2020年山西省太原市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）
副标题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合0，1，，则 A. B. C. D.
2. 已知a是实数，是纯虚数，则a等于 A. 1 B. C. D. 3. 已知，则 A. B. C. D. 4. 如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理表示正整数n除以正整数m的余数为N，例如执行该程序框图，则输出的n等于
A. 11 B. 13 C. 14 D. 17
5. 若是两个非零向量，且则向量与夹角的取值范围是 A. B. C. D.
6. 函数的图象大致为
A. B. C. D. 7. 圆周率是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N人，让每人随机写出一对小于1的正实数a，b，再统计出a，b，1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出的值是
A. B. C. D.
8. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 9. 过抛物线的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点若的面积为，则 A. 2 B. 4 C. D. 8
10. 已知数列的前n项和为，且满足数列满足，则数列的前100项和为 A. B. C. D.
11. 对于函数有下列说法： 的值城为； 当且仅当时，函数取得最大值； 函数的最小正周期是； 当且仅当时． 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 三棱锥中．，为等边三角形，二面角的
余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为则三棱锥体积的最大值为 A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知的展开式中，的系数为0，则实数______．
14. 已知双曲线的左右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点，若为等腰三角形，，则双曲线的离心率为______． 15. 已知数列满足，且，则的通项公式为______． 16. 改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间单位：分钟服从正态分布，下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间单位：分钟服从正态分布，从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法： 若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到； 若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同； 若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大； 若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大． 则以上说法中正确的序号是______． 参考数据：若，则， ，
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且外接圆的半径为1． Ⅰ求角C； Ⅱ求面积的最大值．
18. 如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，四边形ACFE为梯形，，点E在平面ABCD上的射影为OA的中点，AE与平面ABCD所成角为．
Ⅰ求证：平面ACF； Ⅱ求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．
19. 已知，是椭圆C：的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线被椭圆截得的弦的中点坐标为． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ过的直线l交椭圆于A，B两点，当面积最大时，求直线l的方程． 20. 为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x，进行统计整理的频率分布直方图．
根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：为一级品，为二级品，为三级品． Ⅰ现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，再从所抽取的40件产品中，抽取2件尺寸的产品，记为这2件产品中尺寸的产品个数，求的分布列和数学期望； Ⅱ将甲设备生产的产品成箱包装出售时，需要进行检验．已知每箱有100件产品，每件产品的检验费用为50元．检验规定：若检验出三级品需更换为一级或二级品；若不检验，让三级品进入买家，厂家需向买家每件支付200元补偿．现从一箱产品中随机抽检了10件，结果发现有1件三级品．若将甲设备的样本频率作为总体的慨率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中剩余产品进行一一检验？请说明理由； Ⅲ为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元件；二级品的利润为400元件；三级品的利润为200元件．乙种
设备产品中一、二、三级品的概率分别是，，若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家的利润作为决策依据．应选购哪种设备？请说明理由．
21. 已知函数． Ⅰ若函数有两个零点，求a的取值范围； Ⅱ恒成立，求a的取值范围． 22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点．x轴正半轴为极轴建立极坐标系． Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
Ⅱ射线与曲线交于O，P两点，射线与曲线交于点Q，若的面积为1，求的值．
23. 已知a，b，c为正实数． Ⅰ若，证明：；
Ⅱ证明：． 答案和解析 1.【答案】A
{解析}解：或． 故选：A． 先求出集合A，再求两集合的交，并，补，可判断正误． 本题考查集合的基本运算，属于基础题． 2.【答案】A
{解析}解：是纯虚数， ，，解得， 故选：A． 利用复数的运算法则即可得出． 本题考查了复数的运算法则，属于基础题． 3.【答案】B
{解析}解：，， ，， ，， ， 故选：B． 利用对数函数和指数函数的性质求解． 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用． 4.【答案】D
{解析}解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： 被3除余2， 被4除余1， 故输出的n为17， 故选：D． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题． 5.【答案】C
{解析}解：根据题意，设，则，再设向量与夹角为， 则有，变形可得：， 则有，变形可得， 则
， 又由，则，则有，
又由，则有，即的取值范围为； 故选：C． 根据题意，设，向量与夹角为，又由，由向
量模的计算公式变形可得：，进而可得的值，由数量积公式
可得，结合m的范围，分析可得的范围，结合余弦函数的性质分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 6.【答案】A
{解析}【分析】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 根据的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可． 【解答】
解：设，
，排除C，D， 选项B中一个x值对应两个y值，不是函数，排除B， 故选：A． 7.【答案】B
{解析}解：学校共有学生N人，每人随机写出一对小于1的正实数a，b，得到N个实数对， 因为，，所以N个实数对都在边长为1的正方形AOBC内，如图所示： 若a，b，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角， 所以，即， 所以N对实数对落在单位圆外的有M对，
由几何概率的概率公式可得：，
所以， 故选：B． N个实数对都在边长为1的正方形AOBC内，若a，b，1能构造锐角三角形，则
，所以N对实数对落在单位圆外的有M对，再利用几何概率的概率公式即可求出的近似值． 本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题． 8.【答案】D
{解析}解：为奇函数，且在上是增函数，， ，在内也是增函数
，
即或 根据在和内是都是增函数 解得： 故选：D． 根据函数为奇函数求出，再将不等式x 分成两类加以分析，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集． 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解． 9.【答案】D
山西省太原2020年高三年级模拟试题(一)理科数学(含答案)
山西太原市2020年高三模拟试题（一）数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N =（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.3213 4．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=a D.6=a 7.73)13(x x +展开式中的常数项是（ ）A.189B.63C.42D.218．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A.π3B.π3C.23π D.π34 9．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+102306x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最小值为2，则b a 31+的最小值为（ ）A ．32+B ．625+C ．158+D ．3210．已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x C ：的右焦点为F ，过点F 作圆222b y x =+的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A.21 B.22 C.32 D.361l ．设10=AB ，若平面内点P 满足对任意的R ∈λ，都有82≥-AB ，则下列结论一定正确的是（ ） 5≥PA 10≥PB PA C.9-≥⋅ D.ο90≤∠APB12．定义在R 上的连续奇函数f （x ）的导函数为)(x f '，已知f （1）≠0，且当x>0时有)()(ln x f x f x x -<'⋅成立，则使0)()4(2>-x f x 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)2,0()0,2(Y -B ．),2()2,(+∞--∞YC ．),2()0,2(+∞-YD ．)2,0()2,(Y --∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 .14．已知函数)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 在)34,0(π单调递增，在)234(ππ，单调递减，则=ω . 15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （5，2）=11，则a （41，18）= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若2R （sin 2B-sin 2A ）=（a +c ）sinC．（I）求角B；（Ⅱ）若b=7，c=2，求sinA的值．18．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二而角A-BF-E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =． （I ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点为F 1（-1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x=3于点C ．设22AF F B λ=u u u u r u u u u u r ，已知当2λ=时，|AB |=|BF 1|．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．2L ．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=． （1）判断函数f （x ）在区间（0．一）上零点的个数；（Ⅱ）设函数g （x ）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n ．证明：（1）g （x 1）+g （x 2）<0；（2）对一切n ∈N *，g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+…+g （x n ）<0成立．·7·（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求k 的值23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,21[，求实数a 的取值范围.·8··9··10·。
山西省太原市2020届高三年级数学理科模拟试题(三) (含答案)
第 I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.己知集合A = { xlx2 - 3x + 2 注0},B = { xix + 1 注α｝，若A UB=R ，则实数α的取值范围是
A.[2, +oo)
B. ( -oo,2]
A. 0
B. 1
C.2
D. 3
，
高三数学（理） 第3页（共8页）
。
高三数学（理） 第4页（共8页）
太原市2020年高三年级模拟试题（三）
数 山｛子 试卷（理科）
三、解答题：共70，分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17：时21题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
高三数学（理） 第1页（共8页）
4.已知 sinα － cosα ＝ 〉豆，αε （0， τ ），则 tana =
A.-1
B －－一－ 2
c.
