杭电博弈论复习

雄蛙2
鸣叫
不鸣
雄蛙1
鸣叫
P－z， P－z m－z，1－m
不鸣
1－m ，m－z
0，0
例8
两家电视台竞争周末黄金时段晚8点到10点的收视率，可选择把较好的节 目放在前面还是后面,他们决策的不同组合导致收视率如下：
电视台2
前面
后面
电视台1
前面
18，18
24，20
后面
6，24
15，15
⑴如果两家是同时决策，有纳什均衡吗？
例13
在两人分1万元的讨价还价问题中，假设博弈方1风险中性，博弈 方2是风险规避的（u2＝s2b，b＝0.8），假设不管谈判是否成功， 这1万元中的2千元必须留给博弈方2，要求这个两人讨价还价问题 的纳什解。
例14
在破产博弈中，债权人1有债权100万元，债权人2有债权500万元。 若两人都是风险中性的，分别求可清偿资产为100万、300万和500 万情况下的纳什讨价还价解和K-S讨价还价解。
Lq
R 1-q
甲
Up
9，9
0，8
D 1-p
8，0
5，5
答：纯策略纳什均衡：(U,L) (D,R) 9p=8p+5(1-p) p=5/6 9q=8q+5(1-q) q=5/6 混合策略纳什均衡： 博弈方甲以（5/6,1/6）的概率随机选择U和D，博弈方乙以（ 5/6,1/6 ）的概率随机选择L和R。 帕累托上策均衡： (U,L) 。 因为(U,L)的双方得益大于 (D,R)的双方得益。 风险上策均衡： (D,R)。因为。。。
⑵如果电视台1先选择，结果有什么?若电视台2先选择呢?
⑶如果两家谈判合作，电视台1许诺将好节目放在前面，这许诺可信吗? 结果可能是什么？
例9
双寡头古诺模型，反需求函数为P＝a－Q，其中Q＝q1＋q2为市场 总需求，但a有ah和al，厂商1知道a究竟是ah，还是al；而厂商2只 知道a＝ah的概率是θ，a＝al的概率是1－θ，两个厂商的成本函数 分别为C1＝cq1，C2＝cq2，其中，c是大于0的常数。如果同时选择 产量的话，本博弈的贝叶斯纳什均衡是多少？

