必修四第一章三角函数复习与小结

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必修四：三角函数知识点

必修四：三角函数知识点在数学的学习中，三角函数是一个非常重要的部分。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、工程等其他学科中也经常出现。

接下来，让我们一起深入了解一下必修四中的三角函数知识点。

首先，我们来认识一下什么是三角函数。

简单来说，三角函数就是以角度为自变量，以比值为函数值的函数。

常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

正弦函数 sin 是指在一个直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值。

余弦函数 cos 则是这个锐角的邻边与斜边的比值。

正切函数 tan是这个锐角的对边与邻边的比值。

对于一个锐角α，sinα ＝对边／斜边，cosα ＝邻边／斜边，tanα ＝对边／邻边。

三角函数的定义域和值域需要我们特别注意。

正弦函数和余弦函数的定义域都是全体实数，值域都是-1, 1。

而正切函数的定义域是{x ｜ x ≠ kπ ＋π/2，k ∈ Z}，值域是全体实数。

三角函数的图像也是非常重要的知识点。

正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π，在-1, 1之间波动的曲线，它的图像关于原点对称。

余弦函数 y ＝ cos x 的图像同样周期为2π，在-1, 1之间，图像关于 y轴对称。

正切函数 y ＝ tan x 的图像周期为π，定义域内不连续，在每个周期内都是单调递增的。

三角函数的周期性是其一个重要特性。

正弦函数和余弦函数的周期都是2kπ（k 为整数），正切函数的周期是kπ（k 为整数）。

三角函数的诱导公式也是必须掌握的内容。

例如，sin(α) ＝sinα，cos(α) ＝cosα，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等等。

这些诱导公式可以帮助我们将不同角度的三角函数值进行转化。

两角和与差的三角函数公式也非常实用。

sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ，sin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ，cos(α ＋β) ＝cosαcosβsinαsinβ，cos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ。

4-1.7三角函数小结和复习(2)--高一上学期必修四【文教案】

4-1.7三角函数小结和复习(2)高一数学必修模块4第一章三角函数单元测试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合A={|,}2n n Z παα=∈2{|2,}3n n Z ααππ=±∈，B={2|,}3n n Z πββ=∈1{|,}2n n Z ββππ=+∈，则A 、B 之间关系为（）A ．AB ⊂B ．B A ⊂C ．B AA B 2．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为）A ．(,]()4k k k Z πππ-∈B ．(k πC ．3(,]()k k k Z ππππ-+∈D ．(8k π3的值等于（）A D ．－3 4α= （）D ．2π－3 5（）6．下列函数中同时具有①最小正周期是π；②图象关于点（6π,0）对称这两个性质的是（） A. y ＝cos （2x ＋6π） B ．y ＝sin （2x ＋6π）Ｃ．y ＝sin （2x ＋6π）Ｄ．y ＝tan （x ＋6π）7．已知cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是（）A ．4πB ．2πC ．8D ．48．与正弦曲线x y sin =关于直线34x π=对称的曲线是（）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin -=D ．x y cos -=9. 若方程1cos +=ax x 恰有两个解，则实数a 的取值集合为（）A. 2222,,33ππππ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.22,00,ππ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭}2π 10．已知函数)sin(ϕω+=x A y 在同一周期内，9π=x 小值－21，则该函数解析式为（） A ．)63sin(2π-=x y B ．)63sin(21π+=x y C =y )63π-x11．.4π，则)4(πf 的值是（）12],[)cos()(b a x M x g 在ϕω+=上D ．可以取得最小值－M131415．设)co s()sin ()(21απαπ+++=x n x m x f ，其中m 、n 、1α、2α都是非零实数，若 (2001)1,f =则(2005)f = .16．设函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，给出以下四个论断：①它的图象关于直线12x π=对称； ②它的图象关于点(,0)3π对称；③它的周期是π； ④在区间[,0)6π-上是增函数。

