第1章三角函数章末归纳总结
三角函数总结归纳
最新三角函数总结归纳大全三角函数是数学中的重要概念，主要用于描述三角形中角度和边长之间的关系。
以下是三角函数的总结归纳：1. 定义：- 正弦（sin）：定义为对边与斜边的比值，记作sin(θ)，其中θ为角度。
- 余弦（cos）：定义为邻边与斜边的比值，记作cos(θ)。
- 正切（tan）：定义为对边与邻边的比值，记作tan(θ)。
2. 基本关系：- Pythagorean identity：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1。
这是三角函数的基础，常用于角度和三角形的计算。
- Pythagorean theorem：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
- Cotangent identity：cot(θ) = 1/tan(θ)。
- Secant identity：sec(θ) = 1/cos(θ)。
- Cosecant identity：csc(θ) = 1/sin(θ)。
3. 诱导公式：- 公式一：sin(π/2 - α) = cos(α)。
- 公式二：cos(π/2 - α) = sin(α)。
- 公式三：sin(π/2 + α) = cos(α)。
- 公式四：cos(π/2 + α) = -sin(α)。
- 公式五：sin(π- α) = sin(α)。
- 公式六：cos(π- α) = -cos(α)。
- 公式七：sin(π+ α) = -sin(α)。
- 公式八：cos(π+ α) = -cos(α)。
4. 和差公式：- sin(α+ β) = sinαcosβ+ cosαsinβ。
- cos(α+ β) = cosαcosβ- sinαsinβ。
- tan(α+ β) = (tanα+ tanβ)/(1 - tanαtanβ)。
5. 倍角公式：- sin2α= 2sinαcosα。
- cos2α= cos^2(α) - sin^2(α)。
- tan2α= 2tanα/(1 - tan^2(α))。
三角函数 总结
三角函数总结三角函数是高中数学中重要的部分，是解决许多数学问题中常用的函数。
因此，对于这一概念，我们需要进行了解和掌握，为此，下面将对三角函数的概念、性质及其运用进行总结。
一、三角函数的概念三角函数，是指任意角或弧所对应的三角比，它是指一个角的正弦、余弦、正切等三种比值。
具体地，正弦、余弦、正切等三种函数，是在直角三角形中使用的。
在计算时，需要有一个锐角三角形，然后再在该三角形中应用不同的三角函数公式进行计算。
二、三角函数的性质1.正弦函数的性质① 它的定义域为实数集。
② 呈现周期性变化，其中的周期为2π。
③ 函数值在[-1, 1]之间，且在0,π/2,π等处取得最大值1，在π/2, 3π/2等处取得最小值-1。
2.余弦函数的性质① 它的定义域为实数集。
② 也呈现周期性变化，周期同样为2π。
③ 函数值在[-1, 1]之间，且在π/2,3π/2等处取得最大值1，在0,π等处取得最小值-1。
3.正切函数的性质① 定义域为{x | x ≠ (2k+1)π/2, k∈Z}。
② 具有周期性变化，以π为一个周期，变化区间为(-π/2,π/2)。
③ 函数在x = nπ + π/2的位置，发生无限大的跳跃。
三、三角函数的运用1.解三角形三角函数常常用于解决各种形状的三角形；例如，以已知两边或对边夹角、三角形面积等条件来解出其中一条边或未知角度。
2.射影定理三角函数也可以用于求出某一向量在另一向量上的射影。
具体地说，它可以帮助我们求出直线和平面上向量的投影、夹角，进而推导出诸如求两点距离、判断直线垂直、平行等基础几何知识。
3.解方程使用三角函数，可以求解如三角方程、三角不等式等复杂的数学问题，解决许多实际问题。
总结来说，掌握三角函数的概念、性质及其运用可以帮助我们解决很多数学上的问题，对于高中学生而言是必须掌握的一门学科。
因此，我们需要充分理解三角函数，才能在以后的数学学习中取得优良的成绩。
高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数
7 2
-4
, 即������
7 2
= ������
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴������
7 2
= ������
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的 定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(������ + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(������
+
π)-
π 6
=sin
2������-
π 6
+
2π
= sin
2������-
π 6
= ������(������).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求三角函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
