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高考理科数学解答题题型训练材料1.设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． (1)求ω的值;【23=ω】(2)若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移2π个单位长度得到， 求()y g x =的单调增区间．【227[,]()34312k k k Z ππππ++∈】2.已知两个向量(cos ,sin )θθ=m ，sin ,cos )θθ=n ，其中),23(ππθ--∈，且满足1⋅=m n ． (1)求)4sin(πθ+的值；【41)4sin(=+πθ】(2)求)127cos(πθ+的值.【8153+-=】3.设函数x x x f cos sin 2)(-=.(1)若0x 是函数)(x f 的一个零点，求02cos x 的值； 【532cos 0=x 】 (2)若0x 是函数)(x f 的一个极值点，求02sin x 的值.【542sin 0-=x 】4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c , 已知4A π=，4cos 5B =.(1)求cos C 的值；【cos C =】(2)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.【CD =5.某校高三一次月考之后,为了了解数学学 科的学习情况,现从中随机抽出若干名学 生此次的数学成绩,按成绩分组, 制成右 面频率分布表: (1)若每组数据用该区间的中点值（例如区间[90, 100 )的中点值是95）作为代表， (2)如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在区间[110, 130 )中的学生数为ξ，求： ①在三次抽取过程中至少两次连续抽中成绩在区间[110, 130 )中的概率； ②ξ的分布列和数学期望.【(1)114.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)①38；②23)(=ξE 】6.某班从6名干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动. (1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及E ξ； 【1=ξE 】 (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；【54】 (3)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.【52)|(=A B P 】7.已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中,a b 为常数．(1)当6,3a b ==时，求函数()f x 的单调递增区间；【(,1]-∞和[9,)+∞】(2)若任取[0,4],[0,3]a b ∈∈，求函数()f x 在R 上是增函数的概率． 【712】8.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对2CO 排放量超过 130g /k m 的M1型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进 行CO 排放量检测，记录如下(单位：).2乙(1)求从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆,则至少有一辆不符合2CO 排放量的概率; (2)若90130x <<，试比较甲、乙两类品牌车2CO 排放量的稳定性．【(1)7.0 (2)120==乙甲x x ，22<S S 乙甲，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好】9.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们 分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发(1)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为,m n ,求事件“2530n ≤≤⎧⎨⎩”的概率；【310】(2)甲、乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线 分别为 2.2y x =与 2.53y x =-，试利用“最小平方法(也称最小二乘法)的思想”， 判断哪条直线拟合程度更好．【直线 2.53y x =-的拟合效果好】AP BCDMN10.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//,90,AD BC BAD PA ∠=⊥⊥PA 底面ABCD , 2PA AD AB BC ===, ,M N 分别为,PC PB 的中点.(1)求证：PB DM ⊥；(2)求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．11.一个三棱锥S ABC -的三视图、直观图如图． (1)求三棱锥S ABC -的体积； (2)求点C 到平面SAB 的距离； (3)求二面角S AB C --的余弦值．【(1)4；(2)133CA m d m⋅==；12.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面 和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD ． (1)求证：⊥AF 平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；(3)设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积 分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．【ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V 】13.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，132a =，且22a 、33a 、44a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；【6*2()n n a n -=∈N 】(2)设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【22111,16,2211130,7.22n n n n T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩】14.