模n的剩余类环的子环

模n 的剩余类环的子环作者：*** 指导老师：***摘要：模n 剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证，剩余类环对Euler 函数关系式、Eis emstein 判别法、整数多项式无整数根、Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.关键字：模n 剩余类环的子环 幂等元 理想1 引言环是有两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统，因此它的许多基本概念与理论是群的相应内容的推广，同时环也有一些特殊的问题，例如因子分解问题等.2 模n 的剩余类环的子环的性质和运用2.1 基本概念定义 2.1.1 任取正整数n , 令}1,,2,1,0{-=n Z n Λ 则n Z 为n 个剩余类的集合，对任意n Z j i ∈,，规定j i j i +=+，ij j i =⋅，则n Z 关于这两个运算做成一个环, 且是一个具有单位元的交换环, 称之为以n 为模的剩 余类环, 或简称模n 剩余类环.定义 2.1.2 对任意n Z i ∈, 若类i 中有一个整数与n 互素, 则这个类中所有整数均同n 互素, 因此称类i 与n 互素.定义2.1.3 称环n Z 的一个非空子集A 叫做n Z 的一个理想子环, 假如:(i)A a ∈][,A b a A b ∈-⇒∈][][(ii)A a ∈][,A a b b a A b ∈⇒∈]][[],][[][在代数运算中, 我们都知道若0=a ,0=b , 则必有0=ab , 相反若0=ab , 则必有0=a 或0=b 成立,而在环中是否还存在这样的运算性质呢?我们有 ：定义 2.1.4 模n 剩余环n Z 中, 如果任意元0][≠a ,0][≠b , 但0][=ab , 那么称][a 为n Z 的一个左零因子,][b 为n Z 的一个右零因子, 若n Z 的左零因子与右零因子都为][a ,称][a 为n Z 的零因子.定义 2.1.5 一个环⋅〉+〈,,n Z 中若有元素e 使得n Z a ∈∀][, 有][]][[]][[a e a a e ==, 那么称元素][e 叫做环⋅〉+〈,,n Z 的单位元，记作1.定义 2.1.6 在环⋅〉+〈,,n Z 中, 如果n Z a ∈∀][, 满足: 任意n Z b ∈∀][, 有1]][[]][[==a b b a , 则称][a 是n Z 中的逆元，且][a 与][b 互逆.定义 2.1.7 设R 为任意一个环,而I 是R 的理想.那么I R /称作R 关于理想的剩余类环(也叫商环或差环),其中I R /中, 每个元素叫作模I 的剩余类.定义2.1.8 模n 剩余环n Z 的乘法群G (当n 为素数,n Z 中的所有非零元作成乘法群, 当n 为合数,n Z 中的所有可逆元作成乘法群)中, 适合a a =2的元素 a 称为环n Z 的一个幂等元.定义 2.1.9 设n Z b a ∈,,若存在n Z q ∈使得q a b =, 则称a 整除b ,记为|a b --,称a 为b 的因数,而称b 为a 的倍数. 否则,称a 不整除b . 2.2 剩余类环n Z 的基本性质定理2.2.1 在模 n 剩余环n Z 中,若][][b a =,则有),2,1,1(ΛΛ--=+=k nk b a .定理2.2.2在n Z 中,每个元素的n 倍均为零.即]0[][][][][][==++=na a a a a n Λ.定理2.2.3 设n Z b a ∈,, 则|a b 的充要条件为(,)|a nb . 2.3 剩余类环n Z 的一般性质利用已有的定义和基本性质,可以得出模n 剩余环n Z 的更一般的一些性质.① 模n 剩余环n Z 是交换环.② 在模n 剩余环n Z 中,所有左右零因子都是其零因子.③ 模n 剩余环n Z 是无零因子环的充分必要条件是n 为素数.④ 设⋅〉+〈,,n Z 为无零因子环(n Z 模大于1),那么加群⋅〉+〈,,n Z 中每一个非零元素的阶必相同.⑤ 模n 剩余环n Z 为整环的充分必要条件是n 为素数.⑥ 对于p Z , (1)p Z 是特征为p 的有单位元的可换环;(2) 环p Z 是域⇔p 为素数.⑦ 模n 剩余类环n Z 的所有子群(对加法)是循环子群. 