【数学竞赛】2022年湖南省衡阳市衡阳县九年级五科联赛数学试题（含答案）
湖南省衡阳县五校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题(普通班)
湖南省衡阳县五校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（普通班）一、单选题1x 的取值范围是（）A ．2x ≥B ．2x ≥-C ．2x >D ．2x >-2）AB C D 3．下列计算中，正确的是（）A2=B 4=C=D 4．用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()219x -=5．一元二次方程2x 2﹣3x +1=0的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．如图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（）A ．∠ABD =∠ACB B ．∠ADB =∠ABC C ．AB 2=AD•ACD ．AD ABAB BC=7．“周末不忙，来趟衡阳”．2024年9月22日，衡阳市旅发大会隆重召开，喜迎全国游客．据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万人次，10月3日接待游客人数达到12.1万人次．设这两天的平均增长率为x ，下列方程正确的是（）A ．()101212.1x +=B ．()210112.1x +=C ．()212.1110x -=D ．()212.1110x +=8．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，CD ⊥BD ，且测得AB ＝4m ，BP =6m ，PD ＝12m ，那么该古城墙CD 的高度是（）A ．8mB ．9mC ．16mD ．18m9．如图，将ABC V 沿BC 边上的中线AD 平移到A B C ''' 的位置，已知ABC V 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若3AD =，则A D '等于（）A ．2B ．1C ．43D ．3210．如图，在钝角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从A 点出发到B 点止，动点E 从C 点出发到A 点止．点D 运动的速度为1cm/秒，点E 运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动的时间是（）A ．3秒或4.8秒B ．3秒C ．4.5秒D ．4.5秒或4.8秒二、填空题11．若 1a >1=．12．若方程()2310mm x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =．13．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程2310x x --=两个实数根，则1212x x x x ++=.14．已知513b a =，则a b a b -+=．15．一个等腰三角形的两边长是方程28120x x -+=的两根，则该三角形的周长为．16．如图，在一块长8m 、宽6m 的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为235m ，则修建的道路的宽应为m.17．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ，若NF=NM=2，ME=3，则AN=．18．如图，直线1y x =+与y 轴交于点A ，依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C …正方形1n n n n A B C C -，使得点12A A 、、…，n A 在直线1x +上，点12n C C C ⋯、、、在x 轴上，则点6B 的坐标是．三、解答题19．计算：()101120242π-⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭20．解方程：2240x x +-=21．已知2a =2b =.(1)求22a b +的值；(2)求11a b-的值.22．如图．已知BD 是ABC ∠的角平分线，E 是BD 延长线上的一点且AE AB =．(1)求证：ADE CDB ∽ ；(2)若6,4,5AB BD DE ===，求BC 的长．23．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．24．某宾馆拥有客房100间，经营中发现，每天入住的客房数y （间）与其价格x （元）()180300x ≤≤满足一次函数关系，部分对应值如表：x （元）180260280300y （间）100605040(1)请求出y 与x 的函数关系式．(2)已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？25．将矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 在y 轴上,点C 在x 轴上,点B 的坐标是(8,6),点P 是边AB 上的一个动点,将△OAP 沿OP 折叠，使点A 落在点Q 处.(1)如图①，当点Q 恰好落在OB 上时.求点p 的坐标；(2)如图②，当点P 是AB 中点时,直线OQ 交BC 于M 点.①求证:MB=MQ ；②求点Q 的坐标.26．如图1，在ABC V 中，90A ∠=︒，当点P 从点A 出发，沿着AB 方向匀速运动到点B 时，点Q 恰好从点B 出发，沿着BC 方向匀速运动到点C ，连结PQ ，记,AP x CQ y ==，已知554y x =-+．（1）求AB 和BC 的长．（2）当BPQ V 是以PQ 为腰的等腰三角形时，求x 的值．（3）如图2，直线l 是线段PQ 的垂直平分线．①若直线l 过点B ，交AC 于点D ，请判断四边形BQDP 的形状，并说明理由；②A '是点A 关于直线l 的对称点，若点A '落在ABC V 的内部，请直接写出x 的取值范围．。
湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年九年级上学期学业水平模拟考试数学试卷(含部分答案)
衡阳县2024年初中学业水平模拟考试数学（试题卷）温馨提示：1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．2．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号．3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．4．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明．亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）1. 下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. πC. D. 02. 月球与地球之间的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（）A. B.C. D.3. 下列运算正确的是（）A. B.C. D.4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，65. 下列说法正确的是（）A. 一组数据，，，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是B. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查C. 任意画一个三角形，其内角和是是必然事件D. 某校有名学生，随机抽取名学生进行体重调查，样本容量为名学生6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（）A. B.C. D.7. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（）A. 米B. 25米C. 米D. 50米8. 对于一次函数，下列结论正确的是（）A. 它的图象与轴交于点B. 随的增大而增大C. 当时，D. 它的图象经过第一、二、三象限9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A. （x﹣1）2+52＝x2B. x2+102＝（x+1）2C. （x﹣1）2+102＝x2D. x2+52＝（x+1）210. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）11. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）12. 连日来，一批批冬候鸟陆续飞抵衡南江口鸟洲，候鸟种群也越来越多，为了解到该区域的种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，100只种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有________只种候鸟．13. 