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=， 5313a b +=.(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；【12-=n a n ，112n n n b q --==】(2)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【n S 12362n n -+=-】15.已知函数()1ax bf x x +=+的图象经过原点，且关于点(1,1)-成中心对称. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若数列{}n a 满足0n a >，11a =，21n a f +⎡⎤=⎣⎦，求数列{}n a 的通项公式；(3)在(2)的条件下，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试判断n S 与2的大小关系，并证明你的结论.【(1)()1x f x x =+；(2)21n a n=；(3)2n S <*()n ∈N 】16.已知抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．(1)求双曲线2C 的方程；【2213y x -=】 (2)以双曲线2C 的另一焦点1F 为圆心的圆M 与双曲线2C 的一条渐近线相切，圆N :22(2)1x y -+=．过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ,设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．st是否为定值？请说明理由.【st17.已知点1(0,1)F -和抛物线21:2C x py =的焦点F 关于x 轴对称，点M 是以点F 为圆心，4为半径的⊙F 上任意一点，线段1MF 的垂直平分线与线段MF 交于点P ，设点P 的 轨迹为曲线2C ，(1)求抛物线1C 和曲线2C 的方程；【22143y x +=】 (2)是否存在直线l ，使得直线l 分别与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点，若存在， 求出所有这样的直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【存在四条直线x =24y x =±-】B AQP18.如图，在Rt PAB ∆中，∠A 是直角，3,4==AB PA ，有一个椭圆以P 为一个焦点， 另一个焦点Q 在AB 上，且椭圆经过点A 、B . (1)求椭圆的离心率；(2)若以PQ 所在直线为x 轴，线段PQ 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系， 求椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，若经过点Q 的直线l 将Rt PAB ∆的面积分为相等的两部分， 求直线l 的方程.【(1)35=e (2)14922=+y x(3)(81-=x y19.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =.(1)求椭圆1C 的方程;(2)过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR +=成立的 动点R 的轨迹方程.【(1)22143x y +=；(2) ()2243430y x x +++=】20.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型 零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人 分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工A 型 零件的工人人数为x 名(∈x N *).(1)设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，写出()x f 的解析式； (2)为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？【(1)()x f ∈==x xx (905450N *，且)491≤≤x ；(2)x 应取32】21.某企业自2010年1月1日正式投产，环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区 排放污水进行了四个月的跟踪监测，检测的数据如下表．并预测，如果不加以治理，立方米的污水？(2)为保护环境，当地政府和企业决定从2010年7月份开始投资安装污水处理设备，预 计7月份的污水排放量比6月份减少400立方米，以后每月的污水排放量均比上月减 少400立方米，当企业停止排放污水后，再以每月1600立方米的速度处理湖区中的 污水，请问什么时候可以使湖区中的污水不多于5000立方米？【(1)m S )()11221001002110012mm m --⨯=⨯=-⨯-；(2)所以8个月后即2011年10月污水不多于5000立方米】22.设函数()211(2x a x f x x e e+=+-为自然对数的底数). (1)若0x ≥时, ()0f x ≥恒成立, 求a 的取值范围;【[)1,+∞】(2)求证:对于大于1的正整数n , 恒有11111n n +<<+-成立.23.已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ (1)若1a =，求函数()f x 的极值； 【()f x 在1x =处取得极小值1】 (2)设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； 【分两种情况讨论】 (3)若在[]1,e (e 2.718...=)上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.【2e 1e 1a +>-或2a <-】24.若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”，(1)判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由；(2)若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =, 求证： 1114n y y +-<.25.已知曲线C ：xy =1，过C 上一点),(n n n y x A 作一斜率为21+-=n n x k 的直线交曲 线C 于另一点),(111+++n n n y x A ，点列),3,2,1( =n A n 的横坐标构成数列{n x }，其中7111=x ． (1)求n x 与1+n x 的关系式；(2)求证：{3121+-n x }是等比数列； (3)求证：)1,(1)1()1()1()1(33221≥∈<-++-+-+-n N n x x x x n n.26.