二次函数中的动点问题
精品 九年级数学中考 二次函数专题 三 动点问题
二次函数专题 三 动点问题1.已知抛物线3222+--+-=m m mx x y（1）证明抛物线的顶点一定在直线y=-x+3上；（2）若抛物线与x 轴交于M 、N 两点，当OM 〃ON=3，且OM ≠ON 时，求抛物线的解析式； （3）若（2）中所求抛物线顶点为C ，与y 轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，直线y=-x+3与x 轴交于点A 。
点P 为抛物线对称轴上一动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足D 在线段AC 上。
试问：是否存在点P ，使ABC PAD S S ∆∆41=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
2.如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 ，与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；(2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由；(3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．4.如图，在Rt △ABO 中，OB=8,tan ∠OBA=43.若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C 在x 轴负半轴上，且OB ＝4OC.若抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C .（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P ，求四边形OAPB 的面积；（3）有两动点M,N 同时从点O 出发，其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O →A →B的路线运动，点N 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当M 、N 两点相遇时，它们都停止运动.设M 、N 同时从点O 出发t 秒时，△OMN 的面积为S . ①请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？5.如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使N P N Q +最小，求出点N 的坐标并说明理由．l Q 1P 1yxQOPCBA6.已知：抛物线2y ax bx c =++()0a ≠，顶点()13C -，，与x 轴交于A 、B 两点，()10A -，． ⑴ 求这条抛物线的解析式． ⑵ 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM AE ⊥于M ，PN DB ⊥于N ，请判断PM PNBE AD+是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． ⑶ 在⑵的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG EP ⊥，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．CxyBN M ADP O E7.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值； （3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？8.如图，在直角坐标系中，以点(30)A ，为圆心，以23为半径的圆与x 轴相交于点B,C ，与y 轴相交于点D,E ．（1）若抛物线213y x bx c =++经过C,D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上．（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小．（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．9.已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个焦点为A（-1，0）。
二次函数动点问题
5.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线L向 正方形移动，直到AB与CD重合。设xs时，三角形与正 方形重叠部分的面积为ym² 。 （1）写出y与x的函数关系式； （2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时， 三角形移动了多长时间？
动面问题
6.如图（1）等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿矩形 DEFG的GF边向右移动，直到BC与GF重合。已知 BC=GF=12m,EF=6m,设xs时，三角形与矩形重叠部分的 面积为ym² (1)参考图②，图③写出y与x之间的关系式； （2）当x1=2.5，x2=5时，y分别是多少？ 7 （3)当重叠部分的面积为矩形面积的 时，三角形 18 移动了多长时间？
图（1）
图（2）
图（3）
P
B
Q
C