分式方程的解为______．14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________．15. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________16. 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．小雅说：“红色球在我手上”；小培说：“红色球不在我手上”；小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．三个同学只有一个说对了，则红色球在______手上．17. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____．18. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是，则的值为____．三、解答题（本大题共8个小题，第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）19. 计算：．20. 先化简，再求值，其中21. 如图，D，E为中边上两点，过D作交的延长线于点A，．（1）求证：；（2）若，，，求长．22. 劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽取学生人数为________人，扇形统计图中的值为________；（2）补全条形统计图；（要求条形图上方表明人数）（3）请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数；（4）已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？23. 如图，平行四边形，，分别是，的中点，，连接交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）过点作于点，交于点．若，，求的长．24. 某文创店，最近一款印有“保卫里”书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．（1）求该店两次购进这款书签各多少个？（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？25. 在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，当为的中点，，时，求的长；（3）如图3，当时，设矩形的周长为，的周长为，探究与的数量关系，并说明理由．26. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，，的长是方程的两个根．请解答下列问题：（1）求点的坐标；（2）若直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，直线交延长线于点，，求的值；（3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点（不与点重合），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．衡阳县2024年初中学业水平模拟考试数学（试题卷）温馨提示：1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．2．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号．3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．4．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明．亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答．祝你成功！一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）【1题答案】B【2题答案】B【3题答案】B【4题答案】C【5题答案】A【6题答案】C【7题答案】A【8题答案】A【9题答案】A【10题答案】B二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）【11题答案】【12题答案】【13题答案】【14题答案】【15题答案】4【16题答案】小培【17题答案】【18题答案】三、解答题（本大题共8个小题，第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）【19题答案】【20题答案】,3【21题答案】（1）详见解析（2）【22题答案】（1）50，30（2）见解析（3）（4）500人【23题答案】（1）见解析（2）【24题答案】（1）该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；（2）第一次销售时每个书签的售价至少为8元【25题答案】（1）见解析（2）（3）【26题答案】（1）（2）2 （3）存在，或。
湖南省衡阳市九年级12月五科联赛数学试卷
湖南省衡阳市九年级12月五科联赛数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019九上·无锡月考) 从，0，，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·毕节模拟) 如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，若反比例函数y= 的图象经过点A的对应点A′，则k的值为（）A . -6B . ﹣3C . 3D . 63. （2分）(2019·建华模拟) 如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工.在上找一点，取，要使成一直线，那么开挖点离点的距离是（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·杭州模拟) 如图1，点D是的AB边上任意一点，DE//BC交AC于E点，若AD=1，BD=2，设DE= ，BC= ，则（）A .B .C .D .5. （2分）若点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列说法正确的有（）①AB= AC；②AC=3﹣ AB；③AB：AC=AC：AB；④AC≈0.618AB．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）如图，水平地面上有一面积为30π㎝2的扇形AOB，半径OA=6㎝，且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为（）A . 20cmB . 24cmC . 10πcmD . 30πcm7. （2分）(2019·雅安) 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016九上·永泰期中) 已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是（）A . mB . mC . mD . m＞9. （2分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019九上·西城期中) 城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且a≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（）A . 4.8B . 5C . 5.2D . 5.5二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2020七下·长春期中) 若a=b，则a-c=________.12. （1分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=3，BD=8，则CD=________13. （1分） (2015九上·房山期末) 活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC的坡度为1：1，斜坡AC的坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升的高度BC为________．14. （1分）(2020·宁夏) 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是________.15. （1分） (2018九上·建瓯期末) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，∠ABD＝30°，则图中阴影部分的面积为________．（不取近似值）16. （1分）(2020·青岛) 如图，在中，O为边上的一点，以O为圆心的半圆分别与，相切于点M，N．