平面向量知识点与考点精(经典)
平面向量知识点与2013考点精讲
知识网络
第1讲 向量的概念与线性运算
★ 知 识 梳理 ★
1．平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.
特别提醒：
1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 2) 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 3) 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4) 共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 5)
相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的线性运算 1.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
如图，已知向量a ，b ，A ，作AB =u u u r
a ，BC =u u u r
b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作
a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r
特殊情况：
a
b
a
b a+b
b
a
a+b
(1)
平行四边形法则三角形法则C
B
D
C
B
a
b
b
a +b
a +A
A
B
C C
)
2()
3(
对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a
（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______
（3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 2.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 减法的三角形法则作法：在平面取一点O ， 作OA = a , = b , 则= a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量
注意：
1)AB表示a-b强调：差向量“箭头”指向被减数
2)用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a +(-b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c a - b = a + (-b) a - b
3.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.
特别提醒：
1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
2)重要定理：
向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a?b=λa（a≠0）.
向量★重难点突破★
1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．
2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．
3.重难点：.
问题1: 相等向量与平行向量的区别
答案：向量平行是向量相等的必要条件。
问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别
答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
问题3：对于两个向量平行的充要条件：
a∥b?a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
问题4；向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
【新题导练】 题型1. 概念判析
[例1]判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若b a b a ==则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ρρ=，c b ρρ=，则c a ρ
ρ=；
(7)若b a r r //，c b ρ
ρ//，则c a ρρ// (8)若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A
(9) b a ρρ=的充要条件是||||b a ρ
ρ=且b a ρρ//；
[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不正确，单位向
量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若0=b ，则不共线的向量c a ,也有0//a ρ
，c //0。(8) 不正确, 如
图
≠=,A （9）不正确，当
b a ρρ//，且方向相反时，即使||||b a ρ
ρ=，也不能得到b a ρ
ρ=；
【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定
相关命题。
考点一： 向量及与向量相关的基本概念
1.【2012高考文7】设a ，b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa
D.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。 【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实
数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．
2.【2012高考文7】设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，使||||
a b
a b =r r
r r 成立的充分条件是（ ）
A 、||||a b =r r
且//a b r r B 、a b =-r r C 、//a b r r D 、2a b =r r
【答案】Ｄ
[解析]若使||||
a b
a b =r r r r 成立，则方向相同，与选项中只有D 能保证，故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
考点二: 向量的加、减法
【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律． 题型2: 结合图型考查向量加、减法
3. (2009)在ABC ?所在的平面上有一点P ，满足
PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
，则PBC ?与ABC ?的面积之比是( )
A ．
13 B ．12 C ．23 D ．34
[解题思路]： 本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施
求解．
【解析】由PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,得PA PB BA PC +++=0u u u r u u u r u u u r u u u r
,
即2PC AP =u u u r u u u r
,所以点P 是CA 边上的第二个三等分点,如图所示.
故
2
3
PBC ABC S BC PC S BC AC ???==?． 【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当
向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．
4．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA → =3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 解析： AB → =AC → +CB →
= －3a +2b ，
因D 、E 为AB →
的两个三等分点，
故AD → =3
1AB → =－a ＋3
2b =DE →
，
CD → =CA → ＋AD →
=3a －a ＋3
2b =2a ＋3
2b ，
CE → =CD → ＋DE →
=2a ＋32b －a ＋32b=a ＋3
4b ．
考点三: 向量数乘运算及其几何意义
题型1: 三点共线问题
[例4] 设21,e e 是不共线的向量,已知向量212121