一v'－2
2
D.1
5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题，松
长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如
图是源于其思想的一个程序框图
答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
’ log1x(O < x 运 11 I I
111二 13.已知函数J(x）＝� 2 , x2 - 1(x > 11
则11 \ \ IS －
．
＿付 14.�ABC的内角 A,B,C的对边分别为α，b 'c. 若A腻的面积为
山西省2020版高考数学二模试卷(理科)(I)卷(模拟)
山西省2020版高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·太原模拟) 已知i是虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A .B . （﹣1，1）C .D . （1，﹣1）2. （2分）已知O、A 、B是平面上不共线的三点，向量，。
设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量，若，，则等于（）A . 1B . 3C . 5D . 63. （2分）sin347°cos148°+sin77°cos58°=（）A .B .C .D . 14. （2分） (2018高二上·黑龙江期中) 圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积为A .B .C .D .5. （2分）(2017·福建模拟) 执行如图所示的程序框图，输出S值为（）A .B .C .D .6. （2分）某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积是（）A .B .C . 1D . 37. （2分） (2017高二下·蚌埠期末) 设函数则使f（2x）＞f（x﹣1）成立的x范围为（）A .B .C .D .8. （2分）已知变量x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A .B .C .D .9. （2分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·定远期中) 设双曲线的中心为点，若直线和相交于点，直线交双曲线于，直线交双曲线于，且使则称和为“ 直线对”.现有所成的角为60°的“ 直线对”只有2对，且在右支上存在一点，使，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·沭阳期中) 已知数列满足，若，则（）A . -1B . 2C . 3D . 201912. （2分） (2016高一上·陆川期中) 设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x﹣2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A . （1，2）B . （2，+∞）C . （1，）D . （，2）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·淄博期中) 若命题“ ”为假命题，则实数的取值范围是________.14. （1分）从{ ，，2，3}中随机抽取一个数记为a，从{﹣2，﹣1，1，2}中随机抽取一个数记为b，则函数y=ax+b的图象经过第三象限的概率是________．15. （1分） (2016高二上·上海期中) 已知直线l过点P（3，6）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，O是坐标原点，则当|OA|+|OB|取得最小值时的直线方程是________（用一般式表示）16. （1分） (2018高三上·长春期中) 设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－， ))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论中：①图象关于点( ，0)对称；②图象关于点( ，0)对称；③在[0， ]上是增函数；④在[－，0]上是增函数，所有正确结论的编号为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分） (2016高一下·芦溪期末) 已知等差数列{an}首项a1=1，公差为d，且数列是公比为4的等比数列，（1）求d；（2）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；（3）求数列的前n项和Tn ．18. （10分） (2020高一下·河北期中) 在中，角的对边分别为，已知向量与向量互相平行，且．（1）求角C；（2）求a+b的取值范围．19. （10分）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， , 平面 , ，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．20. （5分）(2020·咸阳模拟) 为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？男女总计合格不合格总计（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82821. （5分） (2016高二下·静海开学考) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，离心率e= ，与双曲线有相同的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（II）过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且| + N|= ，求直线l的方程．（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．22. （10分） (2019高二下·哈尔滨月考) 已知（1）求的单调区间；（2）当时，是否存在实数，使得成立，若存在求出，若不存在说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、22-1、。
2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z(1+i)=i−2(i为虚数单位)，则z.等于()A. −12+32i B. −12−32i C. −1+3i D. −1−3i2.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}3.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若2a4+a10+a12=22，则S14=()A. 56B. 66C. 77D. 784.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.5.函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π⩽x⩽π且x≠0)的图象大致是()．A. B.C. D.6.要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依此比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是()A. C93C52B. C103C52C. A103A52D. C104C527. 如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形．则这个三棱锥的外接球的表面积是( )A. 19πB. 28πC. 67πD. 76π8. 已知F 1，F 2是椭圆x 216+y 212=1的左、右焦点，直线l 过点F 2与椭圆交于A 、B 两点，且|AB|=7，则△ABF 1的周长为( )A. 10B. 12C. 16D. 39. 已知函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−6,6)∪(254,+∞) B. (254,+∞) C. (−∞,−254)∪(−6,6)D. (−254,+∞)10. 已知A 、M 、B 三点共线，m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数t 的值为( )．A. １２B. １３C. −１２D. −１３11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若M 在以线段F 1 F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. √3D. √512. f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时f(x)+x ⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A. (−4,0)∪(4,+∞)B. (−4,0)∪(0,4)C. (−∞,−4)∪(4,+∞)D. (−∞,−4)∪(0,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0，则z =x −2y 的最小值是______．14. 等比数列{a n }中，a 1+a 2=20，a 3+a 4=40，则a 5+a 6等于______ ． 15. (1)观察下列式子：1+122<32，1+122+132<53，，…，根据以上式子可以猜想：1+122+132+⋯+120162<______．(2)甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、b ∈{0,1,2,…,9}.若|a −b|=1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为______．(3)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1(n =2,3,4，…)的分数的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，22n+1=______(n =2,3,4，…)． (4)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x 2f’(x)+1>0，f(1)=5，则不等式f(x)<1x +4的解集为______．16. 直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若a−c b−c =sinBsinA+sinC ．(1)求角A ；(Ⅱ)设m ⃗⃗⃗ =(sinB,cos2B)，n ⃗ =(2,1)，求m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 的最大值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =45°，PD ⊥平面ABCD ，AP ⊥BD ． (1)证明：BC ⊥平面PDB ；(2)若AB =√2,PB 与平面APD 所成角为45°，求二面角A −PC −B 的大小．19. 动点P 到定点F(0,1)的距离比它到直线y =−2的距离小1，设动点P 的轨迹为曲线C ，过点F的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ． (Ⅰ)求曲线C 的方程； (Ⅱ)求证：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0；20. 某企业根据供销合同生产某种型号零件10万件，规定：零件长度(单位：毫米)在区间(99,101]内，则为一等品；若长度在(97,99]或(101,103]内，则为二等品；否则为不合格产品．现从生产出的零件中随机抽取100件作样本，其长度数据的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)试估计该样本的平均数；(Ⅱ)根据合同，企业生产的每件一等品可获利10元，每件二等品可获利8元，每件不合格产品亏损6元，若用样本估计总体，试估算该企业生产这批零件所获得的利润．21.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (I)写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (II)直线l 与曲线C 2交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =0时，解不等式f(x)>4；(2)若∃x ∈R ，使不等式|x −3|+|x −a|<4成立，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：由z(1+i)=i −2， 得z =i−21+i =(i−2)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+3i 2=−12+32i ，则z .=−12−32i ． 故选：B ．由z(1+i)=i −2，得z =i−21+i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 得答案． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：M ={x|−6<x <6}； ∴M ∩N ={2,4}． 故选：A ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式、求和公式及等差数列的性质即可得出． 解：∵2a 4+a 10+a 12=22，∴4a 1+26d =22， ∴2a 1+13d =11，∴a 7+a 8=2a 1+13d =11， 则S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)=77．故选C ．4.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．5.