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题 (共7题；共80分)17. （10分）(2019·越城模拟) 某居民小区物业要在广场树立一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，如图所示，施工人员在两侧加固合金框架，已知合金框架底端G距广告牌立柱FD的距离GD＝4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是60°和45°.（1）若AF长为5米，求灯牌的面积；（2）求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？（本题中的计算过程和结果均保留根号）18. （10分）(2018·灌南模拟) 某校举行全体学生“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如下的图表．根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的m＝________，n＝________，并补全条形统计图________；（2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是________；（3）已知该校共有900名学生，如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格，请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数．19. （10分）(2014·崇左) 如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．（1）求证：∠ABC=∠D；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．20. （10分）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑其它因素），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s．（1）求y关于x的函数解析式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88 m？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要在几s内到球门的左边框？21. （10分）(2019·洞头模拟) 如图，在▱ABCD中，CF⊥AB于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，且CF＝DE.（1）求证：△BFC≌△CED；（2）若∠B＝60°，AF＝5，求BC的长.22. （15分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C 两点．（1）求该二次函数的表达式；（2） F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23. （15分）如图，已知抛物线交x轴于A．B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2） P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S 及M1、M2、M3这三个点的坐标．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共80分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、。
九年级五科联赛选拔考试数学试卷
B九年级五科联赛选拔考试数学试卷（说明：本卷共有六个大题、25个小题，全卷满分120分，考试时间为100分钟） 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1．图（1）是一台计算机D 盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小，请用科学记数法将该硬盘容量表示为（ B ）字节．（保留3位有效数字） A ．102.0110⨯ B ．102.0210⨯ C ．92.0210⨯D ．102.01810⨯2．已知01b 2a =-++，那么2007)b a (+的值为（ A ）． A 、－1 B 、1 C 、20073 D 、20073-3．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆，必与（ ） A ．x 轴相交 B ．y 轴相交 C ．x 轴相切 D ．y4．如果小强将飞镖随意投中如图所示的6×6的正方形木板，那么飞镖 落在阴影部分的概率为( )． （A ）61 （B ）81 （C ）91 （D ）121 5．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ D ）A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB 为对称轴作轴对称C ．绕AB 的中点旋转1800，再以AB 为对称轴作轴对称D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格6．根据下列图形的排列规律，第2008个图形是（ C ）……A ；B ；C ；D .7．如图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300ml 的水倒进一个容量为500ml 的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在A ．20cm 3以上，30cm 3以下 B ．30cm 3以上，40cm 3以下 C ．40cm 3以上，50cm 3以下 D ．50cm 3以上，60cm 3以下7．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的同一种商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价38%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，那么顾客购买这种商品在哪家超市更合算（ B ）A 、甲B 、乙C 、丙D 、一样8．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用X 、Y 表示直角三角形的两直角边（X ＞Y ），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ） A 、x 2＋y 2＝49 B 、x －y ＝2 C 、2xy ＋4＝49 D 、x ＋y ＝139．如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙0切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为 （ C ） A 、2π B 、4π C 、32 D 、410．如图所示，小华从一个圆形场地的A 点出发，沿着与半径OA 夹角为α的方向行走，走到场地边缘B 后，再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。
湖南省衡阳市九年级下学期竞赛数学试卷
湖南省衡阳市九年级下学期竞赛数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）(2013·盐城) ﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是（）A . ﹣2B . 0C . 1D . ﹣32. （2分）下面的几何体是圆柱的是（）A .B .C .D .3. （2分）下列各题中合并同类项，结果正确的是（）A . 2a2+3a2=5a2B . 2a2+3a2=6a2C . 4xy﹣3xy=1D . 2x3+3x3=5x64. （2分）(2018·白银) 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：甲乙丙丁平均数（环）11.111.110.910.9方差s2 1.1 1.2 1.3 1.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁5. （2分）若菱形的边长为1cm，其中一内角为60°，则它的面积为（）A . cm2B . cm2C . 2cm2D . cm26. （2分） (2015八下·江东期中) 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A . x2+3x+4=0B . x2+4x﹣3=0C . x2﹣4x+3=0D . x2+3x﹣4=07. （2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥A D，若AC=2，∠ADC=30°，①四边形ACED是平行四边形；②△BCE是等腰三角形；③四边形ACEB的周长是10+2 ；④四边形ACEB的面积是16．则以上结论正确的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个8. （2分） (2017八下·路南期末) 如图，函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点B（2，0），与函数y＝2x的图象交于点A ，则不等式组的解集为（）A . x＜1B . x＞2C . 