2,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A,B,D 三点共
线,求k 的值
[解题思路]：证明存在实数λ，使得BD AB λ=
A
B
D
E
解析：214e e CB CD BD -=-=, 使BD AB λ=)4(22121e e e k e -=+∴λ 得84,2-=?-==k k λλ
【指引】
1、逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两
个向量的和，一定要强化目标意识． 2、这是一个重要结论，要牢记。 题型2: 用向量法解决几何问题
基础巩固训练
1. 判断下列命题是否正确，并说明理由： （1）共线向量一定在同一条直线上。 （ ） （2）所有的单位向量都相等。
（ ） （3）向量→
→
b a 与共线，→
→
c b 与共线，则→
→
c a 与共线。 （ ） （4）向量→
→
b a 与共线，则→
→b //a
（ ） （5）向量→
→
CD //AB ，则CD //AB 。
（
）
（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 （ ）
2. 在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要
条件
3．已知向量12112b ,a , ,0l l l R l ρρρρρρρ=+=∈≠λλ，若向量b a ρ
ρ和共线，则下列关系一定成立的是（ ）
A 、0=λ
B 、02ρρ=l
C 、12 // l l r r
D 、02ρρ=l 或0=λ
4．．D 、E 、F 分别是△ABC 的BC 、CA 、AB 上的中点，且=， =，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）
A
B
C
D
①b a AD --
=21 ②b a BE 21+= ③b a CF 2
1
21+-= ④=++
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5．已知：2121212 ,B ),(3e e e +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）
A 、A ，
B ，
C 三点共线 B 、A ，B ，
D 三点共线
C 、C ，A ，
D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线
6．若||||OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则向量,OA OB u u u r u u u r
的关系是（ ）
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．不确定
综合拔高训练
7．如图，已知,,3AB a AC b BD DC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，用,a b r r 表示AD u u u r ，则AD =u u u r
（ ）
A ．34a b +r r
B ．1344a b +r r
C ．1144
a b +r r
D ．3144
a b +r r
答案：B
解析：33()44AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1344
a b +r r
8．已知a ρ+b ρ=213e e ρρ+，a ρ-b ρ=212e e ρρ-，用1e ρ、2e ρ表示a ρ
= 。
答案：212
1
e e +
9．已知2122
13)12(,)1(e e t e k e t -+=-+=，且b a //，试求t 关于k 的函数。
答案: 2
2211k k t +-=
∴
10．如图，在△OAB 中，41=
，2
1
=，AD 与BC 交于M 点，设=，=，
（1）试用和表示向量OM （2）在线段AC 上取一点E ，线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设λ=，
μ=。
求证：
173
71=+μ
λ。
第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示
★ 知 识 梳理 ★
1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面的__任一__向量a ρ，有且只有_一对实数λ1，λ2使a ρ
=λ11e +λ22e
特别提醒：
(1)我们把不共线向量1e u r 、2e u u r
叫做表示这一平面所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a r 在给出基底1e u r 、2e u u r
的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ρ
，1e ，2e 唯一确定的数量
2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个__
单位向量_ i r 、j r 作为基底任作一个向量a r
，由平面向量基本定理知，
有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+r
…………○
1， 我们把),(y x 叫做向量a r
的（直角）坐标，记作
(,)a x y =r
…………○
2 其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r
在y 轴上的坐标，○
2式叫做向量的坐标表示 与．a r 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x
特别地，(1,0)i =r ，(0,1)j =r ，0(0,0)=r
特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是
向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示
3．平面向量的坐标运算
（1） 若11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r
，则a b +r r =1212(,)x x y y ++， a b -r r
= 1212(,)x x y y --
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =u u u r
()2121,x x y y -- 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
（3）若(,)a x y =r
和实数λ，则a λ=r (,)x y λλ
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a ρ
=(x 1, y 1) ，b ρ=(x 2, y 2) 其中b ρ≠a ρ a ρ∥b ρ (b ρ
≠)的充要条件是12210x y x y -=
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：
（1）了解平面向量基本定理及其意义,了解基底和两个非零向量夹角的概念,会进行向量的分解及正交分解；
（2）理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
2.难点：用坐标表示的平面向量共线的条件,能用向量的坐标形式判断两向量以及三点是否共线.
3.重难点：
（1）平行的情况有方向相同和方向相反两种
问题1：和a r
= (3,－4)平行的单位向量是_________；
错解：因为a r 的模等于5，所以与a r 平行的单位向量就是5
1a r
，即 (35 ，－45 )
错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为a r 的模等于5，所以与a r 平行的单位向量是±5
1a r
，即(35 ，－45 )或(－35 ，45 )
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一: 平面向量的坐标表示与运算
1.【2012高考文3】若向量(1,2)AB =u u u r ，(3,4)BC =u u u r
，则AC =u u u r
A. (4,6)
B. (4,6)--
C. (2,2)--
D. (2,2) 【答案】A
【解析】选A (4,6)AC AB BC =+=u u u r u u u r u u u r
第3讲平面向量的数量积
★知识梳理★
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a
?