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果函数()f x ＝2x abx c+-有且仅有两个不动点0和2．(1)试求b 、c 满足的关系式；(2)若c ＝2时,各项非零数列{a n }满足4S n ·1()n f a ＝1,求证:111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭; (3)在(2)的条件下,设b n ＝－1na ,n T 为数列{b n }的前n 项和.求证:200920081ln 2009T T -<<.高考理科数学解答题题型训练材料参考答案1.(1)()()22sin cos 2cos f x x x x ωωω=++ 22sin cos sin 21cos 2x x x x ωωωω=++++s i n 2c o s 22s i n (2)24x x x πωωω=++++依题意得2223ππω=，故ω的值为32. (2)依题意得: 5()3()2)2244g x x x πππ⎡⎤=-++=-+⎢⎥⎣⎦由5232()242k x k k Zπππππ--+∈≤≤ 解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤故()y g x =的单调增区间为: 227[,]()34312k k k Z ππππ++∈2(1)cos sin )sin cos )θθθθ⋅=+m n，cos )4sin()14πθθθ=+=+=， 所以41)4s i n (=+πθ．(2)因为),23(ππθ--∈，所以)43,45(4πππθ--∈+，结合41)4s i n (=+πθ，可得415)4cos(-=+πθ． 于是，3s i n )4s i n (3c o s )4c o s (]3)4c o s [()127cos(ππθππθππθπθ+-+=++=+234121)415(⨯-⨯-=8153+-=． 3.(1)0x 是函数)(x f 的一个零点, ∴ 002sin cos 0x x -=, 从而21tan 0=x .∴53411411t a n 1t a n 1s i n c o s s i n c o s 2c o s 0202020202020=+-=+-=+-=x x x x x x x (2)x x x f sin cos 2)('+=, 0x 是函数)(x f 的一个极值点∴002cos sin 0x x +=, 从而01tan 2x =-.∴0000002220002s i n c o s 2t a n 4s i n 22s i n c o s 5s i n c o s 1t a n x x x x x x x x x ====-++.4. (1)4cos ,5B =且(0,)B π∈，∴3sin 5B ==．∴3cos cos()cos()4C A B B ππ=--=-3343cos cos sin sin 44525BB ππ=+=-⨯+⨯10=-．(2)由(1)可得sin C ===由正弦定理得sin sin BC ABA C =7AB =，解得14AB =.在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，∴CD =5.(1)本次月考数学学科的平均分为：59535105301152012510135114.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)由表知：成绩落在[110, 130 )中的概率为12. ①设A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110, 130 )中”, 则()1111131222228P A ⎛⎫=⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以, 在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110, 130 )中的概率为38. ②ξ的可能取值为0,1,2,3.()30311028P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()31313128P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()32313228P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, ()33311328P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ξ的分布列为:13313012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 或者: )21,3(~B ξ, 则13322E ξ=⨯=.6.(1)ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：3211244242333666131(0);(1);(2)555C C C C C P P P C C C ξξξ========= ξ∴的分布列为1310121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯= (2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则343641()205C P C C ===∴所求概率为14()1()155P C P C =-=-=(3)记“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，215433661011();()2025C C P A P B A C C ===== ()143615C P B A C == ()2(|)()5P BA P B A P A ==（或直接得142542(|)105C P B A C ===）7.(1)当6,3a b ==时，321()593f x x x x =-+，2()109f x x x '=-+令2()1090f x x x '=-+≥，(1)(9)0x x --≥,解得1x ≤或9x ≥，故函数()f x 的单调递增区间分别为(,1]-∞和[9,)+∞(2)22()2(1)f x x a x b '=--+若函数()f x 在R 上是增函数，则对于任意x ∈R ，()0f x '≥所以，224(1)40a b ∆=--≤，即(1)(1)0a b a b +---≤设“()f x 在R 上是增函数”为事件A ，则事件A 对应的区域为 {(,)|(1)(1)0}a b a b a b +---≤全部试验结果构成的区域{(,)|04,03}a b a b Ω=≤≤≤≤，如图．所以，11341133722()3412S P A S Ω⨯-⨯⨯-⨯⨯===⨯阴影. 故函数()f x 在R 上是增函数的概率为712.8.