(完整版)离散数学题目及答案
数理逻辑习题
判断题
1.任何命题公式存在惟一的特异析取范式 ( √ ) 2. 公式)(q p p →?→是永真式 ( √ ) 3.命题公式p q p →∧)(是永真式 ( √ ) 4.命题公式r q p ∧?∧的成真赋值为010 ( × ) 5.))(()(B x A x B x xA →?=→? ( √ )
6.命题“如果1+2=3,则雪是黑的”是真命题 ( × ) 7.p q p p =∧∨)( ( √ )
8.))()((x G x F x →?是永真式 ( × ) 9.“我正在撒谎”是命题 ( × ) 10. )()(x xG x xF ?→?是永真式( √ )
11.命题“如果1+2=0,则雪是黑的”是假命题 ( × ) 12.p q p p =∨∧)( ( √ )
13.))()((x G x F x →?是永假式 ( × )
14.每个命题公式都有唯一的特异(主)合取范式 ( √ ) 15.若雪是黑色的:p ,则q →p 公式是永真式 ( √ ) 16.每个逻辑公式都有唯一的前束范式 ( × ) 17.q →p 公式的特异(主)析取式为q p ∨? ( × ) 18.命题公式 )(r q p →∨?的成假赋值是110 ( √ ) 19.一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →?是闭式( × )
单项选择题
1. 下述不是命题的是( A )
A.花儿真美啊! B.明天是阴天。
C.2是偶数。D.铅球是方的。
2.谓词公式(?y)(?x)(P(x)→R(x,y))∧?yQ(x,y)中变元y (B)A.是自由变元但不是约束变元B.是约束变元但不是自由变元
C.既是自由变元又是约束变元D.既不是自由变元又不是约束变元3.下列命题公式为重言式的是( A )
A.p→ (p∨q)B.(p∨┐p)→q
C.q∧┐q D.p→┐q
4.下列语句中不是
..命题的只有(A )
A.花儿为什么这样红?B.2+2=0
C.飞碟来自地球外的星球。D.凡石头都可练成金。
5.在公式)
y
x
Q
P
y
P
y
?
∧
→
x?
?中变元y是( B )
z
(
))
)
(
,
y
(
)(
(z
)
)(
(
,
A.自由变元B.约束变元
C.既是自由变元,又是约束变元D.既不是自由变元,又不是约束变元6.下列命题公式为重言式的是( A )
A.p→ (p∨q)B.(p∨┐p)→q
C.q∧┐q D.q→┐p
7.给定如下4个语句:
(1)我不会唱歌。(2)如果天不下雨,我就上街。
(3)我每天都要上课。(4)火星上有人吗?
其中不是复合命题的是( B )
A.(1)(4)B.(3)(4)
C.(1)(3)D.(1)(3)(4)
8.下列含有命题p,q,r的公式中,是特异(主)析取范式的是(D)A.(p ∧ q ∧ r)∨(?p ∧ q)B.(p ∨ q ∨ r)∧(?p ∧ q)
C.(p ∨ q ∨ r)∧(?p ∨ q ∨ r)D.(p ∧ q ∧ r)∨(?p ∧ q ∧ r)9.设个体域为整数集,则下列公式中值为真的是( A )。
A.(?y)(?x)(x·y=2)B.(?x)(?y)(x·y=2)
C.(?x)(x-y=x)D.(?x)(?y)(x+y=2y)
10.下述不是命题的是(D )
A . 花儿是红色的
B . 月亮上有水
C . 3是偶数
D . 3>x
11. 用P 表示:天下大雨;Q 表示:他乘公共汽车上班。将“如果天下大雨,他就乘公共汽车上班。”符号化正确的是( A )
A .P →Q
B .Q →P
C .P ∧Q
D .P ∨Q
12.谓词公式(?y )(?x )(P (x )→R (x,y ))∧?xQ (x,y )中变元y ( C ) A . 是自由变元但不是约束变元 B . 是约束变元但不是自由变元 C . 既是自由变元又是约束变元
D . 既不是自由变元又不是约束变元
13.下列命题公式为永假式的是( C )
A .p → (p ∨q )
B .p ∧q →q
C .q ∧┐q
D .p →q
14.下列语句中,不是命题的是( C ) A . 铅球不是球。
B . 要是他不上场,我们就不会输。
C . 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟,你说他是不是运动健将呢?