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性以及函数的导数的应用，函数的极值，考查转化思想以及计算能力．利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f(π)的值，推出结果即可．解：函数f(x)=ln|x|+|sinx|(−π≤x≤π且x≠0)是偶函数排除A．当x>0时，f(x)=lnx+sinx，可得：f′(x)=1x+cosx，令1x +cosx=0，作出y=1x与y=−cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f(π)=lnπ>1，故选D．6.答案：A解析：解：∵从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，∴每个学生被抽到的概率是615=25，∵按性别依此比例分层抽样∴应抽男生25× 10=4，应抽女生25× 5=2，∵某男生担任队长，∴不同的抽样方法数是C93C52，故选A．由题意知从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，得到每个学生被抽到的概率是615，因为按性别依此比例分层抽样，做出男女各需抽的人数，某男生担任队长，所以只抽三个男生即可，写出结果．本题是一个分层抽样与排列组合问题的综合题，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．7.答案：B解析：解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，由棱柱的底面边长为3，则底面半径为r=3×√33=√3，由棱柱的高为4，则球心距d=2，外接球的半径R=√r2+d2=√7，故这个三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=28π，故选：B由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：C解析：本题考查椭圆的定义．椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF2|+|BF2|=|AB|，进而得到答案．解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16．故选：C．9.答案：C解析：本题主要考查根的存在性的应用，利用一元二次函数的图象和性质，以及数形结合是解决本题的关键．由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，作出函数y=g(x)=3x−|x2−4|图象，利用数形结合即可得到结论．解：由f(x)=0，得m=3x−|x2−4|，设g(x)=3x−|x2−4|，当x≥2或x≤−2时，g(x)=3x−|x2−4|，g(x)=3x −x 2+4=−(x −32)2+254，当−2<x <2时，g(x)=3x −|x 2−4|，g(x)=3x +x 2−4=(x +32)2−254，作出y =g(x)=3x −|x 2−4|图象如图：要使函数f(x)=|x 2−4|−3x +m 恰有两个不同的零点，则m <−254或−6<m <6，即m ∈(−∞,−254)∪(−6,6)，故选：C10.答案：D解析：解：∵AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 化为3(t +1)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 与m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 比较可得：{3(t +1)=m −3t =1，解得t=−13．故答案为：−13．利用向量的三角形法则和平面向量的基本定理即可得出．本题考查了向量的三角形法则和平面向量的基本定理，属于基础题．11.答案：A解析：解：不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba(x−c)，与y=−ba x联立，可得交点M(c2,−bc2a)，∵点M在以线段F1F2为直径的圆上，∴c24+b2c24a2=c2，∴b=√3a，∴c=√a2+b2=2a，∴e=ca=2．故选：A．已知得出过F且与双曲线C的一条渐近线平行的直线方程，与另一条渐近线方程联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，熟练掌握双曲线的渐近线及离心率、直线的点斜式、圆的方程是解题的关键．12.答案：D解析：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+x⋅f′(x)<0，且f(−4)=0，所以ℎ(x)=xf(x)在x<0时单调递减，在x>0时递增，且ℎ(−4)=ℎ(4)=0，故选D.13.答案：−2解析：解：由x ，y 满足约束条件{y −1≤0x −y −1≤0x +2y −2≥0作出可行域如图，化目标函数z =x −2y 为y =12x −z 2．联立{y =1x +2y −2=0，解得：C(0,1)． 由图可知，当直线y =12x −z 2过C(0,1)时直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，等于0−2×1=−2．故答案为：−2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：80解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，即40=20q 2,解得q 2=2，故a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2=40×2=80,故答案为：80．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3+a 4=(a 1+a 2)⋅q 2，可得q 2=2，而a 5+a 6=(a 3+a 4)⋅q 2，代入可得．本题考查等比数列的通项公式和公比的定义，属基础题．15.答案：(1)40312016；(2)950；(3)1n+1+1(n+1)(2n+1)；(4)(0,1)．解析：(1)本题考查归纳推理的应用，根据已知不等式得到规律即可求解．)解：，，，则，故答案为40312016．(2)本题考查古典概型的概率计算，列出基本事件，代入古典概型的公式即可求解．解：总的基本事件共有10×10=100种，满足|a−b|=1，即取相邻的两个数共有9×2=18种，则概率为18100=950，故答案为950．(3)本题考查归纳推理的应用，根据所给的等式找出规律即可求解．解：25=13+13×5，3=5+12；2 7=14+14×7，4=7+12；2 9=15+15×9，5=9+12按此规律，22n+1=1n+1+1(n+1)(2n+1)(n=2,3,4，…)，故答案为1n+1+1(n+1)(2n+1)．(4)本题考查导数在函数单调性中的应用，根据不等式函数得到单调性即可求解．解：设g(x)=f(x)−1x ，则g′(x)=f′(x)+1x2=x2f′(x)+1x2>0，所以g(x)在单调递增，又g(1)=4，不等式可化为g(x)<g(1)，则0<x<1，故答案为(0,1)．16.答案：4√55 解析：解：如图，圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径r =1，∵圆心O 到直线y =2x +1的距离：OD =|2×0−0+1|√5=√55， ∴BD =(√55)=2√55， ∴直线y =2x +1被圆x 2+y 2=1截得的弦长：|AB|=2|BD|=4√55． 故答案为：4√55． 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长．本题考查圆的弦长的求法，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．17.答案：解：(1)由a−c b−c =sinB sinA+sinC则a−c b−c =b a+c ，即a 2=b 2+c 2−bc ，由余弦定理，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得cosA =12， 由于A 为锐角，则A =π3；(II)m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2sinB +cos2B ，=2sinB +1−2sin 2B=−2sin 2B +2sinB +1，B ∈(0,2π3)，令t =sinB ，则t ∈(0,1]．则m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2t 2+2t +1=−2(t −12)2+32，t ∈(0,1]． ∴t =12时，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 取得最大值32．解析：(1)由正弦定理将角化为边，再由余弦定理即可求得角A ；(II)由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式及三角换元，由二次函数的最值求法，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的求值，考查二次函数的值域问题，考查运算能力，属于中档题．18.答案：(1)证明：由PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得PD ⊥BD ，又AP ⊥BD ，AP ∩PD =P ，AP ，PD ⊂平面APD ，所以BD ⊥平面APD ，又∵AD ⊂平面APD ，所以BD ⊥AD ，又AD//BC ，所以BC ⊥BD ，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，又BD ∩PD =D ，BD ，PD ⊂平面PDB ，所以BC ⊥平面PDB ；(2)解：由(1)可知BD ⊥AD ，又AB =√2，∠DAB =45°，所以AD =BD =1，又BD ⊥平面APD ，所以DP 为BP 在平面APD 内的射影，故∠BPD =45°，所以PD =BD =1，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面APC 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0，故m ⃗⃗⃗ =(1,2,1)， 设平面PCB 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b −c =0，得n ⃗ =(0,1,1)， 故cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3=√32， 因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π6．解析：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力和运算能力，是中档题．(1)根据题意，先判断BD ⊥平面APD ，得到PD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得出结论；(2)根据题意，以D 为坐标原点，DA ，DB ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面APC 和平面PCB 的法向量，进行求解即可．19.答案：解：(Ⅰ)由已知，动点P 在直线y =−2上方，条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离，∴动点P 的轨迹是以F(0,1)为焦点，直线y =−1为准线的抛物线故其方程为x 2=4y ；(Ⅱ)证明：设直线AB 的方程为y =kx +1，由{x 2=4y y =kx +1得：x 2−4kx −4=0， 设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，则x A +x B =4k ，x A x B =−4，由x 2=4y 得：y =14x 2，∴y′=12x ，∴直线AM 的方程为：y −14x A2=12x A (x −x A )① 直线BM 的方程为：y −14x B2=12x B (x −x B )② ①−②得：14(x B 2−x A 2)=12(x B 2−x A 2)，即x =x A +x B2=2k ， 将x =x A +x B2代入①得：y −14x A 2=12x A x B −x A 2=14x A x B −14x A 2， ∴y =14x A x B =−1，故M(2k,−1)，∴MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2k,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x B −x A ,k(x B −x A ))，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2k(x B −x A )−2k(x B −x A )=0．解析：(Ⅰ)由题意可得条件可转化为动点P 到定点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1距离，由抛物线的定义即可得到所求曲线方程；(Ⅱ)设直线AB 的方程为y =kx +1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，求得y =14x 2的导数，可得切线的斜率和方程．联立方程组，求得交点M 的坐标，再由向量数量积的坐标表示，即可得证． 本题考查曲线方程的求法，注意运用抛物线的定义和方程，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得各组的频率分别为0.02，0.18，0.38，0.30，0.10，0.02．平均数估计值是96×0.02+98×0.18+100×0.38+102×0.30+104×0.10+106×0.02=100.68．(Ⅱ)由题意知，一等品的频率为0.38，二等品的频率为0.48，不合格产品的频率为0.14． 用样本估计总体，一等品约有3.8万件，二等品约有4.8万件，不合格产品约有1.4万件．故该企业生产这批零件预计可获利润3.8×10+4.8×8−1.4×6=68万元．