【领先课程】第九讲 解一元一次方程(一)j

教学过程一、复习预习回忆上节课内容：1. 一元一次方程的概念2. 等式的性质3. 方程的解4. 利用等式的性质解一元一次方程的步骤5. 根据题意列方程的步骤二、知识讲解1. 方程中的合并同类项解方程时，将含有未知数的几个项合成一项叫合并同类项（第二章整式的加减里已学习过），它的依据是乘法的分配律，是分配律的逆用. 2. 移项方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，这种变 形叫移项.移项的依据是等式的基本性质1，移项的目的是将含有未知数的项移到方程的一边，将不含未知数的项移到另一边. 3. 系数化1系数化1的目的，是将形如ax b =的方程化成bx a=的形式，也就是求出方程的解b x a=. 系数化1的依据是等式性质2，方程两边同时乘以系数a （0a ≠）的倒数1a，或者同除以系数a 本身.4. 解较简单的一元一次方程的一般步骤（1）移项，即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含有未知数的项（常数项）移到等式的右边.（2）合并，即通过合并将方程化为ax b =（0a ≠）.（3）系数化1，即根据等式性质2：方程两边同时都除以未知数系数a ，即得方程的解b x a=. 5. 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤（1）审：审题，明确题目中的已知量是什么，未知量是什么，各数量之间有怎样的关系；（2）找：找出能够表示问题全部含义的一个相等关系； （3）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；（4）列：根据这个相等关系列出需要的式子，从而列出方程； （5）解：解所列出的方程，求出未知数的值； （6）求：求出问题中要求求出的所有未知量；（7）答：检验所求的解是否符合题意，是否符合所列方程，并写出答案（包括单位名称）. 考点/易错点1注意：（1）合并同类项的实质是系数的合并，字母及指数都不变. （2）在等号两边的同类项不能合并. （3）系数合并时要连同前面的“±”号. （4）系数合并的实质是有理数的加法运算. 考点/易错点2注意：（1）移项时，所移的项一定要变号，而且必须从方程的一边移到方程的另一边.如732x -=，把3-从方程的左边移到右边，结果为723x =+，不能写成723x =-.（2）移项的依据是等式性质1，3625x x --=变成3256x x -=+是移项，而变成3265x x --=则不属于移项，它是利用加法交换律交换6-与2x 的位置，它们都不变号，所以，大家要区别开以上两种不同的变形.（3）通常把未知项都移到“=”号的左边，常数项移到“=”号的右边. 考点/易错点3注意：（1）同学们解方程时易出现一下错误：如25x -=，系数化成1得25x =-.原因是颠倒了5和2-的顺序，两边都除以2-，2-作除数，要写到分母的位置上，5是被除的，要写到分子的位置上. （2）没有将最终结果化简或约分. 考点/易错点4注意：（1）在一道实际问题中，往往含有几个未知数，应恰当地选择其中一个，用字母x 表示出来，然后根据数量间的关系，将其他几个未知量用含x 的代数式表示出来.有时也需要间接设未知数.设未知数的方法多种多样，关键是灵活.（2）解应用题，切勿漏写“答”，“设”和“答”都必须注明单位.（3）列方程时，要注意方程两边应是同一类量，并且单位统一.时间单位的统一要注意60进制.（4）一般情况下，题中所给条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用，重复利用某一条件，会得到一个恒等式，虽然正确，但无法求出应用题的解.（5）对于求的方程的解，还要看它是否符合实际意义，然后作“答”.三、例题精析【例题1】【题干】下列的移项对不对？不对的错在哪里？应怎样改正？（1）从713x +=得137x =+ （2）从548x x =+得548x x -=-【答案】（1）不对，713x +=，137x =-（2）不对，548x x =+，548x x -=【解析】移项根据的是等式性质1，移项要变号，不移项的不变号.【变形1】解方程127712x x +=+．把含未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边，得_______________；方程两边合并同类项，得_____________；要使合并同类项后x 的系数为正数，可以把含未知数的项移到方程的_______边，移项后合并同类项得___________，方程两边同时除以_____,解得方程的解为_________ 【答案】712712x x -=-；55x -=-；右；55x =；5，x=1【解析】将未知项移到方程左边，常数项移到方程右边，合并同类项，再将未知项移到右边，可以将未知数系数化为正数． 【例题2】【题干】方程26x x -=的解是x=_________． 【答案】解：移项得：26x x -=合并同类项得：6x = 故填6．【解析】本题考查的是合并同类项，注意把一项从方程的左边移到方程的右边时要改变符号【变形1】解方程：3254x x -=+ 【答案】解：移项得：3542x x -=+合并同类项得：26x -=系数化1得：3x =-【解析】本题比较简单，解此题要注意移项要变号．【变形2】若2005200.520.05x -=-，那么x 等于（ ） A ．1814.55 B ．