与b
ρ
，作OA＝a
?
，OB＝b
ρ
，则_∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a
?
与b
ρ
的夹角.
特别提醒：向量a
?
与向量b
ρ
要共起点。
2．平面向量数量积（积）的定义：已知两个非零向量a
?
与b
ρ
，它们的夹角是θ，则数量|a
?
||b
ρ
|cosθ__叫a
?
与b
ρ
的数量积，记作a
?
?b
ρ
，即有a
?
?b
ρ
= |a
?
||b
ρ
|cosθ
特别提醒：
（1）（０≤θ≤π）.并规定0
?
与任何向量的数量积为0
（2）两个向量的数量积的性质：
设a
?
、b
ρ
为两个非零向量，e
?
是与b
ρ
同向的单位向量
1)e
?
?a
?
= a
?
?e
?
=|a
?
|cosθ；
2)a
?
⊥b
ρ
?a
?
?b
ρ
= 0
3)当a
?
与b
ρ
同向时，a
?
?b
ρ
= |a
?
||b
ρ
|；当a
?
与b
ρ
反向时，a
?
?b
ρ
= -|a
?
||b
ρ
|
特别的a
?
?a
?
= |a
?
|2或a
a
a
?
ρ
ρ
?
=|
|
4)cosθ =
|
||
|b
a
b
a
?
ρ
ρ
ρ
?
；
5)|a
?
?b
ρ
| ≤ |a
?
||b
ρ
|
3．“投影”的概念：如图
定义： _____|b|cosθ_______叫做向量b在a方向上的投影
特别提醒：
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0?时投影为 |b|；当θ = 180?时投影为-|b|
4．平面向量数量积的运算律
交换律：a
?
?b
ρ
= b
ρ
?a
?
数乘结合律： (λa
?
)?b
ρ
=λ(a
?
?b
ρ
) = a
?
?(λb
ρ
)
分配律： (a
?
+ b
ρ
)?c
ρ
= a
?
?c
ρ
+ b
ρ
?c
ρ
5．平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a =ρ
，),(22y x b =ρ，设i ρ是x 轴上的单位向量，j ρ是y 轴上的单位向量，
那么a =r
11x i y j +v v ， b =r 22x i y j +r r 所以b a ?ρ?= 1212x x y y +
6.平面两点间的距离公式
如果表示向量a ?
的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么：221221)()(||y y x x a -+-=
ρ
7.向量垂直的判定：设),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ，则b a ?
ρ⊥ ?02121=+y y x x
8.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） co s θ = ||||b a b
a ??ρρ
ρ22
22
21
21
2121y
x y x y y x x +++=
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题
3.重难点：.
(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别
问题1: 两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。
例：规定，a ·0=0·a =0(不是零向量0，注意与λ0=0(λ∈R)区别)
（2）向量数量积与实数相关概念的区别 问题2: 表示方法的区别
数量积的记号是b a ?，不能写成b a ?，也不能写成b a (所以有时把数量积称为“点乘”，记号b a ?另外有定义，称为“叉乘”)．
问题3:相关概念及运算的区别
⑴ 若a 、b 为实数，且 a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=．
⑵ 若a 、b 、c ∈R ，且a ≠0，则由ab=ac 可得b=c ，但由·=·及
a ≠0却不能推出
b =
c ．因若a 、b 夹角为θ1，a 、c 夹角为θ2，则由·=·得||·||cos θ1=||·||cos θ2及||≠0，只能得到
||cos θ1=||cos θ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．
⑶ 若a 、b 、c ∈R ，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、、，则(·)·与·(·)
都是无意义的，这是因为·与·是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(·)≠(·)，这是因为数量·与向量相乘是与共线的向量，而数量·与向量相乘则是与a 共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的．
⑷ 若a 、b ∈R ，则|a·b|=|a|·|b|，但对于向量a 、b ，却有|a ·b |≤|a |·|b |，等号当且仅当
∥时成立．这是因为|·|=||·||·|cos θ|而|cos θ|≤1．
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：平面向量数量积的运算
【名师指引】0=??⊥→
→→
→
b a b a 是一个常用的结论。
例1.【2012高考全国文9】ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，0a b ?=r r ，
||1a =r ，||2b =r
，则AD =u u u r
（A ）1133a b -r r （B ）2233a b -r r （C ）3355a b -r r （D ）4455
a b -r r
【答案】D
考点二 利用数量积处理夹角的围 题型1：求夹角及其围
例2【2012高考文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则 （Ⅰ）与2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量b-3a 与向量a 夹角的余弦值为____________。
【答案】
（Ⅰ）??
