4-5模n剩余类环
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
数学的思维方式与创新尔雅网课通识答案
【单选题】黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有（）直线与已知直线平行。
A、没有直线B、无数条C、至少2条D、一条我的答案：A 得分：25.0分2【单选题】（）是第一个被提出的非欧几何。
A、解析几何B、罗氏几何C、黎曼几何D、欧氏几何我的答案：B 得分：25.0分3【单选题】数学的整数集合用字母（）表示。
A、MB、WC、ND、Z我的答案：D 得分：25.0分【判断题】在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。
（）我的答案：√得分：25.0分集合的划分（二）已完成成绩：100.0分1【单选题】星期日用数学集合的方法表示是（）。
A、{7R|R∈Z}B、{5R|R∈Z}C、{7R|R∈N}D、{6R|R∈Z}我的答案：A 得分：20.0分2【单选题】A={1,2}，B={3,4},A∩B=（）。
A、BB、{1,2,3,4}C、AD、Φ我的答案：D 得分：20.0分3【多选题】集合的性质有（）。
A、封闭性B、互异性C、确定性D、无序性我的答案：BCD 得分：20.0分4【判断题】星期二和星期三集合的交集是空集。
（）我的答案：√得分：20.0分5【判断题】空集属于任何集合。
（）我的答案：×得分：20.0分集合的划分（三）已完成成绩：100.0分1【单选题】发明直角坐标系的人是（）。
A、牛顿B、伽罗瓦C、笛卡尔D、柯西2【单选题】如果S、M分别是两个集合，SХM{(a,b)|a∈S,b∈M}称为S 与M的（）。
A、牛顿积B、笛卡尔积C、莱布尼茨积D、康拓积我的答案：B 得分：25.0分3【判断题】空集是任何集合的子集。
（）我的答案：√得分：25.0分4【判断题】任何集合都是它本身的子集。
（）我的答案：√得分：25.0分集合的划分（四）已完成成绩：100.0分1【单选题】如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到（）。
A、x∈aB、x的等价类=a的等价类C、x=aD、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积2【单选题】设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x ∈S|x～a}，称为a确定的（）。
模n剩余类环的零因子图的补图的类数
Ａｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎｇ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｉ ｍｅ ｎ ｕｍｂ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｎ，ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｕ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ｅ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｅ ｂ ｉ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ， ｌ ｏ ｗｅ ｒ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ｏ ｆ ｇ ｅ ｎ ｕｓ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｓ ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｍｅ ｅ ｍｂ ｅ ｄ ｄ ｉ ｎｇ ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｑ ｕ ｅ，ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｕ ｓ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｚ ｅ ｒ ｏ — ｄ ｉ ｖ ｉ ｓ ｏ ｒ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｏ ｆ ｒ ｅ ｓ ｉ ｄ ｕ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｏ ｎ ｗａ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｎ ｏ ｔ ｍｏ ｒ ｅ ｔ ｈ ａ ｎ ５ ｉ ｆ ａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｌ ｙ ｉ ｆ ｎ ｅ ｑｕ ａ ｌ ｌ ｅ ｄ ｔ ｏ ６， ８， １ ０， １ ２， １ ４， ｌ ５， １ ６， ｌ ８， ２ ０， ２１， ２ ２， ２ ７， ３３， ３ ５， ５ ５， ７ ７， Ｐ ．Ｔｈ ｅ Ｐ ｍｅ ａ ｎ ｔ ｐ ｒ ｉ ｍｅ ．Ｔｈ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｉ ｉｃ ｆ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗａ ｓ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｔ ｅ ｌ ｙ ｒ ｅ ａ — ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｗｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｏ ｆ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ ｚ ｅ ｒ ｏ — ｄ ｉ ｖ ｉ ｓ ｏ ｒ ｇ ｒ ａ ｐ ｈ ｆ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｉ ｄ ｕ ｅ ｃ ｌ ａ ｓ ｓ ｍｏ ｄ ｕ ｌ ｏ ｎ ｗｅ ｒ ｅ ０， １， ２， ３， ４， ５，
高等代数F[x] 模某个理想的剩余类环
![高等代数F[x] 模某个理想的剩余类环](https://img.taocdn.com/s3/m/b9b0545b011ca300a6c390b3.png)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
添加一个多项式的根的扩域
现设 ∂p(x) = n, p(x) = anxn + · · · + a1x = a0. 由于 p(x) 不可约，上 面推论中指出商环 F[x]/(p(x)) 是域. 我们有下面定理. 定理 F 是域，p(x) 是 F[x] 中不可约多项式，∂(p(x)) = n，则
. .. . . ..
