数学九年级上册特殊四边形单元测试题(含答案)

第一章单元测试卷

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)

1. 下列说法中，正确的是( C )

A ．相等的角一定是对顶角

B ．四个角都相等的四边形一定是正方形

C ．平行四边形的对角线互相平分

D ．矩形的对角线一定垂直

2. 下列命题中，真命题是(D)

A ．两条对角线垂直的四边形是菱形

B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形

C ．两条对角线相等的四边形是矩形

D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形

3. 菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为(C)

A ．2 B. 3 C ．1 D.12

4. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C)

A ．22.5°角

B ．30°角

C ．45°角

D ．60°角

,第5题图) ,第6题图) ,第7题图)

5. 如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( C )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

6. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别是6 cm ，8 cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是(B)

A.485 cm

B.245 cm

C.125

cm D ．5 3 cm 7. 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE ∥AC ，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是(D)

A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形

B ．若BD ＝CD ，则四边形AEDF 是菱形

C ．若A

D 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形

8. 如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D ) A. 5 B.136 C ．1 D.56

,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)

9. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)

A.12

B.33 C ．1－33

D.2－1 10. 如图，点E 为边长为2的正方形ABCD 的对角线上一点，BE ＝BC ，点P 为CE 上任意一点，PQ

⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于R ，则PQ ＋PR 的值为(D) A.22 B.12 C.32

D. 2 二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)

11. 已知菱形的周长是20 cm ，一条对角线长为8 cm ，则菱形的另一条对角线长为6cm.

12. 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件AB ＝BC(答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可)

13. 如图，点E 为正方形ABCD 外一点，AE ＝AD ，∠ADE ＝75°，则∠AEB ＝30°.

,第13题图) ,第15题图) ,第16

题图)

14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm 和6 cm ，则它的面积是30cm 2.

15. 如图，矩形ABCD 的对角线BD 的中点为O ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，连接OA ，已知AB ＝5，BC ＝12，则四边形ABEO 的周长为20.

16. 矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，

点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，则点E 的坐标为__(3，43

)__． 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)

17. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，∠ADE ＝∠CDF.

(1)求证：AE ＝CF ；

(2)连接DB 交EF 于点O ，延长OB 至G ，使OG ＝OD ，连接EG ，FG ，判断四边形DEGF 是否是菱形，并说明理由．

证明：(1)在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，在△ADE 和△CDF

中，???∠ADE ＝∠CDF ，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(ASA)，∴AE ＝CF

(2)四边形DEGF

是菱形．理由如下：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴AB －AE ＝BC

－CF ，即BE ＝BF ，∵△ADE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∴BD 垂直平分EF ，∴EO ＝FO.又∵OG ＝OD ，DE ＝DF ，∴四边形DEGF 是菱形

18. 如图，已知菱形ABCD 两条对角线BD 与AC 的长度之比为3∶4，周长为40 cm ，

求菱形的高及面积．

解：∵BD ∶AC ＝3∶4，∴设BD ＝3x ，AC ＝4x ，∴BO ＝3x 2，AO ＝2x ，又∵AB2

＝BO2＋AO2，∴AB ＝52x ，∵菱形的周长是40 cm ，∴AB ＝40÷4＝10(cm)，即52x

＝10，∴x ＝4，∴BD ＝12 cm ，AC ＝16 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12BD ·AC ＝12×12×

16＝96(cm2)，又∵S 菱形ABCD ＝AB ·h ，∴h ＝9610＝9.6(cm)，菱形的高是9.6 cm ，面积是96 cm2

19. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点，EF ⊥CE ，交AB 于点F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，求AE 的长．

解：∵EF ⊥EC ，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠

3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF ＝EC ，∴△EFA ≌△CED(AAS)，∴AE ＝CD.设AE

＝x ，则DC ＝x.由矩形的周长为16得2x ＋2＝8，∴x ＝3，即AE 的长为3

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)

20. 如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠OBC ＝∠OCB.

(1)求证：平行四边形ABCD 是矩形；

(2)请添加一个条件使矩形ABCD 为正方形．

解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵∠OBC ＝∠OCB ，

∴OB ＝OC ，∴AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形

(2)AB ＝AD(或AC ⊥BD 答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AB

＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形(或：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形)

21. 如图，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE ⊥AE ，垂足为E.

(1)求证：△DCA ≌△EAC ；

(2)只需添加一个条件，即AD ＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD 为矩形，

请加以证明．

解：(1)在△DCA 和△EAC 中，???DC ＝EA ，

AD ＝CE ，AC ＝CA ，∴△DCA ≌△EAC(SSS)

(2)添加AD

＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由：∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°，由(1)知△DCA ≌△EAC ，∴∠D ＝∠E ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形

22. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ＝AE.

