幂函数模型及其应用.ppt
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《幂函数》PPT课件
❖ ★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
高一数学《幂函数》PPT课件
根据n, m, p的取值不同，图像形状各 异。
03
幂函数运算规则与技巧
同底数幂相乘除法则
01
02
03
同底数幂相乘
底数不变，指数相加。公 式：a^m × a^n = a^(m+n)
同底数幂相除
底数不变，指数相减。公 式：a^m ÷ a^n = a^(m-n)
举例
2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7；3^5 ÷ 3^2 = 3^(5-2) = 3^3
在幂函数中，指数a可以取任意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
02 03
函数定义域
幂函数的定义域与指数a的取值有关。例如，当a≤0时，函数定义域为 非零实数集；当a>0且a为整数时，函数定义域为全体实数集。学生需 要注意根据指数a的取值来确定函数的定义域。
计算圆的面积
$S=pi r^2$，$r$为圆半 径，利用幂函数表示圆的 面积与半径关系。
增长率、衰减率问题中应用
细菌增长模型
假设细菌以固定比例增长，则细 菌数量与时间关系可用幂函数表
示。
放射性物质衰变
放射性物质衰变速度与剩余质量 之间的关系可用幂函数描述。
投资回报计算
投资回报率与时间关系可用幂函 数表达，用于预测未来收益。
利用积的乘方法则进行化简
如(ab)^n = a^n × b^n
举例
化简(x^2y)^3 ÷ (xy^2)^2，结果为x^4y
04
幂函数在生活中的应用举例
面积、体积计算中应用
计算正方形面积
$S=a^2$，其中$a$为正 方形边长，利用幂函数表 示面积与边长关系。
《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
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4
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-27
-8
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00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
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第5讲二次函数与幂函数PPT课件
或1a≥4， f4＝16a－8＋2≥0，
∴aa≥≥10， 或14a＜＞a12＜1，
或aa≤≥1438，.
∴a≥1 或12＜a＜1 或∅，即 a＞12；
（2）当 a＜0 时， f1＝a－2＋2≥0， f4＝16a－8＋2≥0， 解得 a∈∅； （3）当 a＝0 时， f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意．
，
增
[0，＋∞)增
(0,0)，(1,1)
[0，＋∞) 非奇非偶
增
y＝x－1
{x|x∈R且 x≠0}
{y|y∈R 且y≠0}
奇 (－∞，0)减
， (0，＋∞)减
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
答案 f(x)＝ x
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1， x2，则x1＋x2＝________.
解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)，知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，
应有x1＋2 x2＝3⇒x1＋x2＝6.
答案 6
考点一 幂函数的图象与性质
【训练3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
(1)求g(t)的解析式； 请先暂停，完成题目后继续观看！
(2)求g(t)的最大值． 解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. ①当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
幂函数模型及其应用.ppt
7.在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富， 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万 元的优惠价格装让给了尚有5万元无息贷款没有偿还 的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中， 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600元后，逐步偿还转让费（不计息）。在甲提供 的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该 店月销量Q(百件)与销售量价格P（元）的关系如图 所示；③每月需各种开支2000元。 （1）当商品的价格为每件 多少元时，月利润扣除职工 最低生活费的余额最大？并 求最大余额 （2）企业乙只依靠该店，最 早可望在几年后脱贫
2.分贝是计量声音强度相对大小的单位。物理学家引 入了声压级（spl）来描述声音的大小：把一个很小 的声压 帕作为参考声压，把所有要测量 的声压P与参考声压 的比值取常用对数后乘20得 到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重要的 参数之一，单位是分贝（dB）。分贝值在60以下为 无害区，60—100为过渡区，100以上为有害区。 （1）根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式） （2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什 么区，声音环境是否优良？ （3）2012年春节晚会中，黄宏表演小品时，现场上想 起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮 的一次因量达到了90分贝，是求此时中央电视台演 播大厅的声压是多少？
三、分段函数
5.某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾 馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时， 床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元， 将有3张床位空闲，为了获得较好的效益，该宾馆要 给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账， 床价为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为 575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得 越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出 租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入） （1）把y表示成x的函数，并求出其定义域； （2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面 的两个条件，又能使净收入最多？
【例题讲解】幂函数型模型的应用实例例完整版课件
(2)处理带根号问题时，常用“Байду номын сангаас体换元”，将原函数变形为常规函数来处理.
