线性代数第五章释疑解难
线性代数-答案-第5章
2 2 3 2 2 3 A+ E = 2 2 3 ~ 0 0 1 , 3 3 7 0 0 0
得方程(A+E)x=0 的基础解系 p2=(−1, 1, 0)T, 向量 p2 就是对应于特征值λ2=−1 的特 征值向量. 对于特征值λ3=9, 由
1 1 −1 − 8 2 3 A − 9E = 2 − 8 3 ~ 0 1 − 1 , 3 3 − 3 2 0 0 0
第五章
相似矩阵及二次型
1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1) (a1, a2, a3) = 1 解
1 1 2 1 3
1 4 ; 9
根据施密特正交化方法,
1 b1 = a1 = 1 , 1
−1 [b1,a2 ] b2 = a2 − b = 0 , [b1,b1] 1 1
故 A 的特征值为λ1=0, λ2=−1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由
1 2 3 1 2 3 A = 2 1 3 ~ 0 1 1 , 3 3 6 0 0 0
得方程 Ax=0 的基础解系 p1=(−1, −1, 1)T, 向量 p1 是对应于特征值λ1=0 的特征值向 量. 对于特征值λ2=−1, 由
1 0 , 0 0
得方程(A+E)x=0 的基础解系 p1=(1, 0, 0, −1)T, p2=(0, 1, −1, 0)T, 向量 p1 和 p2 是对 应于特征值λ1=λ2=−1 的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由
−1 A− E = 0 0 1
0 −1 1 0
71
从而λ是 BA 的特征值, 且 Bx 是 BA 的对应于λ的特征向量.
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
线性代数第五章练习及解答
对应于同一特征值的不同特征向量的非零线性组合是 A 的特征向量。 证明由本节第 3 题可知属于不同特征值的特征向量的和不是特征向量，而属于同一特征值的不同特征 向量满足
Aξ1 = λξ1 , Aξ2 = λξ2 , 于是 A(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) = k1 Aξ1 + k2 Aξ2 = λ(k1 ξ1 + k2 ξ2 ) 由定义命题得证 11.λ ̸= 0 是矩阵 A 的特征值，求 A−1 , A⋆ 的特征值。
证明：因为 A + E = A + AAT = A(A + E )T ，那么 |A + E |(1 − |A|) = 0，于是 |A + E | = 0, 即 λ = −1 是 A 的一个特征值
5. 设 A1 , A2 , A3 是 3 个非零的 n 阶矩阵 n ≥ 3 , 满足 A2 i = Ai (i = 1, 2, 3), 且 Ai Aj = O (i ̸= j ; j = 1, 2, 3)
1
若 Ai 有非零和 1 的特征值 λ，由于 λ2 − λ = 0, 故有且仅有 0 和 1 为特征值
(2) 若 Aj ξ = ξ, 那么 Ai (Aj ξ ) = Ai ξi , 即 Ai ξ = 0ξ (3) 反证，若三个向量线性相关不妨设 α3 = k1 α1 + k2 α2
那么 A3 α3 = k1 A3 α1 + k2 A3 α2 , 由 (2) 知 A3 αj = 0(j = 1, 2) 那么 α3 = 0 与特征向量的定义矛盾 2 0 0 2 0 0 与 B = 6. 已知矩阵 A = 0 0 y 0 0 1 0 0 −1 0 1 x P −1 AP = B
线性代数第五章习题答案
则 H 是正交阵. 综上得证 H 是对称的正交阵.
4 . 设 A 与 B 都是正交阵, 证明 AB 也是正交阵.
证明: 因为 A, B 是正交阵, 故 A−1 = AT , B −1 = B T .
(AB ) (AB ) = B T AT AB = B −1 A−1 AB = E .
T
故 AB 也是正交阵.
9 . 设 A 为正交阵, 且 |A| = −1, 证明 λ = −1 是 A 的特征值.
