2014届高考数学一轮练之乐：1.3.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式
高考数学第一轮大复习素材： 43两角和与差的正弦余弦正切新人教A文
§4.3两角和与差的正弦、余弦、正切1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(Sα＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(Tα－β)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(Tα＋β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.4． 函数f (x )＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab)．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． ( √ ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ ) (6)当α＋β＝π4时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.( √ ) 2． (2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.3． (2012·江西)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34B.34C ．－43D.43答案 B解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34.4． (2012·江苏)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 5． (2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.答案 －105解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13， 即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010.∴sin θ＋cos θ＝－105.题型一 三角函数式的化简与给角求值例1 (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ(0<θ<π)．(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．思维启迪 (1)分母为根式，可以利用二倍角公式去根号，然后寻求分子分母的共同点进行约分；(2)切化弦、通分．解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0.因此2＋2cos θ＝4cos 2θ2＝2cos θ2.又(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)＝(2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2)(sin θ2－cos θ2)＝2cos θ2(sin 2θ2－cos 2θ2)＝－2cos θ2cos θ.故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值．(1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值为________．(2)2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2答案 (1)3 (2)C解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3. (2)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.题型二 三角函数的给值求值、给值求角例2 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．思维启迪 (1)拆分角：α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦． (2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β. 解 (1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4. 思维升华 (1)解题中注意变角，如本题中α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． (1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)等于( )A.33B ．－33C.539D ．－69(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 (1)C (2)C解析 (1)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)，∵0<α<π2，则π4<π4＋α<3π4，∴sin(π4＋α)＝223.又－π2<β<0，则π4<π4－β2<π2，则sin(π4－β2)＝63.故cos(α＋β2)＝cos[π4＋α－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539，故选C. (2)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.题型三 三角变换的简单应用例3 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.思维启迪 (1)可将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式；(2)据已知条件确定β，再代入f (x )求值． (1)解 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明 由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2，∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子间的联系，利用整体思想解题．(1)函数f (x )＝3sin x ＋cos(π3＋x )的最大值为( )A ．2B. 3C ．1D.12(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)C (2)π解析 (1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3·sin x＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π6)． ∴f (x )max ＝1. (2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.高考中的三角变换问题典例：(10分)(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ2－sin θ－12sin (θ＋π4)＝________.(2)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A.3π4 B.π4或3π4C.π4D ．2k π＋π4(k ∈Z )思维启迪 (1)注意和差公式的逆用及变形；(2)可求α＋β的某一三角函数值，结合α＋β的范围求角． 答案 (1)3＋22 (2)C解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ1＋tan θ，又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝－12或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－12，故所求＝1＋121－12＝3＋2 2.(2)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.温馨提醒 三角变换中的求值问题要注意利用式子的特征，灵活应用公式；对于求角问题，一定要结合角的范围求解.方法与技巧 1． 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y ＝a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba)有a 2＋b 2≥|y |.3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 失误与防范1． 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2． 在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3． 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.34答案 D解析 由sin 2θ＝387和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.2． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 3． (2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( )A. 2B.2＋32C. 3D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.4． 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210B.210C.3210D.7210答案 A解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103，∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos 2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 5． 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4答案 A解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.二、填空题6． 若sin(π2＋θ)＝35，则cos 2θ＝________.答案 －725解析 ∵sin(π2＋θ)＝cos θ＝35，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×(35)2－1＝－725.7． 若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为________．答案 2解析 由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 45°＝1可得 tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2. 8.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.答案 －4 3解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.三、解答题9． 已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解 由cos β＝55，β∈(0，π2)， 得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4.10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． 已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.2． 定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，选D.3． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________． 答案3解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2xsin 2x，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x .∵x ∈(0，π2)，∴tan x >0.∴32tan x ＋12tan x ≥232tan x ·12tan x＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.4． 已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求tan β的值．解 (1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tan α＝－13.∵tan(α＋β)＝sin 2(π2－α)＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝2cos α(sin α＋2cos α)2cos α(5cos α－sin α)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－(－13)＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝516＋131－516×13＝3143.5． 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617得⎩⎨⎧2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎨⎧sin α＝35，cos β＝817. ∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β －sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。