������
+
π 3
(������∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)函数 y=sin
������������
+
π 4
(������
>
0)的周期是
2π 3
,
则������
=
_____.
九年级数学三角函数全章知识点整理
一、角度与弧度制1.角度的定义：角度是从一个弧中截取的一部分，一个完整圆共有360度。
一个度可以被继续等分为60分，每一分可以被继续等分为60秒。
2.弧度的定义：弧度是弧与半径相对应的圆心角所对的弧长的比值。
一个圆的周长为2πr，一个圆的弧长等于其半径乘以所对的圆心角的弧度数。
一个圆的周长为2π弧度。
3.角度与弧度的互相转化：360度=2π弧度；1度=π/180弧度；1弧度=180/π度。
二、单位圆与三角比1.单位圆的定义：单位圆是一个半径为1的圆，在坐标系中，圆心坐标为(0,0)。
2. 正弦、余弦、正切的定义：对于单位圆上任意一点P(x,y)，假设与x轴正方向的夹角为θ，则点P的坐标(x,y)可以表示为(x,y)=(cosθ,sinθ)。
3. 正弦、余弦、正切与角度的关系：sinθ = y，cosθ = x，tanθ = y/x。
4. 余弦、正弦、正切与弧度的关系：sinθ = y，cosθ = x，tanθ = y/x。
5.三角函数的周期性：三角函数的周期是2π。
三、基本三角函数恒等式1. 余弦与正弦的关系：cos²θ + sin²θ = 12. 正切与余切的关系：tanθ = 1/cotθ。
3. 正弦与余切的关系：sinθ = 1/cscθ。
4. 余弦与正切的关系：cosθ = 1/secθ。
5. 正弦与正切的关系：sinθ = tanθ/cosθ。
四、三角函数的图像与性质1. 正弦函数的图像与性质：y = sinθ，函数图像为典型的正弦曲线，周期为2π，在(0,0)处取得最小值0，最大值1，满足奇函数性质。
2. 余弦函数的图像与性质：y = cosθ，函数图像为典型的余弦曲线，周期为2π，在(0,0)处取得最大值1，最小值-1，满足偶函数性质。
3. 正切函数的图像与性质：y = tanθ，函数图像为典型的正切曲线，周期为π，无定义点为θ = (2n+1)π/2，其中n为整数。
三角函数归纳总结
三角函数归纳总结三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度和三角形之间的关系。
在数学和物理学等学科中，三角函数的理论和应用极其广泛。
本文将对常见的三角函数进行归纳总结，包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的基本性质和公式。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，一般表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数可以表示为一个周期性的波形，其特点如下：1. 定义域和值域：正弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]之间；2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；3. 周期性：正弦函数的周期为2π，即sin(x+2π) = sin(x)；4. 对称性：正弦函数在x=0处对称，即sin(π-x) = sin(x)。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一个常见的三角函数，一般表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的性质如下：1. 定义域和值域：余弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]之间；2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；3. 周期性：余弦函数的周期为2π，即cos(x+2π) = cos(x)；4. 对称性：余弦函数在x=π/2处对称，即cos(π-x) = sin(x)。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中另一个重要的函数，一般表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的性质如下：1. 定义域和值域：正切函数的定义域为除去所有奇数π/2的整数倍的点，值域为所有实数；2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)；3. 周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π) = tan(x)；4. 对称性：正切函数在x=0处对称，即tan(π/2-x) = cot(x)，其中cot(x)为余切函数。
四、其他三角函数及性质除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有一些与它们有关的三角函数，例如余切函数、正割函数和余割函数。
高一数学三角函数章节期末复习
三角函数期末复习一、任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2，二、任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义设P (x ，y )是角α终边上任一点，且|PO |＝r (r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．三．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)终边落在x 轴上的角的集合{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫β| β＝π2＋k π，k ∈Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝k π2，k ∈Z . 一个命题规律近几年主要考查运用三角函数概念解题，判断角的象限及三角函数值的符号，运用同角三角函数关系式、诱导公式进行化简、求值，是三角函数化简、求值、证明的必要前提． 实战检验1．已知角α(0≤α<2π)的终边过点P ⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则α＝________. 2．若－π2＜α＜0，则点P (cos α，sin α)位于第________象限．3．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．4．下列命题：①第二象限角为钝角；②锐角是第一象限角；③若α是第二象限角，则α＋180°是第四象限角；④角α与π＋α终边在一条直线上．其中正确的是________． 5．已知点P (tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限． 6．已知角α的终边与π6的终边关于角π4的终边对称，则α的取值集合为________．7．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？8．已知角α的终边经过点(2，－2)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 9．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6＝________.10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 11．已知sin αtan α<0且cos α·tan α<0，则角α是第________象限角．12．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角α的终边上，且α∈[0,2π)，则α的值为________． 13．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R ＝10 cm ，则扇形的弧长为________cm ，面积为________cm 2.14．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cos α＝36x，求sin α，tan α的值．同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2_α＋cos2_α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan_α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式(1)三角函数诱导公式k π2＋α(k ∈Z )的本质是：奇变偶不变，符号看象限．