证明: 即需证明 λ = −1 满足特征方程 |A − λE | = 0, 即 |A + E | = 0. 因为
|A + E | = A + AT A = E + AT |A| = − AT + E = − (A + E )T = − |A + E | , (|A| = −1) (A 为正交阵)
(A2 − 3A + 2E )p = (λ2 − 3λ + 2)p.
又由 A2 − 3A + 2E = O , 代入上式得
(λ2 − 3λ + 2)p = 0.
而特征向量 p = 0, 所以
λ 2 − 3λ + 2 = 0 .
解得 λ = 1 或 2. 得证 A 的特征值只能取 1 或 2. 一个有缺陷的证明: 由 A2 − 3A + 2E = O , 得 (A − 2E )(A − E ) = O . 两边取行列式得
的全部特征值向量.
−1 0 1 1 0 0
0 1 −1
−1 1 0 0 0 2 0
0 , −1
得基础解系 p3 = 1 , 故 k3 p3 (k3 = 0) 是对应于 λ3 = 9 的全部特征值向量. 2 (3) 由 −λ |A − λE | = 0 1
《线性代数》电子教案-第五章
= arccos
,0
若[, ] = 0, 即 = /2, 则称与正交.
第五章 相似矩阵及二次型
§5.1 向量的内积、长度与正交性
例. 设, Rn, 且与线性无关, 求常数k 使 +k与正交.
பைடு நூலகம்
[ , ] ||||
|| || = ||||cos = ||||
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 特征值与特征向量
三. 性质
性质1. 设A = (aij)nn的特征值为1, …, n, 则 (1) 1 + … + n = tr(A). (2) 1…n = |A|. 推论. A 可逆1, …, n全不为零. 性质2. |E–A| = |E–AT|.
§5.1 向量的内积、长度与正交性
定义：若P是正交阵，则线性变换y=Px成为正交变换。 设y=Px为正交变换，则有如下性质 经正交变换后向量的长度保持不变
y y y
T
x P Px
T T
x x x
T
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 特征值与特征向量
§5.2 特征值与特征向量 一. 定义
第五章 相似矩阵及二次型
§5.1 向量的内积、长度与正交性
3. 对于n维实向量, 称 范数, 记为||||, 即 |||| = 4. 长度的基本性质
[, ] 为 的长度或
[, ]
n = ai2 i =1
(1) 非负性: |||| 0; 且|||| = 0 = ; (2) 齐次性: ||k|| = |k|·|| (kR); ||
x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0
x1 1 (0 k R). =k x2 1 k (0kR). k
线性代数知识点总结(第5章)
线性代数知识点总结(第5章) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则A f（A）A T A-1A* P-1AP（相似）λf（λ）λλ-1|A|λ-1λαα/ ααP-1α（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ= ，称A可相似对角化。
线代第五章总结
3
二、例题说明
(一) 求具体矩阵的特征值和特征向量 对具体矩阵A = (aij )n×n , 求A的特征值与特征向量的步骤如下: step 1: 由特征方程|λE − A| = 0求得A的n个特征值, 设λ1 , λ2 , · · · , λt 是A的互异特征值, 其重数分别为r1 , r2 , · · · , rt . 则 r1 + r 2 + · · · + r t = n step 2: 求齐次线性方程组(λi E −A)X = O(i = 1, 2, · · · , t), 得基础解系ηi1 , ηi2 , · · · , ηisi (1 ≤ si ≤ ri , i = 1, 2, · · · , t). 则A的 对 应 特 征 值λi 的 全 部 特 征 向 量 为ki1 ηi1 + ki2 ηi2 + · · · + kisi ηisi (ki1 , ki2 , · · · , kisi 不全为零). 