例：设n Z s ∈,若1),(=n s ,t s =,则1),(=n t .证明: 因为t s = ,故)(|t s n -,从而有整数k 使nk t s =- ,nk t s +=如果1),(>=d n t ,则由上式可知,d 是s 与n 的一个公因数,这与1),(=n s 矛盾.因此 1),(=n t .2.4群与其子群有相同的单位元，环与其子环有相同的零元，但子环不一定有单位元. 例如}6,4,2,0{1=S 是8Z 的子环，1S 无单位元，而且子环即使有单位元，单位元也不一定与环的单位元相同，}30{1，=S 与}4,2,0{2=S 都是6Z 的子环，但1S 的单位元是3，2S 的单位元是4，它们都与6S 的单位元1不同.2.5p 是素数的充要条件是模p 的剩余类环Z 是域.它的每个非零元都是可逆元，全体非零元关于环的乘法组成一个1-P 阶的群.由域是整环以及)/(n Z Z n =易证：当p 是素数时，（p ）是整数环的素理想，也是整数环Z 的极大理想，事实上，有Z 是含幺交换环，Z 的理想（p )是素理想⇔)/(p Z 是整环⇔p 是素数，由Z 是含幺交换环，Z 的理想（p )是极大理想⇔)/(p Z 是域⇔p 为素数.另外，由域P Z 的特征数是素数p 且P Z 是一个素数.任意一个素域F 的特征数或者为0或者为素数p ，当为0时，Q F ≅，当为素数p 时，Z F ≅.3 n Z 的子环、域、零环3.1 定义设n 是正整数，p 是素数，n Z 是模n 的剩余类环，S 是n Z 的子环.我们将得到如下结果：（1）设)2(≥=t p n t ，)(||t r p S r<=，则S 是有零因子无单位元的环；（2）设pq n =，p S =||当1),(=q p ，则S 是域，当p q p =),(时，S 是零环.（3）设1)(≠=v u uv n 是合数，u S =||，则S 是有零因子无单位元的环.3.2 命题证明命题3.2.1 当)2(≥=t p n t ，其中p 是素数时，则n Z 的t p 阶)(t r <子环S 是含零因子无单位元的环.证明 n Z 的t p 阶子环})1(,,,0{r t r r t p p p S ---=Λ，（1)当t r t ≥-22时，0≠=∀-r t p k a ，0≠=-r t lpb 则0=ab ，所以S 是无单位元的零元.（2)当t r t <-22时，取0≠=-r t p a ，02≠=--r t t r p p b ，0==t p ab ，S ∴是有零因子的环下证S 是无单位元的环设S 有单位元r t p t e -=，r t p k a -=∀，1-≤≤t p k l ，有a ea =，即r t r t r t kp p k p l ---=⋅,得到 t r t r t mp kp lkp +=--22r t r rr t kp k mp l k mp lkp --+=⇒+= 取 1=k ，则r t r p p m l -+=11因为r r t r t t t r <-⇒<-⇒<-0222所以r r t p m p 1|-而p 不整除l 故11+-r r t p m p 不整除故l 不是整数，∴S 无单位元.命题3.2.2 若pq n =，p 是素数，q 是大于1的正整数，当1),(=q p 时.n Z 的p 阶子环S 是域；且p Z S ≅；当p q p =),(时，n Z 的p 阶子环S 是零环.证明 n Z 的p 阶子环})1(,,0{q p q S -=Λ（1）当p q p =),(时，,0,,,,,2121==⇒==∈∀=pd k pd k ab q k b q k a S b a pd q 所以S 是零环.（2）当1),(=q p 时，,,21S q k b q k a ∈==∀若q k k p mpq q k k q k q k 2122121|0⇒=⇒=⋅，只要01≠=q k a 时，21|k p k p ⇒不整除，所以0=ab 有00=⇒≠b a ，即S 是无零因子环，又S 有限，所以S 是域.设lq e =是S 的单位元，则S kq ∈∀，有kq kq lq =⋅即mpq kq lkq +=2，取1=k ，得qp m l 11+=.因为l 为整数，只要适当选取1m 使l 为整数，即可求得单位元. 