高中数学必修四三角函数知识点

高中数学必修四三角函数知识点高中数学必修四三角函数知识点详解角是我们在几何学中经常接触到的重要概念，而三角函数则是与角密切相关的一类函数。

在高中数学必修四中，三角函数是一个重要的知识点，对于数学学习的深入和数学建模的实践具有重要的意义。

本文将结合具体例子，详细介绍高中数学必修四三角函数的相关知识。

一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本、最常用的两个三角函数。

我们首先从几何解释的角度来理解它们。

对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正弦值sinA和余弦值cosA。

而正弦函数sinx和余弦函数cosx则是将角x所对应的正弦值和余弦值关系式表示的函数。

举个例子来说明，假设有一角x=30°，那么根据单位圆上的坐标特点，点(x,y)的坐标值为(√3/2,1/2)。

因此，角x的正弦值sinx=1/2，余弦值cosx=√3/2。

我们可以用这样的方法，通过观察和计算，来确定正弦函数和余弦函数的函数图像和性质。

二、正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个重要的三角函数。

正切函数tanx和余切函数cotx则是将角x所对应的正切值和余切值关系式表示的函数。

我们以正切函数为例，来解释一下它的定义和性质。

对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正切值tanA。

正切函数tanx就是将角x所对应的正切值关系式表示的函数。

正切函数tanx的一个重要特点是周期性。

考虑tanx的函数图像，我们可以观察到在每个周期内，tanx呈现出规律的周期性变化。

而周期为π的函数图像在整个定义域上都是无穷区间波动的。

三、其他三角函数除了上述介绍的正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之外，还有其他一些与三角函数密切相关的函数，如割函数secx和余割函数cscx等。

割函数和余割函数定义如下：割函数secx是角x对应的余弦倒数的函数，余割函数cscx是角x对应的正弦倒数的函数。

必修4第一章《三角函数》期末复习教案

第一章《三角函数》期末复习教案一、网络构建二、要点归纳1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y . (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x . (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π(k ∈Z )；对称中心：⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2π 最小正周期：2π 最小正周期：π 单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上单调递增；在[－π＋2k π，2k π] (k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π]在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上单调递增在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减(k ∈Z )上单调递减最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值题型一三角函数的化简与求值例1 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－47π4，求f (α)的值．考点综合运用诱导公式化简、求值题点综合运用诱导公式化简、求值解 (1)f (α)＝sin α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34.又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32. (3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫－47π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－47π4·sin ⎝⎛⎭⎫－47π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4 cos π4·sin π4＝22×22＝12.反思感悟解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α，注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α. 跟踪训练1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值； (2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值解 (1)由sin α＋cos α＝15，得1＋2sin αcos α＝125，所以sin αcos α＝－1225，因为α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2 ＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α ＝⎝⎛⎭⎫152＋4825＝75，故得sin α＝45，cos α＝－35，所以tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α，又tan α＝－43，所以1cos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝－257. 题型二三角函数的图象与性质例2 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．考点正弦、余弦函数的最大(小)值题点正弦、余弦函数的最大(小)值解 (1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0，于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.反思感悟研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调性、最值问题，把ωx ＋φ看作一个整体来解决．跟踪训练2 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，则φ的值为．考点求三角函数解析式题点根据三角函数图象求解析式答案－5π6解析根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象，且A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B (π，－1)，可得从点A 到点B 正好经过了半个周期，即12·2πω＝π－π2，所以ω＝2.再把点A ，B 的坐标代入可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋φ＝－2sin φ＝1,2sin(2×π＋φ)＝2sin φ＝－1，所以sin φ＝－12，所以φ＝2k π－π6，或φ＝2k π－5π6，k ∈Z .又|φ|<π，所以φ＝－π6或－5π6.当φ＝－π6时不合题意，所以φ＝－5π6.题型三三角函数的最值或值域命题角度1 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 型例3 求函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值和最小值．考点正弦、余弦函数的最大(小)值题点正弦、余弦函数的最大(小)值解 ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1.当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，即x ＝π3时，y 取得最小值1. 当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，即x ＝π时，y 取得最大值4. ∴函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋3，x ∈[0，π]的最大值为4，最小值为1. 反思感悟利用y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响．跟踪训练3 (2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.15考点正弦、余弦函数的最大(小)值题点正弦、余弦函数的最大(小)值答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65.故选A.命题角度2 可化为二次函数型例4 函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为．考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的值域答案 [－4,4]解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]， ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]．反思感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错．跟踪训练4 (2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是．考点正弦、余弦函数的最大(小)值题点余弦函数的最大(小)值答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 题型四数形结合思想在三角函数中的应用例5 如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围．考点三角函数中的数学思想题点三角函数中的数形结合思想解 sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0，即(sin x －2)(sin x －a )＝0. ∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，∴此题转化为求在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上，sin x ＝a 有两个实数根时a 的取值范围．由y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6与y ＝a 的图象(图略)知12≤a <1. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.反思感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想．跟踪训练5 方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的实数根的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 考点三角函数的数学思想题点三角函数中的数形结合思想答案 C解析由⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1得－1≤lg|x |≤1，即110≤|x |≤10，方程lg|x |＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3实根的个数就是函数y ＝lg|x |与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象公共点的个数，当x >0时，两函数图象如图所示，两图象有3个公共点，同理，当x <0时，两图象也有3个公共点，故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根，故选C.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A.223 B ．－223 C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3考点求三角函数的解析式题点根据三角函数的图象求解析式答案 A解析从图象可得34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3＝3π4， ∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2，且－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.3．函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．－π4B ．0 C.π4 D.3π4考点三角函数图象的平移、伸缩变换题点三角函数图象的平移变换答案 C解析平移后的图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ. 因为此函数为偶函数，中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网() 所以π4＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ的一个可能值为π4. 4．y ＝2sin x sin x ＋2的最小值是( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1考点正弦、余弦函数的最大(小)值题点正弦函数的最大(小)值答案 B解析由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin x sin x ＋2取得最小值－2. 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．考点正弦、余弦函数性质的综合应用题点正弦、余弦函数性质的综合应用解 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.。