3.在梯形ABCD，AD∥BC,AB=BC=10cm,CD=6cm ∠c=90°，点P从A点出发沿线段AB以每秒Icm/s的速 度向终B点运动；动点Q同时从B点出发沿线段BC以每 秒2cm/s的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒 (0<t<5)． （1）求AD的长． （2）t为何值时,△PBQ为直角三角形． （3）设△PBQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式 （4）是否存在某一时刻t，使△PБайду номын сангаасQ面积等于梯形形 ABCD面积的2/5？若存在， 求出此时的t值；若不存在， 说明理由；
A
P BP=12-2t，BQ=4t △PBQ的面积: S=1/2(12-2t) •4t B 即S=- 4t² +24t=- 4(t-3)² +36
Q
C
2.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形， 动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动 时间为t（s）， （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t 的关系式； （3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积 是△ABC面积的三分之二？若存在求出t的值，若 不存在说明理由 A
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解； 〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点 方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点 实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式： 两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。
4、 常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结： 两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
二次函数动点问题专题练习答案
二次函数动点问题专题练习答案1. 运用二次函数知识解决问题（1）当自变量 x 取何值时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）？答：当自变量 x 取 -b/2a 时，二次函数 y = ax²+ bx +c 的值达到最小值（或最大值）。
（2）若已知抛物线上两点坐标为（x1, y1）, （x2, y2）, 试写出该抛物线二次函数的一般式，并求出该抛物线的解析式。
答：设抛物线二次函数为y=ax²+bx+c则有以下方程组：ax1²+bx1+c =y1ax2²+bx2+c =y2-可列出-x1²·a + x1·b + c - y1 = 0x2²·a + x2·b + c - y2 = 0x3²·a + x3·b + c - y3 = 0-即-| x1² x1 1 || x2² x2 1 | = 0| x3² x3 1 |由于已知 2 个点，可以得到3个方程组代入高斯消元法得到a、b、c三个系数，因此解析式y=ax²+bx+c2. 解决实际问题的应用题以一个具体问题为例，说明如何解决动点问题。
【例题】马路边缘水坑中心挖开，呈抛物面，最深处为4m、直径10m。
现在要在中心位置挖一道V字形沟渠，宽5m，深2m，请问水从沟渠可以流多少吨？若要确保塌方风险不会增加，每日流出水量不得超过150m³？解：先画出示意图假设某一时刻水位高度为 h，抛物线面积为 S，则有S = πr² + 2·(2·h)·(πr/2)因为题目已知直径为10m，则半径为 5m，即 r=5所以，S = 25π + 10h设 h = -x² + 4 （因为最深处为4m），并且将 V 字形沟渠截面看作若干个矩形的叠加，则矩形面积为：A = (5 - x) · 2 = 10 - 2x而矩形面积与水位高度 h 存在联系，即：S = A + πx²代入 h = -x² + 4 和S = 25π + 10h，解得：x ≈ 2.036因此，此时的流量为：V = A · x ≈ 20.364 m³/s即使每日流出水量达到最大 150m³，也可以满足问题的需求。
二次函数动点问题专题
二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。
二次函数动点问题的解题思路
２０２３年１２月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀二次函数动点问题的解题思路◉江苏省连云港市海头初级中学㊀王小路㊀㊀摘要:二次函数动点问题难度较大,常作为测试中的压轴题,分值较高．部分学生常因不得法㊁无明确的解题思路,失分较为严重．授课中应结合学情以及经验,做好二次函数动点问题教学设计,展示习题情境以及解题思路,给类似问题的解答提供针对性解题指引．关键词:二次函数;动点问题;解题思路㊀㊀二次函数动点问题对学生的想象能力要求较高[１]．解决该类习题需从题干以及图形出发寻找突破口,尤其应注重 化动为静 ,全面考虑各种满足题设条件的情境．１求解参数范围图１例１㊀(２０２１年 河南 统考中考真题)如图１,抛物线y ＝x ２＋m x 和直线y ＝－x ＋b 交于点A (２,０)和点B ．(１)求m 和b 的值;(２)求点B 的坐标,并结合图象写出不等式x ２＋m x ＞－x ＋b 的解集;(３)M 为直线A B 上的一个动点,将点M 向左平移３个单位长度得到点N ．当线段MN 和抛物线只有一个公共点时,直接写出点M 的横坐标x M 的取值范围．