第16讲 剩余类环
关于模n的剩余类环zn的注记
关于模n的剩余类环zn的注记
模n的剩余类环是数论中的重要概念，它在许多数学方面都有十分广泛的应用。
模n的剩余类环（简称zn）是一组相互不等的、分布在（0，n-1）的元素的集合，它是以模n的同余定义的，即一个数有表示如下：rn=a（mod n），其中a∈z（所有整数），r 是模n的剩余类环zn中的元素。
zn是一个环，具有加法和乘法的运算，也就是说，它是一个乘法群和一个加法群，满足群中元素的乘法、加法的结果也仍然是该群中的元素，而且对每一个元素都存在幺元，例如有幺元1，幺元0，相应的有加法逆元，乘法逆元，最后的结果就是依然是该zn环中的元素。
模n的剩余类环zn有着广泛的应用，它经常被用于求解数论中的一些难题，例如质因数分解，以及求解符号问题等，它也被用于做密码学算法，如椭圆曲线加密等。
另外，zn
也经常用于信号与系统理论中的一些应用中，例如滤波器设计、调制和解夫尔解调等。
由于模n的剩余类环zn有着广泛的应用，它也一直是数论中重要的研究课题。
因此，在近年来，学者们从不同的角度在探索和研究zn的性质，做出了大量的成果，丰富了zn的理论研究，也为实际应用提供了极大的便利。
近世代数课件--3.8 剩余类环,同态与理想
我们现在用符号
a b A
a b A a b A 即 来表示（读成 a 与 b 模 A 同余）。
一个类 a 包含所有可以写成
au
u A
的形式的元. 两个元的剩余类相等的条件是：
[ a ] [b ] a b A
1
证明: 1.分两步 1) a , b I a b I 2) a I , r R ra , ar R 2-5 同学自行给出.
8.4 同态基本定理
定理 2 假定R同 R 是两个环，并且R与 R 同态，那么
R A R
这里 A 是同态满射的核. 证明 设 个映射 : R
例1. 设 : Z Z n , ( n ) [ n ] (1)证明 是同态满射 (2)求 k er (3)写出 Z 的一个商环, 使它与 Z n 同构.
例2. 证明 Q [ x ] /( x ) Q 例3. 证明
Q [ x ] /( x 1) Q [ i ]
2
8.5 同态的性质
: R R 是已知的同态满射,
A R
*
利用它构造一
( a ) a a
(1) 是一个aຫໍສະໝຸດ R A与 R
间的映射。因为：
*
b
a bA ab ab 0 a b
*
( a ) ( b )
是一个 R A 与 R 的映射。
记 k er f I ,[a]=a+I.
它有以下性质: 1. ker f I 是理想 2. [ a ] [ b ] f ( a ) f ( b ) 3. x [ a ] f ( x ) f ( a ) 4. f ([ a ]) { f ( a )} . 5. 记 a f ( a ) ,那么 f ( a ) [ a ]
剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性
2014届本科毕业生毕业论文题目=剩余类环巳2上的多项式环及因式分解和可约性学院：专业班级学生姓名：指导教师：答辩日期：大学教务处1引言 (1)2群，环的相关理论....................................... 错误!未定义书签。
2.1交换群，环的定义..................................... 错误!未定义书签。
2.2多项式环 (2)2. 3剩余类环和模为2的剩余类环的证明 (3)2.4剩余类环上的多项式环 (5)3 剩余类环上的因式分解及可约性 (5)3.1模为2的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性 (5)4结论 (10)附录 (11)参考文献 (11)致谢 (12)剩余类环5上的多项式环及因式分解和可约性摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环Z2为环，构造剩余类环z2上的多项式环，给出剩余类环z2上的多项式环的因式分解及判断可约性。
关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。
Factorization of polynomial ring and the residue class ringZ2 decomposition and reducibilityAbstract: This paper presents group, abelian groups, rings, determination of invertible elements; prove the residue class ring ring, polynomial ring over residue class rings, given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibility・Keywords: ring； residue class ring； polynomial ring over residue class rings；the ring of polynomials factorization； polynomial ring reducibility・1引言19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学学科。