解析：本题主要考查了频率分布直方图，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．(Ⅰ)平均数为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，计算即可；(Ⅱ)算出一等品、二等品、不合格产品的频率，进而求出产品的数量，即可算该企业生产这批零件所获得的利润；21.答案：解：f(x)的定义域是R ，(1)f′(x)=e x −a ，①a >0时，令f′(x)>0，解得：x >lna ，令f′(x)<0，解得：x <lna ，故f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；②a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 递增；综上所述，当a >0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；当a ≤0时，f(x)在R 递增；(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(−∞,lna)递减，在(lna,+∞)递增；先比较a与ln a的大小，构造函数y=x−lnx，则y′=1−1x =x−1x，易得当x∈(0,1)时，y=x−lnx单调递减，当x∈(1,+∞)时，y=x−lnx单调递增，所以当x=1时，y=x−lnx有最小值，即y min=1，即x−lnx>0，所以a>lna，①lna≤0即0<a≤1时，f(x)在[0,a]递增，f(x)max=f(a)=e a−a2，②当a>1时，0<lna<a恒成立，f(x)在[0,lna)递减，在(lna,a]递增，f(0)=1，f(a)=e a−a2，令ℎ(x)=e x−x2−1(x>1)，则ℎ′(x)=e x−2x，令m(x)=e x−2x(x>1)，则m′(x)=e x−2>0，即ℎ′(x)=e x−2x在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ′(x)>e−2>0，即ℎ(x)=e x−x2−1在(1,+∞)上是单调递增的，所以ℎ(x)>e−1−1=e−2>0，所以当a>1时，e a−a2>1，即f(x)max=f(a)=e a−a2，综上所述，当a>0时，函数f(x)在[0,a]上的最大值e a−a2．解析：本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，属于中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)通过讨论a的范围，构造函数，结合函数的单调性比较大小即可求出函数的最值即可．22.答案：解：(I)直线l的参数方程可化为普通方程为x−y+1=0，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ．曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0，即x 2+(y −2)2=4；(II)设A 、B 两点所对应的参数分别为t A ，t B,将{x =1+√22t y =2+√22t(t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0， 化简整理可得t 2+√2t −3=0，从而{t A +t B =−√2t A t B =−3, 故|AB|=√(t A +t B )2−4t A t B =√14．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，属于中档题． (I)利用坐标互化的方法即可写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(II)利用参数的几何意义，即可求得|AB|．23.答案：(本小题满分10分)解：(1)由a =0，原不等式为|x −3|+|x|>4由绝对值的几何意义可得{x|x <−12或x >72} …(5分)(2)由∃x ∈R ，|x −3|+|x −a|<4成立，得(|x −3|+|x −a|)min <4，又|x −3|+|x −a|≥|x −3−(x −a)|=|a −3|∴|a −3|<4，解得−1<a <7…(10分)解析：(1)利用绝对值的几何意义，转化求解即可．(2)利用绝对值的几何意义，求出不等式的最小值，列出不等式，转化求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立条件的转化，考查计算能力．。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x2−x≥0}，N={x|x≥2}，则M∩N=()A. ⌀B. {x|x≥1}C. {x|x≥2}D. {x|x≥1或x≤0}+1，则|z|2018=()2.已知复数z=2018+2019i2019−2018iA. 22018B. 21009C. 1D. √23.已知正方形ABCD如图所示，其中AC，BD相交于O点，E，F，G，H，I，J分别为AD，AO，DO，BC，BO，CO的中点，阴影部分中的两个圆分别为△ABO与△CDO的内切圆，若往正方形ABCD中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为()A. 1+(2−√2)π2B. 1+(4−2√2)π4C. 1+(6−2√2)π4D. 1+(6−4√2)π44.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2017>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.函数f(x)=sin x+ln|x|的图象大致为()A. B.C. D.6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为4，则t的值不可能是()A. 3B. 6C. 8D. 117.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2808.如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 403B. 323C. 163D. 2839. 已知x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3x −y ⩾−12x −y ⩽3，若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为10，则5a +4b 的最小值为 ( ) A. 6 B. 8 C. 4 D. 10 10. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >c >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，若以F 2为圆心，b −c 为半径作圆F 2，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于√32(a −c)，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A. [35,1)B. [35,√22)C. (0,35)D. (√22,1) 11. 点G 为△ABC 的重心，AB =2，BC =1，∠ABC =60°，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −59 B. −98 C. 59 D. 1912. 设函数f ′(x )是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，，则不等式(x 2−20192)f(x)>0的解集为( )A. (−2019,0)∪(0,2019)B. (−2019,0)∪(2019,+∞)C. (−∞,−2019)∪(2019,+∞)D. (−∞,−2019)∪(0,2019) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知双曲线x 2m −y 23=1(m >0)的一条渐近线方程为y =√32x ，则m 的值为____________． 14. 若函数f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为√2，则ω=________．15. 如图，四边形ABCD 和ABEF 均是边长为1的正方形，且平面ABCD ⊥平面ABEF.M ，N 分别为对角线AC ，BF 上两点，则MN的最小值为________．16. 将正整数1,2,3,⋯,n,⋯，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i 行、第j 列的数可用(i,j)表示，则2015可表示为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a−c=2bcos C．+B)的值；(1)求sin(A+C2(2)若b=√3，求c−a的取值范围．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=AD=1，CD=√3．PD=2，BC=12(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)在棱PC上是否存在一点M，使二面角M−BQ−C为30°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．19.某次运动会的游泳比赛中，已知5名游泳运动员中有1名运动员服用过兴奋剂，需要通过检验尿液来确定因服用过兴奋剂而违规的运动员，尿液检验结果呈阳性的即为服用过兴奋剂的运动员，呈阴性则没有服用过兴奋剂，组委会提供两种检验方法：方案A：逐个检验，直到能确定服用过兴奋剂的运动员为止．方案B：先任选3名运动员，将他们的尿液混在一起检验，若结果呈阳性则表明违规的运动员是这3名运动员中的1名，然后再逐个检验，直到能确定为止；若结果呈阴性则在另外2名运动员中任选1名检验．(Ⅰ)求依方案A所需检验次数不少于依方案B所需检验次数的概率；(Ⅱ)ξ表示依方案B所需检验次数，求ξ的数学期望．20.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．21. 已知函数f(x)=ln(2−x)+x ，求f(x)的极值．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1:{x =2cosαy =2sinα(α为参数)经过伸缩变换{x ′=x y′=y 2得到曲线C 2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1,0)，求1|PM|+1|PN|的值．23. 已知a >b >0，函数f(x)=|x +a +1b |+|x −1a−b |．(1)若b =1，a =2，求函数f(x)的最小值；(2)证明：f(x)≥4．【答案与解析】1.答案：C解析：解：M ={x|x ≤0，或x ≥1}；∴M ∩N ={x|x ≥2}．故选：C ．可求出集合M ，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，属于基础题．求出z ，求出z 的模，从而求出答案．解：∵z =2018+2019i 2019−2018i +1=(2018+2019i)i (2019−2018i)i +1 =(2018+2019i)i +1 =i +1，∴|z|=√2，则|z|2018=21009，故选：B ． 3.答案：D解析：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键．根据条件分别求出小正方形和三角形内切圆的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：设正方形的边长为1，则对角线AC =√2，则AO =√22， 即小正方形的边长FO =√24，则小正方形的面积S =(√24)2=18，则等腰直角三角形AOB 中，设内切圆的圆心为M ，半径为r ，则由等积法得12AD ⋅r +12AB ⋅r +12AB ⋅r =12AB ⋅AD ，即(√22+√22+1)r =√22×√22， 得r =12(√2+1)=√2−12则一个小圆的面积S =π(√2−12)2=3−2√24π， 则阴影部分的面积S =3−2√24π×2+18×2=1+(6−4√2)π4， 则对应的概率P =1+(6−4√2)π4， 故选：D ．4.答案：C解析：解：若公比q =1，则当a 1>0时，则S 2017>0成立，若q ≠1，则S 2017=a 1(1−q 2017)1−q ，∵1−q 与1−q 2017符号相同，∴a 1与S 2017的符号相同，则“a 1>0”⇔“S 2017>0”，即“a 1>0”是“S 2017>0”充要条件，故选：C根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n项和公式进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．5.答案：B解析：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数值的符号以及函数的奇偶性即可判断．解：因为f(x)=sin x+ln|x|是非奇非偶函数，所以其图象不关于原点成中心对称，也不关于y轴成轴对称，所以选项C、D错误；当x>e时，f(x)=sin x+ln x>0恒成立，所以选项A错误，B正确．故选B．6.答案：D解析：解：模拟程序框图的运行过程，如下；k=10，S=0，满足条件S≤t，S=20=1；k=8，满足条件S≤t，S=1+21=3；k=6，满足条件S≤t，S=3+23=11；k=4，不满足条件S≤t，输出k=4；则t的值不可能是11．故选：D．模拟程序框图的运行过程，得出不满足条件S≤t时输出k=4，由此求出t的值不可能是11．本题考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．7.答案：C)7的展开式的通项公式为解析：解：二项式(x2−2xT r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，x令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题8.