2015年高考数学解答题突破：第19题

第19题 数列中最值问题的解题策略
[高考透视]
1．主要类型：(1)数列中的恒成立问题的求解．(2)数列中最大项与最小项问题的求解．(3)数列中前n 项和的最值问题．(4)证明不等式时构建函数求最值(值域)．
2．解题思路：结合条件与待求问题，把所求问题转化为关于n 的函数或方程问题求解．
3．注意事项：(1)数列是定义在N *或其子集上的特殊函数，因此树立函数意识是解决数列问题的最基本要求．
(2)求解过程中要注意项数n 的取值范围，防止出错．
【典例】 (12分)(2014·天津模拟)已知函数f (x )＝log m x (m 为常数，0<m <1)，且数列{f (a n )}是首项为2，公差为2的等差数列．
(1)若b n ＝a n ·f (a n )，当m ＝22
时，求数列{b n }的前n 项和S n . (2)设c n ＝a n ·lg a n ，如果{c n }中的每一项恒小于它后面的项，求m 的取值范围．
[审题：分析信息，形成思路]
(1)切入点：求f (a n )，进而求出a n ；
关注点：求S n 时应注意求和方法的选择．
(2)切入点：根据a n 求c n ，把恒成立问题转化为求函数的最值问题；
关注点：根据函数的单调性求最值．
[解题：规范步骤，水到渠成]
【解】 (1)由题意f (a n )＝2＋(n －1)×2＝2n ，
即log m a n ＝2n ，所以a n ＝m 2n .b n ＝a n ·f (a n )＝2n ·m 2n ，
当m ＝22
时，b n ＝a n ·f (a n )＝n ·⎝⎛⎭⎫12n －1.2分 所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫120＋2·⎝⎛⎭⎫121＋3·⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ·⎝⎛⎭
⎫12n －1，(i) 12
S n ＝1·⎝⎛⎭⎫121＋2·⎝⎛⎭⎫122＋3·⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ·⎝⎛⎭⎫12n .(ii) (i)－(ii)，
得12
S n ＝1·⎝⎛⎭⎫120＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－n ·⎝⎛⎭⎫12n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12
－n ·⎝⎛⎫12n ，4分 所以S n ＝－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1＋4.6分
(2)由(1)知，c n ＝a n ·lg a n ＝2n ·m 2n lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈Z *成立②，
即n lg m <(n ＋1)m 2lg m 对一切n ∈N *成立．
0<m <1，所以lg m <0，所以n >(n ＋1)m 2，对一切n ∈N *恒成立，只需m 2<⎝⎛⎭
⎫n n ＋1min ，8分 n n ＋1＝1－1n ＋1
单调递增，所以当n ＝1时，⎝⎛⎭⎫n n ＋1min ＝12.10分 所以m 2<12
，且0<m <1， 所以0<m <22.所以m 的范围为⎝
⎛⎭⎫0，22.12分 [变题]
(2014·山东济宁二模)已知数列{b n }满足S n ＋b n ＝n ＋132
，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求证：数列{b n －12
}是等比数列，并求数列{b n }的通项公式；
(2)如果对任意n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n
≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围． 【解】 (1)对于任意n ∈N *，S n ＋b n ＝n ＋132
① S n ＋1＋b n ＋1＝(n ＋1)＋132
② ②－①得b n ＋1＝12b n ＋14
， 所以b n ＋1－12＝12(b n －12
)． 又由①式知，S 1＋b 1＝142，即b 1＝72
. 所以数列{b n －12}是首项为b 1－12＝3，公比为12
的等比数列， b n －12＝3×(12)n －1，b n ＝3×(12)n －1＋12
. (2)因为b n ＝3×(12)n －1＋12
， 所以S n ＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)＋n 2＝3(1－12n )1－12
＋n 2＝6(1－12n )＋n 2. 因为不等式12k 12＋n －2S n
≥2n －7，化简得k ≥2n －72n ，对任意n ∈N *恒成立， 设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2(n ＋1)－42n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2
n ＋1， 当n ≥5时，c n ＋1≤c n ，c n 为单调递减数列，
当1≤n <5时，c n ＋1>c n ，c n 为单调递增数列，
116＝c 4<c 5＝332，所以，n ＝5时，c n 取得最大值332
， 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332
. ∴实数k 的取值范围是[332
，＋∞)． 【典例2】已知首项为32
的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1S n
(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－
S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32
，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56
. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712
. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n
≤56. 所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－712
. 【变式】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，若数列{S n ＋1}是公比为4的等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋1(a n ＋1－3)·S n ＋1
，n ∈N *，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的取值范围。

解：(1)由题意知S n ＋1＝(S 1＋1)·4n －1＝4n ，
所以S n ＝4n －1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3·4n －
1，且a 1＝3满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·4n －
1. (2)b n ＝a n ＋1(a n ＋1－3)·S n ＋1＝4n
(4n －1)(4n ＋1－1)
＝13⎝⎛⎭
⎫14n －1－14n ＋1－1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝⎛⎭⎫141－1－142－1＋13·⎝⎛ 142－1
－
⎭⎫143－1＋…＋13⎝⎛⎭⎫14n －1－14n ＋1－1 ＝13⎝⎛⎭⎫141－1－14n ＋1－1＝19－13(4n 1－1).。