材料力学第六章PPT

SZ＊ – 距中性轴为Y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩.
b
对于矩形截面：
h2
其最大剪应力为
h2
max
F
s(b
h 2
h 4
)
bI Z
max
F sh2 8IZ
F sh2 8 bh3
12
3F s 2A
z y
y0
max
A
y
此式中
对于指定截面，剪力为定值；
对于整个梁，则剪力取最大值。
例题 6.10
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的
惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］ =50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
A C
1m
3m
30
B
D
2m
170
61 z
对全梁（等截面）： max
M max ymax Iz
M max Wz
max
M max Wz
对于整个等截面的梁，其危险截面即弯矩最大的截面，
而危险点则在最大弯矩所在截面的上边缘或下边缘。其
危险点的应力即最大应力。
例题 6.4
q 30 kN m
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其 外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载， q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢 抗弯强度［σ］=215MPa。
A
A
EIZ
E y
My
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
d
y
dx(中性层
y
yd
M
M
中性轴
m
n
z
y
M
o
o
dA
z
mn
y
dx
M
中性轴
My
Iz
M:所求截面上的弯矩
所求截面的最大应力
max
My max Iz
WZ 称为抗弯 截面模量
y:所求点到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
例：将一根直径为2mm的铁丝弯成弧形，假如钢丝刚好屈 服，其屈服极限为320MPa， 且弹性模量E=200GPa，则其 弯曲半径为多少？
中性轴的静矩.
max
FS SZ* max IZd
IZ S*
Z max
即型钢表中
的比值 I x Sx
SZ＊max 为中性轴以上或以下任意一 边的半个横截面积对中性轴的静矩.
三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力
D
d
d
z
y
max
4 3
FS A
A d 2
4
max
2 FS A
A为圆环形截面面积
切应力的强度条件
8 bh2
6MPa
qL2 8
横放
6
qL2
max
M max WZ
8 hb2
12MPa
6
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度l＝2m。
T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝ 1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
F
150
2 bh3
3
1.65MPa
b 0
12
c
M B yc IZ
1 FL h
2 bh3
2
12
MB
1 2
FL
IZ
bh3 12
2.47MPa （压应力）
例题 6.2 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大
正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
200
4m
100
竖放
qL2
max
M max WZ
EI Z
M
EIz
M
M EIz
200103 24
64
0.261.7N.m
600
12
梁发生弯曲变形时由截面法可知， 直梁弯曲，不会存在轴向力
FN AdA
AEdA
E A
y
dA
0
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
因为轴向力为零，所以 ydA 0
说明弯曲时中性轴必过形A心位 置。
例 题
图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径 d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝160MPa 。不 考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。
6.7
D
d
FA
3q 4
kN
FB
9q 4
kN
q
FB
梁的强度
A
B
C
Mmax 0.5q
FA
2m
1m
WZ WZ
1q
q WZ 15.68kN / m
度条件校核梁的强度。
200
q 12kN m
A C
1m
3m
30
B
D
2m
170
61 z
139
12.75 C截面
24
B截面
B max
30
24103 61103 403107
36.3MPa
kNm
B max
24103 139103 403107
82.8MPa
C max
12.75
103 139 403107
危险点的应力即最大应力
梁的危险点一定在弯矩最大的截面上，对吗？
例题 6.1
A l2
Fl
长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、 l＝2m，F＝1.6kN， 试求B截面上a、b、c各点的正应力。
F
h6
a
B
C
b
h
l2
h2
c
b
a
M B ya IZ
1 FL h
点再分别校核强度：
t max [ t ]
cmax [ c ]
例题
6.6
A
铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。
梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸 许用应力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝
100MPa。试校核梁的强度是否安全y。 F
第六章 梁的弯曲应力和强度
主讲: 郭慧珍 四川大学锦城学院
§6.1 梁弯曲的正应力
aF
A
C
F
a
D
B
F
F
Fa
纯弯曲：梁受 力弯曲后，如其横 截面上只有弯矩而 无剪力，这种弯曲 称为纯弯曲。
横力弯曲：梁受力 弯曲时，其横截面 上既有弯矩又有剪 力时，这样的弯曲 称横力弯曲。
实验现象：
F
mn
F
▪平面假设： 变形前杆件
I
F
I
z I-I剖面
z
(A)
(B)
(C)
(D)
§6.2梁横截面上的切应力.梁的切应力强度条件
q
FR
FR
kN kNm
一、矩形截面梁的切应力
假设：
1、横截面上的τ方向与剪力FS平行 y
2、τ沿截面宽度是均匀分布的
Fs Sz*
bI z
Fs
z
Fs Sz*
bI Z
Fs – 横截面上的 剪力；
IZ – 截面对中性轴的惯性矩； b – 截面的宽度；
A
l 2
B
50
l
2
200
96.4
z
C
M max
FL 4
16kNm
y max
200 50 96.4
153.6mm
y max
96.4mm
50
max
Mymax IZ
24.09MPa
max
My
max
IZ
15.12MPa
梁的正应力强度条件
对梁的某一截面：
max
Mymax Iz
M
WZ
1.梁的合理放置截面
9.72cm3 49cm3 NO10
hb2
bh2
6
6
0.167a3
0.118a3
工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截 面比圆形截面合理
2.根据材料特性选择截面
对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中 性轴不对称的截面，且使中性轴偏向梁受拉侧。
11
例题 6.5
F 25kN
根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。 关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。
z
zd 2
d
d
d
2
d
d
d
2
2
(a)
(b)
z z
d
(c)
B
例题 6.9 悬臂梁由两根槽钢背靠背(两者之间未作任何固定
连接)叠加起来放置,构成如图示.在载荷作用下,横截 面上的正应力分布如图_____D____所示.