论模n剩余类环Z_n的性质与扩张
定理 1 3 设 a, b ! Zn, 则 a | b 的充要条件为 ( a, n ) | b。
2 剩余类环 Zn 的一般性质
利用已有的定义和基本性质, 可以得出模 n剩余环 Zn 的更一般的一些性质。
定理 2 1 定理 2 2 定理 2 3 定理 2 4 同。
模 n 剩余环 Zn 是交换环。 在模 n 剩余环 Zn 中, 所有左右零因子都是其零因子。 模 n 剩余环 Zn 是无零因子环的充分必要条件是 n为素数。 设 ∃Zn, +, # %为无零因子环 (Zn 模大于 1), 那么加群 ∃Zn, + %中每一个非零元素的阶必相
s t = 1, 即 st = 1, n | ( st - 1). 于是存在整数 k 使
su + nv = 1. 从而 ( s, n) = 1。 反之, 若 ( s, n) = 1, 则存在整数 u, v使
su + nv = 1. 由此可得 su + nv = 1, 但 nv = 0, 故 su = 1. 即 s是 Zn 的可逆元。 ( 2) 若 s ∀ 0不是可逆元, 则由 ( 1) 知, ( s, n) = d > 1。令
定理 2 11 Zm 与 Zn 同态 (即存在 Zm 到 Zn 的同态满射 ) 当且仅当 n | m。 证明 设 是 Zm 到 Zn 的一个同态满射, 分别用 a 表示 a)表示 Zm 与 Zn 的元素, 则
( 1) = 1), ( 0) = 0) 但由于 m 1 = 0且 1)的阶是 n, 故由上得
( [ i] );
由定理 2 9的证明过程可以看出: 所有循环子群 (对加法 ) 加上乘法都是模 n剩余类环 Zn 的主理想。由 定理 2 8、2 9可得
高等代数F[x] 模某个理想的剩余类环
![高等代数F[x] 模某个理想的剩余类环](https://img.taocdn.com/s3/m/b9b0545b011ca300a6c390b3.png)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
添加一个多项式的根的扩域
现设 ∂p(x) = n, p(x) = anxn + · · · + a1x = a0. 由于 p(x) 不可约，上 面推论中指出商环 F[x]/(p(x)) 是域. 我们有下面定理. 定理 F 是域，p(x) 是 F[x] 中不可约多项式，∂(p(x)) = n，则
. .. . . ..
F[x] 中的极大理想
推论 F[x]/(f(x)) 是域当且仅当 f(x) 是不可约多项式. 证明 由 § 4 定理 3 是域当且仅当 f(x) 是不可约多项式.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
故 ¯x 是 p(x) 的一个根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
添加一个多项式的根的扩域
(ii) 作映射
F[x] −→φ F(α)
f(x) −→ f(α),
易知这是环同态.ker φ = {f(x) | f(α) = 0}. 因 p(x) 不可约及 p(α) = 0，由 § 2 定理 4 及推论，ker φ 中任一多项式 f(x) 是 p(x) 的倍数. 于是 ker φ = (p(x)). 由环的同态基本定理知 F[x]/(p(x)) = F[x]/ker φ ∼= F(α). 这里虽是环同构，但两者都是域， 故是域同构.
. .. . . ..
F[x] 模某个理想的剩余类环
设 F 是域，§ 4 例 12 中已指出 F[x] 的全部理想都是主理想 (f(x)) = f(x)F[x], f(x) 是 F[x] 中任意多项式. 设 ∂(f(x)) = n，作商环 F[x]/(f(x))，则
剩余类环上矩阵的等价标准形
剩余类环上矩阵的等价标准形矩阵是现代数学中的一个重要概念，在众多数学领域中都有广泛的应用。
矩阵论是线性代数的一个分支，研究矩阵的基本性质和运算规则，以及矩阵与线性变换之间的联系。
在矩阵论中，矩阵的等价标准形是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地研究矩阵的性质和特征。
在剩余类环上矩阵的等价标准形中，我们将研究矩阵在剩余类环上的性质和等价标准形。
剩余类环是现代数学中一个经典的概念，它是数学中一个很重要的工具，可以用来研究代数结构中的等价关系。
在剩余类环上研究矩阵的等价标准形，可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和特征，为后续的矩阵计算和应用提供基础。
一、剩余类环的定义和性质剩余类环是一个经典的数学概念，它是由一个集合和一个等价关系构成的。
具体地说，设G是一个群，H是G的一个子群，对于g1,g2∈G，如果g1g2∈H，则称g1和g2在H下同余，记作g1≡g2(modH)。
这个等价关系可以构成一个等价类，所有和g1在H下同余的元素构成的集合称为g1在H下的剩余类，记作[g1]H。
所有在H下的剩余类组成的集合称为G模H的剩余类环，记作G/H。
剩余类环具有以下性质：1. 剩余类环是一个群，其乘法运算为[g1]H[g2]H=[g1g2]H，其单位元为H的剩余类，即[H]H。
