N
P1H MN (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , x
第八页，共16页。
第十六页，共16页。
根据勾股定理
P1P2 P1H 2 HP2 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
因此，空间(kōngjiān)中任 P1(x1, y1, z1)
意两点
P2 (x2, y2, z2 )
之间的距离 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
是空间中任意两点，且
P1(x1, y1, z1) P2 (x2 , y2 , z2 )
在xoy平面上的射影分别 为M,N,那么M,N的坐标为
M (x1, y1, 0) N (x2 , y2 , 0)
第七页，共16页。
在xoy平面
MN (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
(píngmiàn)上,
3.3 空间两点间的距离(jùlí)公式
第一页，共16页。
(1)掌握空间两点间的距离(jùlí)公式, (2)会应用距离(jùlí)公式解决有关问 题. (3)通过对空间(kōngjiān)两点间距离公式的探究与推导,初步 意识到将空间(kōngjiān)问题转化为平面问题是解决空间 (kōngjiān)问题的基本思想方法
1、会画空间直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo) 系； 2、已知点写出其空间直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)； 3、空间直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系 中距离公式.
第十五页，共16页。
不要害怕批评。当你提出新的观念 (guānniàn)，就要准备接受人批评。
过点 P1 作垂足P为2 NH,的垂线(chuí xiàn)，
z
则 MP1 z1 , MP2 z2 ,
所以 MP2 z2 z1 . (suǒyǐ)
在RtP1HP2中，
P2 P1
O M1 M M2 H N2 y
N1
N
P1H MN (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , x
第八页，共16页。
第十六页，共16页。
根据勾股定理
P1P2 P1H 2 HP2 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
因此，空间(kōngjiān)中任 P1(x1, y1, z1)
意两点
P2 (x2, y2, z2 )
之间的距离 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
是空间中任意两点，且
P1(x1, y1, z1) P2 (x2 , y2 , z2 )
在xoy平面上的射影分别 为M,N,那么M,N的坐标为
M (x1, y1, 0) N (x2 , y2 , 0)
第七页，共16页。
在xoy平面
MN (x2 x1)2 ( y2 y1)2 .
(píngmiàn)上,
3.3 空间两点间的距离(jùlí)公式
第一页，共16页。
(1)掌握空间两点间的距离(jùlí)公式, (2)会应用距离(jùlí)公式解决有关问 题. (3)通过对空间(kōngjiān)两点间距离公式的探究与推导,初步 意识到将空间(kōngjiān)问题转化为平面问题是解决空间 (kōngjiān)问题的基本思想方法
高中数学北师大版必修二课件：4.3.1 空间直角坐标系;4.3.2 空间两点间的距离公式
【自主解答】 如图，以 DA 所在直线为 x 轴，以 DC 所 在直线为 y 轴，以 DD1 所在直线为 z 轴，建立 空间直角坐标系 Dxyz. 由题意知长方体的棱长 AD＝BC＝3， DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4， 显然 D(0,0,0)，A 在 x 轴上， ∴A(3,0,0)；C 在 y 轴上，∴C(0,5,0)； D1 在 z 轴上，∴D1(0,0,4)；
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 .
求空间点的坐标
如图 4－3－1，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AD＝BC＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的直角坐标系，写 出此长方体各顶点的坐标．
图 4－3－1
【思路探究】 以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，先找出点在平面 xDy 内的射影以确定其横纵坐标，再找出点在 z 轴上的射影以确 定其竖坐标．
2． 如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 若长方体的长、 宽、高分别为 a，b，c，则其对角线 AC1 的长等于多少？
【提示】
a2＋b2＋c2.
空间两点间的距离公式 (1)在空间中，点 P(x，y，z)到坐标原点 O 的距离|OP|＝
x2＋y2＋z2
(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2| ＝
坐标，记作 M(x，y，z) ．其中 叫做点 M 的横坐标， y 叫做 点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标.
空间两点间的距离公式
【问题导思】 1．平面直角坐标系中，若 O(0,0)，P(x，y)，则|OP|为多 少？若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|为多少？
【提示】 |OP|＝ x2＋y2， |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22.
高中数学北师大ⅱ2.3.3空间两点间的距离公式资料.ppt
平面到坐标原点的距离为1的点的轨 迹是单位圆，其方程为x2+y2=1;
在空间中，到坐标原点的距离为1的点的 轨迹是什么？试写出它的方程.
球 x2+y2+z2=1
10
课堂小结 1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
答案:点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)
P138 练习 2
6
例题讲解 空间：| P1P2 | (x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2
例2、求证以M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
7
随堂练习
3、 ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),
M N
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
即：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
同名坐 标差的 平方和
P138
2020/10/1
练习 1
的算术 4根
探究 如1:图,长方体中,OA x, OC y, OD z
X
空间两点的距离公式
1
２００６年３月俄罗斯空军特技飞行表演队 在我国著名风景区张家界市天门山进行特技表 演．为了保证安全飞行，飞行员及地面指挥员们 如何准确确定飞机之间的距离？
2020/10/1
2
公式猜想
平面两P2 |
类比
猜想(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
写出B的坐标,并求出 OB
z
解： B坐标为(x,y,z),
D`
在空间中，到坐标原点的距离为1的点的 轨迹是什么？试写出它的方程.