1824.55 C ．1774.55 D ．1784.55【答案】B【解析】解：方程2005200.520.05x -=-移项得：2005200.520.05x =-+， 合并同类项得：1824.55x =； 故答案选B ．合并同类项时要注意变号.【例题3】【题干】当x =_________时，代数式45x -的值为5． 【答案】解：由题意得：455x -=，410x =52x =故应填52． 【解析】根据题意列出方程455x -=，直接解出x 的值． 【变形1】若代数式37x +的值为2-，则_____x =． 【答案】解：∵代数式37x +的值为2-，∴372x +=- 移项得：327x =-- 合并同类项得：39x =- 化系数为1得：3x =-故填：3-．【解析】先列出方程，再移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解． 【例题4】【题干】小丁在解方程513a x -=（x 为未知数）时，误将-x 看作+x ，解得方程的解是2x =-，则原方程的解为__________．【答案】解：把2x =-代入513a x +=得：5213a -=，解得：3a =； ∴原方程是1513x -=， 解这个方程得：2x =．【解析】本题中误将-x 看作+x ，解得方程的解是2x =-，就是说明方程513a x +=的解是2x =-，因而代入方程就可求出a 的值，从而求出原方程，再解方程就可以． 【变形1】当x =_________时，代数式42x +与39x -的值互为相反数．【答案】解：根据题意得42390x x ++-=（）（） 化简得：42390x x ++-= 解得：1x =．【解析】本题考查相反数的定义，从而推出相反数的两个数之和是0，列出方程解答就可以了． 【例题5】【题干】如果213x -=，328y +=，那么23______x y +． 【答案】方法一：解：由213x -=．解得2x = 由328y += 解得2y =那么：23223210x y +=⨯+⨯=． 故填10．方法二：213x -=①328y +=②①+②，得23111x y ++=，2310x y +=【解析】本题解法可有两种方法，一种方法可直接求出x y 、，然后代入求值，另一方法可利用整体思想，由原方程直接求得23x y +，然后代入求值． 【变形1】如单项式352123n n xx ---（）与是同类项，则n 为（ ） 【答案】解：∵单项式352123n n xx ---（）与是同类项∴3n-5=2（n-1）， 解得n=3． 故选C ．【解析】同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【例题6】【题干】 解下列方程：（1）37462x x x -+=-； （2）3121344x x -+-＝； 【答案】（1）解：移项得：34672x x x +-=-合并同类项得：5x =（2）解：移项得：3113-244x x -+= 合并同类项得：1-112x =系数化为1得：22x =-【解析】本题关键是通过周长表示出长方形的宽，然后根据长方形面积这一等量关系列出方程.【例题7】【题干】大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉多少千克？【答案】解：设每个小箱子装洗衣粉x千克，由题意得：4236x+=x=解得：8.5答：每个小箱子装洗衣粉8.5千克，【解析】本题是一道列一元一次方程解答的实际问题，解答本题的关键是找到等量关系是：在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，也考查了列方程解应用题的步骤和关键．【例题8】【题干】覃老师的年龄是他儿子年龄的4倍，20年后，他的年龄是他儿子年龄的2倍.问覃老师今年多少岁？【答案】方法一：解：设儿子今年x岁，根据题意得：()+=+x x220420x=解得：10x⨯（岁）4=410=40答：覃老师今年40岁.方法二：设儿子今年x岁，根据题意得：()()()=+-x x4-12021x=解得：10x⨯（岁）4=410=40答：覃老师今年40岁.【解析】本题用两种方法求出了覃老师的年龄，第一种是直接求法，先设儿子今年的年龄为x岁，后表示出覃老师今年的年龄，再用题给的已知条件：20年后，覃老师的年龄是他儿子年龄的2倍，进而列出方程求解；方法二利用的是现在的年龄差与20年后两人的年龄差不变，进而列出方程.两种方法各有巧妙之处. 【例题9】【题干】汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒．设听到回响时，汽车离山谷x 米，根据题意，列出方程为____________ 【答案】解：设汽车离山谷x 米，则汽车离山谷距离的2倍即2x ，因为汽车的速度是72千米/时即20米/秒， 则汽车前进的距离为：4×20米/秒， 声音传播的距离为：4×340米/秒， 根据等量关系列方程得：2x +4×20=4×340，【解析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：汽车离山谷距离的2倍+汽车前进的距离=声音传播的距离，根据等量关系列方程即可．四、课堂运用【基础】1. 下列方程变形正确的是（ ）A ．3553x x +==+由得B ．7744x x =-=-由得 C ．1202y y ==由得 D ．