D . 刘翔跨110米栏用了不到13秒钟,他是一个真正的运动健将。 13.关于命题变元P 和Q 的成假赋值为01对应的极大项是( C )
A .┐P ∧Q
B .┐P ∨Q
C .P ∨┐Q
D .P ∧┐Q
14.谓词公式(?y )(?x )(P (x )→R (x,y ))∧?yQ (x,y )中变元y ( B ) A . 是自由变元但不是约束变元 B . 是约束变元但不是自由变元 C . 既是自由变元又是约束变元
D . 既不是自由变元又不是约束变元
15. 设:p 开关A 开,q :开关B 开,则“开且只开A 、B 中一个开关”的命题公式是( C ) A . q p ?∧ B . q p ∧?
C . (q p ?∧)∨(q p ∧?)
D . (q p ?∧)∧(q p ∧?) 16.下列等价式正确的是( C )
A .┐)()(x A x ???┐A
B .A y x A y x ))(())((?????
C .┐)()(x A x ???┐A
D .)()()()())()()((x B x x A x x B x A x ?∨??∧? 17.在论域D={a,b}中与公式(x ?)A (x )等价的不含存在量词的公式是( B ) A .)b (A )a (A ∧ B . )b (A )a (A ∨ C . )b (A )a (A →
D . )a (A )b (A →
18.下列命题公式为重言式的是( C ) A .p→ (p ∧q ) B .(p ∨┐p )→q C .p ∨┐p
D .p→┐q
19.下列命题中真值为1的是( B )
A .若2+2=4, 则3+3≠6
B .若2+2=4, 则3+3=6
C .2+2=4, 当且仅当3+3≠6
D .2+2≠4, 当且仅当3+3=6 20.设个体域为整数,下列公式中真值为1的是( B ) A . ?x ?y (x + y = 1) B . ?x ?y (x + y = 1) C . ?x ?y (x + y = 1) D . ? ?x ?y (x + y = 1 21. 下列命题中真值为0的是( C )
A .若2+2=5, 则3+3≠6
B .若2+2=4, 则3+3=6
C .2+2=5, 当且仅当3+3≠6
D .2+2≠4, 当且仅当3+3=6 22.谓词公式)),()(()((y x L y
E y x M x →?∧?中变元x ( C ) A . 是自由变元但不是约束变元 B . 是约束变元但不是自由变元 C . 既是自由变元又是约束变元
D . 既不是自由变元又不是约束变元
23.设个体域为整数,下列公式中真值为1的是( B ) A . ?x ?y (x + y = 1)
B .?x ?y (x + y = 1)
C . ?x ?y (x + y = 1)
D .? ?x ?y (x + y = 1
填空题
1.n 个命题变元的极小项有 2n 个。
2.设3:,022:q p =+是奇数,则q p →的真值是 1 。 3.含n 个命题变项的重言式的特异(主)合取范式为 1 4.设个体域为整数集合Z ,命题3(=+??y x y x )的真值为 1 5.公式?xP (x )∨?xQ (x )的前束范式为 ?x(P(x) Q(x))
6.设p :我很累,q :我去学习,命题:“我很累,但我还去学习”的符号化为 q p ∧ 7.设P 表示:天下大雨;Q 表示:他乘公共汽车上班,则命题“如果天下大雨,他就乘公共
汽车上班。”的符号化是 q p →
8.设P :2+2=4,Q :3是奇数,则命题“2+2=4,当且仅当3是奇数.”的符号化为 Q P ? 9. 含n 个命题变项的矛盾式的特异(主)析取范式为 0 10.命题公式q p ?成假的解释是 01,10 11.q p ?的成假解释为 01,10
计算题
1.求)()(x xG x xF ??∧?的前束范式。 解:
()()
()()
()()()()()
3xF x xG x xF x x G x x F x G x ?∧????∧????∧?分3分
2.求r q p →∧?)(的真值表,并写出它的特异(主)析取范式和特异(主)合取范式。 解:真值表如下:
故主析取范式为
()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧
主合取范式为
()()()p q r p q r p q r ∨∨∧∨?∨∧?∨∨
3.求命题公式的p r q p →→∨))((成真赋值。 解:
()()p q r ∨→p →
=
()()p q r p ?∧?∨→ =()(
)
p q r p ??∧?∨∨
=
()()p q r p ∨∧?∨
=()()p r q r p ∧?∨∧?∨ 成真赋值 100,010,101,110,111
4.将公式)())()((x xF y yR x xP ?→?∨?化为前束范式。 解: ()()()
()xP x yR y xF x ?∨?→?
()()()()x y P x R y xF x ???∨→?
()()()
()x y P x R y zF z ???∨→? ()()()
()x y z P x R y F z ????∨→
5.求公式 (p ∨(q ∧r ))→(p ∧q ∧r ) 的特异(主)析取范式,并求成真赋值。
解:()()()r q p r q p ∧∧→∧∨
()()()
()()()
()()()
()()()()
r q p r q p r q p r q p r q p r p q p r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧?∨∧?∧?∨?∧?∧??∧∧∨?∧?∨?∧??∧∧∨?∨?∧??∧∧∨∧∨??