；
（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则
221,30,x y y x ?+=?-=?且,0x y >
，解得10
10x y ?=????=??
故1010? ??c =.即与2+a b
同向的单位向量的坐标为??
. （Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为
θ，则
()
32,11,0cos 3θ--===-g g b a a b a a
【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 今年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.
第4讲 平面向量的应用
★ 知 识 梳理 ★
1． 利用向量处理几何问题的步骤为： （1） 建立平面直角坐标系； （2） 设点的坐标；
（3） 求出有关向量的坐标；
（4） 利用向量的运算计算结果； （5） 得到结论.
2.平面向量在物理中的应用
如图5-4-3所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ， （6） 那么力F 所做的功： W= |F| |S| cosα.
3． 重要不等式：
||||||||a b a b a b -≤≤r r r r r r g 特别提醒： 常用于求参数的围
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,如确定力或速度的大小以及方向.
2.难点：加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力
3.重难点：.
1熟悉向量的性质及运算律； 2能根据向量性质特点构造向量； 3熟练平面几何性质在解题中应用； 4熟练向量求解的坐标化思路 5认识事物之间的在联系；
6认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：平面向量在平面几何 题型1. 用向量证明几何题
[例1] 已知：如图所示，ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线求证AC ⊥BD [解题思路]：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件
解析：证法一：∵
AC ＝AB ＋AD ，
BD ＝AD －AB ，
∴AC ·BD ＝（AB ＋AD ）·（AD －AB ） ＝｜AD ｜2
－｜AB ｜2
＝O
S
F
α
∴AC ⊥BD
证法二：以OC 所在直线为x 轴，以B 为原点建立直角坐标系，设B (O ，O)，A (a ，b )，C （c ，O ）则由｜AB ｜＝｜BC ｜得a 2＋b 2＝c 2
∵AC ＝BC －BA ＝（c ，O ）－（a ，b ）＝（c －a ，－b ），
BD ＝BA ＋BC ＝（a ，b ）＋（c ，O ）＝（c ＋a ，b ）
∴AC ·BD ＝c 2
－a 2
－b 2
＝O
∴AC ⊥BD 即 AC ⊥BD
【名师指引】如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以
把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用。 【新题导练】
1．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍.
[解析] 设= b ，= a ，则=+= b +21a , +==2
1
b +a ∵A , G , D 共线，B , G , E 共线 ∴可设=λ，= μ,
则=λ=λ(b +
21 a )=λb +21
λa , = μ= μ(21b + a )=2
1
μb +μa ,
∵AG EG AE =+ 即：21b + (21μb +μa ) =λb +2
1
λa
∴(μ-21λ) a + (21μ-λ+2
1
)b = 0 ∵a , b 不平行，
∴210232111
30223AG AD λμλμλμ??
=-=??????=?
???-+==????
u u u r u u u r
2．已知)0,1(),0,4(N M ，若动点(,)P x y 满足6||MN MP NP ?=u u u u r u u u r u u u r
，求动点P 的轨迹方程.
[解析] ),1(),0,3(),,4(y x y x --=-=-= 由已知得2
2
)()1(6)4(3y x x -+-=--，
化简得13
4,12432
22
2
=+=+y x y x 即,这就是动点P 的轨迹方程.
B
C
E
F
G
考点二: 平面向量与三角函数、函数等知识的综合应有用 题型1: 与函数综合题
例3【2012高考文7】设向量a r =（1.cos θ）与b r
=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ）
B 1
2
C .0 D.-1 【答案】C.
【解析】∵向量a r 与b r 垂直，∴0a b ?=r r ，即()11cos 2cos 0θθ?-+?=，∴2
2cos 1θ=．
∴2
cos 22cos 10θθ=-=．故选C ．
考点三: 平面向量在物理中的应用 题型1: 用向量解决物理问题
[例4] 设炮弹被以初速v 0和仰角α抛出（空气阻力忽略不计）.当初速度v 0的大小一定时，发射角α多大时，炮弹飞行的距离最远.