必修四-第一章-三角函数知识点及例题详解

第一章三角函数知识点详列一、角的概念及其推广正角：一条射线绕着端点以逆时针方向旋转形成的角1、任意角零角：射线不做任何旋转形成的角负角：一条射线绕着端点以顺时针方向旋转形成的角记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正全正ααcot tan 为正ααsec cos 为正例1、（1）判断下列各式的符号： ①,265cos 340sin∙ ②,423tan 4sin ⎪⎭⎫⎝⎛-∙π③)cos(sin )sin(cos θθ其中已知)0tan ,cos cos (<-=θθθ且答案：+ — —2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z3、终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角连同α在内（而且只有这样的角），cot α<0tan α<0cos α>0sin α<0cot α>0tan α>0cos α<0sin α<0cot α<0tan α<0cos α<0sin α>0sin α>0tan α>0cot α>0cos α>0可以表示为.,360Z k k∈+∙α4、特殊角的集合：（1）终边在X 轴非负半轴上的角的集合为{};,2Z k k ∈=παα（2）终边在X 轴非正半轴上的角的集合为(){};,12Z k k ∈+=πα （3）终边在X 轴上的角的集合为{};,Z k k ∈=παα（4）终边在Y 轴非负半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （5）终边在Y 轴非正半轴上的角的集合为;,22⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα（6）终边在Y 轴上的角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （7）终边在坐标轴上角的集合为;,2⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k παα（8）终边在一、三象限角平分线上的角的集合为;,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ππαα （9）终边在二、四象限角平分线上的角的集合为.,4⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k ππαα 二、弧度1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 3、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα= 4、两个公式：若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．三、三角函数1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2.比值r y 叫做α的正弦记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦记作： r x =αcos比值x y 叫做α的正切记作： x y =αtan比值y x叫做α的余切记作： yx =αcot比值x r 叫做α的正割记作： x r =αsec 比值y r叫做α的余割记作： yr =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数.2．同角三角函数的基本关系式：（1）倒数关系：tan cot 1αα⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==；（3）平方关系：22sin cos 1αα+= ．3．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限．()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．例2．化简（1）sin()cos()44ππαα-++；（2）已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值． ry)(x,αP解：（1）原式sin()cos[()]424πππαα=-++-sin()sin()044ππαα=---=．（2）3cos()cos(9)5απαπ-=-=-，∴3cos 5α=，∵2παπ<<，∴4sin 5α=-，sin 4tan cos 3ααα==，∴1134cot()cot()tan 223ππααα-=--=-=．例3 确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π-（3）tan （－672°） (4))311tan(π解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π(3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4) 35tan)235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan<π. 例4 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tan(360°+135°) =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tan135°=21212323⨯+⨯-1=0 题型一象所在象限的判断例5（1）如果α为第一象限角，试问2α是第几象限角？（2）如果α为第二象限角，试问：απαπα+--,,分别为第几象限角？答案：（1）第一或者第三；（2）第三，第一，第四。