博弈方2选R的支付πR为 2（1－δ）＋0δ＝2（1－
博弈方1选U的支付πU为10（1－ε）＋6ε＝10－4ε
δ）
πU ＞πD
只要δ＜2/3.
博弈方1此时就不会再坚持选择D了，因此均衡（D，L）不稳定。 πR ＞πL
均衡（U，R）稳定。
例4
求出下列博弈矩阵所有纳什均衡，其中a>0
回到第一阶段 博弈方选择L的得益为3，选择R的得益为4，选择R
所以该博弈的子博弈完美纳什均衡为：博弈方1第一阶段选择R，博弈方2 第二阶段选择D，即（4,1）是该博弈的完美纳什均衡。
例7
在某一范围内有两只雄蛙。如果它们都不鸣叫，则吸引来的雌蛙数量0，即它 们都没有交配的机会；如果有一只雄蛙鸣叫，那么会吸引来1只雌蛙，而鸣叫 的雄蛙获交配的机会为m，0.5＜m＜l，但鸣叫者有成本z；如果它们都鸣叫，則 获得交配的机会为P，m＜P＜1，此时各有成本z。这样两只雄蛙之间构成下图得 益矩阵代表的博弈。 （P233）
乙
L a/(a+2)
R 2/(a+2)
甲
U0
3，4
2，2
D1
1，1
D, R） 混合策略纳什均衡是否存在呢？？？
例5
某行业有两个厂商，一个是产量的领导者，一个是产量的追随者。该行业的 需求曲线为p＝α－βq，q代表行业的总产出。设两个厂商的边际成本为0，领 导者首先选择它的产量，并且知道追随者将观察领导者的选择并根据领导者 的产量随之选择使自己利润最大化的产量。则领导者和追随者将选择的产量 为多少？
当“包装”费用是5万元时，“包装”是个劣策略，销售2元/股的股票对我来说肯定值5元/ 股。因此，我会卖此股票。即博弈的贝叶斯纳什均衡是：“好”企业“卖”，“坏”企业 “不卖”，我“买”。
当“包装”费用是5千元时，我作“买”的最坏打算，假定“坏”企业会“包装”销售2元/ 股的股票。我“买”的期望（净）得益为（0.5×5+0.5×1-2）×1=1万元； “不买”的期 望（净）得益为0。因此，我也会卖此股票。此时， “坏”企业也肯定会“包装”销售2元/ 股的股票。即博弈的贝叶斯纳什均衡是：“好”企业和“坏”企业都“卖”，我会全“买”。
例1
给定博弈矩阵 （1）该博弈有没有优势（或上策，或占优）策略均衡？没有 （2）找出该博弈的纯策略纳什均衡。（U,L）(D,R)
乙
L
R
甲
U
1，9
7，7
D
0，0
9，1
例2
计算下列得益矩阵的所有纳什均衡（包括混合策略均衡），并指出哪个是帕 累托上策均衡，哪个是风险上策均衡，为什么？
乙
例12
若你正在考虑收购一家公司的1万股股票，卖方的开价是2元/股。 根据经营情况的好坏，该公司股票的价值对于你来说1元/股和5元/ 股两种可能，但只有卖方知道经营情况的真实情况，你所知的只是 两种情况各占50%的可能性。如果在公司经营情况不好时，卖方做 到使你无法识别真实情况的“包装”费用是5万元，问你是否会接 受卖方价格买下这家公司？如果“包装”费用是5千元，你是否会 接受卖方价格买下这家公司？
例15
两户居民同时决定是否维护某合用的设施。如果只要有一户人家维护，两户人家 就都能得到1单位好处；没有人维护则两户人家均没有好处。设两户人家维护的成 本不同，分别为c1和c2。 （1）如果假设c1和c2分别是0.1和0.5，该博弈的纳什均衡是什么？博弈结果会如何？ （2）如果c1和c2都是独立均匀分布在[0，1]上的随机变量，真实水平只有每户人家 自己知道，该博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？
例10
求出下列扩展型博弈的完美贝叶斯均衡（写出求解过程）
R
1
L(p)
M(1－p) (1,3)
2
U
DU
D
(0,1) (0,2,) (0,0) (2,1)
例11
假设参与人小张和小王分配10元钱。他们同意最多用3天的时间协 商分配问题。第1天，小张给出一个报价；第2天，小王可以接受 也可以拒绝这个报价，如果他拒绝，他要提出一个新报价；第3天， 小张提出最终的报价。如果他们不能在3天之内达成协议，那么， 双方都将一无所获。假定小张和小王的贴现因子分别为α和β，求 子博弈完美纳什均衡。
例6
利用逆向归纳法求出下列扩展型博弈的子博弈完美纳什均衡（写出求解过程）
1
l
R
2
2
U
D
D
U
（3，0）
（２，－２（）2，0）
答：1、该博弈共包括两个子博弈：
（1）从博弈方1选择L后的博弈方2第二阶的单人博弈、
（2）从博弈方1选择R后的博弈方2第二阶段的单人博弈
（4，1）
根据逆向归纳法:
第二阶段（1）博弈方2选择U得益为0，选择D得益为-2，选择D（2）博弈方二选择U得益为0，选择D得益为1，选择D
寡占的斯塔克博格模型: 设领导者和追随者的产量分别为q1,q2。q=q1+q2. 边际生产成本c1=c2=0。 领导者的得益函数：u1=q1p=q1[a- β(q1+q2)]=aq1-βq1^2-βq1q2 追随者的得益函数：u2=q2p=q2[a- β(q1+q2)]= aq2-βq2^2-βq1q2 逆推递归法： 先分析第二阶段追随者的决策：a-βq1-2βq2=0；q2=(a-βq1)/2β 领导者知道追随者的决策思路： u1= aq1-βq1^2-βq1q2= (aq1-βq1^2)/2 a/2- βq1=0 q1=a/2 β q2= a/4β
例３
找出下列博弈的颤抖手均衡
乙
L
R
同样，对于均衡（U，R）
甲
U
10，0
6，2
来说，如果博弈方1犯错
误（即选D）的概率为δ。
D
10，1
2，0
博弈方2选L的支付πL为0
（1－δ）＋δ＝δ

对于均衡（D，L），如果博弈方2犯错误（即选R）的概率为ε。 博弈方1选D的支付πD为10（1－ε）＋2ε＝10－8ε
一般情况下的得益矩阵
完全信息情况下的得益矩阵
居民 1
提供 不提供
居民2
提供
不提供
1―c1，1―c2 1―c1，1
1，1―c2
0，0
居民1 提供 不提供
居民2
提供
不提供
0.9，0.5
0.9，1
1，0.5
0，0
例15
选择临界值策略：对于居民1来说，如果c1<s，选择“提供”；如果c1≥s，选 择“不提供”。对于居民2来说，如果c2<t，选择“提供”；如果c2≥t，选择 “不提供”。
居民1、2选择“提供”的概率分别为s和t。 对于居民1来说，选择“提供”的得益=1-c1，而选择“不提供”的得益=t，选
择“提供”的条件是1-c1>ts=1-t（临界条件相同），或s+t=1。 同理，根据居民2的情况，也能推出s+t=1。 因此，满足s+t=1条件所有组合均为贝叶斯纳什均衡。
答：第一天，小张的方案是自己得S1，小王得10-S1。小王接受或不接受，接受则小张和小王的得益分别为S1和10-S1，不接受则进入下一回合。 第二天，小王的方案是小张得S2，自己得10-S2。小张接受或不接受，接受则小张和小王的得益分别为β （ 10-S2 ）和α S2。不接受则进入下一回
合。 第三天，小张的方案是自己得S，小王得10-S。此时小王必须接受,小张和小王的得益分别为α ^2S 和β ^2（ 10-S）。 第二回合，小张的得益α S2= α ^2S 即S2= α S。小王的得益为 β （ 10- α S ）=10 β- α β S。。。。。。不会了