[解题思路]：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把v 0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.
解析：将v 0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v 1和v 2，则| v 1|=| v 0|cos α, | v 2|=| v 0|sin α , 由物理学知识可知，
炮弹在水平方向飞行的距离S =| v 1|·t =| v 0|cos α·t （t 是飞行时间） ①
炮弹在垂直方向的位移是0=| v 2|·t -2
1gt 2
（g 是重力加速度） ② 由②得t =g v αsin ||02,③代入①得S =g
v g v α
αα222
020sin cos sin ||=
由于| v 0|一定，所以当α=45°时，S 有最大值.
故发射角α=45°时，炮弹飞行的距离最远.
[例5] 某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正向吹来，而当速度为2a 时，感到风从东北方向吹来，试际风速和方向.
[解题思路]：利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”
解析： 设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量， 无风时此人感到风速为-a ，设实际风速为v ，
那么此时人感到的风速为v - a ，设= -a ，= -2a ∵+= ∴= v - a ，
O
这就是感到由正北方向吹来的风速，
∵PO+OB=∴= v -2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB，由题意：∠PBO = 45?, PA⊥BO, BA = AO
从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =2a即：|v | =2a
∴实际风速是2a的西北风
【名师指引】加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力
第八章 综合运用用解题思路
1.【2102高考文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-
1
2
B.x-1
C.x=5
D.x=0 【答案】D
考点：平面向量的垂直。 难度：易。
分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量),(11y x a =→
，),(22y x b =→
，
则002121=+?=??⊥→
→→
→
y y x x b a b a 。 解答：非零向量0=??⊥→
→→
→
b a b a 。
2)1(2=?=+-?x x
.【2012高考理13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，
DC DE ?的最大值为______。
【答案】1，1
【解析】1、=?+?=?+=?DA AE DA DA DA AE DA CB DE )(2||DA +0＝1
AB AE AB AE AB AE AB DA AB AE DA DC DE ?=?+=?+?=?+=?0)(当AB AE =时有最大值1
2根据平面向量的数量积公式=?=?DA DE CB DE θcos ||||DA DE ?，由图可知，||cos ||DA DE =?θ，
因此1||2
==?DA CB DE ，
=?=?αcos ||||DC DE DC DE αcos ||?DE ，而αcos ||?DE 就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让
DC DE ?最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1．
17.【2012高考理14】若平面向量,a b r r 满足：23a b -≤r r
，则a b r r g
的最小值是_____。 【答案】9
8
-
【命题立意】本题考查平面向量的模与数量积的运算。
【解析】
22
22
23494
9
444944
8
a b a b a b
a b a b a b a b a b a b
-≤?+≤+
+≥≥-?+≥-?≥-
r r r r r r
g
r r r r r r r r r r r r
g g g g
练习：
1、【2012高考9】（5分）如图，在矩形ABCD中，22
AB BC
==
，，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若2
AB AF=
u u u r u u u r
g，则AE BF
u u u r u u u r
g的值是▲ ．
2、【2012高考天津文科8】在△ABC中，∠A=90°，AB=1，设点P，Q满足AP
r
=AB
λ
r
，AQ
r
=(1-λ)AC
r
，λ∈R。若BQ
r
?CP
r
=-2，则λ=
（A）
1
3
（B）2
3
C）4
3
（D）2
3.【2012高考文15】如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，3
AP=且AP AC
u u u v u u u v
g= .
4、【2012高考文12】在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足
BM CN
BC CD
=
u u u u r u u u r
u u u r u u u r，则AM AN
?