(2)对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k ＋α(k ∈Z )的正弦或余弦函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角或小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k ＋α(k ∈Z )为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)是正还是负，也就是公式右边的符号． 实战1．计算sin 23π6等于________．2．已知sin α＝13，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝________. 3．已知sin(2π－α)－2cos(2 013π＋α)＝0，则cos α＝________. 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin α＝－35，则cos(π－α)＝________. 5． 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α－cos α＝15. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求2sin 2α＋sin 2α1－tan α的值．练习 已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin α·cos α＝18. (1)求cos α－sin α的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．6．(1)化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )．(2)已知α是第三象限角，且f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)tan (－π－α).①化简f (α)；②若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．练习 (1)化简tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2) 已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值．7． (1)求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.(2)已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.(3)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.8．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 9．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.10．若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. 11．计算cos ⎝⎛⎭⎫－113π＝________. 12．已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.13．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．14．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 15．已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．三角函数的图象与性质1．“五点法”作图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦和正切函数的图象和性质(下表格中的k ∈Z )一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0且为常数)的周期T ＝2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0且为常数)的周期T ＝πω.两条规律(1)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或 y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式． 一个命题规律主要考查三角函数的图象、周期性、单调性、对称性、有界性、奇偶性、函数的解析式与图象的关系以及三角函数图象的平移，题型以填空题为主，难度以容易、中档题为主，在对三角函数其他知识的考查中，直接或间接考查本讲的基本方法与技能．1．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋14的最小正周期是________． 2．已知函数f (x )＝3sin x2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．3．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________； 4．函数y ＝2cos 2x －sin x 的值域为________．5．写出下列函数的单调区间及周期： ①y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；②y ＝|tan x |.练习 求下列函数的单调区间： (1) y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 36..设函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2与y 轴的交点为(0，3)，则下列结论：①图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图象关于直线x ＝π12对称；③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④f (x )图象向左平移π12个单位所得函数为偶函数，其中所有正确的结论序号是________．7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间为________．8．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．9．设定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________． 10．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )的最小正周期为________． 12．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的对称中心为________． 13．(2012·苏北五市期末联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，若f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2内有最大值，无最小值，则ω＝________.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示2.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的步骤3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈(0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)中参数的方法在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个复习指导抓住正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的“五点法”作图和图象的变换以及应用正弦型函数解析式解决三角函数的性质问题．通过适量的训练，掌握解决问题的通性通法．例题讲解与练习1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈(0，π))的图象如图所示，则φ＝________. 2．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的最小值为－2，其图象上相 邻最高点与最低点的横坐标之差为π2，且图象过点(0，3)，则其解析式是________．3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________． 4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．5． 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．6． 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．7． 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．8． 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f (x )的最值．9．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移________个单位． 10．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；。