命题3.2.3 设uv n =，其中u 是合数，1≠v ，则n Z 的u 阶子环是含零因子的无单位元的环.证明 因u 是合数，设st u =，n Z 的u 阶子环})1(,,2,,0{v u v v S -=Λ，取0≠=sv a ，0≠=lv b ，则0=ab ，故S 含有零因子.设S 有单位元lv e =，)11(-≤≤=∀v k kv a ,有a ea =，即k mu lkv kv lkv +=⇒=2kvk mu l +=， （1)设1),(≠=d v u 时，在)(⋅取1=k ，v u m l 11+=，如l 有整数解，即整数方程11=+-xv u m 中x 有整数解，所以方程有整数解的充要条件为1|),(v u ，与假设矛盾，所以无单位元.（2）设1),(=v u ，在)(⋅式中取11>-=u k ，1)1,())1(,(=-=-u u u v u ，vu u u m l k )1(1--+，l 有整数解即为整系数方程1)1(-=-+-u vx u u m k 有整数解x ，x 有整数解的充要条件是：1|))1(,(--u v u u .因1),(=v u ，故1))1(,(=-v u u 不整除1-u 与假设矛盾，故S 无单位元.我们还相应的讨论了商环)/()(mn n 在什么条件下是域或是有零因子无单位元的环.命题3.2.4 设n 是正整数，)(n R =是由n 生成的环，则商环)/()(t n n S =（t 是正整数，且2≥t ）是含零因子，无单位元的环.证明 当2=t 时，)/()(2n n S =是有限零环.事实上，S b a ∈∀,，n k a 1=，n k b 2=， 0221==n k k ab当2>t 时，})1(,,,0{1n nn S t -=-Λ 取0≠=n a ，02≠=-n n b t0==t n ab ，所以S 是含零因子的环.设S 有单位元ln =e ，则S kn a ∈=∀,有a ea =，即kn k mn l mn kn lkn kn lkn t t+=⇒+=⇒=-122,取1=k ，nn m l t 111+=-, 因为11|t n m n -，1不整除n ，111+-t n m n 不整除, 所以不存在整数l ，故S 无单位元.命题3.2.5 设n 是正整数，p 是素数，)(n R =是由n 生成的环，则商环)/()(pn n S =，当1),(=n p 时是域且p Z S ≅，当p n p =),(时S 是零环.证明 设})1(,2,,0{)/()(n p n n pn n S -==Λ, ① 1),(=n p 时，S b a ∈∀,，n k a 1=，n k b 2=,如果n k k p n k k pn n k k n nk k ab 2122122121||0⇒⇒===,因为1),(=n p ，所以21|k k p ,当01≠=n k a 时，21|k p k p ⇒不整除即0=b ,所以S 是无零以你的环，S 中消去率成立，又S 是有限，所以S 是域.设e 是S 的单位元，p Z a ∈∀，有a 对应于a ,e 即可得S Z p ≅.② p n p =),(时，pd n =，S b a ∈∀,,n k a 1=，02=⇒=ab n k b所以S 是零环.命题 3.2.6 设m n ,是正整数，且m 是合数，1≠n ，)(n R =是由n 生成的环，则商环)/()(mn n S =是含零因子无单位元的环. 证明 })1(,,,0{)/()(n m n mn n S -==Λ是m 阶环.设uv m =，u <1，m v <，取un a =，vn b =，则0=ab所以S 是有零因子的环.设S 有单位元ln =e ，S kn a ∈=∀有a ea =，即tmn kn lkn kn kn +=⇒=⋅2ln所以 kn k tm l /)(+= (*)（1)当1),(≠=d n m 时，在(*)式中取1-=m k ，n m m t l k )1/()]1([--+=)1(|)1(-+-m m t n m k ，即找到正整数x 使得1)1(-=--m m t nx m k ，x 有整数解的充要条件是1|),)1((--m m n m ，而1),1(),)1((=-=-m m m n m 与假设矛盾，所以S 无单位元.4 模n 的剩余类环n Z ，对幂等元的存在4.1 设n Z 是一个模n 的剩余类环，考察n Z 中的乘法群G （当n 为素数，n Z 中非零元作成乘法群;当n 为合数则有n Z 中可逆的元作成乘法群），我们首先定义如下.