2. 剩余类环是一个环，其加法运算为[g1]H+[g2]H=[g1+g2]H，其乘法运算为[g1]H[g2]H=[g1g2]H，其零元为H的剩余类，即[H]H，其单位元为1的剩余类，即[G]H。
3. 剩余类环的加法和乘法运算满足分配律、结合律和交换律。
4. 剩余类环的阶为|G:H|，即G模H的剩余类个数。
二、剩余类环上矩阵的定义和性质在剩余类环上，我们可以定义矩阵的加法和乘法运算。
具体地说，设G是一个群，H是G的一个子群，K是一个有限域，A和B是G模H 的剩余类环上的K矩阵，则矩阵的加法运算为A+B=[a(i,j)+b(i,j)]H，矩阵的乘法运算为AB=[∑a(i,k)b(k,j)]H。
模6的剩余类环的加法运算表
模6的剩余类环的加法运算表剩余类的运算剩余类加法：[a] + [b] = [a + b]剩余类乘法：[a][b] = [ab]剩余类环：如果模n的剩余类集合中定义了剩余类加法和剩余类乘法运算，就把它叫做模n的剩余类环，记作：{[0],[1],[2]...[n-1];+,.}.我们已经知道整数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律，剩余类的加法、乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。
另外，在模n的剩余类环中，对任意的剩余类[a],恒有[a] + [0] = [0] + [a] = [a][a][1] = [1][a] = [a][a][0] = [0][a] = [0]这样，我们可以发现，[0]、[1]与整数集中的0、1有着相同的运算性质，我们分别把[0]和[1]叫做模n的剩余类环的零元和单位元。
[0]*1=[0]，[3]*2=[0]，[2]*3=[0]，[4]*3=[0]，[1]*6=[0]，[5]*6=[0]。
满足[x]*n=[0]的最小正整数n就是[x]的阶。
[2]的阶是3就是说满足方程[2]*n=[0]的最小整数n是3。
循环群定义为若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的—个生成元。
循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型。
扩展资料：设(a)是—个循环群：(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；(2)若|a|=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。
证(1)|a|=∞，则当m≠n时，am≠an，(a)={…，a-2，a-1，e，a1，a2，…}。
于是令φ：(a)→Z，am→m可以证明这是循环群(a)到整数加群Z的一个双射，且φ(am·an)=φ(am+n)=m+n=φ(am)+φ(an)，故φ是(a)到Z的一个同构映射，所以(a)≌Z。
第16讲 剩余类环
例1
写出剩余类加群Z15的
(5) 全部理想； ([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]), ([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]). (6) 全部可逆元； { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (7) 全部零因子； { [3], [5], [9], [10], [12]}
例1
写出剩余类加群Z15的
(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (4) 每个元素的负元； (6) 全部可逆元；
(1) 全部元素； { [0], [1], …, [14]} (3) 全部全部子加群； (5) 全部理想；
(8)[1]=[14], [2]=[13], (7) [1]= Z15, Z15是域吗？ [0], 全部零因子； [3]=[12], [4]=[11], [5]={[0], [5], [10]}= [10], 说明理由。 [3]={ [0], [3], [6], [9], [12]} [5]=[10], [6]=[9], [7]=[8]. = [6]= [9]= [12].
结论 而 a 和 b 可由 d 生成: 由理想的吸收性得 d∈N,
定理1 整数环是主理想环
启示: N的极小生成集只能有一个数.
a = qd , b = hd, q, h∈Z.
即N是主理想, 其生成元必然是
Ｎ中绝对值最小的数, 设为 n, 则 N = (n) = nZ = {qn: q∈Z}
二 商环的结构
nZ={nk: k∈Z} ◁Z.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
结论 而 a 和 b 可由 d 生成: 由理想的吸收性得 d∈N,
定理1 整数环是主理想环
启示: N的极小生成集只能有一个数.
a = qd , b = hd, q, h∈Z.
即N是主理想, 其生成元必然是
Ｎ中绝对值最小的数, 设为 n, 则 N = (n) = nZ = {qn: q∈Z}
二 商环的结构
分析
设 n ≠0.
a + (n) ∈ Z∕(n) ,
0 r < n. ?