(1)从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，共有10种不同的2CO 排放量结果： (110,80)；(120,80)；(140,80)；(150,80)；(120,110)；(140,110)；(150,110)；(140,120)；(150,120)；(150,140).设“至少有一辆不符合2CO 排放量”为事件A ，则事件A 包含以下7种不同的结果：(140,80)；(150,80)；(140,110)；(150,110)；(140,120)；(150,120)；(150,140). 所以，7.0107)(==A P 答：至少有一辆不符合2CO 排放量的概率为7.0.(2)由题可知，120==乙甲x x ，220=+y x .()22580120S =-+甲()+-2120110()+-2120120()+-2120140()30001201502=-25S =乙()+-2120100()+-2120120()+-2120x ()+-2120y ()2120160-+=2000()+-2120x ()2120-y220,x y +=∴25S =乙+2000()+-2120x ()2100-x ， 令t x =-120，13090<<x ，1030<<-∴t ，25S ∴=乙+2000+2t ()220+t ，2255S S ∴-=乙甲22406002(30)(10)0t t t t +-=+-<120==乙甲x x ，22<S S 乙甲，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好. 9.(1),m n 的取值情况有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16).基本事件总数为10．设“25253030m n ≤≤≤≤⎧⎨⎩”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26)所以3()10P A =， 故事件“25253030m n ≤≤≤≤⎧⎨⎩”的概率为310．(2)将甲，乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：用y =1Q 222221(2223)(24.225)(28.630)(26.226)(17.616) 6.32S =-+-+-+-+-= 用 2.53y x =-作为拟合直线时，所得到的y 值与y 的实际值的差的平方和为=2Q 222222(2223)(24.525)(29.530)(2726)(1716) 3.5S =-+-+-+-+-= 由于21Q Q >，故用直线 2.53y x =-的拟合效果好．10.(1)解法1：∵N 是PB 的中点，PA AB =，∴AN PB ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA ⊥．又AD AB ⊥，PA AB A =，∴AD PAB ⊥平面，AD PB ⊥．又AD AN N =，∴PB ⊥平面ADMN ． ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB DM ⊥．解法2：如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -可得，()0,0,0A ()12,1,0,1,,12(0,0,2),(2,0,0),,P B C M D ⎛⎫⎪⎝⎭因为 3(2,0,2)1,,102PB DM ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-⋅-=⋅，所以PB DM ⊥．(2)因为 (2,0,2)(0,2,0)0PB AD =-⋅=⋅．所以 PB AD ⊥，又PB DM ⊥，所以 PB ⊥平面ADMN ， 因此 ,PB DC <>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角．因为 10cos ,||||PB DC PB DCPB DC ⋅<>==⋅所以CD 与平面ADMN 11 .由正视图、俯视图知4AC =；由正视图、侧视图知，点B 在平面SAC 上的正投影为AC 的中点D ，则3BD =， BD ⊥平面SAC ，BD AC ⊥；由俯视图、侧视图知，点S 在平面ABC 上的正投影为DC 的中点O ， 则2SO =，SO ⊥平面ABC ，SO AC ⊥．如图． (1)三棱锥S ABC -的体积11432432S ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．(2)解法一：以O 为原点，OA 为x 轴，过O 且平行于BD 的直线为y 轴，OS 为z 轴，建立如图空间 直角坐标系，可求()()()002300130S A B ，，，，，，，()()302132SA SB =-=-，，，，，， 设()m x y z =，，是平面SAB 的一个法向量，则320320m SA x y m SB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取9322m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，， 可知()()100400C CA -=，，，，，，设点C 到平面SAB 的距离为d ，则133CA m d m⋅==． (3)可知()001n =，，是平面ABC 一个法向量，故9133cos 133m n m n m n⋅<>==⨯，， 二面角S A BC --． 解法二： (2)可求AB ==，SA =SB ==△SAB的面积122SAB S ∆==， 设点C 到平面SAB 的距离为d ,由三棱锥S ABC -的体积143S ABC CSAB SABV V S d--===⨯⨯，得122SAB d S ∆===(3)作CH AB ⊥于H ，作//OE CH 交AB 于E ，则OE AB ⊥，连接SE ，因OE 是SE 在底面ABC 内的射影，而OE AB ⊥，故SE AB ⊥， SEO ∠为二面角S AB C --的平面角．△ABC中，易求BA BC ==由△ABC 的面积，1122AC BD AB CH ⨯⨯=⨯⨯，13AC BD CH AB ⨯==， △AEO 与△AHC 相似，相似比为AO ：AC=3：4，故3413OE CH ==，Rt SEO ∆中，tan SO SEO OE ∠==cos SEO ∠==， 二面角S AB C--的余弦值为133． 12.(1)证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴，AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF ．(2)设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 21，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF . (3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3231=⋅=∴-，⊥CB 平面ABEF ，CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 612131=⋅⋅⋅=，ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．