完整版)三角函数知识点总结
千里之行，始于足下。
完整版)三角函数知识点总结三角函数是高中数学中的重要部分，它与几何图形的性质、三角形的边角关系、周期函数等有着密切的联系。
以下是三角函数的一些重要的知识点总结：一、三角函数的定义：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正弦函数的值等于对边长度与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，余弦函数的值等于邻边长度与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角的角度，正切函数的值等于对边长度与邻边长度的比值。
二、三角函数的重要性质：1. 三角函数的周期性：sin、cos、tan函数的周期都是2π。
2. 三角函数的奇偶性：（1）正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
（2）余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
（3）正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 三角函数的界值：（1）正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，即-1≤sin(x)≤1。
（2）余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间，即-1≤cos(x)≤1。
（3）正切函数的取值范围为全体实数。
三、三角函数的基本关系与恒等式：1. 余弦与正弦的基本关系：cos(x)=sin(x+π/2)。
2. 正切与正弦、余弦的关系：tan(x)=sin(x)/cos(x)。
3. 三角函数的和差公式：第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
（1）sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)。
（2）cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)。
4. 三角函数的倍角公式：（1）sin(2x)=2sin(x)cos(x)。
（2）cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)。
（3）tan(2x)=(2tan(x))/(1-tan^2(x))。
5. 三角函数的半角公式：（1）sin(x/2)=√[(1-cos(x))/2]。
关于三角函数的归纳总结
关于三角函数的归纳总结三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对三角函数进行归纳总结，梳理其基本定义、性质和常见的应用场景。
一、正弦函数正弦函数是最为基本且常见的三角函数之一。
它的定义如下：在单位圆上，设点P(x,y)在单位圆上绕原点O逆时针转过一个角度θ，那么P的纵坐标y称为角θ的正弦，记作sinθ。
正弦函数具有以下性质：1. 在区间[0,2π]上，正弦函数的值域为[-1,1]。
2. 正弦函数在π/2的整数倍处取得最大值1，在π/2 + π的整数倍处取得最小值-1。
3. 正弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
4. 正弦函数是奇函数，即满足sin(-θ) = -sinθ。
正弦函数在几何中的应用：1. 正弦函数可以用于解决三角形的边长和角度之间的关系问题。
2. 正弦函数可以用于描述波动现象、周期性运动以及震动等物理问题。
二、余弦函数余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数。
它的定义如下：在单位圆上，设点P(x,y)在单位圆上绕原点O逆时针转过一个角度θ，那么P的横坐标x称为角θ的余弦，记作cosθ。
余弦函数具有以下性质：1. 在区间[0,2π]上，余弦函数的值域为[-1,1]。
2. 余弦函数在整数倍的π处取得最大值1，在π/2 + π的整数倍处取得最小值-1。
3. 余弦函数是一个周期函数，其周期为2π。
4. 余弦函数是偶函数，即满足cos(-θ) = cosθ。
余弦函数在几何中的应用：1. 余弦函数可以用于解决三角形的边长和角度之间的关系问题。
2. 余弦函数可以用于描述周期性运动、振荡电路等物理问题。
三、正切函数正切函数是另一个重要的三角函数。
它的定义如下：在单位圆上，设点P(x,y)在单位圆上绕原点O逆时针转过一个角度θ，那么P的纵坐标y除以横坐标x得到的商称为角θ的正切，记作tanθ。
正切函数具有以下性质：1. 正切函数的值域为实数集。
2. 正切函数在整数倍的π/2处取得不连续点，形成无界增减变化。
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[规律总结] 变．
本题主要考查了函数的图像及三角函数的性
质，解决此类问题要掌握相应的数学思想方法，以不变应万
第一章
章末归纳总结
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π 若 0<x<2，则下列命题中正确的是( 3 A．sinx<πx 4 2 C．sinx<π2x 3 B．sinx>πx 4 2 D．sinx>π2x
[答案] C
第一章 章末归纳总结
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[规范解答] fx>0， ∴cosx<0， 0<x<3，
∵f(x)· cosx<0， fx<0， 或cosx>0， 0<x<3.
由图可知，当 f(x)>0 时，1<x<3；当 f(x)<0 时，0<x<1. 1<x<3， ∴ π 3π 2kπ＋2<x<2kπ＋ 2 k∈Z， 0<x<1， 或 π π 2kπ－2<x<2kπ＋2k∈Z. π ∴2<x<3 或 0<x<1，故选 C.
[思路分析] 本题主要考查同角三角函数的基本关系式． [答案] B
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[规范解答]
∵cos(－80° )＝k，∴cos80° ＝k，
2 1 － k ∴sin80° ＝ 1－k2，∴tan80° ＝ k ，
1－k2 ∴tan100° ＝－tan80° ＝－ k .
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函数的值域与最值
π 3 [例 4] 若3≤x≤4π， 求函数 y＝sin2x＋sinx＋1 的最大值和 最小值．
[规范解答] 知
sinx∈
π 3 令 t＝sinx，由3≤x≤4π，
2 2 ，即 t ∈ ， 1 ， 1 2 . 2
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知识梳理
第一章
章末归纳总结
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本章主要学习了周期现象，角的概念的推广，弧度制，正
弦函数、余弦函数的定义、性质、图像与诱导公式，正切函 数，y＝Asin(ωx＋φ)的图像以及三角函数的简单应用． 1 ．在我们的日常生活、生产实践中存在着大量周期性变 化的现象，这些周期现象的规律是：若一变量每经过相同的间
2 2
必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数 的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，应能 灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值 时，要注意根式前面的符号的确定．
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(3)诱导公式： π k· α(k∈Z)的各三角函数值，当 k 为偶数时，得到 α 的同 2± 名三角函数值，当 k 为奇数时，得到 α 的异名三角函数值，然 后前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号． 简单概括为： “奇变偶不变，符号看象限”．
第一章
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4 π π 若 sinα＝－5，且 α∈(－2，2)，则 tanα＝__________. 4 [答案] －3
[分析] 本题考查同角三角函数的基本关系式．
4 π π [解析] ∵sinα＝－5且 α∈(2，2)， 故 α 为第四象限角，所以 cos>0， 3 4 ∴cosα＝5，∴tanα＝－3.