0＜x＜2D . 0＜x＜1二、填空题 (共5题；共5分)9. （1分）(2014·衢州) 若分式有意义，则实数x的取值范围是________．10. （1分） (2016九上·栖霞期末) 某校为了解全校1300名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图统计表．根据表中数据，估计该校1300名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数为________人．时间（小时）45678人数（人）391815511. （1分）(2018·河北) 若a，b互为相反数，则a2﹣b2=________．12. （1分）(2017·沭阳模拟) 如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于________度．13. （1分）(2017·邵阳模拟) 如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，BC=8cm，则DE=________．三、解答题 (共8题；共71分)14. （5分）(2017·西秀模拟) 先化简，再求值：（x+1﹣）÷ ，其中x=2．15. （6分） (2015八上·潮南期中) 如图，△ABC，AB=5，BC=4，AC=3．（1）用直尺和圆规作边AB的垂直平分线MN；（2）在直线MN上找一点D，使△ADC周长最小，并写出△ADC最小周长是________．16. （10分）(2017·金乡模拟) 一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．17. （10分）(2018·徐州模拟) 如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G．（1）求证：△ACE≌△CBD；（2）求∠CGE的度数．18. （5分）(2017·张湾模拟) 小明想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离（结果保留根号）．19. （10分）设反比例函数的解析式为y= （k＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．20. （10分）(2018·亭湖模拟) 如图，是内一点，与相交于、两点，且与、分别相切于点、，．连接、．（1）求证：．（2）已知，．求四边形是矩形时的半径．21. （15分） (2019九上·赣榆期末) 如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴于D，C两点，已知， .（1）求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；（2）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点E，使得的面积最大？如果存在，求出E点坐标；如果不存在，请说明理由.（3）为抛物线上一动点，连接PA，过点P作交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共5分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共8题；共71分)14-1、15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。
初三数学竟赛试题及答案
初三数学竟赛试题及答案初三数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √42. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -13. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长x满足的条件是：A. 1 < x < 7B. 0 < x < 7C. 1 < x < 5D. 0 < x < 54. 一个圆的直径是10cm，那么它的半径是：A. 5cmB. 10cmC. 20cmD. 15cm5. 一个数的相反数是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任意数6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个数的倒数是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-18. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 一个数的立方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -110. 一个数的平方是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______。
12. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______。
13. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是______。
14. 一个数的平方根是3，那么这个数是______。
15. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算：(3+2√2)(3-2√2)。
17. 证明：对于任意实数a和b，(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
18. 已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，求第三边的长度。
19. 一个圆的面积是π，求这个圆的半径。
20. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
湖南省衡阳市衡阳县五校联考2024届九年级上学期第三次月考数学试卷(含答案)
九年级数学试题一.选择题（每小题3分，共36分）1.要使式子有意义，的取值范围是（）A. B. C.且 D.且2.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（）A.13B.15C.18D.13或183.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则（）A. B. C. D.4.锐角满足，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.5.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球.若随机摸出一个蓝球的概率为，则随机摸出一个红球的概率为（）A. B. C. D.6.将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A. B. C. D.7.当时，（）A. B. C. D.8.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（）A. B.且 C. D.9.如图，已知矩形的顶点，分别落在轴、轴上，，，则点的坐标是（）A. B. C. D.10.如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（）A. B. C. D.11.如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，垂直于轴的直线分别与抛物线和抛物线交于，两点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，过点作轴分别与轴和抛物线交于点，，则的值为（）A. B. C. D.二.填空题（每小题3分，共18分）13.已知，为实数，且，则的值为____________.14.在中，，，且关于的方程有两个相等的实数根，则边上的中线长为____________.15.如图，在边长为3的菱形中，点在边上，点为延长线与延长线的交点，若，则的长为____________.16.在中，对角线，相交于点，若，，，则的面积是____________.17.已知函数图象上两点，，其中，则与的大小关系是___________（填“＜”、“＞”或“＝”）18.如图，已知动点在函数的图象上，轴于点，轴于点，延长至点，使，延长至点，使.直线分别交，轴分别于点，.当时，图中阴影部分的面积等于_________.三.解答题（19～21题每小题6分，22～23每小题8分，24～25每小题10分，26题12分，共66分）19.（6分）化简：，并将你所喜欢的值代入化简结果进行计算.20.（6分）关于的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求的取值范围.21.（6分）已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于，求证：.22.