13.(1)因为22a 、33a 、44a 成等差数列，所以243246a a a +=，即3211123a q a q a q +=.因为10a ≠，0q ≠，所以22310q q -+=，即(1)(21)0q q --=.因为1q ≠，所以12q =.所以116113222n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以数列{}n a 的通项公式为6*2()n n a n -=∈N .(2)因为62n n a -=，所以62log 26nn b n -==-.所以6,16,66,7.n n n b n n n -≤≤⎧=-=⎨-≥⎩当16n ≤≤时,1212n n n T b b b b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+2[5(6)]111222n n n n ⨯+-=-+;当7n ≥时，1212678()()n n n T b b b b b b b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+126122()()n b b b b b b =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+22111111215302222n n n n ⎛⎫=⨯--+=-+ ⎪⎝⎭.综上所述，22111,16,2211130,7.22n n n n T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩14.(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． (2)1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-.15.(1)因为函数()1ax bf x x +=+的图象经过原点，所以(0)0f =，即0b =.所以()1axf x x =+.因为函数()11ax af x a x x==-++的图象关于点(1,1)-成中心对称，所以1a =.所以()1xf x x =+.(2)因为221na f +⎡⎤==⎣⎦，且0n a >，=1=+1=.所以数列⎧⎫1=，公差为1的等差数列. 1(1)1n n =+-⨯=，所以21n a n =*()n ∈N .(3)当1n =时，1112S a ==<；当2n ≥时，21111(1)1n a n n n n n=<=---，所以123222111123n n S a a a a n =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1111111(1)()()222231n n n<+-+-+⋅⋅⋅+-=-<-.综上所述，2n S <*()n ∈N .16.(1)∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ，∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ，设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±,1||7AF ==，又∵点A 在双曲线上，由双曲线定义得，2|75|2a =-=，∴1a =， ∴双曲线2C 的方程为：2213y x -=． (2)st为定值．下面给出说明． 设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线2C的渐近线方程为：y =，∵圆M与渐近线y =相切，∴圆M的半径为r ==，故圆M ：22(2)3x y ++=，显然当直线1l 的斜率不存在时不符合题意，设1l的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k -+=，设2l的方程为1(1)y x k-=--，即10x ky +--=， ∴点1F 到直线1l的距离为1d =，点2F 到直线2l的距离为2d =，∴直线1l 被圆M截得的弦长s == 直线2l 被圆N截得的弦长t ==∴s t ===， 故st17.(1)依题意,，抛物线21:2C x py =的焦点F 的坐标为(0,1)F ,则12p =，所以抛物线1C 的方程为24x y =，由于4MF =，即4MP PF +=，而线段1MF 的垂直平分线与线段MF 交于点P , 则1MP PF =因此,14PF PF +=，且142FF >=，则点P 的轨迹2C 为以1F 、F 为焦点的椭圆，设2C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则24a =，且221a b -=，解得24a =，23b =，所求曲线2C 的方程为22143y x += (2)若直线l的斜率不存在，则直线x =x =1C 及曲线2C 均只有一个公共点，若直线l 斜率存在,设其方程为y kx m =+,若l 与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点,则24y kx m x y =+⎧⎨=⎩及22143y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩均只有一组解， 由24y k x m x y =+⎧⎨=⎩消去y 得 2440x kx m --=, 则216160k m ∆=+= ①由22143y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(43)63120k x kmx m +++-=,则2222364(312)(34)0k m m k ∆=--+=，即22340m k --=② 由①②得4,2m k =-=±，即存在直线24y x =±-与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点，综上:存在四条直线x =24y x =±-与抛物线1C 及曲线2C 均只有一个公共点． 18.(1)因为椭圆以P 为一个焦点，另一个焦点Q 在AB 上，且椭圆经过点A 、B ，所以由椭圆的定义知BQ BP AQ AP +=+， 因此)3(54AQ AQ -+=+，解得2=AQ . 于是椭圆的长轴长6242=+=a ，焦距5224222=+==PQ c ，故椭圆的离心率3565222===a c e . (2)依题意，可设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由（1）知，5,3==c a ，∴222=-=c a b ，∴椭圆方程为14922=+y x . (3)依题意，设直线l 的方程为)5(-=x k y ，设直线l 与PA 相交于点C ，则321==∆∆PAB QAC S S ，故1,3==PC AC ，从而CP AC 3=.