微分方程一

x Ce 0.02 t
第二节 一阶微分方程
初始条件：t=0, x=10 则： 0.02t 得 C=0
x 10e
当 t=50时，得
x 10e 3.679 （千克）
1
第二节 一阶微分方程
二、一阶齐次方程
定义 如果一阶微分方程，可化为 称这微分方程为齐次微分方程。 例： 考察方程 p119
y P( x) y Q( x)
'
三、一阶线性微分方程
线性齐次(homogeneous)方程 :
y P( x) y 0
'
Q(x)=0
线性非齐次(inhomogeneous)方程：
y P( x) y Q( x)
'
齐次方程的解：分离变量得
三、一阶线性微分方程
dy p( x)dx ln y p( x)dx C1 y y C1e
2
代入原方程，有
x6 C ( x) x ___C ( x) C 6
' 5
三、一阶线性微分方程
1 C 4 则通解为： y x 2 6 x
由 y
x 1
1 C 0 6
1 4 特解： y x 6
三、一阶线性微分方程
四、伯努利方程
定义
dy P ( x) y Q ( x) y n (n 0,1) dx
y y' f ( ) x
du du dx ux f (u ) dx f (u ) u x
两边积分，用u=y/x代入。 例：例6-7、6-8、6-9
三、一阶线性微分方程
定义：一阶微分方程中的未知函数y以及 它的导数y都是一次幂，称为一阶线性微分 方程。(linear first-order differential equation) 一般形式：
例：p123 例6-12
三、一阶线性微分方程
dy y 例： a (ln x ) y 2 dx x dz 1 1 令z y z a ln x dx x a 通解：z x[C (ln x ) 2 ] 2 a yx[C (ln x ) 2 ] 1 2
三、一阶线性微分方程
t
___ 初始 _ M 0 C
M M 0e
t
第二节 一阶微分方程
解：设t 时刻溶液中的葡萄糖含量为x，则
在t,t+dt内溶液中葡萄糖含量的变化为 葡萄糖含量的增量=流进的葡萄糖量-流 出的葡萄糖量 葡萄糖的增量为dx，流 进的葡萄糖量为零。t 时刻的浓度x/100 为dt 内的浓度，则流出的葡萄糖量为 x/100· 2dt, 微分方程为 dx 0.02 xdt ln x 0.02t ln C
的切线斜率为xln(1+x ),求f(x).
dy 1 2 解： x ln(1 x ) ___ y x 0 dx 2 1 y x ln(1 x 2 )dx (1 x 2 )[ln(1 x 2 ) 1] C 2 初始 C 0 1 f ( x) (1 x 2 )[ln(1 x 2 ) 1] 2
x x0 , y y0 , y y1
'
或y
x x0
y0 , y
'
x x0
y1
第二节 一阶微分方程
一般形式
dy F ( x, y ) dx
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
dy dy f ( x) g ( y ) f ( x)dx 如果方程形式为： dx g ( y)
y C
三、一阶线性微分方程
例： 求微分方程的通解 y ' ytgx cos x
y ( x C ) cos x
例： 通解为 y Ce x 的微分方程为：
x
y ' Ce x 1 y x 1 y y 1 x
'
三、一阶线性微分方程
，其上任一点(x,y) 例： 曲线y=f(x)过点(0,-1/2) 2
三、一阶线性微分方程
y e
u ( x ) p ( x ) dx p ( x ) dx
e
y e
u ( x ) p ( x ) dx
e
记作
y c ( x )e
设想方程的解有形式： y
p ( x ) dx c ( x )e
p ( x ) dx dx Q( x)e
y x 2 C，，满足x 1, y 2 D 1 y x 2 1
例2：在理想环境中，某细菌的增殖速率与它的 即时存在量成正比。试建立细菌在时刻的存在 量满足的微分方程。
dN (t ) kN (t ) dt
第一节 基本概念
例3：自由落体问题
d 2s d 2s ds m 2 mg 2 g d ( ) gdt dt dt dt ds 1 2 gt C1 ds ( gt C1 )dt s gt C1t C2 dt 2 ds t 0, s 0, 0 C1 0, C2 0 dt 1 2 s gt 2
y Ce
p ( x ) dx
e
p ( x ) dx
三、一阶线性微分方程
非齐次方程的通解由两部分组成： 第一部分是对应齐次方程的通解；第二 部分是原来非齐次方程的一个特解。
例：p122 例6-10、6-11
三、一阶线性微分方程
dy x2 求方程的通解 2 xy 2 xe dx dy 先求齐次方程的通解 2 xy 0 dx
F ( x, y, y y ) 0
' n
第一节 基本概念
微分方程中未知函数的导数 （或微分） 的最高阶数，叫微分方程的阶。
(order)
三、常微分方程的解 定义2：满足微分方程的函数，叫作微分 方程的解。(solution)
第一节 基本概念
(1)百度文库
通解：含有独立的任意常数、且 个数与微分方程的阶数相同的解。
两边积分 ：

dy g ( y)