答案：A解析：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直四棱锥；且四棱锥的底面为梯形，梯形的上底长为1，下底长为4，高为4；所以，该四棱锥的体积为V=S底面积⋅ℎ=13×[12(1+4)×4]×4=403．故选A．9.答案：B解析：分析】本题考查了简单线性规划和利用基本不等式求最值，属于中档题．利用简单线性规划计算得4a+5b=10，再利用基本不等式求最值计算得结论．解：作满足约束条件的可行域如下图的阴影部分，把目标函数变形为y =−a b x +zb ，斜率始终为负值．z b是直线z =ax +by(a >0,b >0)在y 轴上的截距，当直线z =ax +by(a >0,b >0)过点D(4,5)时，zb 取得最大值， 即z 取得最大值，z max =4a +5b ，又因为z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为10，所以4a +5b =10， 因此5a +4b =110(4a +5b )(5a +4b )=110(40+25b a +16a b) ≥110(40+2√25b a×16a b)=8，当且仅当25b a=16a b，即a =54，b =1时，等号成立，因此5a +4b 的最小值为8． 故选B ．10.答案：B解析：本题考查椭圆的性质、离心率的计算公式、圆的切线的性质、勾股定理、一元二次不等式的解法是解题的关键，是中档题．利用切线的性质和勾股定理可得|PT|=√|PF 2|2−(b −c)2，利用椭圆的性质可得|PF 2|的最小值为a −c ，再利用题意可|PT|的最小值为√32(a −c)，即可得出离心率e 满足的不等式，再利用b >c ，可得b 2>c 2，即a 2−c 2>c 2，又得出e 满足的不等式，联立解出即可． 解：当P 点位于椭圆的右顶点的位置的时候，|PF 2|最小值，且最小值为|PF 2|=a −c ． ∵|PT|=√|PF 2|2−(b −c)2， ∴√(a −c)2−(b −c)2=√32(a −c)，∴(a −c)2=4(b −c)2，∴a −c =2(b −c)， ∴a +c =2b ，∴(a +c)2=4(a 2−c 2)， 化为5c 2+2ac −3a 2=0，即5e 2+2e −3=0． 解得e =35，可得35≤e <1，① ∵b >c ，∴b 2>c 2，∴a 2−c 2>c 2，∴a 2>2c 2，∴e 2<12，② 解得0<e <√22．由①②解得35≤e <√22．故椭圆离心率的取值范围为[35,√22).故选B ．11.答案：A解析：先根据余弦定理求得AC =3，于是得到△ABC 为直角三角形，然后建立平面直角坐标系，根据重心得到点G 的坐标，然后根据数量积的坐标运算得到所求．解：在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ·BCcos60°=4+1−2×2×1×12=3， 所以AC =√3，所以AB 2=AC 2+BC 2，所以△ABC 为直角三角形，且C =90°． 以点C 为原点，边CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系， 则A(√3,0)，B(0,1)，又G 为△ABC 的重心，∴点G 的坐标为(√33,13).所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√33,13)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,13)， 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√33×√33+13×13=−59． 故选A ．12.答案：D解析：本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系，属于难题． 以及不等式的解法，关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集．解：根据题意，设g(x)=ln x2019⋅f(x)，(x >0)，其导数g ′(x )=1x f(x)+ln x2019f ′(x )， 又由当x >0时，ln x2019⋅f ′(x )<−1x f (x )，则有g ′(x )=1x f(x)+ln x2019f ′(x )<0， 即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数，又由g(1)=ln 12019⋅f(x)=0，则在区间(0,1)上，g(x)=ln x 2019⋅f(x)>0，又由ln x2019<0，则f(x)<0， 在区间(1,+∞)上，g(x)=ln x2019⋅f(x)<0，又由ln x2019>0，则f(x)<0， 则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上，f(x)<0，又由f(x)为奇函数，则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上，都有f(x)>0， (x 2−20192)f(x)>0⇒{x 2−20192>0f (x )>0或{x 2−20192<0f (x )<0. 解得：x <−2019或0<x <2019，则x 的取值范围是(−∞,−2019)∪(0,2019)； 故选D ．13.答案：4解析：本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握求双曲线的渐近线的方法是解题的关键． 解：双曲线x 2m−y 23=1(m >0)的渐近线方程为y =±√3m x ， 由于双曲线x 2m−y 23=1(m >0)的一条渐近线方程为y =√32x ， ∴√3m =√32，解得m =4，故答案为4．14.答案：34解析：本题考查正弦函数的性质，属于基础题．根据已知区间，确定ωx 的范围，求出它的最大值，结合0<ω<1，求出ω的值． 解：x ∈[0,π3],0≤x ≤π3,0≤ωx ≤ωπ3<π3，f(x)max =2sinωπ3=√2, sin ωπ3=√22, ωπ3=π4, ω=34故答案为34 ．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33．16.答案：(37,17)解析：∵第一行有a 1=3个数，第二行有a 2=6个数，∴每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，∴第n 行有a n =3+3(n −1)=3n 个数，由求和公式可得前n 行共n (3+3n )2个数，经检验可得第36行的第1个数为36×(3+3×36)2=1998，按表中的规律可得第37行共3×37=111个数，第一个为1999，∴2015为第37行的第17个数，故答案为(37,17)...17.答案：解：(1)由余弦定理可得：2a −c =2bcosC =a 2+b 2−c 22ab×2b ，整理可得，a 2+c 2−b 2=ac ，cosB =a 2+c 2−b 22ac=12，又，故，，所以；(2)由(1)得sinB =√32，所以a sinA =c sinC =bsinB =2，从而a =2sin A ，c =2sin C ．所以c−a=2sinC−2sinA=2sin(2π3−A)−2sinA=√3cosA−sinA=2sin(π3−A)．因为A+C=2π3，所以0<A<2π3，从而−π3<π3−A<π3，所以−√3<2sin(π3−A)<√3，故c−a的取值范围为(−√3,√3)．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式及辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．(1)由已知结合余弦定理进行化简求解cos B，进而可求B，代入即可求解；(2)由已知结合正弦定理可表示c−a，然后结合和差角公式及正弦函数的性质即可求解．18.答案：(1)证明：∵AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴BC//DQ且BC=DQ，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ，∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，∵PA=PD，∴PQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；(2)结论：当M是棱PC上靠近点C的四等分点时有二面角M−BQ−C为30°．理由如下：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q−xyz如图，∴Q(0,0，0)，P(0,0，√3)，B(0,√3,0)，C(−1,√3,0)， 则平面BQC 的一个法向量为n ⃗ =(0,0，1)， 设满足条件的点M(x,y ，z)存在，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y ，z −√3)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,√3−y,−z)， 令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t >0， ∴{x =t(−1−x)y =t(√3−y)z −√3=t(−z)，∴{x =−t1+t y =√3t1+t z =√31+t，在平面MBQ 中，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t1+t ,√3t 1+t ,√31+t )，设平面MBQ 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3b =0m ⃗⃗⃗ ·QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t 1+t a +√3t 1+t b +√31+t c =0, 取a =√3，得c =t ，∴平面MBQ 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(√3,0，t)， ∵二面角M −BQ −C 为30°， ∴cos30°=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√3+0+t2=√32，解得t =3，∴满足条件的点M 存在，M 是棱PC 的靠近点C 的四等分点．解析：本题考查面面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题． (1)通过四边形BCDQ 为平行四边形、∠AQB =90°，及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论； (2)以Q 为坐标原点，以QA 、QB 、QP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系Q −xyz ，通过平面BQC 的一个法向量与平面MBQ 的一个法向量的夹角的余弦值为√32，计算即得结论．19.答案：解：(Ⅰ)若乙验两次时，有两种可能：①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：∁42A 33A 53×1A 31=15．②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性(无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束)：A 43A 53⋅A 21A 22=25，∴乙只用两次的概率为15+25=35． 若乙验三次时，只有一种可能：先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为25． ∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：35×(1−15)+25×(1−15−15)=1825． (Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数， ∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．解析：(1)由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． (2)根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意知b =1，c a =√22，又因为a 2=b 2+c 2解得，a =√2， 所以椭圆方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)设过点(−13,0)的直线为x =ty −13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{x =ty −13y 22+x 2=1得(9+18t 2)y 2−12ty −16=0，且．则{y 1+y 2=12t 9+18t 2,y 1y 2=−169+18t 2,又因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(ty 1−43)(ty 2−43)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−43t(y 1+y 2)+169=(1+t 2)−169+18t2−4t 3⋅12t 9+18t2+169=0，所以．因为线段AB 的中点为M ，所以|AB|=2|CM|．解析：本题考查了椭圆的性质，考查了直线和椭圆的关系，属中档题． (Ⅰ)由题意，可得ca =√22，b =1解得a =√2，故椭圆C 的方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)联立直线与椭圆，根据韦达定理可得y 1+y 2=12t9+18t 2，y 1y 2=−169+18t 2，可证CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得|AB|=2|CM|．21.答案：解：f(x)的定义域是(−∞,2)，所以f′(x)=1x−2+1=x−1x−2.令f′(x)=0，得x =1.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：所以f(x)在x =1处取得极大值1，无极小值．解析：本题考查了利用导数求函数的极值，是一道简单题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =2cosαy =2sinα(α为参数)转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，经过伸缩变换{x′=xy′=y 2得到曲线C 2．得到：x 24+y 2=1．(Ⅱ)曲线C 3的极坐标方程为2ρsin(π3−θ)=√3，转换为直角坐标方程为√3x −y −√3=0， 由于点P(1,0)在直线l 上， 故{x =1+12t y =√32t(t 为参数)．所以把直线的参数方程代入x24+y2=1，得到13t2+4t−12=0，(t1和t2为M、N对应的参数)所以t1+t2=−1413，t1⋅t2=−1213，所以1|PM|+1|PN|=|t1−t2||t1t2|=√(t1+t2)2−4t1t2|t1t2|=2√103．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)当b=1，a=2时，f(x)=|x+3|+|x−1|={−2x−2,x<−3 4,−3≤x≤12x+2,x>1,这时函数f(x)的最小值为4．(2)由a>b>0，故−a−1b <0，1a−b>0，f(x)=|x+a+1|+|x−1|={−2x−a−1b+1a−b,x<−a−1ba+1b+1a−b,−a−1b≤x≤1a−b2x+a+1b−1a−b,x>1a−b,(别解|x+a+1b |+|x−1a−b|≥(x+a+1b)−(x−1a−b)=a+1b+1a−b)故f(x)≥a+1b +1a−b，又a+1b +1a−b=a−b+b+1b+1a−b≥a−b+1a−b+b+1b≥2√(a−b)(1a−b )+2√b×1b=4，当且仅当a=2，b=1时等号成立，故f(x)≥4．解析：本题考查绝对值不等式以及绝对值不等式的证明，属于中档题．(1)根据已知可得f(x)=|x+3|+|x−1|={−2x−2,x<−34,−3≤x≤12x+2,x>1进而求出最小值；(2)去掉绝对值然后利用基本不等式证明．。