2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第19讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
•
[归纳总结] 本题用三角函数的求值问题考查三角变换 能力和运算能力．在求三角函数值时，必须灵活应用公式， 点 面注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
讲 考 向
返回目录
第19讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
π 1 2 变式题 (1)已知tan(α＋β)＝5，tanβ － 4 ＝4，则tan（α
)
(2)用 tan α 表示 sin 2α ，cos 2α ，得 sin 2α ＝ 2tan α 1＋tan2α ，cos 2α ＝ .( 1－tan2α 1－tan2α (3)对任意角 α，有
π sin 4
)
＋α.(
π －α＝cos 4
)
返回目录
第19讲
返回目录
第19讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
• 双 向 固 基 础
2．公式的逆用及重要变形 cos(α＋β) (1)cos α cos β －sin α sin β ＝__________________ ．
tan(α＋β)(1－tan α tan β (2)tan α ＋tan β ＝________________________ ．)
返回目录
第19讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
• 双 向 3．计算sin 43°cos 13°－sin 13°cos 43°的值等于 固 基________． 础
1 [答案] 2
1 [解析] 原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝ . 2
返回目录
第19讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
•
例1
返回目录
高考数学一轮总复习：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.(3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.(4)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．倍角公式(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α.(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.1．和、差、倍公式的转化2．公式的重要变形(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α＋β)(1tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sinx ＋b cosx ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. [四基自测]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89解析：∵sin α＝13，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B. 答案：B2．(教材改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝1517，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π，则sin α的值为( )A.817 B.153＋834 C.15－8334 D.15＋8334答案：D3．(教材改编)化简cos 15 °cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32 C ．－12 D ．－32 答案：A4．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan 2α＝________. 答案：－2475．(教材改编)tan 54π＋tan 512π1－tan 512π＝________.答案：－3考点一 两角和、差及倍角公式的直接应用◄考能力——知法[例1] (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725.答案：－1725(2)(2019·抚顺模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0)的最小正周期为10π.①求ω的值；②设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 解析：①由于函数f (x )的最小正周期为10π，所以10π＝2πω，所以ω＝15. ②由①知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－65， 所以sin α＝35.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，所以2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817.又因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos α cos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α ＝15， 解得tan α＝32. 答案：322．(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解析：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43 cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β) ＝－211.考点二 两角和、差及倍角公式的逆用和变形用◄考素养——懂理 [例2] (1)计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32解析：原式＝sin 70°sin 20°cos 225°－sin 225°＝cos 20°sin 20°cos 50° ＝12×sin 40°sin 40° ＝12. 答案：B(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A ．sin(α＋2β) B ．sin α C ．cos(α＋2β)D ．cos α解析：原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. 答案：D(3)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝________.解析：原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3(1－tan25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. 答案：31.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．2.和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α＋β)·(1tan α·tan β)．3.倍角公式变形：降幂公式．[拓展]1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2± cos α22,1＋cos α＝2cos 2 α2，1－cos α＝2sin 2α2.提醒：tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.解析：∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1. ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 答案：－12逻辑推理——三角恒等变换中的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.[例]已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20° tan 60°＋tan 60° tan 10°＝1，②tan 5° tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．解析：观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，所以β＝90°－(α＋γ)，故tan β＝tan [90°－(α＋γ)]＝sin[90°－(α＋γ)]cos[90°－(α＋γ)]＝cos(α＋γ)sin(α＋γ)＝cos αcos γ－sin αsin γsin αcos γ＋cos αsin γ＝1－tan αtan γtan α＋tan γ.所以tan αtan β＋tan β tan γ＝1－tan αtan γ，即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.课时规范练A组基础对点练1．(2019·成都模拟)计算：sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°＝()A.32B．－32C．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12. 答案：D2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，所以22(sin θ＋cos θ)＝13，两边平方得12(1＋sin 2θ)＝19，解得sin 2θ＝－79. 答案：A3．(2019·大庆模拟)已知 α，β都是锐角，且sin αcos β ＝cos α(1＋sin β)，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2 C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：因为sin αcos β＝cos α(1＋sin β)， 所以sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2. 答案：B4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则cos 2β＝( )A ．－32 B ．－1 C ．0D ．1 解析：由题意知：cos α＝1－15＝255，cos(α－β)＝1－110＝31010.所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22.所以cos 2β＝2cos 2β－1＝2×12－1＝0. 答案：C5．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B.34C ．－34D ．－43 答案：C6．