实例省略. (二) 求抽象矩阵的特征值 例1. 设方阵A满足A2 − 3A + 2E = O, 其中E 为单位矩阵. 求A的特征值. 解: 设A的特征值为λ, 则λ2 − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2) = 0. 所以, λ1 = 1, λ2 = 2. 即A的 特征值为1或2. 例2. λ为A的特征值, 则aA−1 + bA∗ 的特征值为(A可逆)? 1 |A| 1 解: a · + b · = (a + b|A|) λ λ λ 例3. 设4阶方阵A满足AAT = 3E, |A| < 0. 求方阵A的伴随矩阵A∗ 的两个特征值. 解: 今|A| < 0, |A| = 0, 所以A可逆. |A| λ为A的特征值时, A∗ 的特征值为 . λ T 1 1 1 1 T √ √ i) 由AA = 3E , 得 A A = E , 故 √ A正 交. √ A有 特 征 值1或−1. 3 3 3 3 √ √ 1 1 1 而|A| < 0 =⇒ √ A = |A| < 0. 说明 √ A有特征值1和−1, 故A有两个特征值 3和− 3. 9 3 3 T 2 ii) 由AA = 3E , 有|A| = |A||AT | = |AAT | = |3E | = 34 = 81. 所以, |A| = −9(∵ √ √ |A| < 0). 所以, A∗ 的的两个特征值为3 3, −3 3. 例4. 设4阶方阵A满足|3E + A| = 0, AAT = 2E, |A| < 0. 求方阵A的伴随矩阵A∗ 的所 有特征值.
第5章_线性代数PPT课件
2、符号矩阵的其他运算 (1)转置运算：transpose >> B=sym('[a,b;c,d]'); >> B' [ conj(a), conj(c)] [ conj(b), conj(d)]
>> transpose(B) [ a, c] [ b, d]
10/16
(2)行列式运算：det(A) (3)求逆运算：inv(A)或A^(-1) (4)求秩运算：rank(A) (5)求特征值运算：[V,D]=eig(A) >> A=sym('[1,2;3,4]') >> eig(A)
(7)约当标准型运算：[B,C]=jordan(A)
12/16
3、符号代数线性方程(组)的求解 例：求解方程ax2 bx c 0。
>> f='a*x^2+b*x+c'; >> solve(f) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
8/16
四、符号矩阵运算
1、符号矩阵的四则运算 符号矩阵的四则运算与幂运算可直接用：
+、－、*、.*、/、./、\、.\、^、.^实现。
>> B=sym('[a,b;c,d]'); >> C=sym('[x,y;z,w]'); >> B*C ans = [ a*x+b*z, a*y+b*w] [ c*x+d*z, c*y+d*w]
7 10 A * A 15 22
线性代数 第5章方程组52PPT课件
100,
, 100.
分别代入上述方程组依次得:
x x x1 2 r b b b 12 r111, b b b 1 r2222, b b b1 2 r,,,n n n rrr.
从而求得原方程组的 n–r个解向量:
1
b
b b
11 21
r1
,
1
0
0
2
b
b b
12 224 30 0来自0031 ~ 0001
0 1 0 0
2 1
0 0
1 3 0 0
0021
得xx21
2x3 4x4 2x5 x3 3x4 x5
,令
x x
3 4
x5
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
.
所以原方程组的一个基础解系为:
1
1 1 0
2
,
2
0 1
A
~
10 00
0 1
0 0
b11 br1
0 0
b1,nr
br ,nr
0 0
则Ax = 0 x1 b11x r1 b1,n rxn. xr br1xr1br,nrxn
现对( xr+1, ···, xn )T 取下列 n–r 组数(向量):
xxxrrn12100,
1 3
,
3
2 1 0 0
.
0
0
1
故原方程组的通解为:
x = k11 + k22 + k33 , 其中k1, k2, k3 R.