)
[答案] D
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π π [解析] 用特殊值法，取 x＝3可排除 B、C；取 x＝6可排 除 A.故选 D.
[点评]
此类问题是近几年高考考查的热点，解题时要注
意根据问题的题设灵活运用相应的方法．
第一章
章末归纳总结
1
知 识 结 构
2
知 识 梳 理
3
专 题 探 究
4
即 时 巩 固
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知识结构
第一章
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[规律总结]
通过换元，把原函数转化为二次函数类型，
再结合二次函数的图像即可求得最值，这是一类常见题型．换 元后确定 t 的取值范围是解决此类问题的关键所在． 三角函数的值域常常利用函数有界性：|sinx|≤1，|cosx|≤1 和二次函数配方法求解．
当sinx＝1时，ymax＝2，
∴函数的值域为[－6,2]．
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(2)y＝－sin2x－sinx＋1， π π 令 t＝sinx，∵x∈－4，4，
∴t∈ －
2 2 ， ， 2 2
求三角函数解析式 [例5] 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像
如图所示，试确定该函数的解析式．
[思路分析]
可根据最高点、最低点确定 A，由于 P，M，
Q，S，N 这“五点”的相位是相对固定的，即相邻两点之间的 π 相位相差2，可由 M，N 两点的相位，求出 ω 和 φ.
隔，另一变量就重复出现相同的数值，则说变量 y 是周期性变
化的． 2 ．角的概念的扩展中，学习了有关的正角、负角和零 角，终边相同的角及表示方法，象限角及表示方法，用集合、 图形表示角．
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3 ．在弧度制中，定义了一弧度的角及弧度与角度的换算
关系以及扇形的弧长公式和面积公式． 4 ．通过单位圆定义了正弦线、余弦线和正切线，使我们 明确了三角函数可以用一个实数的比值表示．给出了正弦、余 弦及正切函数的诱导公式，为研究三角函数的求值、化简、证
明等提供了方便．
5 ．通过研究正弦、余弦函数和正切函数，使我们对三角 函数有了更深刻的认识，通过研究三角函数的性质(定义域、值 域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值)，大大提升了解 题能力．
23 11 23 11 (2) 6 π＝2π＋ 6 π，∴ 6 π 与 6 π 的终边相同． 11 11 而 6 π＝ 6 ×180° ＝330° ，是第四象限角， 23 故 6 π 是第四象限角． 3π (3)－4＝－2π＋(2π－4)，且－ 2 <－4<－π， π ∴2<2π－4<π，∴－4 为第二象限角.
[规范解答] (1)∵－480°＝240°－2×360°，
∴ 与－ 480°角终边相同的角是 240°角，它是第三象限 角；
(2)∵660°＝300°＋360°，
∴与660°角终边相同的角是300°角，它是第四象限角；
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(3)－950°8′＝129°52′－3×360°， ∴与－950°8′角终边相同的角是129°52′角，它是第二象 限角． [规律总结] 正的角度除以360°，按通常除法进行；负的
角度除以 360°，商是负数，负数的绝对值应比被除数为其相
反数时相应的商大1，以使余数为正值．
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三角函数与不等式
[例 3] 已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数， f(x)的图像如图所 示，那么不等式 f(x)· cosx<0 的解集是( A．{x|0<x<1 或 2<x<3} π π B．{x|1<x<2或2<x<3} π C．{x|0<x<1 或2<x<3} D．{x|0<x<1 或 1<x<3} )
2
∴原函数化为 y＝－t
12 5 －t＋1＝－t＋2 ＋4，
1 5 ∴当 t＝－2时，有 ymax＝4. 1－ 2 2 当 t＝ 2 时，有 ymin＝ 2 ，
1－ ∴函数的值域为 2
2
5 ，4.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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三角函数
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