3223x x =-=+由得 【答案】解：A 、3553x x +==-由得B 、4747x x =-=-由得 C 、1200y y ==由得 D 、3223x x =-=+由得 故选D ．【解析】主要考查了方程的变形，也就是解方程的基本步骤的分解．方程变形常用的方法有：移项、合并同类项、去分母、去系数、去括号．解此类题型要熟悉各项计算的方法． 2. 方程413x -=的解是（ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =【答案】B【解析】解：移项得：431x =+合并同类项得：44x =， 系数化1得：1x = 故选B ．3. 方程360x +=的解的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．-3【答案】A【解析】解：方程360x +=移项得，36x =-， 系数化为1得，2x =-则：-2的相反数是2． 故选A ．4. 如果代数式32x -与12互为倒数，那么x 的值为（ ） A ．0x = B ．23x =C ．23x =-D ．43x =【答案】解：∵代数式32x -与12互为倒数 ∴322x -= 解得：43x = 故选D ．【解析】本题考查了倒数的概念，根据题意列出方程可得出答案． 5. 下列两个方程的解相同的是（ ）A . 方程536x +=和方程24x =B . 方程31x x =+和方程241x x =-C . 方程102x +=和方程102x += D . 方程()63525x x --=和方程6153x x -= 【答案】B【解析】本题考查的是方程的解，利用移项和合并同类项分别求出各个方程的解，相同的即为正确选项.6. 代数式21a +与12a +互为相反数，则a =_________ 【答案】解：∵代数式21a +与12a +互为相反数∴21120a a +++=（），解得：12a =-【解析】本题主要考查相反数的概念，已知相反数就是已知一个相等关系，可以利用方程解决．7. 解下列方程．（1）63+7x x = （2）572x =+（3）13222y y -=+ （4）7643y y +=- 【答案】解：（1）移项得：63=7x x - （2）移项得：572x -=合并同类项得：3=7x 合并同类项得：22x -=系数化1得：73x =系数化1得：1x =- （3）移项得：31222y y -=+ （4）移项得：7436y y -=--合并同类项得：2y -= 合并同类项得：39y =- 系数化1得：2y =- 系数化1得：3y =-【解析】本题考查的是一元一次方程的解法，在移项时注意变号. 【巩固】1. 方程210x +=的解是（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-【答案】B【解析】解：移项得：1x =-系数化1得：12x =- 故选B ．2. 方程：11x -=的解是（ ）A ．1x =-B ．0x =C ．1x =D ．2x =【答案】D【解析】解：移项得：11x =+，合并同类项得：2x = 故选D ．3. 当____x =时，23x -与143x +的值互为倒数． 【答案】解：∵23x -与143x +的值互为倒数， ∴23x -=43x +2433x x -=+ 26x -= 3x =-所以当3x =-时，23x -与143x +的值互为倒数． 【解析】本题主要考查了倒数的定义及一元一次方程的解法，属于基础题比较简单． 4. 根据下列条件求x 的值:（1）25与x 的差是8-． （2）x 的12与8的和是2． 【答案】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： 258x -=-1822x += 解得：33x = 解得：12x =-【解析】根据题意列出方程进而求出解，注意移项时要变号.5. 一桶色拉油毛重8千克，从桶中取出一半油后，毛重4.5千克，桶中原有油多少千克？ 【答案】解：设桶中原有油x 千克，根据题意可列方程：80.5 4.5x -=解这个方程得：7x = 答：桶中原有油7千克．【解析】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6. 如图所示，天平的两个盘内分别盛有50g 和45g 的盐，问应该从盘A 内拿出多少克盐放到盘B 内，才能使两盘所盛盐的质量相等？【答案】解：设应该从盘A 内拿出x 克盐放到盘B 内，则A 盘中盐的质量为50-x ，B 盘中盐的质量为45+x ，由题意得：50-x =45+x 解得：x =2.5答：应该从盘A 内拿出2.5克盐放到盘B 内．【解析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程式． 【拔高】 1. 方程 (200813355720072009)x x x x++++=⨯⨯⨯⨯的解是（ ） A ．2007B ．2009C ．4014D ．4018【答案】解：原方程可以等价为：111111111...200823355720072009x ⎛⎫-+-+-++-= ⎪⎝⎭即：111200822009x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 12008200822009x ⨯= 解之得：220094018x =⨯=． 故选D ．【解析】本题主要考查用方程的等价变化法来解方程，原方程难求x的值，把原来的一个分式分解成两个相减的分式，转化后把相反的两项相加为0，得到最简方程，则容易求解．2.