定义：群G 中适合2g =g 的元素g 称为环n Z 的一个幂等元由定义可知群G 中的单位元e 是G 的一个幂等元，且显然有Λ===32e e e 反之，若g 是环n Z 的一个幂等元，则g 必是n Z 的一个乘法群的单位元;例如g 是一元群][g 的单位元.在一个低阶的模n 的剩余类环，例如18Z 中，不难通过测试的方法确定其幂等元；一般地，在模n 的剩余类环n Z 中则可如下考虑.设e 施环n Z 中的一个幂等元，那么，我们有)(mod e 2n e ≡（1） 因而 )(mod 0)1(e n e ≡- （2）即e 和1-e 是互素的、相邻的整数；且若n 为整数，有）（或n mod 10e ≡，若n 为合数，不妨设n=21n n ，不考虑）（或n mod 10e ≡的幂等元（即e 既非环n Z 的零元也非n Z 单位元），e 或1-e 将分别是n 的因子21n n 和的倍数；此时可考虑取该因子的倍数判断是否为环的幂等元.例如，设9218⨯==n ，于是在18Z 中若是取9=e ，则首先我们有9（9-1）≡0)(mod n 或者）（n mod 992≡即9=e 是18Z 中的一个幂等元；其次，由于9和（9-1）=8互素，故11819=⨯-⨯在上式两端分别加上98-89⨯⨯，则可推算出163-6479-88==⨯⨯并得到适合（2）式得两个相邻整数64和63，于是由）（modn 1064≡，）（modn 10102≡又可得到18Z 中的另一个幂等元10.对于上述18Z 中的两个幂等元9和10，容易看出它们还具有如下有趣的性质：10+9≡1（18mod ），10⨯9≡0(18mod )因而，我们有如下4.2 命题：设R 是一个有单位元的环，e 是R 的非零非单位元的幂等元，则e f -=1也是R 的幂等元，且具有性质：0,1==+ef f e .证明 事实上，由e-112121e -122=-=+-=+-=f e e e e e 即）（是R 的一个幂等元；又 1)1(=-+=+e e f e ，0)1(2=-=-=e e e e ef .于是命题得证.运用该命题，我们已经可以容易地从n Z 中的一个非零非单位元幂等元求出另一个幂等元f例：已知r =13是26Z 的一个幂等元,则由F=1-e=1-13=-12=14(mod n))(mod 14121311n e f ≡-=-=-=故f =14也是26Z 的一个幂等元由命题，我们还可以得出关于n Z 中的幂等元与n Z 元素之间另一关系的如下结果：设n=21n n ,且幂等元e 是1n 或其倍数，则n Z 中每一个元素k 均可表为n Z 中幂等元e 和f 的唯一组合：)(mod n f y e x k ⋅+⋅≡ （**）其中幂等元e 的系数)(m od 2n k x ≡,而幂等元f 的系数)(m od 1n k y ≡,例如：在上述26Z 中，n =26=13⨯2,幂等元e 为13；任取k =17,则由（**）有)26(mod 000f e +≡M)26(mod 69144134117≡⨯+≡+≡f eM)26(mod 18114121312125≡⨯+≡+≡f e其中)2(mod 117≡≡x ，而)13(mod 417≡≡y .以上讨论了模n 的剩余类环n Z 中幂等元的存在和求法，那么，对于给定的一个整数ε，ε可以是哪一个模n 的剩余类环n Z 的幂等元呢？若要ε为n Z 的幂等元，则应有：)1(|)(m od 0)1()(m od 2-⇔≡-⇔≡εεεεεεn n n于是对于给定的一个整数ε，取定一个)1(-εε的因子n ,便可在模n 的最小非负剩余系中确定以ε为幂等元的包含于n Z 的群，为此，对于ε,令)})1(,,2,,1{(εεε-≡n R Λ （4）则 (1)Zn 中以，幂等元ε为单位元的乘法群R G ⊂；(2)R 中属于G 的元必须是一个关于R 和G 共同的单位元的ε的有逆元的元.为此，令： },|{)(111ε==∈∃∈=---rr r r R r R r R G 使,则()G R 是一个满足要求的、由R 的可逆元作成、包含幂等元ε的乘法群.