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.答案：D7．cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22.答案：228．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3. 答案：39．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________． 解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π10．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75. 答案：75B 组 能力提升练11．(2019·肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. 答案：D12．(2019·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin(π4－α)，则sin 2α的值为( ) A ．－356B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，易知sinα≠cos α，故cos α＋sin α＝26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D13．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210 B.210 C.5210 D.7210解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210. 答案：A14．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43 解析：因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ22sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ2＋sin θ2＝1tan θ2 ＝12，所以tan θ2＝2，于是tan θ＝2tan θ21－tan 2 θ2＝－43. 答案：D15．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是__________． 解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45. 答案：－4516．(2019·大连模拟)已知cos 4α－sin 4α＝23且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 解析：因为cos 4α－sin 4α＝(cos 2α－sin 2α)(cos 2α＋sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，故sin 2α＝ 1－49＝53，所以原式＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3＝12×23－53×32＝13－156. 答案：13－156。
2014高考数学一轮汇总训练《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》理 新人教A版
第五节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式[备考方向要明了][归纳²知识整合]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β[探究] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π2(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．2．二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，这就是使用极其广泛的降幂扩角公式．在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α tan 2α＝2tan α1－tan 2α[自测²牛刀小试]1．计算cos 28°cos 17°－sin 28°sin 17°的结果等于( ) A.12 B.22 C.32D.33解析：选B 原式＝cos(28°＋17°)＝cos 45°＝22. 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941 B.129C.141D ．1解析：选D tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6²ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37³25＝1.3．(教材习题改编)下列各式中，值为12的是( )A ．2sin 15°cos 15°B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°解析：选A 2sin15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32； 2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32；sin 215°＋cos 215°＝1.4．(教材习题改编)已知cos α＝35，0＜α＜π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝________. 解析：∵cos α＝35，0＜α＜π，∴sin α＝45，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6 ＝32cos α＋12sin α＝32³35＋12³45 ＝4＋3310. 答案：4＋33105．(教材习题改编)在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，则tan(2A ＋2B )＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，0＜A ＜π，得sin A ＝35.∴tan A ＝sin A cos A ＝34.∴tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝247， tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝－43，∴tan(2A ＋2B )＝tan 2A ＋tan 2B 1－tan 2A ²tan 2B ＝44117.答案：44117[例1] (1)化简：1＋sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)；(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.[自主解答] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2²cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2³2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°²cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°²cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.———————————————————1.三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征. 2.解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： 1化为特殊角的三角函数值； 2化为正、负相消的项，消去求值；3化分子、分母出现公约数进行约分求值.1．化简下列各式：(1)sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1sin 2α；(2)sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2－2sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α2cos α2＋2sin 2α24sin α2cos α2cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2sin α2cos α2cos α＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2cos α＝cos αsinα2cos α2cos α＝tan α2.(2)∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°²cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°²2sin 40°cos 10°＝1，cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°. ∴sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.[例2] (2012²广东高考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[自主解答] (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617， 即2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45³817－35³1517＝－1385.———————————————————解决给值求值问题的方法三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”的关系．2．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝c os ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19³53＋459³23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2³49³5729－1＝－239729.[例3] 若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A ，B 均为钝角，求A ＋B 的值． [自主解答] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A si n B ＝－255³⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55³1010＝22，① 又∵π2＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，② 由①②知，A ＋B ＝7π4.若将“A ，B 均为钝角”改为“A ，B 均为锐角”，如何求解？ 解：∵A ，B 均为锐角，且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝255，cos B ＝1－sin 2B ＝31010，∴cos A ＋B ＝cos A c os B －sin A sin B ＝255³31010－55³1010＝22.又∵A ，B ∈(0, π2)，∴A ＋B ∈0，π， ∴A ＋B ＝π4.———————————————————1．解决给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出要求的角．2．在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数 (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．3．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2.(1)求tan 2α的值；(2)求β. 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.故tan α＝sin αcos α＝437³71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³431－432＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17³1314＋437³3314＝12. ∴β＝π3.1组关系——两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系2个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．