2020版高考数学二模试卷(理科)
2020版高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）“m＝－1”是“函数在上单调递减”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2018高二下·绵阳期中) 若复数，则 |z|2= （）A .B .C .D .3. （2分）如图所示给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内可以填的条件是（）A . i>9B . i>19C . i>10D . i>204. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知，，，则向量与向量的夹角是（）A .B .C .D .5. （2分）设等差数列{an}的公差d不为0．若a1=18，且a1 ， a4 ， a8成等比数列，则公差d=（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分）一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A .B .C .D . 17. （2分） (2015高二下·霍邱期中) 已知a，b，c均大于1，且logac•logbc=4，则下列各式中，一定正确的是（）A . ac≥bB . ab≥cC . bc≥aD . ab≤c8. （2分）函数的部分图象如图所示，则A .B .C .D .9. （2分）已知函数：，当时，下列选项正确的是（）A . f(a)>g(a)>h(a)B . g(a)>f(a)>h(a)C . g(a)>h(a)>f(a)D . f(a)>h(a)>g(a)10. （2分）若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A . 相交B . 异面C . 平行D . 异面或相交11. （2分）已知直线l：y=kx与椭圆C：+=1（交于A、B两点，其中右焦点F的坐标为（c，0），且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）方程cos（π+x）=（）x在区间（0，100π）内解的个数是（）A . 98B . 100C . 102D . 200二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·涟水月考) 江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有________种不同的选课组合.（用数字作答）14. （1分） (2019高二上·四川期中) 设x，y满足约束条件，则的最小值为________.15. （1分） (2016高二上·眉山期中) 如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a的取值范围为________．16. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知函数的值域为R，则实数a的最大值是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2017高一下·宜昌期末) 在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且A、B、C成等差数列．△ABC的面积为．（1）求：ac的值；（2）若b= ，求：a，c 的值．18. （10分）(2013·辽宁理) 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．19. （5分）(2017·雨花模拟) 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n=4，分别以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（Ⅰ）写出X的可能值集合；（Ⅱ）假设a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．20. （10分） (2017高二上·如东月考) 在平面直角坐标系中，椭圆的焦点为，，且经过点 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在椭圆上，且，求的值.21. （15分） (2016高三上·邯郸期中) 设函数f（x）=lnx+ ，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．22. （5分）(2017·三明模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线C1 ．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，点P（2，0），求|PA|+|PB|的值．23. （5分） (2017高三上·廊坊期末) 已知函数f（x）=|x﹣ |﹣|2x+1|．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）的最大值时a，已知x，y，z均为正实数，且x+y+z=a，求证： + + ≥1．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
2020年高考数学二模试卷(理科)
2020年高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·绵阳期中) 若复数，则 |z|2= （）A .B .C .D .2. （2分）已知p：“x2+ y2 +2x=F为一圆的方程（F∈R）”，q：“F>0”，则p是q的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）已知函数，若，且，则的最小值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·沈阳模拟) 平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A . （﹣∞，+∞）B . （﹣∞，4]C . [4，+∞）D . [﹣2，2]5. （2分）(2017·凉山模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）A . （30，42]B . （20，30）C . （20，30]D . （20，42）6. （2分） (2015高三上·保定期末) 将函数f（x）=sin（4x+ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A . x=B . x=C . x=D . x=7. （2分）(2018·银川模拟) 已知分别双曲线的左右焦点，是抛物线与双曲线的一个交点，若，则抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·长沙开学考) 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）已知点M（5，﹣6）和向量=(1,-2)若=-3，则点N的坐标为（）A . （2，0）B . （﹣3，6）C . （6，2）D . （﹣2，0）10. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 已知函数其中 .若存在实数，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是A .B .C .D .11. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·合肥模拟) 已知函数f（x）=xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A .B . （0，e）C .D . （﹣∞，e）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·武汉期末) 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为________．14. （1分）设点M（x0 ， 1），若在圆O：x2+y2=1上存在两个不同的点Ni（i=1，2），使得∠OMNi=45°，且三点M，N1 ， N2在同一直线上，则x0的取值范围是________．15. （1分）(2017·海淀模拟) （1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5 ，则a3=________．16. （1分） (2016高二下·仙游期末) 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= ，AB=6 ，AD=6，则BD的长为________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （15分）已知f（x）= （x≠0，a＞0）是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2 ．（1）求f（x）的表达式；（2）设数列{an}满足a1=2，2an+1=f（an）﹣an（n∈N*）．令bn= ，求证bn+1=bn2；（3）求数列{bn}的通项公式．18. （5分）(2020·淮南模拟) 高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：经常使用偶尔使用或不用合计男性50100女性40合计200完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63519. （10分）(2017·民乐模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．（1）设点E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由．20. （10分）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线﹣2于点M，N．（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．21. （10分）(2017·延边模拟) 已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．22. （10分）如图，已知四边形ABDC是圆O的内接四边形，B，D是圆O上的动点，AD与BC交于F，圆O的切线CE（C为切点）与线段AB的延长线交于E，∠BCD=∠CBD．（1）证明：CD是∠BCE的平分线；（2）若AD过圆心，BC=BE，AE=2，求AB的长．23. （10分）(2018·延安模拟) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线的极坐标方程是，射线：与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长.24. （10分） (2016高三上·山西期中) 已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共80分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
2020年高考理科数学(全国卷Ⅱ真题)——(含答案和解析)
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为 ，
故需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）
A. B. C. D.
8.设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（）
A. 4B. 8C. 16D. 32
9.设函数 ，则f(x)（）
A.是偶函数，且在 单调递增B.是奇函数，且在 单调递减
C.是偶函数，且在 单调递增D.是奇函数，且在 单调递减
（一）必考题：共60分.
17. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 ， ， ， ， .