思路剖析:问题(１)将点A 坐标分别代入到抛物线和直线解析式中,构建两个方程求出m 和b 的值;问题(２)将抛物线和直线解析式联立求出点B 的坐标,运用数形结合法求出不等式的解集;问题(３)先确定线段MN 的长度和方向,以点M 为研究对象,从点A 右侧开始逐渐沿着直线A B 运动,分析不同情况下MN 和抛物线的交点,得出结论．解:(１)将点A (２,０)分别代入到抛物线和直线解析中,得４＋２m ＝０,－２＋b ＝０,{解得m ＝－２,b ＝２．{(２)由(１)得抛物线为y ＝x ２－２x ,其顶点坐标为(１,－１);直线为y ＝－x ＋２．联立y ＝x ２－２x ,y ＝－x ＋２,{解得x ＝－１,y ＝３,{或x ＝２,y ＝０,{所以点B 的坐标为(－１,３)．不等式x ２＋m x ＞－x ＋b 表示抛物线y ＝x ２－２x 在直线y ＝－x ＋２的上方,对应的解集为x ＜－１或x ＞２．(３)由题意可得,A ,B 两点的水平距离为３．根据题意,直线MN 为一条与x 轴平行的直线,且线段MN 的长为３．由于M 为动点,坐标未知,因此,需要分类讨论．①当点M 在点A 的右侧,线段M N 和抛物线只有一个公共点时,线段M N 经过抛物线的顶点(１,－１)．令－x ＋２＝－１,解得x ＝３,此时x M ＝３．②当点M 在线段A B 上时,要想满足题意,则应满足－１ɤx M ＜２．③当点M 在点B 的左侧,则线段MN 和抛物线不会有交点．综上分析,满足题意的x M 的取值范围为－１ɤx M ＜２或x M ＝３．点评:例１情境较为复杂,吃透题设情境,准确判断线段MN 的走向,以点A 和点B 为分类讨论的界限是解题的关键．２求解点的坐标图２例２㊀如图２,已知抛物线y ＝－１４x ２＋３２x ＋４和坐标轴分别交于A ,B ,C 三点,其中点M 在直线B C 下方的抛物线上运动,则当øA B C ＝øM C B 时,点M 的坐标为．思路剖析:由øA B C 为锐角,知点M 只能在直线B C 下方右侧抛物线上．先假设出点M ,作出辅助线,运用øA B C ＝øM C B 得出线段C N 和N B 的相等关系,再设出O N 的长,借助勾股定理求出点N 的坐标．最后,在此基础上求出直线C N 的解析式,与抛物线解析式联立解出点M 的坐标．解:对于抛物线y ＝－１４x ２＋３２x ＋４,令x ＝０,得y ＝４,所以点C (０,４);令y ＝０,解得x １＝－２,x ２＝３８解法探究２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀８,则A (－２,０),B (８,０)．因此O A ＝２,O C ＝４,O B ＝８．在直角三角形C O B 中,由勾股定理可得B C ＝４２＋８２＝４５．图３设点M 的位置如图３所示,连接C M 和x 轴交于点N ．由øA B C ＝øM C B ,则C N ＝N B ．令O N ＝x ,则C N ＝N B ＝８－x ．在直角三角形C O N 中,由勾股定理可得x ２＋４２＝(８－x )２,解得x ＝３,则点N (３,０)．设直线C N 的解析式为y ＝k x ＋４,将N (３,０)代入得k ＝－４３,则C N 的解析式为y ＝－４３x ＋４．将其和抛物线y ＝－１４x ２＋３２x ＋４联立,解得x １＝０(舍去),x ２＝３４３．将x ＝３４３代入y ＝－４３x ＋４,得y ＝－１００９．综上,点M 的坐标为(３４３,－１００９)．点评:根据题意假设出点M 的位置,将给出的角度关系转化为线段间的相等关系,灵活运用勾股定理求出点N 的坐标,求出直线表达式后与抛物线解析式联立求得最终结果．３求解最值问题图４例３㊀(２０２２年 广东 统考中考真题)如图４,抛物线y ＝x ２＋b x ＋c (b ,c 是常数)的顶点为C ,与x 轴交于A ,B 两点,A (１,０),AB ＝４,P 为线段A B 上的动点,过点P 作P Q ʊBC 交A C 于点Q ．(１)求该抛物线的解析式;(２)求әC P Q 面积的最大值,并求此时点P 的坐标．思路剖析:问题(１)根据已知条件求出点B 的坐标,运用待定系数法即可求出结果．问题(２)首先求出抛物线顶点C 的坐标,使用待定系数法分别求出直线B C 和A C 的解析式,然后根据P Q 和B C 的平行关系,设出直线P Q 解析式,求出点P 的坐标,最后结合图形通过图形面积关系表示出әC P Q 的面积,运用二次函数性质,求出最值．解:(１)由A (１,０),A B ＝４,得到B (－３,０)．由抛物线过A ,B 两点,将两点坐标代入抛物线解析式得１＋b ＋c ＝０,９－３b ＋c ＝０,{解得b ＝２,c ＝－３,{则抛物线的解析式为y ＝x ２＋２x －３．(２)由(１)可得y ＝x ２＋２x －３＝(x ＋１)２－４,则点C (－１,－４)．根据A ,B ,C 三点的坐标,容易求得直线B C 的解析式为y ＝－２x －６,直线A C 的解析式为y ＝２x －２．由P Q ʊB C ,设直线P Q 的解析式为y ＝－２x ＋m ,令y ＝０,解得x ＝m ２,则点P 的坐标为(m２,０)．联立y ＝－２x ＋m ,y ＝２x －２,{解得x ＝m ＋２４,y ＝m －２２,ìîíïïïï所以点的坐标为Q(m ＋２４,m －２２)．又点P 是线段A B 上的动点,则－３＜m２＜１,解得－６＜m ＜２．由图４可知S әC P Q ＝S әA P C －S әA P Q ,而S әA P C ＝１２|y C ||A P |,S әA P Q ＝１２|y Q ||A P |,则S әC P Q ＝１２ˑ４ˑ(１－m２)－１２ˑ(１－m２)ˑ(－m －２２)＝－１８(m ＋２)２＋２．由二次函数性质可得,当m ＝－２时,S әC P Q 取得最大值２,此时点P 的坐标为(－１,０)．点评:该题综合性较强,求解时需认真观察图形,既要注重数形结合,又要会运用已知条件进行灵活转化,适当设出参数,搭建已知与未知参数之间的桥梁,化陌生为熟悉[２]．４总结上述三道例题情境较为典型,解题思路具有较强的代表性．从解题过程不难看出,二次函数动点问题的思路灵活多变,需在深刻理解题意的基础上,敢于大胆假设,借助所学知识 化动为静 ,运用题设条件抽丝剥茧,严谨推理,认真计算,得出结果[３]．参考文献:[１]王微．初中数学二次函数动点问题教学模式分析[J ]．数理天地(初中版),２０２３(９):４６Ｇ４８．[２]单小燕．二次函数动点问题的解法及教学策略探究[J ]．数学之友,２０２２,３６(２２):４Ｇ６．[３]冯玲玉．初中数学动点问题的教学策略研究 以二次函数为例[J ]．数理天地(初中版),２０２２(１６):３６Ｇ３８．Z４８。