(2)互余与互补关系⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2；⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2；⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝π；⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝π； …3个变化——应用公式解决问题的三个变化角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．易误警示——三角函数求角中的易误点[典例] (2011²天津高考)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．[解] (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2. (2)法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0.∴(co s α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α＝π6，即α＝π12.法二：∵由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≠0.∴1cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α. ∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12，π4＋α＝π3.即α＝π3－π4＝π12.[易误辨析]1．解决本题易忽视“α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4”，由sin 2α＝12得出2α＝π6或2α＝56π，即α＝π12或α＝512π的错误结论或由cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14得出cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12或cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－12，从而造成结论错误． 2．在解决三角函数中的问题时，要牢记：当求出某角的三角函数值，如果要求这角的取值时，一定要考虑角的范围，只有同时满足三角函数值及角的范围的角才是正确的．[变式训练]1．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝( )A.π3B.π3或－23π C ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4.所以tan α＜0，tan β＜0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以－π＜α＋β＜0. 又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.故α＋β＝－2π3.2.如图所示，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知PA ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．解析：因为点B 在以PA 为直径的圆周上，所以∠ABP ＝90°，所以cos α＝PB PA ＝35，sinα＝45，所以tan α＝43.因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210，所以tan(α－β)＝17，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝1.又β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.答案：π4一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1解析：选A 由sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tan α＝tan 3π4＝－1.2．(2012²江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ，∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.3．已知α为第二象限角，s in α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)²(cos α＋sin α)＝－53. 4．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4B.3π4C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－－2³13＝1.故A ＝π4.5．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．4 解析：选C ∵α＋β＝π4，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.6．若cos 2αsin α＋7π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－22B ．－12C.12D.72解析：选C 由已知三角等式得cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－22，整理得sin α＋cos α＝12. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析：3－sin 70°2－cos 210°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－2cos 210°－12－cos 210°＝2. 答案：28．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案：139．(2013²南通模拟)设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析：f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，故a ＝± 3. 答案：± 3三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． 解：(1)因为f (x )＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为[－1,3]． (2)因为f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.又因为α为第二象限角， 所以sin α＝223.因为cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin αcos α－sin α2cos αcos α－sin α＝cos α＋sin α2cos α，所以原式＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.11．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)∵由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725.又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255³⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55³725＝－11525. 12．(2013²岳阳模拟)已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)，函数f (x )＝a²b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，π3＜φ＜π的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213， 求f (2α－β)的值．解：(1)依题意有f (x )＝a²b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)．∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴2π＝T ＝2πω，解得ω＝1. 将点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32代入函数f (x )的解析式， 得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝32.∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .(2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，sin β＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725，∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝－725³1213＋2425³513＝36325.1．化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .解：原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α－cos α)． 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，所以sin α－cos α＝75.① 由题设条件，应用二倍角的余弦公式，得cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－75(cos α＋sin α)．又cos 2α＝725，故cos α＋sin α＝－15.②联立①②，解得sin α＝35，cos α＝－45，因此tan α＝－34.由两角和的正切公式，得tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan α＋31－3tan α＝48－25311. 3．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值． 解：(1)∵a⊥b ，∴sin θ－2cos θ＝0， 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝255，c os θ＝55.(2)∵sin(θ－φ)＝1010， ∴cos(θ－φ)＝31010或－31010.当cos(θ－φ)＝31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ²cos(θ－φ)＋sin θ²sin(θ－φ)＝55³31010＋255³1010＝22. 当cos(θ－φ)＝－31010时，cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θ²cos(θ－φ)＋sinθ²sin(θ－φ)＝－55³31010＋255³1010＝－210＜0.∵φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos φ＜0不合题意，舍去．∴cos φ的值等于22. 4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12³17＝13>0，∴0<α<π2.又tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³131－19＝34>0， ∴0<2α<π2.此时tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34³17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π.则－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.。
高考数学第一轮知识点总复习 第三节 两角和与差的正弦、余弦及正切公式
2
举一反三
3. 已知sin
4
s in
=146,α ∈(
,π),求sin 4α.