10.已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（）
山西省太原市高考数学二模试卷
山西省太原市高考数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）设集合M={-2012，0，2012},N={0，2012，2013}，若集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二下·成都开学考) 已知F是双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，若以点B （0，b）为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点P，且∥ ，则该双曲线的离心率为（）A . +1B .C . 2D .3. （2分） (2020高二下·呼和浩特期末) 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为（）A . 4B . 3C . 2D . 14. （2分） (2019高二上·丽水期中) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数最小正周期为,则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（）A .B .C .D .6. （2分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·榆林月考) 如果等差数列中，那么（）A . 28B . 21C . 35D . 148. （2分）若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为4, ,则在方向上的投影为（）A . 4B .C .D . 19. （2分） (2016高二上·温州期末) 若0＜x＜，则xtanx＜1是xsinx＜1的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2018高一上·三明期中) 已知函数，，则函数的最小值为（）A . 3B . 2C . 6D . 0二、填空题 (共7题；共11分)11. （1分） (2016高三上·烟台期中) 平面向量与的夹角为60°，| |=1， =（3，0），|2 + |________．12. （1分）直线y=k（x﹣1）+4必过定点，该定点坐标是________ ．13. （1分）(2019高一上·河南月考) 已知是定义在R上的奇函数，且当时，则方程的所有实根之和为________.14. （1分）(2017·临翔模拟) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，tanB=3，则sinA的值为________15. （1分） (2019高三上·上海期中) 袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.16. （5分） (2020高一下·通州期末) 棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是__．17. （1分）已知集合A={1，cosθ}，B={0，，1}，若A⊆B，则锐角θ=________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分） (2019高三上·上海月考) 设函数 .（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.19. （5分）(2017·揭阳模拟) 已知图1中，四边形 ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB于M、交EF于点N，DN=3 ，MN= ，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为C'、D'且使D'M=2 ，如图2示．（Ⅰ）证明：D'M⊥平面ABFE；，（Ⅱ）若图1中，∠A=60°，求点M到平面AED'的距离．20. （10分）已知函数 .（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）若函数有两个零点，，证明 .21. （5分）(2017·青州模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0），O是坐标原点，F1 ， F2分别为其左右焦点，|F1F2|=2 ，M是椭圆上一点，∠F1MF2的最大值为π（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ（i）求证：为定值；（ii）求△OPQ面积的取值范围．22. （15分） (2020高一下·上海期末) 设正项数列的前项和为，首项为1，q为非零正常数，数列是公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）当时，求证：数列是递增数列；（3）当时，是否存在正常数c，使得为等差数列？若存在，求出c的值和此时q的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共11分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
山西省2020年高三年级模拟考试-理科数学试题及答案·A卷
山西省2020年高三年级模拟考试-理科数学试题及答案·A 卷理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|1}A x x x B x x =-<=≤，则A B = （ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[1,2)-D ．[1,1]-1．答案：C解析：2{|20}{|02},{|1}{|11}A x x x x x B x x x x =-<=<<==-≤≤≤，所以[1,2)A B =- ． 2．已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案：D解析：如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，所以仅由m n ⊥不能推出αβ⊥ 两个平面互相垂直，并不能保证两个平面内的任意两条直线垂直，所以m n αβ⊥⇒⊥/．所以“m n ⊥”是“αβ⊥”的既不充分也不必要条件．3．已知向量,a b 不共线，若向量()()3//a b ka b +-，则实数k =（）A ．13-B ．12-C ．13D ．123．答案：A解析：因为,a b 不共线，且()()3//a b ka b +-，所以131k =-，解得13k =-．4．函数224()(2)2x x f x x x -+=>-的最小值是（）A ．3 B ．4C ．5D ．64．答案：D解析：22444()(2)226222x x f x x x x x x -+==+=-++=---≥，当且仅当422x x -=-，即4x =时等号成立，故()f x 的最小值是6．5．已知,(0,)αβπ∈，tan ,tan αβ是方程2420x x ++=的两根，则cos()αβ+的值是（）A B ．C ．45D ．45-解析：由已知得tan tan 40,tan tan 20αβαβ+=-<=>，所以tan 0,tan 0,,,2παβαβπ⎛⎫<<∈⎪⎝⎭， 所以tan tan tan()401tan tan αβαβαβ++==>-，且32ππαβ<+<，所以cos()αβ+=． 6．对于函数2()1x f x e =+的图象，下列说法正确的是（ ） A ．关于点(1,0)对称 B ．关于点(0,1)对称C ．关于直线1x =对称D ．关于直线y x =对称6．答案：B解析：2222()()21111xx x x xe f x f x e e e e-+-=+=+=++++，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称． 7．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A ．22y x =- B ．1y x =- C ．22y x =-+ D ．1y x =-+7．答案：A解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减，得：121212()()4()y y y y x x +-=-，又12121,22y y y y +=∴+=，所以直线AB 的斜率12121242y y k x x y y -===-+， 又(1,0)F ，所以直线AB 的方程为2(1)y x =-，即22y x =-． 8．执行如图所示的程序框图（其中a mod b 表示a 除以b 后 所得的余数），则输出的N 的值是（ ） A ．78 B ．79 C ．80D ．818．答案：D解析：容易看出，该程序框图的功能是统计1至2020中所有是20的倍数但不是100的倍数的整数个数， 在1~2020中，能被20整除的数有101个， 但其中100，200，300，…，2000这20个数能被100整除，故符合条件的整数个数为1012081-=．9．某部门共有4名员工，某次活动期间，周六、周日的上午、下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工，则该活动值班岗位的不同安排方式共有（ ） A ．120 B ．132 C ．144 D ．156解析：由题意可知，4个值班岗位有三类不同的排法： 第一类，4个员工各安排1个岗位，对应排法数为4424A =；第二类，1个员工被安排2个值班岗位，另2个员工各安排一个值班岗位，排2个岗位的员工有4个人选，且必然是周六一个岗位，周日一个岗位，故排法为111422C C C ，其余两个岗位排法为23A ，于是第二类排法数为1212422396C C C A =；第三类，2个员工各安排2个值班岗位，4人中，被安排值班岗位的人选共246C =种可能，周六、周日的安排各有22A 种可能，故此类排法共有22242224C A A =． 于是所有排法为249624144++=．10．将函数2()2sin cos f x x x x =-+的图象向左或向右平移(0)a a >个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()6g x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭对任意实数x 都成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．524πB ．4πC ．3πD ．6π10．答案：D解析：2()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==-⎪⎝⎭， ()()2sin 223g x f x a x a π⎛⎫∴=±=-± ⎪⎝⎭，由()6g x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知函数()g x 关于直线12x π=对称，所以2,632a k k ππππ-±=+∈Z ，所以,23k a k ππ±=+∈Z ，故a 的最小值为6π． 11．设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形ABCD 的面积相等，则双曲线E 的离心率为（ ） ABCD11．答案：C解析：由双曲线的定义及平面几何知识可知12222122,4,PF PF a PF PF c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②2-②①，得2122PF PF b ⋅=，所以四边形12PFQF 的面积21121222S PF PF b =⨯⋅=．由222x y c by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得x a y b =±⎧⎨=±⎩，所以四边形ABCD 的面积为2224S a b ab =⨯=，112．答案：B解析：由于222222()2()()a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-，设(,),(,)a M a e N b b ，则M 为函数x y e =图象上任意一点，N 为函数y x =图象上任意一点，也就是求2MN 的最小值． 12．解析：21i (1i)i 1i1i,1i i i 1z z ++⋅-+====-∴=+-． 14．某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到下表：分数段 [70, 90) [90, 110) [110, 130)[130, 150]人数5152010将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计本次考试成绩的中位数是 ．14．答案：115解析：由题意可知，直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故中位数位于第3个矩形处，而前2个矩形的面积之和为0.4，故第3个矩形在中位数左侧的面积为为0.1，故中位数为区间[110, 130)的最靠左的四等分点处．故中位数为115．15．已知直角三角形ABC 的两直角边之和为3，将ABC △绕一条直角边旋转一周，所形成旋转体的体积最大值是 ，此时该旋转体外接球的表面积为 ． 15．答案：4,253ππ 解析：设直角三角形的两直角边分别为,a b ，则3a b +=，以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为2232111(3)(3)333V a b a a a a πππ==-=-+，则21(36)(2)3V a a a a ππ'=-+=--， 当02a <<时，0V '>；当23a <<时，0V '<．所以当2a =时，体积最大，最大值为43π．此时圆锥的底面半径2r a ==，高1h b ==，设外接球半径为R ，则222()h R r R -+=， 即22(2)1R R -+=，解得52R =，所以圆锥外接球的表面积2425S R ππ==． 16．已知变量m 的取值完全由变量,,,a b c d 的取值确定，某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好,,,a b c d 四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到下表：试验编号 a b c d m ① 1 1 1 1 4 ② 1 1 1 2 2 ③ 1 1 2 2 1 ④2221则m 关于,,,a b c d 的表达式可能是 ．16．答案：2()a b m cd +=或8()m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式．解析：本题为开放题，答案不唯一．