例3: 设AmnBnl = Oml , 证明R(A)+R(B) n. 证明: 设B =(b1, b2, ···, bl ), 则
线性代数第5章课件
内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。
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11. 两个正定矩阵之和,差,积是否还是正 两个正定矩阵之和, 定矩阵? 定矩阵? 答 两个正定矩阵之和必是正定矩阵 设 两个正定矩阵之和必是正定矩阵. A, B 是 n 阶正定矩阵 则 A + B 仍是正定矩阵 事 阶正定矩阵, 仍是正定矩阵.事 实上, 因为 AT = A, BT = B, 所以 (A + B)T = AT+BT 实上 = A + B. 即 A + B 是实对称矩阵 又因 A,B 均是 是实对称矩阵. , 正定矩阵, 故对任意 n 维向量 x ≠ 0, 均有 xTAx > 正定矩阵 0 , xTBx > 0, 所以 xT (A + B) x = xTAx + xTBx > 0, 是正定矩阵. 即 A + B 是正定矩阵
Step1 :求出矩阵 A 的所有特征值,设 A 有 的所有特征值, s 个不同的特征值 λ1 , λ2 , , λn ,它们的重数分 别为 n1 , n2 , , ns , n1 + n2 + + ns = n. Step2 : 对 A 的每个特征值 λi , 求 (A - λi E)x = 0 的基础解系, 的基础解系 设为 (i = 1, 2, , s ) .
a11 Dk =
a12 a1k > 0 (k = 1,2, , n);
a21 a22 a2k ak1 ak 2 akk
(3) 特征值法 A 的所有特征值都大于零 特征值法: 的所有特征值都大于零. 在什么情况下使用何种方法,这就要视 在什么情况下使用何种方法 这就要视 f 的情 况灵活运用.例如当 的特征值容易求时, 况灵活运用 例如当 A 的特征值容易求时 使用特 征值法比较简单,且它的意义直观 当 比较小时, 征值法比较简单 且它的意义直观;当 n 比较小时 且它的意义直观 可使用主子式法; 而当 n 比较大时 求每个主子式 比较大时, 可使用主子式法 就比较麻烦. 还有其他特殊的方法, 就比较麻烦 还有其他特殊的方法 也可以通过判 是正定矩阵, 得出二次型的正定性. 断 A 是正定矩阵 得出二次型的正定性
特征向量的求法: 特征向量的求法 若求对应于λi 的特征向量 的特征向量, 只要解齐次线性方程组 (A - λiE )x = 0 就可以了. 就可以了 此齐次方程的任何一个非零解向量都 的一个特征向量, 是 A 的对应于 λi 的一个特征向量 而齐次方程的 的所有特征向量. 通解就是对应于 λi 的所有特征向量
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10. 如何判断一个二次型 f = xTAx 是正定的? 是正定的? 答 判断一个二次型 f = xTAx 是正定的方法 很多, 常用的方法有: 很多 常用的方法有 (1) 惯性指数法 即 f 的正惯性指数为 n (A 的 惯性指数法: 负惯性指数为零; 阶) , 负惯性指数为零 (2) 主子式法 即 A 的所有主子式 主子式法:
pi1 , pi 2 , , pini
以这些向量为列构造矩阵
P = ( p11, p12 ,, p1n1 , p21, p22 ,, p2n2 , , ps1, ps 2 ,, psns ),
∧ = diag( λ1 , , λ1 , λ2 , , λ2 , , λs , , λs ),
3 2 4 A = 2 0 2 有一个二重特征值 λ1 = λ2 = -1, 4 2 3
1 1 -1 就对应着两个线 a1 = 0 , a2 = 2 . 性无关的特征向量 1 0