2
解析：方法一：∵sin
4sin
∴sin( +2α)= ,即c1os 2α= .
2
3
∵α∈( ,π2),∴2α∈(π,2π)，
=s 4in
cos
= ,
4
1
3
∴sin 2α=-
1 cos2 2 2 2 , 3
举一反三
2. 已知tan α= ,t1an β= ,并且1 α、β均为锐角，求α+2β.
7
3
解析：∵tan α= ＜11,tan β= ＜1,且1 α、β均为锐角，
7
3
∴0＜α＜β＜ ,∴0＜α+2β＜ .又ta3n ２
4
4
2 tan 1 tan2
3, 4
∴tan(α+2β)= ∴α+2β= .
T :t an(α+β)=
tan tan ; 1 tan tan
T :t an(α-β)=
tan tan . 1 tan tan
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2:sin 2α=2sin αcos α;
C:2c os 2α= cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 ;
∴A=30°或60°……………………………………………..4′
又tan A+tan B=- 3(1-tan Atan B),
∴ 1tantanttaann∴tan (A3,+B)=- ,
3
∴A+B=120°………………………………………………..8′
2014届高三数学(文)一轮总复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
解析:(1)由根与系数的关系可知 tan α+tan β=3, tan αtan β=2.
3 tan tan ∴tan (α+β)= = =-3.故选 A. 1 tan tan 1 2
π π (2)cos =cos = 2 4 2 4 π π π π cos cos +sin sin . 4 4 2 4 4 2 π π π 3π ∵0<α < ,则 < +α < , 2 4 4 4
2
2
8 sin
2
cos
2
2 cos
2
2
6 cos
2
2
5
π π 2 sin cos cos sin 4 4
2
2 4 sin 6 cos
=
2
5
=
sin cos
1 cos 4 sin 6 3 4 sin 3 cos 2 = . sin cos sin cos
.
三角函数经常与平面向量知识融 合在一起,将某些三角函数式设置为向量的 坐标,然后以向量满足的条件给出题设,要求 解决其他三角函数问题.这类问题的关键是 熟悉平面向量中相关的知识,如共线的条件, 模的计算公式等,通过这些公式转化为三角 函数问题,再利用有关公式求解.
变式训练 3 1:已知向量 a=(cos α ,sin α ), b=(cos β ,sin β
x y
2
2
)
π π (3)角θ+ 与角 + 之间是什么关系? 4 2 8
2014·新课标高考总复习·数学3-5两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、两角和与差的三角函数公式 sin (α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β tan α± β tan 1∓tan αtan β. ；
cos (α±β)＝
tan (α±β)＝
；
其公式变形为： tan α＋tan β＝ tan α－tan β＝ tan (α＋β)(1－tan αtan β) tan (α－β)(1＋tan αtan β) tan α＋tan β 1－ tan α＋β .
菜 单 隐 藏
2014 ·新课标高考总复习 ·数学（B ·理）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练
4 5 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－ × ＋ 5 5 3 2 5 2 5 × ＝ ，选 A. 5 5 25
[解析] 利用两角和的正弦公式化简． sin30° ＋17° －sin 17° 30° cos 原式＝ cos 17° sin 30° 17° cos ＋cos 30° 17° sin －sin 17° 30° cos ＝ cos 17° sin 30° 17° cos 1 ＝ ＝sin 30° . ＝ cos 17° 2
1．(2013 年唐山模拟)若 β＝α＋30° ，则 sin2α＋cos2β＋sin αcos β 等 于( ) 1 A. 4 C．cos2β 3 B. 4 D．sin2α
解析：将 β＝α＋30° 代入 sin2α＋cos2β＋sin αcos β，整理得 sin2α＋ cos2(α＋30° )＋sin αcos(α＋30° ) ＝sin2α＋(cos αcos 30° －sin αsin 30°2＋sin α(cos αcos 30° sin αsin ) － 30° )
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
)
4 A [∵sin α－cos α＝ ， 3 16 ∴(sin α－cos α) ＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝ ， 9
2
7 ∴sin 2α＝－ . 9 故选 A．]
4．(2017· 云南二次统一检测)函数 f(x)＝ 3sin x＋cos x 的最小值为________. 【导学号：79170103】
－2 [函数
π f(x)＝2sinx＋6 的最小值是－2.]
