数学中的灵敏度分析
2.灵敏度分析1
8
b + β1r ∆br 1 ⋮ = B−1b + βr ∆br = bi + βir ∆br ≥ 0 ⋮ bm + βm ∆br r
bi 即， + βir∆br ≥ 0
则， ir∆br ≥ −bi (i = 1,2,⋯, m) β
不 组得： ： 解 等式 组得
σ
12
解：
B−1
2 15 1 = − 15 4 − 15
T 1
1 15 8 15 13 − 15 −
0 0 1
β
2 1 4 ,− ,− ) =( 15 15 15
β
T 2
1 8 13 , ,− ) = (− 15 15 15
β
T 3
= (0,0,1)
= B−1(b + λb* ) λ = B−1b + B−1 − λ
λ 3 = 1 + − 1 − 1 − λ 2 1
= 1 + 4λ ≥ 0 2 − 2λ 1 所以， 所以， ≤ λ ≤ 1 − 4
(1) 非基变量目标函数系数 的改变 (2) 基变量目标函数系数的 改变
17
(1) 非基变量目标函数系数 的改变
系数 c 若非基变量的目标函数 c j变为 j = c j + ∆c j x σ' 则， j的检验数 j
'
σ j = c j − CBB−1Pj = c j + ∆c j − CBB−1Pj = σ j + ∆c j 若 讨论： 讨论： σ ′j > 0 ⇒ ∆c j > −σ j 原最优解改变
灵敏度分析5种实例
Maxz=2x1+3X2+4x3x1+2X2+x i+x4=3S.t2x l-x2+3x3-x5=4x1,∙∙∙,x5≥0基变量xl=2,x2=3；非基变量x3=x4=x5=O;由约束条件得基变量用非基变量表示为p=⅛-5⅞-⅛^4÷y⅞[j⅛=f+∣Λ⅛-⅜X4-⅜X5目标函数中基变量用非基变量代入后Z=14-fx3-fx4-fx5o（1）当目标函数中系数Ci变化时（只要考虑最优性条件）：设目标函数变为MaX z,=cx l+3X2+4x3目标函数中基变量用非基变量代入2=⅛c+f-（yC-^）x3-（y+fc）x4-（⅜-jc）%5所以如果“-等，∣+⅛C,∣-⅜C≥0,则符合最优解判别条件，所以目标函数最优性不变z=∙⅛c+/由“一等，f+⅛c,£一"之0解得最优性不变的C的范围。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（2）当约束条件右边常数2变化时（先考虑可行性条件看最优基是否变化，再考虑）：x1+2X2+x3+x4=b设约束条件变为2X1-X2+3X3-X5=4X I,∙∙∙,Λ5≥0先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得为4,JX2=2^-4根据可行性条件，必须和％≥o,解得匕的范围，即在此范围内最优基不变（最优解可能变化，要另外去求）。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
（3）当约束条件中价值系数传变化时（先看可行性条件看最优基是否变化,再考虑最优值）：a ll x l+Ix1+x3+X4=3设约束条件变为，2X1-X2+3X3-X5=4x1,∙∙∙,x5≥0Ir=5先假设基没有变，所以令非基变量x3=x4=x5=0代入约束条件解得解得为｛,^v_2q∣-36(x21Il根据可行性条件，必须%,马≥0,解得。
”的范围，即在此范围内最优基不变(最优解可能变化，要另外去求)。
否则，即如果超出该范围，则重新用单纯形法求解。
灵敏度分析
x1 x2 x3 x4 x5 bi x1 1 0 0 2 1 4
x2 0 1 1 1 1 8
f 0 0 2 2 3 84
1.价值系数cj变化的分析
•cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动。
•cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下， 分析cj 允许的变动范围cj •cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况：
2解.：分由析最优b2单=1纯8和形b表2=可2知4时：B，1最优 基21和最11优解的变化。
当b1=16时， b 1260
B1b
2 1
111260 142
最优单纯形表变为：
x1 x2 x3 x4 x1 1 0 0 2 x2 0 1 1 1
x1 x2 x3 x4 x5 B-1b x3 1 0 1 2 -1 4 x2 0 1 0 -1 1 8 -f -1 0 0 -4 -2 -88
3.2 增加新约束条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变。
2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条 件加入最优单纯形表，并变换为标准型。
bi
0 2/3 1/3 1 4/3
1 1/3 2/3 0 28/3
2 8/3 8/3 0 85.33
新的最优解为X=(0 28/3 0 0 0 4/3)T
2.约束条件右端项bi变化的分析(2)
在实例1中:
1. 分析b1在什么范围内变化时，最优基不变。 2. 分析b2在什么范围内变化时，最优基不变。 分析使最优基保持不变的b1的范围:
B1b'
2 1
11
b1 20
2b1 b1
7_灵敏度分析
0 8 6 8 x3 x2 σ x1 x2 σ 7 5 4 4 7/4 1/4 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0
2.基变量xj的价值系数cj的变化
1 －1/4 7/(7/4)=4 0 1/4 5/(1/4)=20 0 －2 4/7 －1/7 2/7 －1/7 －16/7 －10/7
当a‘rj<0时，有∆cr≤σj / a‘rj； 当a‘rj>0时，有∆cr≥σj / a‘rj； 因此，∆c允许变化范围是 σj σj ︱ a‘rj<0 . a‘rj
或利用公式求解 σj max ︱a‘rj >0 ≤ ∆cr ≤ min j a‘rj
j
σj ︱ a‘rj<0 . a‘rj
Max{-5.2/0.16}≤ ∆c2≤ min{-13.6/(-0.12)} Max{-32.5}≤ ∆c2≤ min{113.33} 即： -32.5≤∆c2≤113.33
0 Z 0 Ⅱ 0 18 Z 0 Ⅲ 10 18 Z x3 x1 x2 x3 x4 x2 x5 150 0 11 0 10 30 -5 4 0 5 4 0 /7 5 0 /7 2 0 0 /7 - 4 1 0 0 /7 1 10 2 3 /5 7/ 5* 1 /5 3 2 /5 0 1 0 0 5* 18 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 - 2 3 /7 5 /7 - 1 /7 - 3 2 /7 1 0 - 2 /5 - 3 /5 1 /5 1 8 /5 11 /7 - 3 /7 2 /7 - 6 /7
灵敏度分析与全局敏感度分析比较研究论文素材
灵敏度分析与全局敏感度分析比较研究论文素材在数学建模、系统分析、风险评估等领域中，灵敏度分析和全局敏感度分析是两个常用的方法。
本文将对这两种分析方法进行比较研究，探讨其优缺点及适用场景，为相关领域的研究者提供参考。
一、灵敏度分析灵敏度分析是一种用来评估模型中参数对输出结果的影响程度的方法。
它通过改变模型中的一个或多个参数，并观察模型输出结果的变化，来衡量参数对结果的敏感程度。
灵敏度分析可分为局部敏感度分析和全局敏感度分析两种方法，下面将重点介绍局部敏感度分析。
1. 局部敏感度分析局部敏感度分析是在给定某一特定点上，对各个参数的灵敏度进行分析。
它的核心思想是通过改变参数的值，并观察输出结果的变化，来判断参数对结果的影响程度。