（8分）如图所示，我国两艘海监船，在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船，此时，船在船的正南方向5海里处，船测得渔船在其南偏东45°方向，船测得渔船在其南偏东53°方向，已知船的航速为30海里/小时，船的航速为25海里/小时，问船至少要等待多长时间才能得到救援?（参考数据：，，，）23.（8分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为，.（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的，能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗?请你用概率知识解释. 24.（10分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：.（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元?（2）设李明获得的利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于3410元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元?25.（10分）在锐角中，点、分别在、上，于点，于，.（1）求证：；（2）若，，求的值.26.（12分）如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形.备用图（1）求抛物线的解析式；（2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值（3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形?若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1-5DABBA6-10BDCAA11-12CD13.-1或-714.215.16.2417.>18.19.解：，取时，原式.20.（1）证明：在方程中，，方程总有两个实数根.（2）解：，，.方程有一根小于1，，解得：，的取值范围为.21.证明：连接，，是中线，是的对称轴.，.，（两直线平行，内错角相等），.又，.（相似三角形的对应边成比例）...22.解：如图作于.在中，，，设，则，在中，，，解得，，，，船到的时间小时，船到的时间小时，船至少要等待0.94小时才能得到救援.23.解：（1）画树状图得：的可能结果有、、、、、、、及，取值结果共有9种；（2）这样的游戏规则不公平.将（1）中结果分别代入中得，7，2，0，8，3，-3，5或0（甲获胜）（乙获胜），（甲获胜）（乙获胜），这样的游戏规则对甲有利，不公平.24.解：（1）当时，，元，即政府这个月为他承担的总差价为600元.（2）由题意得，，，当时，有最大值4000元.即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元.（3）由题意得：令，解得：，.，抛物线开口向下，结合图象可知：当时，元，又，当时，元，设政府每个月为他承担的总差价为元，..随的增大而减小，当时，有最小值500元.即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.25.（1）证明：于点，于，，，在和中，，，（2）解：，.，，.26.解：（1）设所求抛物线的解析式为，抛物线经过点，，三点，则由题意可得：，解得.所求抛物线的解析式为：.（2）点是抛物线上一动点，且在轴下方，，即，表示点到的距离.是平行四边形的对角线，，与之间的函数关系式为：，的最大值为.（3）当，且时，平行四边形是正方形，此时点坐标只能，而坐标为点在抛物线上，存在点，使平行四边形为正方形，此时点坐标为.。
2022年湖南省衡阳市中考数学真题(解析版)
2022年衡阳市初中学业水平考试试卷数学一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.-2的绝对值是（）A.2B.12C.12- D.2-【答案】A【解析】【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，故选：A．2.石鼓广场供游客休息的石板凳如图所示，它的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．【详解】解：从正面看过去，看到上下共三个矩形，所以主视图是：故选A【点睛】本题考查简单几何体的主视图，主视图就是从正面看物体所得到的图形．3.下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（）A.可回收垃圾B.其他垃圾C.有害垃圾D.厨余垃圾【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】解：A ．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，B ．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，C ．既是中心对称又是轴对称图形，D ．是轴对称图形但不是中心对称图形，故选C ．【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握上述定义，是解题的关键．4.为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗．截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为910a ⨯的形式，则a 的值是（）A.0.339B.3.39C.33.9D.339【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解： 339000万用科学记数法可表示为910a ⨯，3.39,a \=故选B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5.下列运算正确的是（）A.235a a a += B.3412a a a ⋅= C.()437a a = D.32a a a÷=【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算出各项的结果，再进行判断即可．【详解】解：A.2a 与3a 不是同类项不能合并，故此选项错误，不符合题意；B.34347a a a a +==⋅，故此选项错误，不符合题意；C.()434123a a a ⨯==，故此选项错误，不符合题意；D.3232a a a a -÷==，故此选项计算正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．6.下列说法正确的是（）A.“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件B.调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式C.抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确D.十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是13【答案】A【解析】【分析】由三角形的内角和定理可判断A ，由抽样调查与普查的含义可判断B ，C ，由简单随机事件的概率可判断D ，从而可得答案．【详解】解：“任意画一个三角形，其内角和为180︒”是必然事件，表述正确，故A 符合题意；调查全国中学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故B 不符合题意；抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越不准确，故C 不符合题意；十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率不是13，与三种灯的闪烁时间相关，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是必然事件的含义，调查方式的选择，简单随机事件的概率，三角形的内角和定理的含义，掌握“以上基础知识”是解本题的关键．7.如果二次根式a 的取值范围是（）A.1a > B.1a ≥ C.1a < D.1a ≤【答案】B【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．【详解】根据题意知1a -≥0，解得1a ≥，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性．8.为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（）A.38，39B.35，38C.42，39D.42，35【答案】C【解析】【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．【详解】解：∵42出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是42；把这些数从小大排列为35，38，39，42，42，所以中位数是39，故选：C ．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.