5．若锐角 α，β 满足(1＋ 3tan α)(1＋ 3tan β)＝4，则 α＋β＝________.
π [由(1＋ 3tan α)(1＋ 3tan β)＝4， 3 tan α＋tan β 可得 ＝ 3，即 tan(α＋β)＝ 3. 1－tan αtan β π 又 α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝ .] 3
)
3 B. 2 1 D． 2
D [sin 20° cos 10° －cos 160° sin 10° ＝sin 20° cos 10° ＋cos 20° sin 10° ＝sin(20°
4 3．(2017· 全国卷Ⅲ)已知 sin α－cos α＝ ，则 sin 2α＝( 3 7 A．－ 9 2 C． 9 2 B．－ 9 7 D． 9
化简 sin
2
π π 2 2 α － α ＋ ＋ sin － sin α＝________. 6 6
【导学号：79170104】
1 2
[法一：原式＝
π 1－cos2α－ 3
2
＋
π 1－cos2α＋ 3
2
－sin2α
π π 1 π cos 2α 2 2 ＝1－ cos2α－3＋cos2α＋3－sin α＝1－cos 2α· cos －sin α＝1－ － 2 3 2
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
Ⅱ.基础小题的即时强化
一、教材经典小题的回顾拓展
1．(人教 A 版必修①P 229·T12 改编)sin1π2－ 3cos1π2的值为 A ．0 B ．－ 2 C ．2 D . 2
()
解析：sin1π2－ 3cos1π2＝212sin1π2－ 23cos1π2＝2sin1π2－π3＝2sin－π4 ＝－ 2.
()
A ．－7
B ．－17
C .17
D .7
解析：由于 sin α＝53，α∈π2，π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－54，tan
α＝csoins αα＝－34，tanπ4－α＝11－＋ttaann αα＝11＋－3434＝7. 答案：D
3．(2023·济宁模拟)已知 cosα＋π6＝14，则 sin2α＋56π＝
解 析 ： tan 15 ° ＋ tan 105 ° ＝ tan 45°－30° ＋ tan 60°＋45° ＝ 1t＋anta4n5°4－5°t·atann3300°°＋1t－anta6n0°6＋0°t·atann4455°°＝1＋1－1×3333＋1－3＋3×1 1＝－2 3.