常用的方法包括参数敏感度指标、敏感度曲线等。
2. 局部敏感度分析的优点和适用场景局部敏感度分析的优点是计算简单、易于理解，并且适用于大多数情况下。
它可以帮助研究者了解模型中各个参数对结果的影响程度，进行参数的优化和调整。
适用场景包括模型初步建立阶段、局部问题分析以及参数敏感度分析等。
二、全局敏感度分析全局敏感度分析是在整个参数空间范围内，对各个参数的灵敏度进行分析。
与局部敏感度分析不同的是，全局敏感度分析考虑了参数之间的相互作用和不确定性，能够更全面地评估参数对模型输出结果的影响。
1. 全局敏感度分析方法全局敏感度分析方法包括元胞自动机方法、Monte Carlo方法、Sobol分析等。
其中，Sobol分析是一种较为常用的方法，可用于评估参数对输出的主效应和交互效应。
2. 全局敏感度分析的优点和适用场景全局敏感度分析的优点是能够综合考虑参数之间的相互作用，更全面地评估参数对输出结果的影响。
它可以帮助研究者了解参数之间的关联性，提高模型的可信度。
适用于参数空间较大、参数之间相互关联较强的情况下。
三、灵敏度分析与全局敏感度分析的比较灵敏度分析和全局敏感度分析都可以评估参数对输出结果的影响程度，但在方法、计算复杂度和适用场景上存在差异。
灵敏度分析
灵敏度分析1. 简介灵敏度分析（Sensitivity Analysis），又称为参数分析，是指在数学模型或系统模型中，通过改变各种输入参数，分析其对模型输出结果的影响程度的一种方法。
灵敏度分析可以帮助我们了解模型的稳定性、可靠性以及输入因素对输出的影响程度，从而帮助我们做出科学合理的决策。
在实际应用中，很多决策问题都涉及到多个不确定的参数，这些参数对于决策结果的影响程度可能不同。
灵敏度分析能够帮助我们确定哪些参数对决策结果更为敏感，哪些参数对决策结果影响较小，从而帮助我们确定关键参数，并为决策提供支持。
2. 灵敏度分析方法2.1 单参数灵敏度分析单参数灵敏度分析是指在数学模型中，依次改变一个输入参数，而其他参数保持恒定，观察模型输出结果的变化情况。
通过改变一个参数的值，我们可以分析该参数对模型输出结果的影响程度。
常用的单参数灵敏度分析方法有：•参数敏感度指标（Parameter Sensitivity Index，PSI）：PSI用于衡量输入参数的变化对输出结果的影响程度。
常见的PSI指标有：绝对敏感度、相对敏感度、弹性系数等。
•参数敏感度图（Parameter Sensitivity Plot）：通过绘制参数敏感度图，可以直观地看出输入参数对输出结果的影响程度。
常见的参数敏感度图有：Tornado图、散点图等。
•分析输出结果的极值情况：通过改变参数的值，观察模型输出结果的极值情况，可以分析参数对极值情况的敏感程度。
2.2 多参数灵敏度分析多参数灵敏度分析是指同时改变多个输入参数，观察模型输出结果的变化情况。
多参数灵敏度分析可以帮助我们分析多个参数之间的相互作用，以及各个参数对输出结果的综合影响。
常用的多参数灵敏度分析方法有：•流量排序法（Flow Sort）：通过将参数的取值按照大小进行排序，逐步改变参数取值的范围，观察输出结果的变化情况。
可以帮助我们确定哪些参数对输出结果的影响更大。
•剥离法（Perturbation）：通过逐个改变参数的取值，观察输出结果的变化情况。
《灵敏度分析》课件1-优质公开课-人教B版选修4-9精品
所以，在0.7与0.3之间一定存在一点P，当适销状态 的概率等于P时，新建生产线方案与改造原生产线方案 的期望效益值相等。P称为转移概率 500P+(1-P)(-200)=300P+(1-P)(-100) P＝0.33 所以，当P>0.33时，新建生产线（B1）为最佳方案； 当P<0.33时，改造原生现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
第五讲《灵敏度分析》
数学人教B版高中选修4-9《风险与决策》