例如，可对比试验①②推断m 与d 成反比，对比试验②③推断m 与c 成反比，对比③④推断m 与a b +成正比（或成反比）．由此可得a bm kcd+=，代入试验①的数据，解得2k =，故2()a b m cd+=是一种可能的表达式； 或设()k m a b cd =+，代入试验①的数据，解得8k =，故8()m a b cd=+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n *∈N ，均有2423n n n S a a =+-． （1）求n a ；（2）求数列{(1)}nn a -的前n 项和n T ．17．（1）由2423n n n S a a =+- ①，可知当2n ≥时，2111423n n n S a a ---=+- ②-①②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，……………………3分由{}n a 是正项数列可知10n n a a -+>，故120n n a a ---=，…………………………………………4分 故{}n a 是以2为公差的等差数列，又①中，当1n =时，可解得13a =或11a =-（舍去）．………5分 于是21n a n =+．…………………………………………………………………………………………6分 （2）根据题意，1357(1)(21)(1)(21)n n n T n n -=-+-++--+-+ ③(1)⨯-③，得：1357(1)(21)(1)(21)n n n T n n +-=-+++--+-+ ④………………8分-③④，得111(1)2322(1)2(1)(21)32(1)(21)1(1)n n n n n T n n -+--=-+-++-⋅--+=-+⨯+-+-- ……………10分解得(1)(1)1nn T n =-+-．………………………………………………………………………………12分 解法二：当n 为偶数时，(13)(57)[(21)(21)]n T n n n =-++-+++--++= ， 当n 为奇数时，1(1)1(21)2n n n T T a n n n -=+-=--+=--． 故,2,n n n T n n ⎧=⎨--⎩为偶数为奇数……………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左、右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为椭圆C 的右焦点，PBF △的面积为1，求直线PB 的方程．18．解析：（1）由题意知12(A A ，设00(,)P x y ，则22222x y b -=⋅，则12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--，解得21b =．故椭圆方程为2212x y +=．…………………………………………………………………………5分（2）当直线BP 的斜率不存在时，BP 的方程为0x =，此时(0,1)P -，易知此时PBF △的面积为1，符合题意；……………………………………………………………………6分 当直线BP 的斜率存在时，设BP 的方程为1y kx =+，将1y kx =+代入22220x y +-=，得：22(12)40k x kx ++=，解得1224,012k x x k =-=+，122412k BP x k∴=-=+． 点F 到直线BP，…………………………………………………………………………10分OFPOF(1,0)F ，BF 直线BF 的方程为1x y +-12PBF S =⨯△，解得2d =，所以d =所以0012x y +-=，所以0030x y +-=或0010x y ++=，又点P 在椭圆22220x y +-=上， 联立2230220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得2312160x x -+=，21234160∆=-⨯⨯<，所以无解；联立2210220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得2340x x +=，解得0x =或43x =-，(0,1)P ∴或41,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当点P 坐标为(0,1)时，直线BP 的方程为0x =，当点P 坐标为41,33⎛⎫-⎪⎝⎭时，直线BP 的方程220x y -+=． 故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=．………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，160B BC ∠=︒，111B C AB ⊥． （1）证明：AB AC =；（2）若AB AC ⊥，11AB BB =，在线段11B C 上是否存在一点E ，使二面角11A CE C --？若存在，求111B EB C 的值，若不存在，请说明理由．19．解析：（1）取BC 的中点O ，连接11,,AO OB CB ，1BC BB = ，160B BC ∠=︒，1BCB ∴△为等边三角形，1B O BC ∴⊥．……………………………………………………………………………………2分 又111111//,,BC B C B C AB BC AB ⊥∴⊥，又111,B O AB B BC =∴⊥ 平面1AOB ．……………4分 又AO ⊂平面1AOB ，BC AO ∴⊥，O 为BC 中点，AB AC ∴=．……………………………5分1B1（2）设112AB BB ==，则12BC B C ==．,1AB AC AO ⊥∴=，又1112,OB AB OB AO ==∴⊥．………………………………7分以O 为原点，1,,OB OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．则11(1,0,0),(C A B --．…………………………………………………………8分设111B E B C λ=，则1111(12CA CE CB B C λλ==+=-． 设平面1ACE 的法向量为(,,)n x y z =，则10(12)0n CA z n CE x λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取x =21,2),22))y z n λλλλ=-=-∴=--，………………………10分易知平面1CEC 的法向量(0,0,1)m =，则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ ，解得14λ=或34λ=（舍去）． 所以存在点E 满足条件，这时11114B E BC =．………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）某人某天的工作是，驾车从A 地出发，到B ，C 两地办事，最后返回A 地，A ，B ，C 三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如下表：路段 正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率AB 2 0.3 0.6 BC 2 0.2 0.7 CA30.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时． 现有如下两个方案：方案甲：上午从A 地出发到B 地办事然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地，办事后返回A 地．（1）若此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 20．解析：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回A 地的时间为17点． 因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是，降水的路段数不超过1．记事件123,,M M M 分别表示上午AB 路段降水，上午BC 路段降水，下午CA 路段降水， 则所求概率123123123123()()()()P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；…………………………5分（2）设某路段正常行驶时间为x ，降水概率为p ，则该路段行驶时间X 的分布列为行驶时间X x1x +概率p1p -p故()(1)(1)E X x p x p x p =-++=+上午下午路段 正常行驶所需时间（小时）降水概率 行驶时间期望值降水概率 行驶时间期望值AB 2 0.3 2.3 0.6 2.6 BC 2 0.2 2.2 0.7 2.7 CA30.33.30.93.9…………………………………………9分设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为Y ，Z ，则2.3 2.23.98.4, 2.6 2.7 3.38.6EY EZ =++==++=，因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地．……………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数1(),()ln 1x x e f x g x x x +==-． （1）当1x >时，不等式()f x m >恒成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099≈≈） （2）证明：当1x >时，()()f x g x <．21．解析：（1）当1x >时，21ln 1()(ln )x x f x x --'=，令1()ln 1F x x x =--，则211()0F x x x'=+>，………………………………………………………2分 因此()F x 在(1,)+∞上单调递增，又455(3)ln 30,(4)ln 42ln 20344F F =-<=-=->，0(3,4)x ∴∃∈使得0()0F x =，即001ln 1x x =+，……………………………………………………4分 当0(1,)x x ∈时，()0,()0,()F x f x f x '<<单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0,()F x f x f x '>>单调递增．00min 000011()()(3,4)1ln 1x x f x f x x x x ++∴====∈+，所以整数m 的最大值为3．…………………6分（2）法一：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e -->．………………………………………………7分令21()ln x x h x x e -=-，则2321212()x x x x x e x x x h x x e xe-++--'=-=， 令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341,()64,()6x x x x e x x x e x x e ϕϕϕ''''''=+--=+-=+．……9分 ()0,()x x ϕϕ'''''>∴ 在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ'''''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0e x ϕϕ=->∴>， 即()0,()h x h x '>∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，故()()f x g x <．……………………12分法二：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e -->．………………………………………………7分 令21()ln x x h x x e -=-，则2321212()x x x x x e x x x h x x e xe-++--'=-=， 令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341x x e x x ϕ'=+--，显然()x ϕ'在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0e x ϕϕ=->∴>，即()0,()h x h x '>∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，故()()f x g x <．……………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+．以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系．（1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化为直角坐标方程；（2）过曲线C 上的动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值．22．解析：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==，……2分 曲线C 的方程为224936x y +=，即22194x y +=．……………………………………………………4分 （2）设(3cos ,2sin )P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，…………………………5分 矩形的面积(33cos )(22sin )6(1sin cos sin cos )S θθθθθθ=--=--+，……………………7分令sin cos [t θθ+=∈，则21sin cos 2t θθ-=．223633(1),[S t t t t =-+=-∈，当t =max 9S =+．……………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0a b c >>>，且231a b c ++=，求证：（1）11112348a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥； （2）2228271a b c ++<．23．证明：（1）111112132332123a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==48=；…………………………………………………………………………5分 （2）由0a b c >>>，可知222,,ab b ac c bc c >>>，………………………………………………7分22222222222221(23)494612494612827a b c a b c ab ac bc a b c b c c a b c ∴=++=+++++>+++++=++ ………………10分。