答案：A
2．(不会逆用公式造成解题困难)化简： cos
D .tan(α＋β)＝－1
(2)(2023·齐齐哈尔模拟)已知 3tan 10°＋λcos 80°＝1，则实数 λ 的
值为
()
A ．4 B ．4 3 C ．3 3 D .2 2
[解析] (1)由题意，得 sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin
β＝2 2× 22(cos α－sin α)sin β，整理，得 sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即 sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以 tan(α－β)＝－
高考数学一轮两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式[最新考纲]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.12 [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.]3．(2017·苏州模拟)若α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.17[∵α∈(0，π)，cos α＝－45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，∴tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.] 4．若sin α＋3cos α＝1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＝________.π2 [∵sin α＋3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋π3＝5π6，∴α＝π2.]5．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝________.17 [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.](2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．[解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310. [规律方法] 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． [变式训练1] (1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则sin α＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是________． (1)35 (2)－1 [(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.]β＝________.【导学号：62172128】(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1)π3 (2)1 [(1)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－3tan αtan β1－tan αtan β＝ 3.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.][规律方法] 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．2．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．[变式训练2](1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________．(2)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为________．(1)22(2)π4[(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝2 2.(2)由题意知：sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，又tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A，所以A＝π4.](1)设αcos β＝________.【导学号：62172129】(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2等于________．(1)2525 (2)539 [(1)依题意得 sin α＝1－cos 2 α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [](α＋β)－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵0<α<π2，∴π4<π4＋α<34π， 所以由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，又－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝539.][规律方法] 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2＋β等．[变式训练3]定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d＝ad－bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αsin βcos αcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于________．π3[依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin2(α－β)＝13 14，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.][思想与方法]1．三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．2．三角恒等变换的变“形”问题的求解思路根据三角恒等式子的“结构特征”进行变“形”，使得变换后的式子更接近已知的三角函数式，常用技巧有：(1)常值代换：1＝sin2α＋cos2α＝cos 2α＋2sin2α＝tan π4，32＝sin π3＝cosπ6，12＝sinπ6＝cosπ3等．(2)逆用、变用公式：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．(3)通分、约分：如：1＋3tan α＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π3cos α.(4)分解、组合：如：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.(5)平方、开方：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α等．[易错与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．课时分层训练(二十三)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________． －3 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.]2．(2017·盐城模拟)tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于________． －3 [∵tan 120°＝tan(50°＋70°)＝tan 50°＋tan 70°1－tan 50°tan 70°＝－3，∴tan 50°＋tan70°＝－3＋3tan 50°tan 70°，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.]3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边经过点P (2,4)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【导学号：62172130】－3 [由题意可知tan α＝42＝2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1＋21－2＝－3.] 4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于________．17[∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45， ∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.]5．已知sin α＋sin β＝3(cos β－cos α)，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 3α＋sin 3β＝________.0 [由已知得：sin α＋3cos α＝3cos β－sin β， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6，又α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，β＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3. 故α－π6＝β＋π6，即α＝β＋π3.∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]6．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________.35 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，32cos α－32sin α＝335，12cos α－32sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35.] 7．若sin ()α＋β＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________.【导学号：62172131】5 [由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12， ①sin αcos β－cos αsin β＝13， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512，cos αsin β＝112.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.]8．(2017·苏锡常镇调研二)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.－17[∵tan α＝12，tan(α－β)＝－13， ∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－131＋16＝－17.] 9．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________. 【导学号：62172132】7π4 [∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2. ∴cos(β－α)＝－31010.因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22，cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.]10．(2017·如皋市高三调研一)若sin β＝3sin(2α－β)，则tan(α－β)＋12tan α＝________.0 [由sin β＝3sin(2α－β)得－sin [(α－β)－α]＝3sin [α＋(α－β)]，∴cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝3[sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)]， ∴－4cos αsin(α－β)＝2sin αcos(α－β)， ∴tan(α－β)＝－12tan α.∴tan(α－β)＋12tan α＝－12tan α＋12tan α＝0.] 二、解答题11．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.12．(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A .(1)求角A 的值；(2)若B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B .[解] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cosA ．因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1，所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin(A －(A－B ))＝sin A cos(A －B )－cos A sin(A －B )＝43－310.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知0＜θ＜π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1.∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.] 2．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________. 3 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tan π52tan π5－tan π5＝3.] 3．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45， 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.4．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知0<α<π2<β<π，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值； (2)证明：sin β>513.[解] (1)将tan α2＝12代入tan α＝2tan α21－tan 2α2，得tan α＝43，∴⎩⎨⎧sinαcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得cos α＝35.(2)证明：由题意易得π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝513， ∴cos(α＋β)＝－1213， 由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45＝6365>513.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、选择题
1.⎝⎛⎭⎫cos π12
－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32
解析：⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12＝cos2π12－sin2π12＝cos π6＝32
. 答案：D
2．已知cos2α＝12
(其中α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0)，则sinα的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32
解析：∵12＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝14
， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，∴sinα＝－12
. 答案：B
3．已知sinα＝55
，则sin4α－cos4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35
解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35
，故选B. 答案：B
4．sin(65°－x)cos(x －20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为( )
A. 2
B.22
C.12
D.32
解析：原式＝sin(65°－x)cos(x －20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x －20°)]
＝sin(65°－x)cos(x －20°)＋cos(65°－x)sin(x －20°)
＝sin[(65°－x)＋(x －20°)]
＝sin45°＝22
. 答案：B
5．在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则C 的大小为( ) A.π6 B.5π6 C.π6或56π D.π3或23
π 解析：两式平方相加可得9＋16＋24sin(A ＋B)＝37，si n(A ＋B)＝sinC ＝12，所以C ＝π6或56
π.如果C ＝56π，则0＜A ＜π6，从而cosA ＞32
，3cosA ＞1与4sinB ＋3cosA ＝1矛盾(因为4sinB ＞0恒成立)，故C ＝π6
. 答案：A
6．若f(x)＝2tanx －2sin2x 2－1sin x 2cos x 2
，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．－43
3 B ．8 C ．
4 3 D ．－4 3 解析：f(x)＝2tanx ＋1－2sin2x 212
sinx ＝2tanx ＋2cosx sinx ＝2sinxcosx ＝4sin2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6
＝8. 答案：B
二、填空题
7．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin2x ＝__________.
