五科联赛冲刺数学试卷

五科联赛冲刺数学试卷

一、选择题（本大题共８小题，每小题3分，共24分）每小题只有一个正确选项. 1. 下列运算正确的是（ ）

A ．()b a b a +=+--

B ．a a a =-2

3

33

C ．01

=+-a

a D ． 3

23211

=

?

?

?

??÷- 2.下列图形是正方体的表面展开图的是（ ） 3. 如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（ ）

4. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在BC 上，AE BE =， 点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥， 若 2.746AD AF AB ===，，，则CE 的长为（ ） A ．22 B. 2.3 C. 2.5 D. 231-

5.若反比例函数k

y x

=

的图象经过点(3)m m ，，其中0m ≠，则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第三、四象限

6．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C ，若25A =o

∠．则D ∠等于（ ）

A ．ο20

B ．ο30

C ．ο40

D ．ο

50

7.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度数应为（ ）

A ．15或30

B ．30或45

C ．45或60

D ．30或60

8.现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为40 2 厘米的1

4 圆面后得到如图纸片，

且该纸片所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面，则该正方形纸片的边长约为（ ）厘米﹒（不计损耗、重叠，结果精确到1厘米， 2 ≈1.41, 3 ≈1.73） A . 64 B . 67 C . 70 D . 73

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，满分24分）

9.关于x 的方程0)(2

=++b m x a 的解是21-=x ，12=x ，（a,m,b 均为常数，a ≠0），则方程0)2(2

=+++b m x a 的解是 10. 分解因式：2

2x y xy y -+=_ __ 。

11. 两圆的半径分别为3和5，若两圆的公共点不超过1个，圆心距d 的取值范围

是 .

12．如图，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，

//,2,6AB CD AB CD m ==，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 间的距离是______m 。

13．二次函数y=x 2

-2x-3的图象关于原点O （0，0）对称的图象的解析式是_________．

14. 已知在直角ABC 中，∠C=900

，AC=8㎝，BC=6㎝，则⊿ABC 的外接圆半径长为_______㎝，

⊿ABC 的内切圆半径长为_________㎝，⊿ABC 的外心与内心之间的距离为_________㎝。 15.如图，已知圆P 的半径为2，圆心P 在抛物线2

112

y x =

-上运动，当圆P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______ __ 。

A B C D O x y 4 4 O

x y 4 4 B ． O x y 4 4 C ． O x y 4 4

D ．

C D E F A B

C B

D

A

O

第8题

16.已知2

2(1)3(4)8y x y x =-+??????????

→=++向左平移5个单位,向上平移5个单位

， 1155

y y x x =

??????????→=++向左平移5个单位,向上平移5个单位5(5)15,11y x y x y x =+??????????→=+++=+向左平移5个单位,向上平移5个单位即。

那么当点(,)P x y 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆周上的点，则由图可得如下关系式

2225x y +=，现将圆心平移至(5,5)，其它不变，则可得关系式为___ ____。

三、（本大题共3个小题，每题6分，共18分） 17．(本小题满分6分)20

24522+

18．（本小题满分6分）已知a , b 为常数，且三个单项式4xy 2

，axy b

，-5xy 相加得到的和仍然是单项式。那么a 和b 的值可能是多少？说明你的理由。

19．已知01562=+++x x x ，先化简，再求1

)1212(2-÷

-+++x x

x x x 的值．

四、（本大题共2个小题，每小题各8分，共16分）

20．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数)0('

<=x x

k y 的图象相交于A ，B 两点，且与坐标轴的交点为)0,6(-，)6,0(，点B 的横坐标为4-， （1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOB 的面积；

（3）直接写出不等式x

k b kx '>+的解．

21．小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象；若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？

（2）如果用A ，B ，C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A 1，B 1，C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图（树形图）法

y

x 6

6- O A

B

B

C

A

加以说明；

（3）你认为这个游戏对小刚和小明公平吗？为什么？

五、（本大题共2个小题，每小题各9分，共18分）

22.学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.

类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sad

A =

BC

AB

=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60?的值为（ ）A.

1

2

3 D. 2

（2）对于0180A ?<

sin 5

α=

，其中α为锐角，试求sad α的值.

23．某厂工人小宋某月工作部分信息如下。

信息一：工作时间：每天上午8:00—12:00，下午14:00—16:00，每月20天 信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品件数不少于60件。生产产

品的件数与所用时间之间的关系如下表：

生产甲产品数（件）

生产乙产品数（件）

所用时间（分）

10 10 350 30

20

850

信息三：按件数计酬，每生产一件甲产品可得1.5元，每生产一件乙产品可得2.8元。 信息四：小宋工作时两种产品不能同时进行生产。 根据以上信息回答下列问题：

（1） 小宋每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少时间？ （2） 小宋该月最多能得多少元？此时生产的甲、乙两种产品分别是多少件？

六、（本大题共2个小题，每小题各10分，共20分） 24．（满分9分）将军家俱市场现有大批如图所示的边角余料 (单位：cm)

且方案如下：

（1）三角形中至少有一边长为10 cm ； （2）三角形中至少有一边上的高为

25. 已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC=90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ．E ，连结AD 、BD 、BE 。

(1)在不添加．．．．其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形。 _____________________，______________________ 。

(2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线2

23(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点。

①写出顶点B 的坐标（用a 的代数式表示）___________。 ②求抛物线的解析式。

③在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 做PN ⊥x 轴于N ，使得△PAN 与

△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

x

参考答案

一、DCCBBCDA

二、9．x 1=-4,x 2 =-1 10．2

(1)y x - 11．820≥≤≤d d 或

12.