不等式组2123x x x +≥⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】2123x x x +≥⎧⎨<+⎩①②解不等式①得：1x ≥-解不等式②得：3x <不等式组的解集为13x -≤<．故选：A ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.下列命题为假命题的是（）A.对角线相等的平行四边形是矩形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形D.有一组邻边相等的矩形是正方形【答案】C【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．C 、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意．D 、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型．11.在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（结果精确到0.01m 1.414≈，1.732≈2.236≈）A.0.73mB.1.24mC.1.37mD. 1.42m【答案】B【解析】【分析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得1,22x =求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为x m ，则上部长为（2-x ）m ，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴1,22x -=∴1 1.24x =»，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ，故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．12.如图，在四边形ABCD 中，90B ∠=︒，6AC =，AB CD ∥，AC 平分DAB ∠．设AB x =，AD y =，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为（）A . B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先证明CD AD y ==，过D 点做DE AC ⊥于点E ，证明ABC AED ∽△△，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．【详解】解：∵AB CD ∥，∴ACD BAC ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴BAC CAD ∠=∠，∴ACD CAD ∠=∠，则CD AD y ==，即ACD △为等腰三角形，过D 点做DE AC ⊥于点E ．则DE 垂直平分AC ，132AE CE AC ===，90AED ∠=︒，∵BAC CAD ∠=∠，90B AED ∠=∠=︒，∴ABC AED ∽△△，∴AC AB AD AE =，∴63x y =，∴18y x =，∵在ABC 中，AB AC <，∴6x <，故选D ．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明ABC AED ∽△△是解本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题）13.因式分解：2a 2a 1++=____．【答案】()2a 1+．【解析】【详解】试题分析：直接应用完全平方公式即可：()22a 2a 1a 1++=+．14.＝_____．【答案】4【解析】【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】4==．故答案为：4．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．15.计算：2422a a a +=++_________．【答案】2【解析】【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分．【详解】解：2422a a a +++242a a +=+()222a a +=+2=【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．16.如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交CB 于点D ，连接AD ．若8AC =，15BC =，则ACD △的周长为_________．【答案】23【解析】【分析】由作图可得：MN 是AB 的垂直平分线，可得,DA DB =再利用三角形的周长公式进行计算即可．【详解】解：由作图可得：MN 是的垂直平分线，,DA DB ∴= 8AC =，15BC =，81523,ACD C AC CD AD AC CD BD AC BC \=++=++=+=+=V 故答案为：23【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键．17.如图，用一个半径为6cm 的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120︒，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm ．（结果保留π）【答案】4π【解析】【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物的高度为12064180ππ⨯⨯=（cm ）．故答案为：4π．【点睛】本题考查了弧长公式：180n R l π⋅⋅=（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）．18.回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，10m AE =，30BDG ∠=︒，60BFG ∠=︒．已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则大雁雕塑BC 的高度约为_________m ．（结果精确到0.1m ．参考数据： 1.732≈）【答案】10.2【解析】【分析】先根据三角形外角求得30DBF BDG ∠=∠= ，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE =10m ，再解直角三角形求得BG 即可求解．【详解】解：∵30BDG ∠=︒且60BFG ∠=︒，∴30DBF BFG BDG ∠=∠-∠=︒，∴∠=∠DBF BDG ，即10m BF DF AE ===．∴sin 608.66m BG BF ︒=⋅=≈，∴8.66 1.510.2m BC BG GC BG DA =+=+=+≈，故答案为：10.2m ．【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．三、解答题（本大题共8个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.先化简，再求值：()()()2a b a b b a b +-++，其中1a =，2b =-．【答案】2a 2ab +，3-【解析】【分析】利用平方差公式与多项式乘法法则进行化简，再代值计算．【详解】解：原式222222a b ab b a ab =-++=+，将1a =，2b =-代入式中得：原式()21212143=+⨯⨯-=-=-．【点睛】本题考查多项式乘法与平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．20.如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =．【答案】见解析【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明ABD ACE △≌△，从而得AD AE =．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．21.为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：（1）参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；（2）图②中扇形C 的圆心角度数为_____度；（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；（4）计划在A ，B ，C ，D ，E 五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中B ，E 这两项活动的概率．【答案】（1）120，见解析（2）90（3）300人（4）见解析，10%【解析】【分析】（1）由B 的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；（2）用C 的人数除以调查总数再乘以360°即可得到答案；（3）用样本估计总体进行计算即可；（4）列出表格或画出树状图，得到所有可能的结果数，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可．