解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35， ∴22cosx －22sinx ＝22(cosx －sinx)＝35
. ∴cosx －sinx ＝325
. ∴(cosx －sinx)2＝1－sin2x ＝1825，∴sin2x ＝725
. 答案：725 8．求值：cos4π8＋cos43π8＋cos45π8＋cos47π8
＝__________. 解析：原式＝2⎝⎛⎭⎫cos4π8＋cos43π8＝2⎝⎛⎭⎫cos4π8＋sin4π8＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin2π8cos2π8＝2⎝⎛⎭⎫1－12sin2π4＝32. 答案：32
9．若1＋tanx 1－tanx
＝2010，则1cos2x ＋tan2x 的值为__________． 解析：1cos2x ＋tan2x ＝1＋sin2x cos2x
＝s inx ＋cosx 2cos2x －sin2x
＝cosx ＋sinx cosx －sinx
＝1＋tanx 1－tanx
＝2010.
答案：2010
三、解答题
10．已知tanα＝17，tanβ＝13
，并且α，β均为锐角，求α＋2β的值． 解析：∵tanα＝17＜1，tanβ＝13
＜1， 且α、β均为锐角，
∴0＜α＜π4，0＜β＜π4
. ∴0＜α＋2β＜34
π. 又tan2β＝2tanβ1－tan2β＝34
， ∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanα·tan2β＝17＋341－17×34
＝1. ∴α＋2β＝π4
. 11．已知α∈⎝⎛⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cosβ＝－513
.求sinα. 解析：∵β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cosβ＝－513
， ∴sinβ＝1213
. 又∵0＜α＜π2，π2
＜β＜π， ∴π2＜α＋β＜3π2，又sin(α＋β)＝3365
， ∴π2
＜α＋β＜π， cos(α＋β)＝－1－sin2 α＋β ＝－1－⎝⎛⎭⎫33652＝－5665
， ∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝3365·⎝⎛⎭⎫－513－⎝⎛⎭⎫－5665·1213＝35
. 12．已知tan(π＋α)＝－13，ta n(α＋β)＝sin π－2α ＋4cos2α10cos2α－sin2α
. (1)求tan(α＋β)的值；
(2)求tanβ的值． 解析：(1)∵tan(π＋α)＝－13，∴tanα＝－13
， ∵tan (α＋β)＝sin π－2α ＋4cos2α10cos2α－sin2α＝sin2α＋4cos2α10cos2α－sin2α
＝2sinαcosα＋4cos2α10cos2α－2sinαcosα ＝2cosα s inα＋2cosα 2cosα 5cosα－sinα
＝sinα＋2cosα5cosα－sinα
＝tanα＋25－tanα
， ∴tan(α＋β)＝－13＋25＋13
＝516. (2)∵tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝
tan α＋β －tanα1＋tan α＋β t anα
， ∴tanβ＝516＋131－516×13
＝3143.。