F[x] 中的极大理想
推论 F[x]/(f(x)) 是域当且仅当 f(x) 是不可约多项式. 证明 由 § 4 定理 3 是域当且仅当 f(x) 是不可约多项式.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
故 ¯x 是 p(x) 的一个根.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
添加一个多项式的根的扩域
(ii) 作映射
F[x] −→φ F(α)
f(x) −→ f(α),
易知这是环同态.ker φ = {f(x) | f(α) = 0}. 因 p(x) 不可约及 p(α) = 0，由 § 2 定理 4 及推论，ker φ 中任一多项式 f(x) 是 p(x) 的倍数. 于是 ker φ = (p(x)). 由环的同态基本定理知 F[x]/(p(x)) = F[x]/ker φ ∼= F(α). 这里虽是环同构，但两者都是域， 故是域同构.
. .. . . ..
F[x] 模某个理想的剩余类环
设 F 是域，§ 4 例 12 中已指出 F[x] 的全部理想都是主理想 (f(x)) = f(x)F[x], f(x) 是 F[x] 中任意多项式. 设 ∂(f(x)) = n，作商环 F[x]/(f(x))，则
无零因子环的刻画及各种环的例子
第31卷 第2期 吉首大学学报(自然科学版)Vol.31 No.2 2010年3月J ournal of J is ho u Uni ver s i t y (Nat ural Sci ence Editio n)Mar.2010 文章编号:100722985(2010)022*******无零因子环的刻画及各种环的例子3陈祥恩(西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州 730070)摘 要:总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件.给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.关键词:环;无零因子环;刻画中图分类号:O175 文献标识码:A环是近世代数中的一个很基本的概念,对环的教学也显得尤为重要.根据笔者的教学实践,首先总结了刻画一个环是无零因子环的若干等价条件,然后给出了各种环的例子,以期更好地理解各种环之间的关系.所用术语如无特别说明请参看文献[1].1 无零因子环的刻画设R 是一个环,a 是R 中的一个非零元.如果存在R 中非零元b 使得ab =0,那么称a 为R 的一个左零因子.同理可定义右零因子.如果一个环没有左零因子,那么称它为无零因子环.先给出刻画一个环是无零因子环的若干充要条件.定理1 设R 是一个环.下述几条彼此等价:1)R 中左消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ab =ac ,a ≠0,就有b =c;2)R 是无零因子环;3)R 中没有“既是左零因子又是右零因子”的元;4)R 中没有右零因子;5)R 中右消去律成立,即Πa ,b ,c ∈R,一旦ba =ca ,a ≠0,就有b =c;6)R 中任意2个非零元的乘积还是非零元;7)Πa ,b ∈R,一旦ab =0,就有a =0或者b =0.2 各种环的例子图1 各种环的关系先用文氏图给出环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系.如图1所示,方框的内部表示所有环的集合.包含数字2,5,6,7,8的圆的内部表示所有交换环的集合.包含数字4,6,7,8,9,10的圆的内部表示所有含单位元的环的集合.包含数字3,5,7,8,9,10的圆的内部表示所有无零因子环的集合.虚线的内部表示所有除环的集合.3收稿日期:2009211206基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771091);西北师范大学数学与应用数学专业代数课程(校级及省级)教学团队经费资助()作者简介陈祥恩(652),男,甘肃天水人,西北师范大学数学与信息科学学院教授,主要从事代数与图证研究2009-07:19.为了更好地理解环、交换环、有单位元的环、无零因子环、整环、除环以及域之间的关系,下面给出各种环的例子.用E表示所有能够被2整除的整数所组成的集合,用Z表示整数集.例1 令R1={a bc d|a,b,c,d∈E}.R1关于矩阵的加法、乘法作成环.R1不是交换环,不是有单位元的环,也不是无零因子环.例2 设(Z,+)是整数加群.对Πa,b∈Z,令a.b=0,则(Z,+,.,)是交换环,但不是有单位元的环,也不是无零因子环.例3 令R2={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈E}.R2关于矩阵的加法、乘法作成环.R2不是交换环,不是有单位元的环,但它是无零因子环.例4 设M n(F)表示数域F上全体n(>1)阶方阵所构成的集合.M n(F)关于矩阵的加法、乘法作成环.M n(F)是有单位元的环,但它不是交换环,不是无零因子环.例5 E关于整数的加法、乘法构成一个环.它是交换环、无零因子环,但它不是有单位元的环.例6 设n(>1)是合数,则模n的剩余类环Z n是交换环、有单位元的环,但它不是无零因子环.例7 设整数环Z是整环,但它不是域.例8 设p(>1)是素数,则模p的剩余类环Z p是域.例9 四元数除环是除环,但不是域[1].例10 令R3={a+b i c+d i-c+d i a-b i|a,b,c,d∈Z}.R3关于矩阵的加法、乘法作成环.R3是有单位元的环、无零因子环,但它不是交换环,不是除环.