某风景区的旅游路线示意图如图，B，D，C，E为风景点，F为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米），一位同学从A处出发，以4千米/时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时．（1）当他沿着路线A⇒D⇒C⇒F⇒E⇒A游览回到A处时，共用了3.5小时，求路程CF的长；（2）若此同学打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，游览完B，C，E中的任意三个景点后，仍返回A处，使时间小于3.5小时，请你为他设计一条步行路线．并说明这样设计的理由．（不考虑其他因素）【答案】解：（1）设CF的长为x千米，依据题意得1.6+1+x+1=2（3-2×0.5）解得x=0.4，即CF的长为0.4千米（2）A→E→F→C→F→E→A．设计理由：此时路程最短．【解析】（1）据已知求出A⇒D⇒C⇒F⇒E⇒A的总长，再减去EF，AE，AD，DC的长即可；（2）要使设计线路的总长小于A⇒D⇒C⇒F⇒E⇒A的总长即可．此题主要考查线段的计算，看懂图、读懂题意是关键．课程小结1. 方程中的合并同类项2. 移项的依据，在移项时注意变号3. 系数化1的方法和依据4. 解较简单的一元一次方程的一般步骤5. 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤课后作业【基础】 1. 若23x -与13-互为倒数，则____x =． 【答案】解：13-的倒数是-3， ∵23x -与13-互为倒数∴233x -=-解得：0x = 故填0．【解析】根据互为倒数的两数之积为1可得出方程，解出即可．本题的关键在于根据题意列出方程，属于比较简单的题目． 2. 若7342197x x y a b ab ---与是同类项，则____x =，____y =．【答案】解：∵7342197x x y a b ab---与是同类项∴可得34721x x y =-=-：，解得：24x y ==，．【解析】主要考查同类项的概念，关键是同类项的指数相同．将其转化为解一元一次方程的问题．解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是变化成x a =的形式．3. 已知1x =是方程20x x a -+=的解，则2a =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】解：根据题意得：210a -+=，解得：1a =-∴()2211a =-=故选A ．【解析】本题主要考查了方程的解的定义，根据方程的解的定义可以把求未知系数的问题转化为解方程的问题．4. 下列各变形中，不正确的是（ ）A . 3663x x +==-从，可得B . 2222x x x x =--=-从，可得C .1221x x x x +=-=从，可得D . 24382384x x x x -=+-=+从，可得 【答案】解：A 、将3从等号左边移到右边，变为-3，正确；B 、将x 从右边移到左边，变为-x ，正确；C 、将2x 从右边移到左边，变为-2x ，正确，但将1从等号左边移到右边不变号，错误；D 、将3x 从右边移到左边，变为-3x ，正确，将-4从等号左边移到右边变为4，正确．故选C ．【解析】本题主要考查了一元一次方程的解法中的“移项”，其实质是等式的性质一，要注意，移项时要变号．5. 如图是某超市中“漂柔”洗发水的价格标签，一售货员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价是________ 【答案】解：设原价是x 元，根据题意得：80%x =19.2解得：x =24．【解析】列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系，列出方程解答．6. A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值为多少？【答案】解：（1）当甲，乙两车未相遇时，根据题意，得120t+80t=450-50，解得：t=2；（2）当两车相遇后，两车又相距50千米时， 根据题意，得120t+80t=450+50， 解得t=2.5．【解析】如果甲、乙两车是在环形车道上行驶，则本题应分两种情况进行讨论：一、两车在相遇以前相距50千米，在这个过程中存在的相等关系是：甲的路程+乙的路程=（450-50）千米；二、两车相遇以后又相距50千米．在这个过程中存在的相等关系是：甲的路程+乙的路程=450+50=500千米．已知车的速度，以及时间就可以列代数式表示出路程，得到方程，从而求出时间t 的值． 7. 如果用14升桔子浓缩水冲入314升水制成桔子水，可供4人饮用，现在要为14人冲入同样“浓度”（这里，“浓度”=100%⨯溶质体积溶液体积）的桔子水，需要用桔子浓缩汁多少升？【答案】解：设需要x 升桔子浓缩汁，根据题意得:14=414x 解得：78x =【解析】此题给的数量关系很多，首先要分清各量的关系，此题好像与溶液浓度有关，实际上没有联系，此题的等量关系是14升桔子浓缩汁供4人饮用，与x 升桔子浓缩汁供14人饮用成比例． 【巩固】1. 方程35x =-的解是____x =． 【答案】解：移项得：358x =+=，故填8．【解析】题目考查一元一次方程的解法，移项时注意符号的变化． 2. 