初一数学绝对值典型例题精讲

第三讲绝对值

绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

「绝对值的定义及性质

绝对值J简单的绝对值方程

化简绝对值式，分类讨论(零点分段法)

、绝对值几何意义的使用

绝对值的定义及性质

绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：

(1) 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|NO,这是绝对值非常重要的性质：

"a (a>0)

(2) |a| = J 0 (a=0) (代数意义)

-a (a<0)

(3) 若|a|=a,则aNO；若|a|=・a,则aWO；

(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|2a,

旦I a | N・a：

(5) 若|a| = |b|,贝膈=13或3=-上(几何意义)

(6) |ab| = |a| • |b| ：| — | = ^-^ (b^O)：

b \b\

(7) |a|'=|a~ |=a2：

(8) | a+b | W | a | +1 b | | a-b |N||a|・|b|| |a| + |b|N| a+b | | a | +1 b | N

|a・b|

［例1］

（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？

（2）若ab<|ab|,则下列结论正确的是（）

A.aVO, b<0

B.a>0, b<0

C.aVO, b>0

D.ab<0

（3）下列各组判断中，正确的是（）

A.若|a|=b,则一定有a=b

B.若|a|>|b|,则一定有a>b

C.若|a|>b,则一定有|a|>|b|

D.若|a|=b,则一定有a2=（-b）2

（4）设a, b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

分析：

（1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3, ±4,有4个（2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3）选择D。

（4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|2O,则|a+b|N9,有最小值9

［巩固］绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？

〈分析〉：绝对值小于3.1的整数有0, ±1, ±2, ±3,和为0。

［巩固］有理数a与b满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确（）

A.a>b

B.a=b

C.a

D.无法确定

分析：选择D.

［巩固］若|x-3|=3-x,则x的取值范围是 ______________

分析：若|x-3|=3-x,则X-3W0,即xW3°对知识点3的复习巩固

［巩固］若a>b,且|a|<|b|,则下面判断正确的是（）

A.aVO

B.a>0

C.b<0

D.b>0

分析：选择C

［巩固］设a, b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

分析：|a-b|NO, -8-|a-b|W-8,所以有最大值-8

［例2］

（1）（竞赛题）若3|x・2| + |y+3|=0,则飞的值是多少？

2若|x+3|+（y.1）2=O,求（二七）”的值

y—x

x

分析：(1) |x ・2|=0, |y+3|=0, x=2, y=・3,—= - — A 2

(2) 由 |x+3|+ (y-1) 2=0,可得 x=・3, y=1 □ —— =— =-1 y-x 1+3

n 为偶数时，原式=1： n 为奇数时，原式=-1

小知识点汇总：(本源|a|30 b 2^0)

若(x ・a) 2 +(x-b)2 =0,则 x-a=O 且 x-b=O ；

若 |x-a|+(x-b)2 =0,则 x-a=O 且 x-b=O ；

若 |x-a| + |x-b|=O,则 x-a=O 且 x-b=O ；

当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0,两个非

负数互为相反数时，两者均为0

简单的绝对值方程

【例3】 (1) 已知X 是有理

数， 且|x| 二 |・4|,那么x= ______ (2) 已知X 是有理数， 且-|x|=-|2|,那么 x= (3) 已知

X 是有理数，

且-1 -x I =-121，那么 x= (4)

如果x, y 表示有理数，且x, y 满足条件|x|=5, |y|=2, |x-y|=y-x,那么 x+y 的值是多少？

分析：

(1) 4,・4 (2) 2, 2 (3) 2, -2

(4) x=±5, y=±2,且|x ・y|=y ・x, x ・yWO ：

当x=5, y=2时不满足题意：当x=5, y=-2时不满足题意：

当x=-5, y=2时满足题意：x+y=-3：当x=-5, y=-2时满足题意，x+y=-7°

【巩固】巩固|x|=4, |y|=6,求代数式|x+y|的值

分析：因为|x|=4,所以x=±4,因为|y|=6,所以y=±6

当 x=4, y=6时,|x+y| = | 10|=10： 当 x=4, y=・6 时,|x+y| = |-2|=2;

当 x=・4, y=6 时,|x+y| = |2|=2：

当 x=・4, y=-6 时,|x+y| = | 10|=10

【例4】