6. 如何证明方阵 A 能对角化? 能对角化? 答 证明方阵 A 能对角化 有下述几种方法 能对角化, 有下述几种方法: (1) 计算方阵 A 的特征值 如果 A 的所有特 的特征值. 征值两两互异, 能对角化.如果 征值两两互异 则 A 能对角化 如果 A 的特征方程 个线性无关的特征向量,则 与 有重根但能找到 n 个线性无关的特征向量 则 A与 对角矩阵相似. 对角矩阵相似
n1 n2 ns
则
P-1AP = ∧ . 要注意矩阵 P 的列与对角矩阵∧ 主对角线
上的元素( 之间的对应关系. 上的元素 A 的特征值 ) 之间的对应关系
8. 二次型的标准形是否唯一? 二次型的标准形是否唯一? 答 不唯一 因为采用不同的方法 实质上是 不唯一. 因为采用不同的方法(实质上是 采用不同的变换) 所化成的标准形, 采用不同的变换 所化成的标准形 可能是不同 即使采用同一种方法, 的. 即使采用同一种方法 由于变换的方法不同 , 所得的标准形也可能不同.例如 用正交变换 x = 所得的标准形也可能不同 例如:用正交变换 例如 Py 化 f=xTAx 为 f = ∑ λiyi2, 其平方项的系数 λ1 ,
9. 如何将一个实二次型化为标准形? 如何将一个实二次型化为标准形? 答 将一个实二次型化为标准形 主要有以 将一个实二次型化为标准形, 下三种方法: 下三种方法 方法1: 正交变换法; 方法1: 正交变换法 方法2: 配方法; 方法2: 配方法 方法3: 初等变换法. 方法3: 初等变换法
这里介绍用正交变换将二次型化为标准形. 这里介绍用正交变换将二次型化为标准形 其基本思想为: 其基本思想为 若已知 f = xTAx, 则 A 是一个实对 称矩阵, 故存在一个正交矩阵P, 称矩阵 故存在一个正交矩阵 使 P-1AP = ∧ = diag(λ1, ,λn) 为对角矩阵 令 x = Py, 则 为对角矩阵. f = xTAx = yT∧y = ∑ λiyi2 . 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 如下: 如下 Step1: 将二型次表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 求出
Step2: 求出 A 的所有特征值 λ1, λ2, , λn ; Step3: 求出正交矩阵 P, 使 P-1AP = diag(λ1, , λn) = ∧ (P 的列向量依次为 λi 对应的单位特征向量 对应的单位特征向量); Step4: 作正交变换 x = Py, 则得 f 的标准形 f = xTAx = yT∧y = ∑ λiyi2 . 由上面步骤可以看出,用正交变换化实二次 由上面步骤可以看出 用正交变换化实二次 型为标准形与用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩 是同一问题的两种不同提法 阵,是同一问题的两种不同提法 其实质相同 是同一问题的两种不同提法, 其实质相同.
5. 一个特征向量只对应于一个特征值, 反之, 一个特征向量只对应于一个特征值, 反之, 一个特征值是否只对应于一个特征向量? 一个特征值是否只对应于一个特征向量? 答 否. 设 λ 是 n 阶方阵 A 的 k 重特征值 则 重特征值,
λ 可以对应于多个线性无关的特征向量 例如 可以对应于多个线性无关的特征向量. 例如,
释疑解难
1. 设 A = (aij)n×n 是 n 阶方阵, 如何判定 A 是 (a 阶方阵, 正交矩阵? 正交矩阵? 答 当 A 满足下列条件之一时 A 是正交矩阵 满足下列条件之一时, 是正交矩阵. (1) A 对称 且 A2 = E. 对称,
1, i = j; (2) ∑aik a jk = δij = i, j = 1,2,, n k =1 0, i ≠ j,
3. 如何求方阵 A 的特征值和特征向量? 的特征值和特征向量? 答 特征值的求法 解特征方程 特征值的求法: | A - λE | = 0 的特征值. 就可以求出矩阵 A 的特征值 注意如果 A 为 n 阶 方阵, 则它的特征方程是关于λ 的 n 次代数方程 次代数方程, 方阵 个特征根( 从而它有 n 个特征根 如果 λi 为特征方程的 k 重 个根). 根, 则应把它看做 k 个根