设),(y x A ，由2,4==AQ AP ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++4)5(16)5(2222y x y x，解得55A ⎛- ⎝⎭.设),(y x C ，由3=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=-yy x x 3554)5(3553，解得C ⎛ ⎝⎭. ∴81=k ，∴直线l 的方程为)5(81-=x y . 19.(1)解：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()00,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=， 解得023x =. ∵ 点P 在抛物线2C 上，且在第一象限， ∴ 2002443y x ==⨯，解得03y =.∴点P的坐标为2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∵点P 在椭圆22122:1x y C a b +=上，∴2248193a b +=. 又1c =，且22221a b c b =+=+， 解得224,3a b ==.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. (2)解：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ，则()()()11221,,1,,1,F M x y F N x y F R x y=-=-=-. ∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵ FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ①∵M 、N 在椭圆1C 上， ∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.② 把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y y x x y+-=--. ③ 设FR 的中点为Q ，则Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线，∴M N A Q k k =, 即121221312yy y y x x x x -==+-++. ④ 把④式代入③式，得()3134x y x y+=-+，化简得()2243430y x x +++=.当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上. ∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=.20.(1)生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x xx (905450N *，且)491≤≤x . (2)生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *，且)491≤≤x设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时，则()x h 为()x f 与()x g 的较大者.令()()x g x f ≥，即x x -≥505090， 解得71321≤≤x . 所以，当321≤≤x 时，()()x g x f >；当4933≤≤x 时，()()x g x f <.故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x N x xx N x xx h .当321≤≤x 时，()0902'<-=xx h ，故()x h 在[]32,1上单调递减，则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h （小时）； 当4933≤≤x 时，()()050502'>-=x x h ，故()x h 在[]49,33上单调递增， 则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h （小时）； ()()3233h h > ，∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h .32=∴x . 答：为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.21.(1)由题意知：企业每月向湖区排放的污水量成等比数列，设第一个月污水排放量为1a ，则1100a =，公比为2，则第m 个月的污水排放量为12100m m a -=⨯， 如果不治理，m 个月后的污水总量为：()()1121221001002110012m m m n S --=+++⨯=⨯=-⨯-（立方米）．(2)由（1）知63200a =，则72800a =，由题意知，从2010年7月份开始，企业每月 向湖区排放的污水量成等差数列，公差为400-，记7月份企业向湖区排放的污水量 为1b ，则2800(1)(400)3200400n b n n =+-⨯-=-，令0,n b = 得8n =. 所以该企业2011年2月向湖区停止污水排放，则该企业共排污水68(28000)630011200175002S ⨯++=+=（立方米）．设x 个月后污水不多于5000立方米，则1251750016005000,16x x -≤≥.因为8161257<<，所以8个月后即2011年10月污水不多于5000立方米． 22. (1)()'1x x x f x ax x a e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, ∵0x ≥, ∴1xe ≥,101x e <≤.① 若0a ≤,则当()0,x ∈+∞时,()'0f x <,()f x 为减函数,而()00f =,从而当0x >时,()0f x <,不合题意,应舍去.② 若01a <<,则当()0,ln x a ∈-时, ()'0f x <,()f x 为减函数,而()00f =, 从而当()0,l n x a ∈-时,()0f x <,不合题意,应舍去.③ 若1a ≥,则当()0,x ∈+∞时, ()'0f x >,()f x 为增函数,而()00f =, 从而当0x >时,()0f x >,所以当0x ≥时, ()0f x ≥恒成立. 综上, a 的取值范围为[)1,+∞.(2)证明: 由(1)知, 对于()0,1x ∈, 当0a =时, ()0f x <,所以1xx e +<,而当2a =时, ()0f x >,所以11xe x<-, 从而()0,1x ∈时, 1xx e +<11x <-. 取()12x n n=≥,则111111111n n n n n+<<==+---. 23.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x-'=-=，所以()f x 在1x =处取得极小值1.