13. Y=_-x 2

-2x+3（写成顶点式也对） 14. 5，2，5 15

、

22)）或 16、22

(5)(5)25x y -+-=

17.

解：原式

2

22?= ?

?

1

22

=+

=22

-

18. 解：1.若axy b

与-5xy 为同类项，

∴b=1 ∵axy

b +-5xy=0 ∴a=5

∴???==1

5b a 2. 若 5xy 2与axy b 为同类项， ∴b=2∵axy b +4xy 2=0 ∴a=-5 ∴??

?=-=2

5

b a

19. 解：0562

=++x x

1,50)1)(5(21-=-=∴=++x x x x 经检验，12-=x 是增根，舍去，所以5-=x 是该方程

的解． 1)1212(

2-÷-+++x x x x x =x x x x x x x 112)1)(1(222-?

??

????-++-+-=131)1)(1(3+=-?-+x x x x x x 将5-=x 代入，原式=4

3153-=+-

20. 解：（1）设一次函数解析式为b kx y +=，根据与坐标轴的交点坐标

可求得??

?==6

1b k ，6+=∴x y )2,4(-∴B ，x y 8

-=∴

（2）可得)4,2(-A ,626266=?-÷?=?AOB S (3) 24-<<-x 21. 解：（1）P （一次出牌小刚出“象”牌）=

1

3

； （1分） （2）树状图：（3分） 或列表：

由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．

所以，P （一次出牌小刚胜小明）=

1

3

． （3）由树状图（树形图）或列表可求得：P （一次出牌小明胜小刚）=

13

． P （一次出牌小刚胜小明）= P （一次出牌小明胜小刚），即两人获胜的概率相等，

第20题

B

C

D

H

这个游戏对小刚和小明公平．

22. （1）B ； （2）02sadA <<； (3) 如图，在△ABC 中，∠ACB =90?，sin ∠

A 3

5

=

.在AB 上取点D ，使AD =AC ， 作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k ，AB =5k ， 则AD = AC

k ，

又在△ADH 中，∠AHD =90?，sin ∠A 3

5

=. ∴12sin 5DH AD A k

=?∠=

，165

AH k ==. 则在△CDH 中，4

5

CH AC

AH k =-=

，5CD k ==.于是在△ACD 中，AD =

AC =4k ，CD =

.由正对定义可得：sadA =CD

AD =sad α=

23.（1）设小宋每生产一件甲种产品需要x 分，每生产一件乙种产品需要y 分

???=+=+85020303501010y x y x 解得??

?==20

15

y x 答：小宋每生产一件甲种产品需要15分，每生产一件乙种产品需要20分.

（2） 设小宋该月生产甲种产品a 件，收入y 元

8.220

15601605.1?-?+

=a

a y （a ≥60） （2分）

=13446.0+-a ∵k=-0.6<0 ∴y 随着a 的增大而减小 （1分） ∴当a=60时，y 取得最大值=1308， （1分） 此时生产的乙种产品435件 （1分） 24.

12=48 cm 2； 如图（2）BD=AB=10 cm 时，S ABD ?=

1082

1

??=40cm 2 如图（3）线段AB 的垂直平分线交BC 延长线于点D ，则AB=10，设DC=x ，则AD=BD=6+x, 在R t △ACD 中325637,37,)6(82

2

2

=+==

+=+BD x x x ，S ABD ?=832521??=

3

100

； 答：可以设计出面积分别为48 cm 2、40cm 2和3

100 cm 2

的等腰三角形

25.（1）△OAD ∽△CDB. △ADB ∽△ECB （2）①（1，－4a ）

②∵△OAD ∽△CDB

∴

DC CB

OA OD

=

∵ax 2－2ax －3a=0，可得A （3，0） 又OC=－4a ，OD=－3a ，CD=－a ，CB=1，

∴

3

31a a -=- ∴12

=a ∵0

③存在，设P （x ，－x 2+2x+3）

∵△PAN 与△OAD 相似，且△OAD 为等腰三角形 ∴PN=AN

A 1

B 1

C 1 A

A 1

B 1

C 1 B A 1 B 1 C 1 C

开始

小刚

小明

A

B

D

8cm

C

当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x1=－2，x2=3(舍去)，

∴P（－2，－5）………………………………………………………………………2分当x>0（x>3）时，x－3= －(－x2+2x+3)，x1=0，x2=3(都不合题意舍去) …………1分符合条件的点P为（－2，－5）