常微分课后答案第一章

常微分课后答案第一章

第一章绪论

§1.1微分方程：某些物理过程的数学模型

§ 1.2基本概念

习题1.2

1. 指出下面微分方程的阶数，并回答方程 是否线性的：

(1)

x

写一5? 3xy“nx ;

dx dx

?

(5) dy

cosy 2^-0 ； dx ?

解 (1)一阶线性微分方程; (2) 二阶非线性微分方程； (3) 一阶非线性微分方程； (4) 二阶线性微分方程；

(3)

心―?Y+12xy = 0 ； dx 2

Idx 丿

idx 丿 dx

(6)

si

e y = x

(5) —阶非线性微分方程； (6) 二阶非线性微分方程.

2

2. 试验证下面函数均为方程豊So 的解，

dx

这里.0是常数.

y = cos x ；

y = G cos x (C 1 是任意常数)；

y - -G sin ，x, y - -C< ■ cos ，x - - y

cos x , -

- 2

sin x =

一 2y ,所

以

?2

y = o ,

dx

dx 2

dx 2

故y =sin x

为方程的解.

(4 ) y" = C 2

cocos^x, y" = -C 2

⑷ 2

si ncox = Y 2

y , 所以

故y^sin x 为方程的解.

dx 2

(3) (5) (6) y 二 sin x ；

y

二C ?

sin x (C 2

是任意常数)；

y 9 cos x C 2

Sin x(C

i

, C 2

是任意常数)；

y =AsinC x B) (A, B 是任意常数).

1 ) 史=一 sin x, d

^ - - 2

cos x 二

v dx dx 2

y

,所以

y =o

，

故 y = cos x 为方程的解. y =o

，

故 y = G cosccx 为方程的解. (3)也

故y =C

i

cos X C 2 sin X

为方程的解.

y"=

cos?x + B) , y"=_A

仙 2

sin (⑷x + B)=_^2

y , ^

故

3 ?验证下列各函数是相应微分方程的解: (1) si nx y =

x 7

xy y = cos x

；

(2) y =2 Ci -

-x 2 , (1-x 2)y xy=2x

( C 是任意常数)；

(3) y =Ce x

, y-2y y=0 ( C 是任意常数)；

(4) x

y =e , y ，:-x

2

x

2x .

e y -2ye 1 -e ；

(5) y = sin x

,

2 2

y y -2ysin x Sin X -COSx = 0 ；

(6) 1 y = x 7

x 2y =x 2y 2 xy 1 ； (7) y = x 2

1

, y =y -(x 1)y 2x ；

(8) 厂 g(x

)

f(x)

‘

-f (x) y 2 g (x) y y

g(x)

f(x)-

证明

( 1 )因为八心笃沁,所以

x

,丄 xcosx —sin x 丄 sin x xy y =

x

x

叹「八0

dx

膜「2

八0 dx

因此八Asin( x B)为方程的解.

=COSX

(2)由于y _Cx_

1 - x2

(1 _x2)y* + xy =(1 _x2)，

x(2 C 1 — x2) =2x .

— x2

y _2y y =Ce x _2Ce x Ce x

=0 .

(4

) 由 y=e x

, 因 此

_x

2

x x _x , X\2

x x

2x

ye y -2ye e e (e ) - 2e e 1 -e

?

(5)因为y "=cosx ，所以

y y 2 - 2ysin x sin 2 x -cosx = cosx sin 2 x - 2sin x sin x sin 2

x - cosx = 0 ?

(6)从 y =丄，得 X 2

y = 1 = X 2

x

（7）由y 、2x ，得到

y '2x =(x 2

1)2

-(x 2

1)(x 2

T) 2x =y 2

(3 )由于 y =Ce x

y

二 Ce x

i +x ——一 i + 1 = x y +xy + 1 ?

-(x 2

1)y 2x ?

f (x)g(x) -f(x)g(x) f (x) _ g(x) f 2

(x)

i'g(x) f gg

.f(x) f(x)

「

g(x) f (x) y 2 g (x) f(x)

4.给定一阶微分方程dx = 2x ,

（1）求出它的通解；

（2）求通过点（1,4）的特解；

（3）求出与直线y=2x 3相切的解；

（4）求出满足条件：ydx=2的解；

（5）绘出（2），（3），（4）中的解的图形.

解（1 ）通解y=j2xdx = x2+C .

（2）由y x』=4，得到C=3，所以过点（1,4）的特解

为y =x2 3?