u u u u r u u u r
的取值围是
平面向量知识点总结(精华)
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第一章 平面向量 2.1向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律： a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则 ()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． b a C B A a b C C -=A -AB =B
数学必修4_第二章_平面向量知识点word版本
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0r ，其方向是任意的，0r 与任意向量平行， 零向量a ＝0r ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a r 的单位向量为： ||a a e a r r r (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0r 与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a =a ； ③ ()0a a v v v ； ④若a 、b 是互为相反向量，则 a = b ,b =a ,a +b =0 。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．
平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用
1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义
9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________
高中数学平面向量知识点总结及常见题型x
平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量， 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ；
2019年人教版及高中数学平面向量知识点易错点归纳
§5.1 平面向量的概念及线性运算 三角形法则 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD → 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ； 若AB →∥BC → ，则A 、B 、C 三点共线．
失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范 1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况． 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1 y 2 ，因为x 2，y 2有可能等 于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
高中数学平面向量知识点总结[1]
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法
高中数学平面向量知识点总结82641
平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：
高中平面向量知识点总结
平面向量 1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量 2、 向量的表示方法 （1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB u u u r ，如果有向线段AB u u u r 表示 一个向量，通常我们就说向量AB u u u r . （2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a ， b ， c …向量 手写时 带箭头的小写字母 a ，b r … 3、向量点的长度（模） 向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB u u u r |、｜a ｜ 4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 a ＝0 ｜a ｜＝0 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量 记作a ∥b 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 6、 对于任意非零向量的单位向量是 . 7、向量的加法 （1）三角形法则 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r 对于零向量与任意向量a 的和有a a a 00 （2）平行四边形法则 已知两个不共线的向量a ，b r ，做,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则A 、B 、D 三点不共线，以 AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC u u u r =a +b r .
高一数学必修四,平面向量知识点总结,2020最新版
平面向量知识点专题 知识点梳理： 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 二、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b a ==,，则向量叫做向量a 和b 的和（或和向量），即b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 三、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 平面向量基本定理： 2.1. 如果21,e e 是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数21λλ，，使得2211e e a λλ+=。 2.2. 基底：我们把不共线的向量21,e e 叫做表示该平面内所有向量的一组基底，记为{21,e e }。2211e e λλ+叫做向量a 关于基底{21,e e }的分解式。 2.3. 平面向量基本定理又叫做平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础。 3. 线段定比分点的向量表达：如图，在△ABC 中，若点D 是边BC 上的点，且)1(-≠=λλDC BD ，则向
平面向量知识点汇总
平面向量知识点汇总 基本知识回顾： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示-----AB (几何表示法)； ②用字母a 、b 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）： 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量） 4.平行向量： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 性质：//(0)(a b b a b λλ≠?=是唯一）||b a b a a b λλλ??>????
平面向量知识点归纳
平面向量 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向 量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0 )； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如 下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 AB DC = ，则A B C D 是平行四边形。（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a bb c == ，则a c = 。 （6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的 任一向量可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。 如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有 一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322 a b - ）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24 e e =-=- （答：B ）； （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC 可用向量,a b 表示为 _____（答：2433 a b + ）； （4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→ ?=DB CD 2，?→ ??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ （答：0） 四．实数与向量的积：实数 λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下： ()()1,2a a λλ= 当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反， 当λ＝0时，0a λ= ，注意：λ≠0。
平面向量知识点总结(供参考)
平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移. 举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r 按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0) 2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r ，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r 、b r 叫做平行向量，记作：a r ∥b r ， 规定：零向量和任何向量平行. 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0r )； ④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r 、共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r 的相反向量记作a -r . 举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r r . （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同. （3）若AB DC =u u u r u u u u r ，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r . （5）若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r . （6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r .其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法 1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后； 2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r 等； 3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 为 基底，则平面内的任一向量a r 可表示为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫 做向量a r 的坐标表示. 结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理 定理 设12,e e r r 同一平面内的一组基底向量，a r 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对 12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r . （1）定理核心：1122a λe λe =+r r r ；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a r 的合成. （3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r 为对向量a r 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：132 2 a b -r r . （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B A.1(0,0)e =r ，2(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r ，213,24e ??=- ??? r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC u u u r 可用向量,a b r r 表示为 . 结果：2433 a b +r r . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r ，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积 实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度和方向规定如下： （1）模：||||||a a λλ=?r r ；
三角函数及平面向量知识点总结
三角函数 1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 （经常联系起来考察）。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α ：(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦：余弦：正切： 8. ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。（π±同名函数，322 ππ±±或需换函数名称）
11. 周期函数：()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地，()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象： y ＝tanx y ＝cotx
14. 函数性质： （注：表中k 均为整数） 15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 （左加右减） s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍（纵坐标不变） sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍（纵坐标不变）()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 （左加右减） sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意：在变换中改变的始终是X 。 注意：阅读章节后链接的内容，特别是反三角的表示。
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区 别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算 （1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A ．OA O B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r C ．00AB r u u u r r D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则