灵敏度分析
对于风险型决策问题，其各个方案的期望益损值是在 对状态概率预测的基础上求得的。由于状态概率的预测会 受到许多不可控因素的影响，因而基于状态概率预测结果 的期望益损值也不可能同实际完全一致，会产生一定的误 差。 这样，就必须对可能产生的数据变动是否会影响最佳 决策方案的选择进行分析，这就是灵敏度分析。
The End
市场销售状态 适销θ 1 滞销θ 0.7 500 300 0.3 -200 -100 期望效益值 E (B i ) 290 180
状态 状态概率 各方案的效益 新建生产线B 1 /万元 改造原生产线B 2
2
解:(1)以最大期望效益值为准则确定最佳方案。 E(A1)＝max{E(A1),E(A2)}=290万元， 所以，新建生产线（B1）为最佳方案。 (2)灵敏度分析。当考虑市场销售状态中适销的概率 由0.7变为0.3时，则两个方案的期望效益值的变化为 E(B1)＝1现有两种方案可供选择：一是新 建生产线；二是改造生产线。该企业管理者经过研究，运用期 望值决策法编制出决策分析表（表9.2.4）。由于市场情况极 其复杂，它受许多不可控因素的影响，因而销售状态的概率可 能会发生变化。试针对这种情况，进行灵敏度分析。
灵敏度分析
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
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因此，假设条件成为了建模过程中一个影响模型好坏的影响因素，灵敏度分析就是在模型建立后，对假设条件变化，检验模型的优劣性
一般来说Lingo做出来的灵敏度分析能够达到一个比较理想的程度，不过还是要根据模型本身来研究，建议你在开始之前先学习一下《数值分析》，对建模的灵敏度分析很有用哈，再根据《数值分析》的方法，对M-C（蒙特卡罗）方法进行灵敏度分析，你会很快掌握~~~
随着现代工业的迅速发展，对工业设备的精度提出了更高的要求。
但是，由于制造误差、轴承间隙、弹性变形等因素的影响，不可避免地会对设备的精度产生一定的影响。
因此我们就有必要建立起一个数学模型并且应用恰当的分析方法来研究上述的各种误差对精度的影响关系，找出影响最大的因素，作为我们在实际的制造和装配过程中进行误差分配，降低生产成本，提高传动精度的理论依据。
这里就可以采用灵敏度分析的方法。
它主要包括局部灵敏度分析方法和全局灵敏度分析方法。
一、局部灵敏度分析方法
局部法主要分析因素对模型的局部影响（如某点）。
局部法可以得到参数对输出的梯度，这一数值是许多领域研究中所需要的重要数据。
局部法主要应用于数学表达式比较简单，灵敏度微分方程较易推出，不确定因素较少的系统模型中。
主要包括直接求导法、有限差分法、格林函数法。
1．直接求导法
对于输入因素个数少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推导的系统或模型，直接法是一种简单快速的灵敏度分析方法。
时变（非静止）系统可以用微分或微分-代数方程进行描述。
假设要考虑的初值问题是
，（1）
同样，代表n维输出变量，代表m维输入因素。
代表初值数组。
式（1）对输入因素微分得到下述的灵敏度微分方程
（2）
或以矩阵形式表示为（3）
式中，是系统代数-微分方程右边对系统输出变量的导数（可称为雅可比矩阵），是对输入因素的导数，也可称为参数雅可比。
微分方程（2）的初始条件为零向量。
上述的直接法建立在微分方程（2）的基础上，要得到其灵敏度矩阵S的解，需要先求得矩阵J和F的值。
而矩阵的值又是由系统变量的真实值确定，因此，需同时或预先求得（1）方程的解。
对于非时变（静止）系统，将其代数方程，式中，Y是n维输出变量，X是m维输入因素。
令表示隐性代数方程式的解。
对输入因素求导数，得到下面的灵敏度公式：
（4）
式中，称为静态灵敏度矩阵，和由静态点的变量值计算。