(3)这时2x = 2= x = 1 ,切点坐标为(1,5),由y %厂5 , C =4，所以与直线 八2x 3相切的解为y = x 2 4

1

2 1 3

x + C)dx = (§ x + Cx)

故满足条件

ydx =

2

的解为y = x

(5)如图1-1所示.

5 ?求下列两个微分方程的公共解:

(1) y =y 2

2x-x 4

；

(2) y " =2x x 2

x 4

- y -y 2

.

解 公共解必须满足y 2

2x-x 4

=2x x 2

x 4

-y-y 2

，即

小 2 小 4 2

小 2y-2x y_x 0 ,

得到y =x 2或y = —x 2 — ￡是微分方程y 」y 2 +2x —x 4

和

y =2x x 2 x 4 - y -y 2

的公共解.

得到

⑷由 0

ydx 二 0

(

x

y

6 ?求微分方程y*xyj=o 的直线积分曲线.

解设直线积分曲线为Ax By ^0，两边对x 求 导得，A

+ B y

" = 0，右B = 0，则A=0，得到C = 0，不可 能?故必

有B"，则y ，代入原方程有

B

訂

.2

2

A ) A Cc

吊/A 2

A 、 CAc

一一 I + — x+—=0 , ^或 (飞 + — )x+———=0 , I B.丿 B B ' B 2

B B B ‘ 广

2

A 2 A p +— =0,

B B

C A n

B B

所求直线积分曲线为y=0和y = x 1

7 ?微分方程4x 2

y 2

—y 2

=xy 3

,证明其积分曲线关于 坐

标原点(0,0)成中心对称的曲线，也是此微分方 程的积分曲线.

证明 设F(x,y

)=0是微分方程4x 2

y 2

—y 2

=xy 3

的积分 曲

线，则与其关于坐标原点(0,0)成中心对称的曲 线是

F(-X, -y) =0

.由于F(x, y) =0适合微分方程 2

所以,

V 或 A = C —B

-F x (x, y)J ]Fy(x, y) J

4x 2

y 2

-y 2

=xy 3

,故 4x 2

~y 2

= xy 3

，分别以 - x

, 一 y 代

x

,

y ，亦有

是此微分方程的积分曲线.

4(-x)2

Fx(—x, — y)

F y

(—x, —y)

-(一y)

=(-x)(-y), 而由 F(—X’ — y) =0 ,得到 y = 牛，从而F?y)=0也

8. 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的 温差成比例，如果物体在20分钟内由loo C 冷至 60 C ,那么，在多久的时间内，这个物体的温度 达到30 C ?假设空气的温度为20 C .

解 设物体在时刻t 的温度为u=u(t)，u

°=

20

，微 分

方程为dU 「k(U-U a

)，解得U=U a 3，

，根据初始条

dt

件 u

tz0

=U o

=100

， 得 C=u

°—u a=

80

，因此

u =u a (u°-u a )e?

，

根据 t =20, u =u i

=60

， 得 到 5 = u

a

(u °—u a )e*0k

，由

此

解出t=60 (分钟)=1 (小时).

在1小时的时间内，这个物体的温度达到

30

C ?

9. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的 微

分方程：

(1) 曲线上任一点的切线与该点的向径夹角 为，；

(2) 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间 的部分等于定长i ；

. 1 . u 。— ua

In 2

，所以得到

In 2 t

u = 20 80e 20

当u =30时,

(3) 曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积都等于常数

（4） 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间 的部分被切点等分；

（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点 横坐标的平方；

（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点的 横坐标和纵坐标的等差中项；

（7） 曲线上任一点的切线的斜率与切点的横 坐标成正比.

（提示：过点（x,y ）d 的横截距和纵截距分别为

解 （1）曲线上任一点为（x, y ），则tan & ,

x

即y J :

x — y ta n a

（2 ）曲线上任一点（x, y ）处的切线方程为 yX -Y

=x/-y

，与两坐标轴交点为（O,y-xy ）和（罕,0

）,

（x —

上）2

（y —xy ）2

=l 2

. y

（3） 由（2）,有 扌 xy

y

：y

|y _xy ，=a 2

，或（xy ，-y ）2

=2a [y| .

a2

；

y

一

（4）由（2）,有y=^，或xy y=0 .

(5)由(2) , y —xyj2.

(6)同样由(2), y-g宁，或y

(7)易得y七(k为常数且k 0 )?