【小问1详解】因为参与B 活动的人数为36人，占总人数30%，所以总人数36120 30%==人，则参与E活动的人数为：120303630618----=人；补全统计图如下：故答案为：120；【小问2详解】扇形C的圆心角为：3036090 120⨯︒=︒，故答案为：90；【小问3详解】最喜爱“测量”项目的学生人数是：301200300 120⨯=人；答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人；【小问4详解】列表如下：第一项第二项A B C D E A——AB AC AD AEB BA——BC BD BEC CA CB——CD CED DA DB DC——DEE EA EB EC ED——或者树状图如下：所以，选中B 、E 这两项活动的概率为：()2100%10%20BE P =⨯=选中.【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．22.冰墩墩（Bing Dwen Dwen ）、雪容融（Shuey Rhon Rhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个（2）冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，利润取得最大值为992元【解析】【分析】（1）设冰墩墩进价为x 元，雪容融进价为y 元，列二元一次方程组求解；（2）设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，利润为w 元，列出w 与a 的函数关系式，并分析a 的取值范围，从而求出w 的最大值．【小问1详解】解：设冰墩墩进价为x 元/个，雪容融进价为y 元/个．得1361551400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得7264x y =⎧⎨=⎩．∴冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价为64元/个．【小问2详解】设冰墩墩进货a 个，雪容融进货()40a -个，利润为w 元，则()2820408800w a a a =+-=+，∵0a >，所以w 随a 增大而增大，又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，得()1.540a a ≤-，解得24a ≤．∴当24a =时，w 最大，此时4016a -=，824800992w =⨯+=．答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．23.如图，反比例函数my x=的图象与一次函数y kx b =+的图象相交于()3,1A ，()1,B n -两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点M ，N 分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM 是平行四边形，求点M 的坐标．【答案】（1）反比例函数解析式为3y x=，一次函数解析式为2y x =-（2）M或(【解析】【分析】（1）分别将(3,1)A ，(1,)B n -代入反比例函数解析式，即可求得m ，n 的值，再将A ，B 两点坐标代入一次函数解析式，求得k ，b 的值；（2）若四边形OCNM 是平行四边形，则//MN OC ，且MN OC =，即M N y y OC -=，由此进行求解．【小问1详解】解：将点(3,1)A ，(1,)B n -代入m y x=，得131m m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得33m n =⎧⎨=-⎩，∴点(1,3)B --，反比例函数的解析式为3y x=；将点(3,1)A ，(1,3)B --代入y kx b =+，得133k b k b =+⎧⎨-=-+⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为2y x =-．【小问2详解】解：将0x =代入2y x =-，得2y =-，∴(0,2)C -，∴2OC =．若四边形OCNM 是平行四边形，则//MN OC ，且2MN OC ==，设3(,)M t t，(,2)N t t -，则3(2)2M N MN y y t t=-=--=，解得t =∴M或(．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握平行四边形的性质与判定及函数相关知识是解题的关键．24.如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．（1）直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；（2）若2CA =，4CD =，求DE 的长．【答案】（1）相切，见解析（2）6DE =【解析】【分析】（1）先证得：90ODC ODE ∠=∠=︒，再证ODE OBE ≌，得到90OBE ODE ∠=∠=︒，即可求出答案；（2）设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，即可求得半径，再在直角三角形CBE 中，利用勾股定理222BC BE CE +=，求解即可．【小问1详解】（1）证明：连接OD ．∵CD 为O 切线，∴90ODC ODE ∠=∠=︒，又∵OE AD ∥，∴DAO EOB ∠=∠，ADO EOD ∠=∠，且ADO DAO ∠=∠，∴EOD EOB ∠=∠，在ODE 与OBE △中；∵OD OB EOD EOB OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ODE OBE ≌，∴90OBE ODE ∠=∠=︒，∴直线BE 与O 相切．【小问2详解】设半径为r ；则：2224(2)r r +=+，得3r =；在直角三角形CBE 中，222BC BE CE +=，222(233)(4)DE DE +++=+，解得6DE =【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．25.如图，已知抛物线2y x x 2=--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W ”，图象W 交y 轴于点C．（1）写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y x b =-+与图象W 有三个交点，请结合图象，直接写出b 的值；（3）P 为x 轴正半轴上一动点，过点P 作PM y ∥轴交直线BC 于点M ，交图象W 于点N ，是否存在这样的点P ，使CMN △与OBC 相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2212y x x x =-++-≤≤（2）2b =或3b =（3）存在，()1,0或117,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭或()1+【解析】【分析】（1）先求出点A 、B 、C 坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式△=0求得b 值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形的性质分∠CNM =90°和∠NCM =90°讨论求解即可．【小问1详解】解：由翻折可知：()0,2C .令220x x --=，解得：11x =-，22x =，∴()1,0A -，()2,0B ，设图象W 的解析式为()()12y a x x =+-，代入()0,2C ，解得1a =-，∴对应函数关系式为()()12y x x =-+-=22x x -++()12x -≤≤．【小问2详解】解：联立方程组22y x by x x =-+⎧⎨=-++⎩，整理，得：2220x x b -+-=，由△=4-4（b-2）=0得：b =3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b =2或b =3时，直线y x b =-+与图象W 有三个交点；【小问3详解】解：存在．如图1，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 与C 关于直线x =12对称，∴点N 的横坐标为1，∴()1,0P ；如图2，当CN OB ∥时，OBC NMC △∽△，此时，N 点纵坐标为2，由222x x --=，解得11172x =，212x =（舍），∴N 的横坐标为12，所以117,02P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；如图3，当90NCM ∠=︒时，OBC CMN △∽△，此时，直线CN 的解析式为2y x =+，联立方程组：222y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得11x =+21x =-（舍），∴N 的横坐标为1+，所以()1P +，因此，综上所述：P 点坐标为()1,0或117,02⎛⎫⎪⎪⎝⎭或()1+．