例： 设ε=25，则n 是6002425)1(=⨯=-εε的一个因子，不妨设n =30，则显然有)30(mod 25252≡，而由（4）式得： )30}(mod 25,20,15,10,5,0{}25)130(,),25(2),25(1,0{=-=ΛR不难判断R 中关于单位元ε=25的可逆元为5,25，因此)30}(m od 25,5{)(30=Z G为所求30Z 中包含幂等元ε=25的乘法群.至此，上述对于模n 的剩余类环n Z 及其乘法群的一些讨论，阐述了群与环的部分关系;有群的单位元导出了幂等元，并给出了如何在n Z 中去确定幂等元；反之，对于给定的一个整数，也可以确定以其为幂等元的换n Z 及其所构成的乘法群.5 模n 剩余类环n Z 的理想结论： 模n 剩余类环n Z 的所有理想都是主理想.证明： 对循环子群(对加法), ][i ∀,根据理想的定义,])([][],[,][i c b Z a n ∈∈∀有1) ])([][][][i c b c b ∈-=-;2) ])([][][][][]][[i b b b ab b a a∈++==4434421Λ,同理])([]][[i a b ∈; 所以])([i 做为一个理想,显然])([i 是主理想.由定理上叙定理的证明过程可以看出:所有循环子群(对加法)加上乘法都是模n 剩余类环n Z 的主理想.定理5.1 环n Z 有且只有T (n )个子环(其中T (n )表示n 的正因子的个数), 而且nZ 是一个n 阶循环环,从而其子加群、子环、理想是一致的.定理5.2 设n Z 是模n 剩余类环,则（1）若n 是素数,n Z 是域,则n Z 只有零理想和单位理想;（2）n Z 是域充分必要条件是(n )是Z 的极大理想.证明 (1) 显然成立.（2）由上述定理6知n Z 是域充分必要条件是n 为素数. 因此只须证明(n )是Z 的极大理想的充分必要条件是n 为素数.由于n Z 是有单位元的交换环, 设主理想}|{)(Z k nk n ∈=.若(n )为极大理想,如果n 不是素数,则必有,1,2121n n n n n n <<=,于是)(1n n ∈,但)(1n n ∉,)(1n 是n Z 的真包含(n )的理想.由(n )为极大理想知n Z n =)(1.但)(11n ∉矛盾,所以n 是素数.反之,设n 是素数,A 是n Z 的理想,且A n Z A n n ≠⊆⊆)(,)(, 则存在0),(,a n n a A a ⊥∉∈. 因为n 是素数, 所以n 与a 互素.于是存在Z v u ∈,,使1=+nv ua ,由A a n ∈,可知Z A A vn ua =∈+=,1因为Z n n ≠±≠)(,1, 所以( n )是极大理想在模n 剩余类加群）（+,n Z 及其子群中，0是单位元（有时也称零元），a 的逆元是a -.但在模n 剩余类环）（⋅+,,n Z 中，0必称零元，a的负元记作1-a .又知“a 是n Z 的可逆元⇔1,a =）（n ”，“a 是n Z 的零因子⇔n ,a 1,a ≠≠）且（）（n n （注意这里2≥n ）. 6 剩余类环的应用本节将利剩余类环对Euler 函数关系式、Eisenstein 判别法、整系数多项式无整数根、Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.定理 6.1 (Euler 函数关系式)ϕ为Euler 函数当1),(=n m 时,有)()()(n m mn ϕϕϕ=.证 1),(=n m 时))/(())/(())/((n Z U m Z U mn Z U ⨯=,而 )())/((mn mn Z U ϕ=, )())/((n n Z U ϕ=, )())/((m n Z U ϕ=,所以)()()(n m mn ϕϕϕ=.注:为方便起见下面出现的函数ϕ,都是Euler 函数.定理6.2 (Eisenstein 判别法):设011)(a x a x a x f n n n n +++=--Λ是一个整系数多项式,如果有一个质数p ,使得p 满足条件:i) P 不整除n a ;ii) P|i a (1,1,0-=n i Λ);iii) 2p 不整除0a ,那么)(x f 在][x Z 中不可约.证 首先令])[/()(0x p Z x a x f n i ii ∈=∑=,其中a 表示a 的模p 剩余类.现反设f 在][x Z 中可约gh f =,其中0111b x b x b x b g t t t t ++++=--Λ.0111c x c x c x c h m m m m ++++=--Λ,n t m <,n t m =+.