(2)1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. (3)在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()l n ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零.由（2）可知①当1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>,此时，(1)0h a +<不成立.综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-.24.(1)()sin g x x =是R 上的“平缓函数，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”； 设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数， 不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-， ①又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ②由①、 ②得 21212()s i n s i n x x x x x x--<-<- 因此 2121s i n s i n x x x x -<-，对12x x <的实数都成立， 又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=， 故 对任意的实数1x ，2x R ∈均 有2121sin sin x x x x -≤- 因此 sin x 是R 上的“平缓函数.由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+-取13x =，21x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， 因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. (2)由(1)得：sin x 是R 上的“平缓函数，则2121sin sin x x x x -≤-， 所以 11n n n n y y x x ++-≤-，而121(21)n n x x n +-≤+，所以 12211111()(21)4441n n y y n n n n n +-≤<=-+++ 而 11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-+-所以 1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++-，则11111111[()()(1)]4112n y y n n n n +-≤-+-++-+-因此 11111(1)414n y y n +-≤-<+.25.(1)过C ：xy 1=上一点),(n n n y x A 作斜率为n k 的直线交C 于另一点1+n A ， 则2111111111+-=⋅-=--=--=+++++n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x y y k ， 所以 121n n x x +=+(2)因为)3121(231211+--=+-+n n x x ，又231211-≠+-x所以数列{3121+-n x }是等比数列.(3)由(2)可得：31)2(12,)2(--+=-=n n n n x a 则，31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-n n nnn x . ①当n 为偶数时有：=-+---n nn n x x )1()1(11n n n n n n n n n n n n 21212222)312)(312(2231213121111111+<⋅+<-++=-++------12121212121)1()1()1(432221<+++++<-++-+-n n n x x x .②当n 为奇数时，前n -1项为偶数项，于是有：n n n n x x x x )1()1()1()1(11221-+-++-+--- 131211)31)2(12(11)1(1<++-=--+-=-=-+<n n n n n x x .综合①②可知原不等式得证.26.(1)因为202x a x bx c +=-的不动点为和,∴0=a 且)0(21≠+=c cb (2)∵c ＝2 ∴b ＝2 ∴()()()2121x f x x x =≠-，由已知可得2S n ＝a n －a n 2……①，且a n ≠ 1． 当n ≥ 2时，2 S n -1＝a n －1－21n a -……②，①－②得(a n ＋a n －1)( a n －a n －1＋1)＝0，∴a n ＝－a n －1 或 a n ＝－a n －1 ＝－1， 当n ＝1时，2a 1＝a 1－a 12 ⇒a 1＝－1，若a n ＝－a n －1，则a 2＝1与a n ≠ 1矛盾．∴a n －a n －1＝－1， ∴a n ＝－n ．∴要证不等式，只要证 ()111111n n n e n -+-⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证 11111n n e n n +⎛⎫⎛⎫+<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只要证 ()11ln 111ln 1n n n n ⎛⎫⎛⎫+<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．考虑证不等式()ln 11xx x x <+<+(x ＞0) 即可， 令g (x )＝x －ln(1＋x )， h (x )＝ln(x ＋1)－1xx + (x ＞0) ．∴()'g x ＝1x x +， ()'h x ＝()21xx +， ∵x ＞0， ∴()'g x ＞0， ()'h x ＞0，∴g (x )、h (x )在(0, ＋∞)上都是增函数， ∴g (x )＞g (0)＝0， h (x )＞h (0)＝0，∴x ＞0时，()ln 11xx x x <+<+． 令1x n =则(**)式成立，∴111n a n a +⎛⎫- ⎪⎝⎭＜1e ＜11na n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3)由(2)知b n ＝1n，则T n ＝111123n +++⋅⋅⋅⋅+.在111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭中，令n ＝1，2，3，，2008，并将各式相加， 得111232009111ln ln ln 1232009122008232008++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+， 即T 2009－1＜ln2009＜T 2008.。