球 x2+y2+z2=1
10
课堂小结 1、空间两点间的距离公式的推导与理解. 2、空间两点间的距离公式的应用. 3、建立适当的空间直角坐标系，综合利 用两点间的距离公式.
答案:点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0)
P138 练习 2
6
例题讲解 空间：| P1P2 | (x1 x2)2 (y1 y2)2 (z1 z2)2
例2、求证以M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3), 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
7
随堂练习
3、 ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),
M N
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
即：| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
同名坐 标差的 平方和
P138
2020/10/1
练习 1
的算术 4根
探究 如1:图,长方体中,OA x, OC y, OD z
X
空间两点的距离公式
1
２００６年３月俄罗斯空军特技飞行表演队 在我国著名风景区张家界市天门山进行特技表 演．为了保证安全飞行，飞行员及地面指挥员们 如何准确确定飞机之间的距离？
2020/10/1
2
公式猜想
平面两P2 |
类比
猜想(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
写出B的坐标,并求出 OB
z
解： B坐标为(x,y,z),
D`
高中数学北师大版必修二课件：4.3.2 空间两点间的距离公式 (3)
答案：(1,1,1)
2．空间两点间的距离公式 空间中的两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之间的距离
2 2 2 x － x ＋ y － y ＋ z － z 1 2 1 2 1 2 |P1P2|＝__________________________________.
x轴 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______ 右手 y轴 的正方向，如果中 的正方向，食指指向_______ 直角 z轴 的正方向，则称这个坐标系为右 指指向_______ 坐标 135°，∠yOz 手直角坐标系．其中∠xOy＝_______ 系 ＝_______. 90° 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z) 空间 来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空 一点 间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其 的坐 横坐标 ，y叫做点M的 中x叫做点M的__________ 标 纵坐标 ，z叫做点M的__________. 竖坐标 _________
追求卓越，崇尚一流。 主编：齐继鹏
4．3
4．3.2
空间直角坐标系
空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
4．3.1
学习导航
学习目标
重点难点
重点：在空间坐标系中求出点的坐标，利用空间距离解 决问题．
难点：空间直角坐标系的建立，空间两点间距离公式的
推导．
新知初探思维启动
1．空间直角坐标系 以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数 x轴 ，______ y轴 ，______ z轴 ，这时我们说建立 空间 轴______ 直角 了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐 坐标轴 ．通过每 坐标 标原点，x轴、y轴、z轴叫做________ 坐标平面 ，分别称为 两个坐标轴的平面叫做___________ 系 xOy平面 、__________ zOx平面 ． __________ yOz平面 、____________
高中数学 2.1.5 第1课时 两点间的距离公式多媒体教学优质课件 北师大版必修2
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例 3: ABC 中 ， D 是 BC 边 上 任 意 一 点 （ D 与 B ， C 不 重 合 ）， 且
| AB |2 | AD |2 | BD | | DC | ，
求证： ABC 为等腰三角形.
解： 作 AO BC ，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，
以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系.
P2 x2，y2 间的距离
x
Qx1，y2
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应用(yìngyòng) 举例
例1:求下列(xiàliè)两点间的距离：
（1） A( 1, 0), B(2,3) （2） A(4,3), B(7, 1)
解 (1) AB 2 12 3 02 3 2 2 AB 7 42 1 32 5
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思考：如何判断一个四边形是否为平行四边形？
1.判断两组对边是否对应平行 2.判断一组对边是否平行(píngxíng)且相等
3.对角线互相(hù xiāng)平分的四边形为平行四边形 问题(wèntí):如何计算两点间的距离?
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如下图所示过点Ａ向Ｘ轴作垂线(chuí xiàn)，过点Ｂ向Ｙ轴作垂线(chuí xiàn) 两条垂线(chuí xiàn)交于点Ｐ，则点Ｐ的坐标是（-1，-2）且
相 k1≠k2 交
垂 k1k2=-1 直
L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+ C2=0 （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0）
A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 C1 A2 B1B2 0
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问题探究一
已知点A（-1，3），O（0，0），B（3，-1）, C（2，2），试问 (shìwèn)：四边形AOBC是什么四边形？
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究三空间两点间距离公式的综合应用
【例3】 已知三点A,B,C的坐标分别为A(3,-2,-1),B(-1,-3,2),C(-5,4,5),求证A,B,C三点共线.
分析:要证明三点共线,只需证明两条线段长的和等于第三条线 段的长即可.