f ( x) dx
第二节 一阶微分方程
例：p118 例6-4—例6-6
例1： 求微分方程的通解
dy x (1 y 2 ) dx
dy 解：分离变量得— xdx 2 1 y
1 2 arctgy x C 两边积分： 2
1 2 y tg ( x C ) 通解为： 2
1 2 y y x 求方程通解 x
'
dy 1 解：齐次 y 0 y Cx dx x
非齐次
y C( x) x y C ( x) x C( x)
' '
三、一阶线性微分方程
1 2 C ( x) x C ( x) x C 2
'
通解： y ( 1 x 2 C ) x
称伯努利
（Bernoulli）方程。
n 0或n 1 线性微分方程；
n 0, n 1 非线性微分方程
三、一阶线性微分方程
dz n dy (1 n) y dx dx
令z y
1 n
y n dz n n P( x) zy Q( x) y 1 n dx dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx
高等数学
高等数学
第六章 微分方程
第一节 基本概念
一、实例 例6-1、6-2
例 1 ：一曲线通过点（ 1 ， 2 ），曲线上任意 点的切线斜率为2x，求曲线方程。 解：设所求曲线为 y= f(x), 则 dy 2 x dy 2 xdx dy 2 xdx dx
第一节 基本概念
dy 1 dx 例： x y 令x y u dx x y dy dy du du u 1 1 u ln u 1 x C dx dx dx u y ln x y 1 C x C1e y 1____ C1 e
例 1：
dy 分离变量，得 2 xdx y
积分得 y Ce
x2
三、一阶线性微分方程
再用常数变易法解。设
y C ( x )e dy ' x2 x2 C ( x)e 2 xC( x)e 代入方程有 dx
x2
C ( x) 2x ____C( x) x C
解：设在时刻 t的质量是 M=M(t)，衰变速度是d M/dt 则
dM dM M dt dt M
t C1
ln M t C1 __ M e
e e
C1
t
第二节 一阶微分方程
M Ce
例 4：
一容器内有100升葡萄糖水，其中含葡萄糖10千克，今 以2升/分的速度将净水注入，并以同样速度使葡萄糖水 流出。有一搅拌器不停的工作，可以认为溶液的浓度 是均匀的。求（1）t时刻的葡萄糖含量（2）50分钟后 的葡萄糖的含量。
(general solution) (2) 特解：在通解中，利用已知条件 （或初始条件 initial condition）确
定任意常数后， 所得的解。 （particular solution）
第一节 基本概念
一般一阶微分方程初始条件：
x x0时y y0或y
x x0
y0
二阶初始条件：
' 2
方程通解： y ( x C)e
2
x2
x2
用公式解：P( x) 2x ___Q( x) 2xe
结果相同
三、一阶线性微分方程
例 2： 求方程通解
y y cos x e
'
sin x
dy dy 解：齐次 y cos x 0 cos xdx ln y sin x ln c dx y
2
例 4：
求方程满足初始条件的特解
dy 1 4 x 2 y x ___ y x 1 dx 6
三、一阶线性微分方程
标准形式： dy 2 y x 3
dx x
dy 2 dy 2 齐次方程： y 0 ___ 分离变量得 dx dx x y x
通解： y Cx 2 常数变易，设原方程的解为： y C( x) x
三、一阶线性微分方程
例： 求微分方程的通解
( y x3 )dx 2 xdy 0
dy 1 x2 解： y dx 2 x 2 1 5 1 3 2 y x ( x C ) x C 5 5
齐次通解： y Ce sin x
非齐次 设 y C( x)esin x y ' C ' ( x)esin x cos xC( x)esin x
C ( x)e
'
sin x
e
sin x
C( x) x C
三、一阶线性微分方程
方程通解： y ( x C)esin x Cesin x xesin x 例3：
第二节 一阶微分方程
例 2：
求微分方程满足初始x=2,y=4条件的特解
分离变量：ydy=-xdx 两边积分得：
2
dx dy 0 y x
y x C 2 2
2
当X=2时,y=4，得 C=10
特解： x 2
y 20
2
第二节 一阶微分方程
例 3：
由物理学知道，放射性元素铀在某时刻的衰变速 度与该时刻铀的质量 M成正比。已知 t=0时，铀的 质量为 M，求在衰变过程中铀的质量随时间变化 的规律。
第一节 基本概念
二、常微分方程 定义 1 ：含有自变量、未知函数和未 知函数的导数（或微分）的方程称 为微分方程。 (Ordinary differential
equation)
第一节 基本概念
常微分方程：未知函数为一元函数的微分 方程。（只有全导数，没有偏导数） 偏微分方程：未知函数为多元函数，出现 偏导数的方程。 本章只讨论常微分方程 一般形式：
p ( x ) dx
y Ce
p ( x ) dx
___ C C1
三、一阶线性微分方程
p ( x ) dx y Ce
非齐次方程的解：常数变易法 (method of variation of constants), 将齐次通解中的 C=C(x).方程变为
dy Q( x) p( x)dx ___ 两边积分 y y 记作 Q( x) ln y dx p( x)dx u ( x) p( x)dx y