初中二次函数动点问题
动点问题一、选择题：1. 如图，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）A94xyOPDAA 、10B 、16C 、18D 、20二、填空题：1. 如上右图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。
三、解答题：1．（2008年大连）如图12，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A = 90°，CD = 3，AD = 4，tan B = 2，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ．点P 为线段AD 上一动点，直线PM ∥AB ，交BC 、C H 于点M 、Q ．以PM 为斜边向右作等腰Rt △PMN ，直线MN 交直线AB 于点E ，直线PN 交直线A B 于点F ．设PD 的长为x ，EF 的长为y ． ⑴求PM 的长(用x 表示)；⑵求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围(图13为备用图)； ⑶当点E 在线段AH 上时，求x 的取值范围(图14为备用图)．Q POBED CA图 13图 14图 12AHBCDA HBCDHM QP DCBA2.（2008年福建宁德）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点P 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米．⑴求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；⑵如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；⑶在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ．①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义；②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．3.（2008年白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．G 2 4 6 8 10 1210 86 4 2 yOx图1BDA↓。
二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)
二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)二次函数的动态问题（动点）正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，顶点C，D在第一象限。
点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动。
当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
1) 求正方形ABCD的边长。
解：作BF⊥y轴于F。
则FB=8，FA=6，AB=10.2) 当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分。
求P，Q两点的运动速度。
解：由图可知，点P从点A运动到点B用了10秒。
又AB=10，故P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位。
3) 求(2)中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。
解：方法一：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF。
由相似三角形可得：GA/AP=FA/AB，即6/10=t/AP，故GA=3/5t。
又OG=10-3/5t，OQ=4+t。
则S=1/2×OQ×OG=1/2×(t+4)×(10-3/5t)=-3/10t²+19/5t+20.对XXX求导得：S'=(-6/5)t+19/5，令其为0，解得t=19/3.此时S有最大值。
此时GP=76/15，OG=31/5，P的坐标为(76/15,31/5)。
方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9，S=63/2.设所求函数关系式为S=at²+bt+20.抛物线过点(5,63/2)，则a=-3/10，b=19/2.代入可得S=-3/10t²+19/2t+20.同样可得最大值时t=19/3，P的坐标为(76/15,31/5)。
4) 若点P，Q保持(2)中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而减小。