于是h g f =,另一方面011)(a x a x a x f n n n n +++=--Λ.因p |i a (10-≤≤n i )p 不整除n a ,故n n x a f =,于是有t x g α=,m x h β=，这说明g 的常数项00=b ,h 的常数项00=c ,那么p |0b 且p |0c ,所以2p |000a c b =,这与2p 不整除0a 矛盾,故)(x f 不可约.定理6.3 (整系数多项式无整数根):设011)(a x a x a x f k k +++=Λ是整系数多项式, 且0a 及∑=k i i a0都是奇数,则)(x f 无整数根.证 令∑=∈=k i i ix Z x a x f 0])[2/()(,其中i a 表示i a 的模2剩余类,反设)(x f 有一整数根n .而0=n 或1=n ,若0=n ,则有0)0()(0===a f n f ,故有2|0a 矛盾.若1=n ,则有0)1()(0===∑=k i i a f n f ,故2|∑=ki k a 0,矛盾.故反设不成立,即)(x f 无整数根.定理6.4 (Euler 定理) 设n 是大于1的整数,1),(=n a ,则)(m od 1)(n a x ≡ϕ.证 因1),(=n a ,又,))/((n Z U a ∈a-∈U(Z/(n)),但单位群))/((n Z U 的阶为)(n ϕ,所以1)(=n a ϕ,即1)(=n a ϕ,所以)(m od 1)(n a n ≡ϕ).定理6.5 (Fermat 小定理) 若p 是质数,则)(mod p a a p ≡.证 若1),(=p a ,由Euler 定理及1)(-=p p ϕ,即得)(mod 11p a p ≡-,因而)(mod p a a p =,若0),(≠p a ,则a p |,故)(mod p a a p ≡.下面从代数的角度观察完全及简化剩余性质.定理6.6 设110,,,,1),(-=n a a a n a Λ为模n 的完全剩余系,则110,,,-n aa aa aa Λ也是模n 的完全剩余系.证 由题设知)/(},,,{110n Z a a a n =-Λ,而从1),(=n a 得a 可逆,故有)/(},,,{110n Z aa aa aa n =-Λ,从而110,,,-n aa aa aa Λ也是模n 的完全剩余系.定理 6.7 设1)(10,,,,1),(-=n a a a n a ϕΛ为模n 的简化剩余系,则1)(10,,,-n aa aa aa ϕΛ也是模n 的简化剩余系.证 由题设知))/((},,,{1)(10n Z U a a a n =-ϕΛ,又因1),(=n a ,得知a 可逆,故))/((},,,{1)(10n Z U aa aa aa n =-ϕΛ,从而1)(10,,,-n aa aa aa ϕΛ是模n 的简化剩余系.结束语模n 剩余类环是一种比较透彻的特殊环，模n 的剩余类环为有限可换环、整环及域都提供了丰富的例证.模n 剩余类环的所有理想是主理想，并且它们都可由n 的所有因子作为生成元生成的(或者由n 与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n 的欧拉数.使我们得以迅速求解其子环和理想.且当n 是素数时，模n 剩余类环只有零理想和单位理想.参考文献[1] 朱德高. 关于模n 剩余类环[J]. 高等函授学报(自然科学版), 1996,(02) .[2] 唐再良. 论模n 剩余类环Z_n 的性质与扩张[J]. 绵阳师范学院学报, 2008,(08) .[3] 陈水林. 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And from the algebra view known to simplify surplus system completely and some properties of.Keywords: Modulo n residual class ring sub-ring ideal idempotent element.感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。