证明:利用空间两点间的距离公式 , 可得|AB|= 26,|BC|= 26,|AC|=2 26, 所以|AC|=|AB|+|BC|, 故 A,B,C 三点共线 .
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的 打“×”. (1) ������ 2 + ������ 2 + ������ 2的几何意义是表示在空间直角坐标系中,动点 P(x,y,z)与原点 O(0,0,0)之间的距离 . ( ) (2)在坐标平面 xOy 上,到点 A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有无 数个. (3)以 A(2,-3,5)和 B(4,1,- 3)为直径两端点的球面方程为(x3)2+(y+1)2+(z-1) 2=1.
答案:5 2
2.空间两点间的距离公式 给出空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
|AB|= (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2 + (������1 -������2 )2.特别地,点 A(x,y,z)到原点的距 离公式为|OA|= ������ 2 + ������ 2 + ������ 2.
A.
21 4
B.
29 4
C.
21 2
D.
29 2
探究一
探究二
探究三
探究四
解析:由题意知 M 1,0,
1 2
,N
1 4
,1,0 ,
∴|MN| 2=16+1+4 = 16. ∴|MN|=
答案:B
29 4
9
1
29
.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二求空间中点的坐标 【例2】 已知点P在x轴上,且它到点P1(0,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2 在空间直角坐标系中,已知A(3,1,1),B(-3,0,-2),试问在y 轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?
解:假设在 y 轴上存在点 M,满足 |MA|=|MB|. 因为 M 在 y 轴上 ,可设 M(0,y,0). 由|MA|=|MB|,可得 (-3)2 + (������-1 )2 + (-1)2 = (-3)2 + (-������)2 + (-2)2 , 解得 y=-1,所以在 y 轴上存在点 M(0,-1,0)满足关系 |MA|=|MB|.
3.3
空间两点间的距离公式
学 习 目 标 1.掌握并能推导空间两点间的距 离公式. 2.能够运用空间两点间的距离公 式解决有关问题.
思 维 脉 络
1.长方体对角线长 一般地,如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么对角线长
d= ������2 + ������ 2 + ������ 2 .
做一做1 一长方体的长、宽、高分来自为3,4,5,则该长方体的对角 线长为 .
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练3 已知A(-1,1,2),B(4,-5,-6),C(7,6,8),试判断△ABC的形 状,并求该三角形的面积.
解:由两点间的距离公式得 |AB|= (-1-4 )2 + (1 + 5 )2 + (2 + 6)2 =5 5, 同理 |AC|=5 5,|BC|= 326 , 所以 △ABC 是等腰三角形 ,BC 边的中点是 D 于是 BC 边上的高 |AD|= 于是 △ABC 的面积 S=
做一做2 求下列两点间的距离. (1)A(1,-2,1),B(3,2,-1); (2)A(0,0,0),B(-7,3,11); (3)A(2,1,3),B(3,5,3).
解:(1)|AB|= (3-1 )2 + (2 + 2)2 + (-1-1)2 =2 6. (2)|AB|= (-7)2 + 32 + 112 = 179 . (3)|AB|= (3-2)2 + (5-1)2 + (3-3 )2 = 17 .
∵CA=CB=1,AA1= 2, ∴N(1,0,1),M
1 1 2 2
, ,2 .
由空间两点间的距离公式得 |MN|= 11 2 2
+ 0-
1 2 2
+ (1-2 )2 =
6 2
.
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探究一
探究二
探究三
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变式训练1
如图所示,正方体的棱长为1,M是所在棱的中点,N是所在棱的四分 之一分点,则M,N之间的距离为( )
答案:(1) (2) (3)×
( (
) )
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探究一求空间两点间的距离 【例1】 直三棱柱ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点,求 |MN|.
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解:如图所示 ,以 C 为原点 ,CA,CB,CC1 所在直线为坐标轴 ,建立 空间直角坐标系 C-xyz.
1 2 174 2 11 1 2 2
, ,1 ,
.
174 2
326 ×
=
1 2
14 181 .
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探究四求轨迹或轨迹方程 【例4】 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆 心,以1为半径的圆,其方程为x2+y2=1,则在空间中,到坐标原点的距 离为1的点的轨迹是什么?试写出它的轨迹方程.
2,3)的距离是它
到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,求点P的坐标. 分析:设出点P坐标(x,0,0),利用距离公式建立关于x的方程,求得x 的值,即得点P的坐标.
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解:因为点 P 在 x 轴上 ,设 P(x,0,0),因此 |PP1|= ������ 2 + (- 2)2 + (-3)2 = ������ 2 + 11 , |PP2|= ������ 2 + (-1 )2 + 12 = ������ 2 + 2, 又因为 |PP1|=2|PP2|,所以 ������ 2 + 11 =2 ������ 2 + 2. 解得 x=±1. 所以所求点 P 的坐标为 (1,0,0)或 (-1,0,0).