(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；

(2)当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．

解：(1)由题意知∠FDC ＝∠DCA ＝90°，∴EF ∥CA ，∴∠AEF ＝∠EAC.∵AF ＝CE

＝AE ，∴∠F ＝∠AEF ＝∠EAC ＝∠ECA.又∵AE ＝EA ，∴△AEC ≌△EAF ，∴EF ＝CA ，∴

四边形ACEF 是平行四边形 (2)当∠B ＝30°时，四边形ACEF 是菱形．理由：∠B ＝

30°，∠ACB ＝90°，∴AC ＝12AB.∵DE 垂直平分BC ，∴BE ＝CE.∵AE ＝CE ，∴AE ＝BE ＝CE ＝12

AB ，∴AC ＝CE ，由(1)得四边形ACEF 是平行四边形，∴四边形ACEF 是菱形

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)

23. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，

折痕为EF.

(1)求证：BE ＝BF ；

(2)若∠ABE ＝20°，求∠BFE 的度数；

(3)若AB ＝6，AD ＝8，求AE 的长．

解：(1)由题意得∠BEF ＝∠DEF.∵四边形ABCD 为矩形，∴DE ∥BF ，∴∠BFE ＝∠DEF ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF (2)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABF ＝90°；而∠ABE ＝20°，∴∠EBF ＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF ＝∠BFE ，∴∠BFE 的度数为55° (3)由题意知BE ＝DE ；设AE ＝x ，则BE ＝

DE ＝8－x ，由勾股定理得(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74，即AE 的长为74

24. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s(0＜t ≤15)．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.

(1)求证：AE ＝DF ；

(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；

(3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．

解：(1)∵∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ，∴DF ＝2t ，又∵AE ＝2t ，

∴AE ＝DF (2)能，理由：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF ，又∵AE ＝DF ，∴

四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60－4t

＝2t ，解得t ＝10，∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形 (3)①当∠DEF

＝90°时，由(1)知四边形AEFD 为平行四边形，∴EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF

＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠AED ＝30°，∴AD ＝12

AE ＝t ，又AD ＝60－4t ，即60－4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°，∴AD ＝2AE ，即60－4t ＝4t ，解得t ＝152

；③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t ＝152

s 或12 s 时，△DEF 为直角三角形 25. 已知正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上的点，连接AE ，BF 相交于点H ，且AE ⊥BF.

(1)如图1，连接AC 交BF 于点G ，求证：∠AGF ＝∠AEB ＋45°；

(2)如图2，延长BF 到点M ，连接MC ，若∠BMC ＝45°，求证：AH ＋BH ＝BM ；

(3)如图3，在(2)的条件下，若点H 为BM 的三等分点，连接BD ，DM ，若HE ＝1，求△BDM 的面积．

解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°，

∴∠ACB ＝∠ACD ＝45°，∵AE ⊥BF ，∴∠AEB ＋∠FBC ＝90°，

∵∠FBC ＋∠BFC ＝90°∴∠AEB ＝∠BFC ，∵∠AGF ＝∠BFC ＋∠

ACF ，∴∠AGF ＝∠AEB ＋45°

(2)过C 作CK ⊥BM 于K ，∴∠BKC ＝∠AHB ＝90°，∵∠BMC

＝45°，∴CK ＝MK ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴

∠ABH ＝∠BCK ，∴△ABH ≌△BCK(AAS)，∴BH ＝CK ＝MK ，AH ＝BK ，∴BM ＝BK ＋MK ＝AH

＋BH

(3)由(2)得，BH ＝CK ＝MK ，∵H 为BM 的三等分点，∴BH ＝HK ＝KM ，过E 作EN ⊥

CK 于N ，∴四边形HENK 是矩形，∴HK ＝EN ＝BH ，∠BHE ＝∠ENC ，∴△BHE ≌△ENC(ASA)，

∴HE ＝CN ＝NK ＝1，∴CK ＝BH ＝2，∴BM ＝6，连接CH ，∵HK ＝MK ，CK ⊥MH ，∠BMC ＝45°，∴CH ＝CM ，∠MCH ＝90°，∴∠BCH ＝∠DCM ，∴△BHC ≌△DMC(SAS)，∴BH ＝DM ＝2，∠BHC ＝∠DMC ＝135°，∴∠

DMB ＝90°，∴△BDM 的面积为12

DM ·BM ＝6