谢谢观看
Thanks
幂函数型模型的应用实例
例题讲解
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资 股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，
该家庭有20万元资金，全部用于理财投资. 问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
稳健型：投资额m万元 收益：
风险型: 投资额n万元 收益：
解: 设投资风险型产品 x 万元， 所以 总收益 y
即投资风险型产品4万元，稳健型产品16万元，收益最大，为3万元.
幂函数型模型的应用实例
归纳总结
(1)处理幂函数模型的步骤： ①阅读理解、认真审题； ②用数学符号表示相关量，列出函数关系式 ；③根据函数的性质推导运算，求得结果； ④转化成具体问题，给出解答．
谢谢观看
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幂函数型模型的应用实例
例题讲解
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资 股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，
该家庭有20万元资金，全部用于理财投资. 问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
稳健型：投资额m万元 收益：
风险型: 投资额n万元 收益：
解: 设投资风险型产品 x 万元， 所以 总收益 y
即投资风险型产品4万元，稳健型产品16万元，收益最大，为3万元.
幂函数型模型的应用实例
归纳总结
(1)处理幂函数模型的步骤： ①阅读理解、认真审题； ②用数学符号表示相关量，列出函数关系式 ；③根据函数的性质推导运算，求得结果； ④转化成具体问题，给出解答．
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四、对勾函数
5.某村计划建造一个室ห้องสมุดไป่ตู้面积为800 的矩形蔬菜温 室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前沿内墙保留3m宽的空地，当矩形温 室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大 面积是多少？
x
800/x
五、二次函数与二次不等式
5.某人要做一批地砖，每块地转（如图1所示）是边长 为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上， 且CE=CF， CFE、 ABE和四边形AEFD均由单一材料 制成，制成 CEF , ABE和四边形AEFD的三种材 料的每平方米价格之比依次为3:2:1,。若将此地砖 按图2所示的形式铺设，能是中间的深色阴影部分成 四边形EFGH （1）求证：四边形EFGH是正 方形 （2）E、F在什么位置时，做这 批地砖所需的材料费用 最省
2.分贝是计量声音强度相对大小的单位。物理学家引 入了声压级（spl）来描述声音的大小：把一个很小 的声压 帕作为参考声压，把所有要测量 的声压P与参考声压 的比值取常用对数后乘20得 到的数值称为声压级，声压级是听力学中最重要的 参数之一，单位是分贝（dB）。分贝值在60以下为 无害区，60—100为过渡区，100以上为有害区。 （1）根据上述材料，列出分贝y与声压P的函数关系式） （2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什 么区，声音环境是否优良？ （3）2012年春节晚会中，黄宏表演小品时，现场上想 起多次响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮 的一次因量达到了90分贝，是求此时中央电视台演 播大厅的声压是多少？
六、指数函数
4、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长 率为1.2%，试解答一下问题： （1）写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数 关系式 （2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人） （3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万 人（精确到1年） （4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，自 然增长率应该控制在多少？ （参考数据： ）
实际应 用问题 解答数 学问题 分析、联想、 抽象、转化 构建数 学模型
三、分段函数
5.某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾 馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时， 床位可以全部租出，当床价高于10元时，每提高1元， 将有3张床位空闲，为了获得较好的效益，该宾馆要 给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账， 床价为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为 575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得 越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出 租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入） （1）把y表示成x的函数，并求出其定义域； （2）试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面 的两个条件，又能使净收入最多？
7.在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富， 企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万 元的优惠价格装让给了尚有5万元无息贷款没有偿还 的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中， 首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3600元后，逐步偿还转让费（不计息）。在甲提供 的资料有：①这种消费品的进价为每件14元；②该 店月销量Q(百件)与销售量价格P（元）的关系如图 所示；③每月需各种开支2000元。 （1）当商品的价格为每件 多少元时，月利润扣除职工 最低生活费的余额最大？并 求最大余额 （2）企业乙只依靠该店，最 早可望在几年后脱贫
3.2函数模型及其应用
一、一次函数与一次不等式
3、某电信公司提出两种手机收费方式：A种方式是月租 20元，B种方式是月租0元，一个月的本地网内打出电 话时间t (分钟)与打出电话费s（元）的函数关系如图， 当打出电话150分钟时，这两种电话费相差（） A 10元 B 20元 C 30元 D 元
二、对数函数