参考文献:[1] 张禾瑞.近世代数基础[M].第1版.北京:高等教育出版社,1978.Char acter iza tion f or Rings Without Zer o Divisor andExa mples of V ar ious RingsC H EN X ia ng2en(College of Mathematics a nd Infor mation Science,Nort hwest Normal Univer sity,La nzhou730070,China)Abstract:The equivalence condi tions for charact erizing ri ngs wit hout zero divi sor are summarized a nd t he exa mple s of va rious rings are gi ven i n t hi s paper.K ey w or ds:ri ng;ri ng wit hout zero di vi sor;charact erizat io n(责任编辑 向阳洁) 2吉首大学学报(自然科学版)第31卷。
循环群的例子
循环群的例子循环群是代数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用，如密码学、密码破解、编码理论等。
循环群是一种特殊的群结构，具有很多有趣的性质和特征。
下面我将列举一些循环群的例子，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 整数加法群（Z，+）：这是最简单的循环群，它由所有整数构成，运算为加法。
对于任意整数n，我们可以用加法运算得到n的倍数，即n，2n，3n，……，形成一个循环群。
2. 整数乘法群（Z*，x）：这是整数的乘法运算构成的循环群。
对于任意非零整数n，我们可以用乘法运算得到n的幂，即n，n^2，n^3，……，形成一个循环群。
3. 有限域的乘法群（F*，x）：有限域是一种特殊的代数结构，它由有限个元素构成，并定义了加法和乘法运算。
其中乘法运算构成一个循环群，这个循环群通常被用于密码学中的椭圆曲线加密算法。
4. 复数单位根群（U(n)）：复数单位根是指满足z^n=1的复数z，其中n是一个正整数。
所有满足这个条件的复数构成一个循环群，被称为复数单位根群。
这个循环群在信号处理和图像处理等领域有广泛的应用。
5. 矩阵乘法群（GL(n, R)）：GL(n, R)是n阶可逆矩阵构成的群，其中矩阵乘法是运算。
对于任意可逆矩阵A，我们可以用矩阵乘法得到A的幂，即A，A^2，A^3，……，形成一个循环群。
6. 带余除法群（Z/nZ，+）：带余除法群是由整数模n的剩余类构成的群，其中运算为模n的加法。
对于任意整数m，我们可以用加法运算得到m的倍数模n的剩余类，即[m]，[2m]，[3m]，……，形成一个循环群。
7. 旋转群（SO(2)）：旋转群是二维空间中所有旋转操作构成的群。
其中运算为矩阵乘法。
对于任意角度θ，我们可以用旋转矩阵得到所有绕原点旋转θ的操作，形成一个循环群。
8. 圆周群（S^1）：圆周群是单位圆上所有点构成的群，其中运算为复数乘法。
对于任意角度θ，我们可以用复数乘法得到所有绕原点旋转θ的点，形成一个循环群。
4-5模n剩余类环
2015-5-14
20:47
2. 剩余类环的性质 定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则 (1) [a] 为 Z m 的零因子 ( a, m) 1 (2) [a] 为 Z m 的可逆元 ( a, m) 1
,故 m | ab .若 ( a, m) 1 ,则 m | b ,所以 [b] [0] ,矛盾.于是 ( a, m) 1 .
x, y Z
st . ax my 1 ,因此, [a][ x] [ax] [1] ,故 [ a ] 可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2015-5-14 20:47
例 1 Z12 解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
,于是 [ a ] 是零因子.
2015-5-14 20:47
(2)若 [a ] 为 Z m 的可逆元,则 [b] Zm , [a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z ,使得 ab 1 cm ,也就是 ab ( c )m 1 ，所以 ( a, m ) 1. 反之, 如果 ( a, m) 1 ,则
为其一同态满射，则在 之下单位元的象是单位 元，
即1 1 ，从而对任意的整数 x有
～ ~ ~ ～
：x x 特别4 20:47
定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.
注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构. ～ ~ ~ ~ 例 Z6的子环 R {0, 2, 4}与Z9的子环R ＝ {0, 3, 6}
剩余类环上的多项式环及因式分解和可约性
2.1
定义4⑵设G是非空集合，在G上有一个代数运算，叫做乘法，对G的任 意两个元“，乃，其运算的结果称为Q与b的积，记为c = ab, (in果还满足
1.结合律:a(bc) = (ab)c,u,b,c WG.
2.
3.对每个a eG，有beG，使db = ba = e,b称为。的一个逆元.
则称G为一个群.