对于变量少、结构不复杂、灵敏度微分方程较易推出的系统，直接法是一个简单快速的灵敏度分析方法。
2．有限差分法
局部灵敏度最简单的计算方法是有限差分法，其基本做法是使设计变量有一个微小的摄动，用差分格式来计算输出对设计变量的近似导数。
其中比较简单的是采用向前差分格式
（5）
式中，截断误差与同阶。
有时采用更为精确的中心差分公式
（6）
而，
中心差分法的截断误差与同阶。
虽然中心差分公式比向前差分公式精度高，但在求解每一个导数时需要求一次函数值，这意味着多做一次结构分析，增加了计算工作量。
3．格林函数法
微分方程（1）关于初始值的方程为
（7）
上式中，，分别表示摄动时间和观测时间，表示灵敏度矩阵，即（8）
格林函数法的基本思路是，要求得灵敏度矩阵，就要借助式（2）或式（2）非齐次线性微分方程求得通解，而非齐次微分方程的通解是由其对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分组成的，其中齐次方程的通解可由解式（6）得到，而非齐次方程的特解由
（9）
得到，上式中的被称为格林函数，基于式（8）的解的数值方法称为格林函数法。
直接求导法的计算量随着参数的增加成线性增加，而格林函数的计算量与变量数成比例关系。
二、全局灵敏度分析方法
灵敏度分析方法有以下特点：⑴它研究的是各因素对模型的全局影响（不仅是在某点处，而是在不同位置处）；⑵因素的范围可扩展到因素的整个定义域，各因素可同时变化，能够对非线性、非叠加、非单调模型进行研究和分析。
目前，最常见的全局灵敏度分析方法是Sobol’法。
Sobol’灵敏度分析方法是一种基于方差的蒙特卡罗法。
定义一个维的单元体作为输入因素的空间域，表示为
（10）
Sobol’方法的中心思想是将函数分解为子项之和
（11）
上式右端共有个子项，且有多种分解方法。
现在普遍应用的是1990年Sobol’提出的具有一般代表性的基于多重积分的分解方法。
该分解方法的特点如下：（1）为常数项，各子项对其所包含的任一因素的积分为0
（12）
（2）各子项之间正交。
即如果：
，则
（13）
（3）式（11）中分解形式唯一，且各阶子项可由多重积分求得。
如：
（14）
（15）
（16）
式（15）及（16）中，及分别表示除及除与之外的其它输入因素，类似地可求其余的高阶子项。
根据统计学的知识，模型输出的总方差为
（17）
现将式（11）中各阶子项的方差称为各阶偏方差，即阶偏方差
（18）
把式（11）平方并在整个内积分，结合式（13）可得总方差与各阶偏方差的关系：总方差等于各阶偏方差之和。
即
（19）
将各阶灵敏度系数定义为各阶偏方差与总方差的比值。
s阶灵敏度定义为（20）
这里，称为因素的一阶灵敏度系数，表示对输出的主要影响；为二阶灵敏度系数，表示两因素之间的交叉影响；依此类推，为阶灵敏度，表示个因素之间的交叉影响。
由式（19）可知：
（21）
在Sobol’法中，各积分可由蒙特卡罗法求出。
因此，及可通过蒙特卡罗估计得出
（22）
（23）
（24）
三、数例分析
例如一个非单调模型由下式表示
式中、服从以下分布，，。
用Sobol’法方法分析各参数对的灵敏度。
计算过程如下：首先可以由乘同余法产生均匀分布的为随机数，根据这些伪随机数生成各参数在均匀分布的随机数。
由Latin超立方采样获得随机序列后，代入进行统计分析，最后可以得到参数和对的灵敏度分别为0.202和
0.769。
这表明的变化对的影响较大。
四、结论
1．局部灵敏度和全局灵敏度分析方法是两种比较常用的数学分析方法，在对结构进行灵敏度分析时起着重要作用。
2．当所研究模型是非线性的或者影响输入变量的不确定性处于不同数量级时，局部法可能不能够提供有效的分析结果，但局部法具有较高的计算效率，可用于模型快速的前期研究中。
3．全局法不受模型限制，因素变动范围可扩展到因素的整个定义域，它在灵敏度分析时可以提供比较全面的分析结果，因而愈来愈广泛地在灵敏度分析方面得到运用。
（参考文献略）。