成真赋值为:000,001,010,111
6.用谓词公式表示“有人喜欢吃所有的食物”。 解:()x x M :是人,()y y N :是食物
()x y x H :,喜欢吃y 符号化:()()()()()y x H y N y x M x ,→?∧?
7. 用作真值表方法确定下列命题公式的类型: ).())()((q p p q q p ∨?→→∧→ 解: 设原式=A ,真值表如下:
()()0011101011100011
1
1
1
1
p q p q q p p q A →∧→?∨ 则原式为永真式。
8.用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间不能相联”。 解:()C x :x 是计算机,()D x :x 为外部设备,
(),P x y :x 与y 相联
符号化为)),()()((y x P y D x C y x ?∧∧??
9.在个体域},{b a D =,消去公式))()((y yG x F x ?∧?的量词。 解:原式=))()(())()((y yG b F y yG a F ?∧∧?∧
=)))()(()(()))()(()((b G a G a F b G a G a F ∨∧∧∨∧ =))()(())()((b G a G b F a F ∨∧∧
10. 给定一阶逻辑公式)(),(y yQ y x xP ?→?,求该公式的前束范式。 解:原式()(),xP x y zQ z ??→? ()()()
,x z P x y Q z ???→
11.用逻辑式表示“某些计算机与某些外部设备之间能相联”。 解: ()C x :x 是计算机,()D x :x 为外部设备,
(),P x y :x 与y 相联
符号化为)),()()((y x P y D x C y x ∧∧??
12.用等值演算求命题公式┐(p ∨q )∧(q→r )的特异(主)析取范式,并判断该公式的
类型。
解:原式()()p q q r ??∧?∧?∨ ()()p q q p q r ??∧?∧?∨?∧?∧ ()()p q p q r ??∧?∨?∧?∧ ()()p q r p q r ??∧?∧∨?∧?∧? 公式类型为非永真的可满足式。
13.设一阶逻辑公式 ((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =???→?→,试将G 化成与其等价的前束范式。
解:)))()((),((x R z zQ y x P y x G →?→???=
=)))()((),((x R z Q z y x P y x →?→??? =)))()((),((x R z Q y x P z y x →→????
14. 设公式G 的真值表如下,试求出G 的特异(主)析取范式和特异(主)合取范式。
解:
主析取范式 )()()()(r q p r q p r q p r q p ∧?∧∨∧∧?∨?∧∧?∨?∧?∧? 主析取范式)()()()(r q p r q p r q p r q p ?∨?∨?∧∨?∨?∧∨∨?∧?∨∨
15.求公式),()(y x yG x xF ?→?的前束范式。 解:原式=),()(y z yG x xF ?→? =)),()((y z G x F y x →??
证明题
1.用等值演算证明等值式r q p r q r p →∨=→∧→)()()(。 证明: 右边
左边=→∨?∨∨??∨?∧??∨?∧??r q p r q p r q p r q pvr )()()()()(
2.设R Q P ,,是三个命题,构造下列推理证明:
前提:P R Q Q P ?→∨,, 结论:R 证明:
()()()()()()()()
()()()
12312445344P P Q Q Q R R
?∨→前提引入前提引入
析取三段论
分前提引入
假言推理
分
3.证明下列推断
前提:)(s q p →→,q ,p r → 结论:s r →
证明:(1)r 附加前提引入 (2)p r →? 前提引入 (3)p (1)(2)拒取 (4)()p q s →→ 前提引入
(5)q s → (3)(4)假言推理 (6)q 前提引入 (7)s (5)(6) 假言推理
4.用构造证明法证明下列推理:
前提:)(,)(,s p r r q q p ∧???∧∨?→ 结论:s ?
证明:
()s
1 否定结论引入
()
()s p ∧??2 前提引入
()s p ?∨3 ()2置换 ()p 4 ()1()3析取三段论 ()()r r p ?∧∨?5 前提引入 ()r p ∨?6 ()5简化 ()r ?7 ()5简化 ()r 8 ()4()6析取三段论 ()r r ?∧9 ()7()8合取
5.证明:q r p r q p ?→?∧=→→)()(。 证明:左边()p q r =?∨?∨ ()p r q =?∨∨? ()p r q =?∨∨?
()p r q =?∧?∨? ()p r q =∧?→?
=右边
6.证明公式G =((P→Q ) ∧(Q→P )∧P ) →P 是永真式。 证明: P P P Q Q P G →∧∨?∧∨?=))()(( =P P Q P →∧∨?))((
=P Q P P P →∧∨∧?))()(( =P Q P →∧)( =P Q P ∨?∨? =Q ?∨1
=1 G 为永真式