设
a = qn + r,
则 a + (n) = r + q n + (n) = r + (n) .
命题1
商环 Zn =Z⁄ (n) = {[0], [1], …, [n 1]}, [k]=k+(n).
称为模 n 的剩余类环 .
例1
写出剩余类加群Z15的
(5) 全部理想； ([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]), ([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]). (6) 全部可逆元； { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (7) 全部零因子； { [3], [5], [9], [10], [12]}
(8) Z15是域吗？说明理由。
不是。因为有零因子。
作业：P92, 2,3,4.
命题 [k]∈Zn关于乘法可逆 当且仅当 k与n互素.
证明 (k,n)=1 有s,t∈Z使得 sk+tn=1 [s][k]= [sk]=[1] [k]可逆
♥2.4 剩余类环Zn 推论 Zn中所有可逆元组成乘法群. 它的阶是
1, 2,…, n中所有与n互素的元的个数(n), 称为欧拉函数.
设n= p p p
e1 1 e2 2 er r 是n的素因子分解,
则
1 1 (n) n1 1 . p p 1 r
设 [a], [b]∈Zn, 若[a] = [b], 则称a 与 b 模 n 同余, 记为 a ≡b (mod n). 欧拉-费尔马定理 若(a, n)=1, 则 a (n), ≡1 (mod n). 推论 设 p 是素数, 且 p∤a, 则 a p 1 ≡ 1 (mod p).
推 论
Zn = Z ⁄ (n)是域 n是素数.
前面的推理告知了如何构造素数个元的有限域. 第三章将介绍如何构造 p k ( p素数) 个元的有限域. 下面看一看Zp的妙用. 例1 证明 x3 +13x+121 在Z[x]中不可约. 证明 对系数取模2得 x3 +x+1, 作为域Z2上的多项式, 在 Z2={[0], [1]}中没有根, 因而在Z2[x]中不可约. 所以, 在Z[x] 中不可约. 根据是 命题2 设 p 是素数, 从 Z[x] 到 Zp[x]有环同态
:
i 0
n
ai x i ai x i ,
i 0
n
ai ai ( p).
证明 由于 a a 是Z到Zp的自然同态, 直接验证即得.
根据命题2, f(x)在Z[x]中可约, 则 ( f(x))在Zp[x]中必然可约.
♥2.4 剩余类环Zn
定义 环R中的元素 a 称为 可逆的,如果有 b∈R 使得 ab=ba=1.
三 Z的极大理想
定理2
主理想 (n) 证明 充分性
设 n 是素数,
必要性 设 (n) 是极大理想. 若有 (n) (m) Z, 则 m|n,
m|n, 则 1, -1, n 或 Z, m = (n) (m) -n,
是Z的极大理想
n是素数.
(m) = Z 或 (n), = 1, -1, 或 n, -n, 所以,m (n) 是极大理想. 所以, (n) 是极大理想。
第15讲
剩余类环Zn
•数学是打开科学大门的钥匙; •数学是科学的语言; •数学是思维的工具;
•数学是理性的艺术;
•数学是一种理性精神.
问题：
有限域的特征是一个素数. 给出了非常有用的 2元域F2. 问: 对任一素数 p, 有特征为 p 的有限域吗? 如果有, 怎么构造?
下面, 我们利用整数环模极大理 想来回答上述问题.
例1
写出剩余类加群Z15的
(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (4) 每个元素的负元； (6) 全部可逆元；
(1) 全部元素； { [0], [1], …, [14]} (3) 全部全部子加群； (5) 全部理想；
(8)[1]=[14], [2]=[13], (7) [1]= Z15, Z15是域吗？ [0], 全部零因子； [3]=[12], [4]=[11], [5]={[0], [5], [10]}= [10], 说明理由。 [3]={ [0], [3], [6], [9], [12]} [5]=[10], [6]=[9], [7]=[8]. = [6]= [9]= [12].
nZ={nk: k∈Z} ◁Z.
每个理想都是主 理想的环称为主 理想环.
商环 Z /nZ= {[0], [1], [2], …, [n 1]}
其中 [k]=k+nZ.
(一) Z 的理想 设N是 Z 的非零理想, 考察 N 的生成集. a, b ∈N, 联系 a 和 b 的是它们的最大公因数 d = ua + vb, u, v∈Z.