2
0.5
杆的强度
9q
FNBD
A
4
1 d 2
4
q 1 d 2 22.3kN / m
9
q15.68kN / m
例 题
6.8
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图 （a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未
粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三
d
y
dx(中性层
y
yd
例题
6.0
若对称弯曲直梁的弯曲刚度EI沿杆轴为 常量,其变形后梁轴___A__.
A、 为圆弧线，且长度不变。
B、 为圆弧线，而长度改变。
C、 不为圆弧线，但长度不变。
D、 不为圆弧线，且长度改变。
F
l2
l2
h b
M M z A ydA
yEdA E y2dA
可用于已屈服的梁截面
max s
max s
6\7\22
max
My max Iz
此公式用于指定截面的梁上， 其最大正应力的计算
对于整个等截面的梁，其最大正应力：
max
Mmax ymax Iz
对于整个等截面的梁，其危险截面即弯矩最大的截面，
而危险点则在最大弯矩所在截面的上边缘或下边缘。其
103
44MPa
如果T截面倒置会如何???
宽b、高h的矩形
直径为d的圆截面
Wz
Iz ymax
bh3 12
h 2
bh2
6
Wz
d 3
32
轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得
强度条件
max [ ]
对于抗拉强度和抗压强度不同的梁，一定要对最大正
负弯矩分别计算，从而求出最大拉应力点和最大压应力
Wy
hb2 6
Iz
d 4
64
WZ
d 3
32
D
Iz
ห้องสมุดไป่ตู้
D 4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
正应力计算公式适用范围
M y
Iz
此公式由纯弯曲状态推导而来，因此在横力弯曲时 截面上有切应力，平面假设不能严格成立；
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式可以近似成立
梁的切应力强度条件
FS
S
* Z
bI Z
最大正应力发生在最大弯矩截面的上边缘和 下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险 点处于单向应力状态；
最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴 处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯 剪切应力状态；
§6.6 提高梁强度的方法
一、合理选择截面形状，尽量增大Wz值（P182）
A
0.5m
F3A1.9 46.9kN
B 2m
FB 28.1kN
0.937
15 3.75
kN
28.1
kNm
WZ
M max
61.2cm3
查表
N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
13.16
例题 6.5
F 25kN
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的
惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］ =50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强
的横截面变形后仍为平面。
mn
mn
中性层
o1
o2
中性轴
m
n
变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凸边纤维伸
长、凹边纤维缩短。同时有一既不伸长也不缩短的一层，即中
性层
▪中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
中性层
中性轴
中性层
对称轴
oz
中性轴
y
中性层： 受弯变形过程中，既不伸长,也不缩短的一层。
▪中性轴： 中性层与横截面的交线称为中性轴。 ▪单一材料制成的梁，其中性轴必过截面形心。
2
F
mn
mn
M
M
中性轴
m
n
z
y
o
o
dA
mn
dx
z
y
d
F
yd d y
d
E y E
M
A
ydA
A
y
y EdA
E y2dA EIZ
A
dx(中性层
y
yd
例：将一根直径为2mm的铁丝弯成弧形，其弧形半径为 600mm，假如钢丝仍为线弹性且弹性模量E=200GPa，则作 用于其上的弯矩M为多大？
2 bh2 3F
2L h
4 bh
细长等值梁
49
二、工字形截面梁的切应力
d z
max
Fs
S
* z
IZd
d为腹板的厚度；
h h0
t
m in
SZ＊ 为距中性轴为Y的
b
横线以外部分的面积对
横截面上的切应力(95--97)％ 由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较 复杂.为了满足实际工程中计算和 设计的需要仅分析腹板上的切应 力.
B
C
150
BA
50
2F
1400
600
200
12kNm
96.4
z
50
16kNm
A
M Ayl IZ
16103 250 96.4
24.09M1.0P2a108
A
M Ayy IZ
11561.1.0212M03P1a0986.4
B
M Byy IZ
1182.0170M3Pa250 96.4
1.02
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
F
h
M max
FL 4
WZ
bh2 6
l2
l2
Fs max
F 2
F
max
3 2
Fs A
3 2 2 bh
3 F 4 bh
L 5 h
max 10 max
FL
b
max
M max WZ
4 1 bh2 6
3FL 2bh2
3 FL
max max
max
max
S
* z max
Izb
Qmax
通常，全梁最大切应力发生在剪力最大的
梁截面的中性轴上 一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下
列情况下，也校核切应力强度：
1、梁跨度较小，或支座附近有较大荷载
2、T形、工字形等薄壁截面梁
3、焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、
胶合面等进行剪切强度计算
EI Z
M
max
M ymax Iz
M
Wz
max
M Wz
320
M
320 23
32
(N .mm)
EI Z M
200103 24
64
320 23
625mm
32
18
一定要熟练掌握几种常见截面对中性轴的惯性矩
y
y
y
h
z
d
z
dd
z
b
Iz
bh3 12
WZ
bh2 6
Iy
hb3 12