【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．26.如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60BAD ∠=︒，点P 从点A 出发，沿线段AD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，作PM AD ⊥交直线AB 于点M ，交直线BC 于点F ，设PQM 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动时间为t （秒）．（1）当点M 与点B 重合时，求t 的值；（2）当t 为何值时，APQ 与BMF 全等；（3）求S 与t 的函数关系式；（4）以线段PQ 为边，在PQ 右侧作等边三角形PQE ，当24t ≤≤时，求点E 运动路径的长．【答案】（1）2t =（2）4t =或43t =（3）())22330283248t t S t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩（4【解析】【分析】（1）画出图形，根据30°直角三角形求解即可；（2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；（3）利用面积公式计算即可，需要根据M 在B 点左边和右边分类讨论；（4）先确定E 点的运动轨迹是一条直线，再根据24t ≤≤求点E 运动路径的长．【小问1详解】M 与B 重合时，∵60A ∠=︒，∴122PA AB ==，∴2t =.【小问2详解】①当02t ≤≤时，∵2AM t =，∴42BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴42t t =-，∴43t =.②当24t <≤，∵2AM t =，∴24BM t =-，∵APQ BMF △≌△，∴AP BM =，∴24t t =-，∴4t =.∴4t =或43t =.【小问3详解】①当02t ≤≤时，32PQ t =，∴32MQ t =，∴2338PQM S S t ==△.②当24t <≤时，∵2BF t =-，)2MF t =-，∴23(2)2BFM S t =-△，∴238PQM BFM S S S t =-=-+-△△，∴22,028248t t S t t ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩.【小问4详解】连接AE.∵PQE V 为正三角形，∴32PE t =，在Rt △APE中，32tan 2t PE PAE PA t ∠===，∴PAE ∠为定值.∴E的运动轨迹为直线，72AE t ==，当2t =时AE =，当4t =时=AE ∴E的运动路径长为-=【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30°直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．。
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【数学竞赛】2022年湖南省衡阳市衡阳县九年级五科联赛数
学试题（含答案）
数学试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列等式中、不成立的是（
）A．B．C．D．2．在下列各数中是无理数的有（）﹣0.111…，，，3π，3.1415926，2.010101…（相邻两个0
之间有1个1），76.01020304050607…，．A．3个B．4个C．5个D．6个3．图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1．∠AOB＝α，则OC
2的值为（）A．1B．sin2α+1C．1D．cos2α+14．如图，已知△ABC面积为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三
角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2022个三角形的面积是（）A．B．C．D．5．如图，正方形A
BCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（）A．3B．4C．5D．66．分式可取的最大值为（）A．4B．5C．6D．7二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
7．如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的.（多选）A．∠E＝∠FB．EC＝BFC．AB＝CDD．AB＝BC8．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示．根据图象所提供的信息，其中不正确的有.（多选）A．甲队挖掘30m
时，用了3hB．挖掘5h时甲队比乙队多挖了6mC．乙队的挖掘
速度总是小于甲队D．开挖后甲、乙两队所挖河渠长度相等时，x＝49．关于
x的方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），则下列结论一定正确的是.（多选）A．mB.C．当m＞0时，2＜x1＜x2＜3D．当m＞0时，x1＜2＜3＜x210．如图，点P在函数y（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上，PC ⊥x轴于点C，交y的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y的图象于点B，当点P在y（x＞0，k＞2，k为常数）的图象上运动时.（多选）A．PA与PB始终相等B．四边形PAOB的面积不会发生变化C．△ODB与△OCA的面积相等D.三、填空题：本题共4小题，每小
题4分，共16分。
11．若y，则y的最小值是．12．满足不等式m的整数m的个数是．13．已知（x2﹣x﹣1）x+2
＝1，则x＝．14．在平面直角坐标系内有两点A，B，其坐标为（1，﹣1），B（﹣2，4），点M为x轴上的一个动点，若要使MB ﹣MA的值最大，则点M的坐标为．四、解答题：本题共6小题，共64分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中m是方程x2+3x+1＝0的根．16．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种
进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+50
0．（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那
么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，
那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
17．概念学习规定：求若干个相同的实数（均不为0）的除法运算叫做除方，如2÷
2÷2，类比实数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，一般地，把n个a（a≠0）相除记作a?，读作“a的圈n次方
”．初步探究计算：（1）2③；（2）（）③．深入思考我们知道，实数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，实数的
除方也可以按照下面的方法转化为乘方运算，例如：2③＝2÷2÷2÷2÷2＝2（）3．参考上面的方法，完成下列各题：（3）归纳猜想：将
一个非零实数a的圈n次方写成幕的形式等于．运用：已知：（52）?＝5﹣n，求n的值．（4）下列有关除方运算，正确的说法有．①任何非零实数的圈2次方都等于1；②对于任意大于或等于2的正整数n，1的圈n次方都是1；③0的圈n次方（n≥2）都是0；④
负数的圈偶次方结果是正数，负数的圈奇数次方结果是负数．18．已知：如图，△ABC中ACAB，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：
CD⊥AC．19．在衡阳县某学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行
最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名．
（1）求出5班和6班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺
赛中5班不与6班对决的概率．20．如图1，抛物线y＝x2﹣4mx+4m2+2m﹣4（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣4．（1
）求证：点P在直线l上；（2）若m＜0，直线l与抛物线的另一个交点为Q，与y轴交点为H，Q恰好是线PH的中点，求m的值；（3）如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足MA⊥NA，判断直线MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．。