Keywords:ring；residue class ring；polynomial ring over residue class rings；the ring of polynomials factorization；polynomial ring reducibility・
1
19世纪以及整个20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群， 环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功，使得代数成为20世纪最活跃的数学 学科。在1930年与1931年，荷兰数学家范徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著Moderne Algebra(近世代数)⑴。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透 到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。
当群G的运算满足交换律时，成G为交换群，这时也常把其运算记成加法, 并称它是一个加(法)群(注意 加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元 相当于乘法群中的逆元)I2]o
2.1.2
定义⑶一个集合R叫做一个环•假如
1.R是一个加群，换句话说，R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一 个交换群；
2.对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；
(
(
这里
,+j=k
这两个式子告诉我们，对于加法和乘法来说都是闭的。山于我们也有
_(a
定义⑸R［x］叫做R上的X的多项式环。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-5-14 20:47
2015-5-14
20:47
ab,
但[a][b] [ab] [0], Z m 为有零因子环.
2015-5-14
20:47
推论
Z m 为域 m 为素数.
（有限无零因子环是除环）
2015-5-14
20:47
例2 Z5是域，Z6不是域. 定理3 设m,n是两个正整数,则Zm～Zn当且仅当 n∣m 证：令
～ Z m {0,1, m 1}, Z n {0,1, n 1 }, 并设Zm～Z n且
x, y Z
st . ax my 1 ,因此, [a][ x] [ax] [1] ,故 [ a ] 可逆.
剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子.
2015-5-14 20:47
例 1 Z12 解 (1) 全部零因子:
[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10] (2) 全部可逆元: [1],[5],[7],[11]
近世代数
第四章 环与域 §4 模n剩余类环
2015-5-14
20:47
定义 1 （同余）整数 a 关于模正整数 m 同余于 整数b，是指 m∣a－b, 并写a≡b (mod m). 整数模 m 同余类共有 m 个，他们分别为 mk+0, mk+1, mk+2,…mk+(m-1); k∈z，每 一个算一类，每一类都可以选一个代表元， 一般选这一类中的最小的非负整数。于是 称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。
2015-5-14 20:47
定义2：模 m 的剩余类环Ｒ＝｛模 m的剩余类｝，规定 R 中的加法和乘法如下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
如何证明 R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与 代表元的选择无关。封闭性是显然的。然后证明R关于加法 是一个Abel群，关于乘法是一个（含幺，可交换）半群。然 后证明分配律成立
反之,如果
Z m 的零因子,则存在 [b]( [0]) Zm ,使得 [a][b] [ab] [0]
证：(1)若 [a] 为
( a, m) d 1 , 设 a a1d , m m1d ,则 m | ma1 m1da1 m1a ,所以 [m1 ][a] [m1a] [0] ,但 [m1 ] [0]
,于是 [ a ] 是Z m 的可逆元,则 [b] Zm , [a][b] [ab] [1]. 于是, m | ab 1,即 c Z ,使得 ab 1 cm ,也就是 ab ( c )m 1 ，所以 ( a, m ) 1. 反之, 如果 ( a, m) 1 ,则
2015-5-14
20:47
2. 剩余类环的性质 定理1 设 [a] Zm ,[a] [0] ,则 (1) [a] 为 Z m 的零因子 ( a, m) 1 (2) [a] 为 Z m 的可逆元 ( a, m) 1
,故 m | ab .若 ( a, m) 1 ,则 m | b ,所以 [b] [0] ,矛盾.于是 ( a, m) 1 .
2015-5-14 20:47
(4) 各子环特征:
定理2
Z m 为无零因子环 m 为素数.
证：设 m 为素数，若 [a][b] [ab] [0] ，则 m | ab ，m | a 或者 m | b ，即
[a] [0], 或者[b] [0], Z m 为无零因子环.
若 m 不是素数，则 m m | a, m | b, 即[a] [0],[b] [0],
为其一同态满射，则在 之下单位元的象是单位 元，
即1 1 ，从而对任意的整数 x有
～ ~ ~ ～
：x x 特别有0＝m m 0 .故n m
2015-5-14 20:47
定理4 除去零乘环外，在同构意义下，循环环有且 只有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.
注：整数环及其所有非零子环虽然作为加群他们 彼此同构，但是作为环来说，它们彼此并不同构. ～ ~ ~ ~ 例 Z6的子环 R {0, 2, 4}与Z9的子环R ＝ {0, 3, 6}
直接计算可知,相应的逆元为
1 1 1
[1] [1],[5] [5],[7] [7],[11] [11]
(3) 全部子环:
1
([0]), ([1]), ([2]), ([3]), ([4]), ([6]) char (([0])) 1, char (([1])) 12, char (([2])) 6, char (([3])) 4, char (([4])) 3, char (([6])) 2.