如果式子26x --的值等于-2，则x 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．3【答案】解：根据题意得：262x --=-解得：2x =-故选A ．【解析】本题解决的关键是能够由已知联想到方程262x --=-，从而求出x 的值． 3. 定义*a b ab a b =++，若3*27x =，则x 的值是（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．4【答案】解：根据运算规则可知：3*27x =可化为3327x x ++=，移项可得：424x = 即6x = 故选C ．【解析】根据题意可先表示出客车乘坐的人数，然后再加上校车的人数即是全校师生的人数. 4. 将下列方程中含有未知数的项移到方程的左边，将不含未知数的常数项移方程的右边：（1）610x +=； （2）5433x x -= （3）7654x x -=-； （4）11522x x -=-+【答案】解：（1）根据等式性质1，等式610x +=两边同时减去6，可得106x =-； （2）根据等式性质1，等式5433x x -=两边同时加5(4)3x -，可得5433x x -=； （3）根据等式性质1，等式7654x x -=-两边同时加（47x -），可得6457x x -+=-； （4）根据等式性质1，等式11522x x -=-+两边同时加（1122x +），可得11522x x +=+ 【解析】本题主要考查了等式的基本性质．等式性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立．5. 将下列方程中未知数的系数化为1： （1）24x =-； （2）122x =； （3）35x -=； （4）5533x -=- 【答案】解：（1）24x =-，得出2242x ÷=-÷，得2x =-，（2）122x = 得出12222x ÷=÷，得4x =，（3）35x -=得出3353x -÷-=÷-（）（），得53x =-，（4）5533x -=-， 得出55553333x ⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1x =． 【解析】本题考查的是解简单的一元一次方程，将系数化为1的过程，需要注意的是在系数化为1的过程中不要将负号漏掉． 6. 解下列方程：（1）4313343x x -=- （2）8721116x x x ++=+- 【答案】解：（1）去分母得：1691240x x -=-移项合并得：2156x = 系数化1得：83x =（2）移项合并得：12x -=- 系数化为1得: 12x =．【解析】（1）先去分母，然后移项合并、化系数为1可得出答案．（2）先移项合并，然后化系数为1可得出答案． 7. 解方程：217x +=【答案】解：原方程可化为：271x =-合并得：26x = 系数化为1得：3x =【解析】此题直接通过移项，合并同类项，系数化为1可求解．8. “移项”、“合并”、“系数化为1”都是将一个比较复杂的一元一次方程如219731x x -=+，变形成一个最简单的一元一次方程如10x =-．你能将方程ax b cx d +=+（x 未知a b c d 、、、已知，且a c ≠）化成最简单的一元一次方程吗？ 【答案】解：能，移项得：ax cx d b -=-，合并得：a c x db -=-（） ∵ac ≠，∴系数化为1得：d bx a c-=- 【解析】本题考查了含有字母参数的一元一次方程的解法，其实质与一般的一元一次方程的解法一致，但要注意：系数不能为0．【拔高】1. 下列求和的方法，相信你还未忘记：()11111111111...1 (1223341223341)n n n n ++++=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯++=... 请你据此知识解方程 (200312233420032004)x x x x++++=⨯⨯⨯⨯ 我解得的结果是____x =．【答案】解：∵()11111111111...1 (1223341223341)n n n n ++++=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯++ 111n =-+ ∴ (200312233420032004)x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯ 1120032004x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭200320032004x = 2004x =【解析】本题是信息题，由信息中得出111111111 (12233411)n n n -+-+-++-=-++，从而化简方程而求解．2. 如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为1，求这个大长方形的面积．【答案】解：设AB=x ，则CM=+1x ，EF=112x x ++=+，大正方形的边长为FN=23x +或NK=31x +，由题意得：2x +3=3x +1， 解得：2x =，个性化教案21则大正方形的边长为3×2+1=7，面积为：7×7=49．答：这个大长方形的面积为49．【解析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据图示表示出每个小正方形的边长，进而表示出大正方形的边长．错题总结。