高中数学必修4 第一章三角函数的小结与复习

必修4 第一章三角函数的小结与复习
知识与技能：
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。

过程与方法：
三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。

另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法．
教学过程：
试题讲评，作业讲评，问题研究。

见作业纸。

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

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年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章三角函数复习与小结编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 三角函数的概念三角函数的概念多在选择题或填空题中出现，主要考查三角函数的意义、三角函数值符号的选取和终边相同的角的集合的运用。

2. 同角三角函数的基本关系式及诱导公式此处主要考查公式在求三角函数值时的应用，考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出算理、算法的考查。

3. 三角函数的图象与性质三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，要熟练掌握三角函数图象的变换和解析式的确定及通过图象的描绘、观察，讨论函数的有关性质。

4. 三角函数的应用主要考查由解析式作出图象并研究性质，由图象探求三角函数模型的解析式，利用三角函数模型解决最值问题。

三角函数来源于测量学和天文学。

在现代科学中，三角函数在物理学、天文学、测量学以及其他各种技术学科中有着广泛的应用。

三角函数是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础。

本章主要利用数形结合的思想。

在研究一些复杂的三角函数时要应用换元法的思想，还要注意化归的思想在三角函数式化简求值中的应用，主化归的思想要包括以下三个方面：化未知为已知；化特殊为一般；等价化归。

二、重难点提示重点：角的概念的扩展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函数的图象与性质、“五点法”作图、诱导公式、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与正弦函数y＝sinx的图象间的关系、同角三角函数的基本关系。

难点：三角函数的概念、弧度制与角度制的互化、三角函数性质的应用、由正弦函数到y＝Asin（ωx＋φ）的图象变换、综合运用三角函数的公式进行求值、化简和证明等。

一、知识脉络图：二、知识点拨：1. x y sin =与x y cos =的周期是π。

2. )sin(ϕω+=x y 或)cos(ϕω+=x y （0≠ω）的周期为ωπ2=T 。

3. 2tanxy =的周期为2π。

4. )sin(ϕω+=x y 的对称轴方程是2ππ+=k x （Z k ∈），对称中心为（0,πk ）；)cos(ϕω+=x y 的对称轴方程是πk x =（Z k ∈），对称中心为（0,21ππ+k ）；)tan(ϕω+=x y 的对称中心为（0,2πk ）。

5. 当αtan ·1tan =β时，)(2Z k k ∈+=+ππβα；当1tan tan -=⋅βα时，()2k k Z παβπ-=+∈6. 函数x y tan =在R 上为增函数。

（×）[只能在某个单调区间上单调递增。

若在整个定义域上，则x y tan =为增函数的说法同样也是错误的。

]7. x y sin =不是周期函数；x y sin =为周期函数（π=T ）；Y=cos|x|x y cos =是周期函数（如图）；y=|cosx|x y cos =为周期函数（π=T ）；随堂练习：函数f （x ）=sinx•（cosx-sinx ）的最小正周期是（） A.4π B. 2πC. πD. 2π 解：∵f （x ）=sinx•（cosx-sinx ）=sinxcosx-sin 2x =21（sin2x+cos2x ）-21=22sin （2x+4π）－21∴T=π 故选C ．知识点一：三角函数的概念例题1 设角α属于第二象限，|cos2α|＝－cos 2α，试判断角2α属于第几象限？思路导航：首先应根据α所属象限确定出2α所属的象限，然后再由－cos 2α≥0，cos 2α≤0确定最终答案，要点就是分类讨论。

答案：因为α属于第二象限，所以2kπ＋2π＜α＜2kπ＋π（k ∈Z ），∴kπ＋4π＜2α＜kπ＋2π（k ∈Z ）。

当k ＝2n （n ∈Z ）时， 2nπ＋4π＜2α＜2nπ＋2π（n ∈Z ）。

∴2α是第一象限角；当k ＝2n ＋1（n ∈Z ）时， 2nπ＋π45＜2α＜2nπ＋π23（n ∈Z ）。

∴2α是第三象限角。

又由|cos 2α|＝－cos 2α≥0⇒cos 2α≤0。

所以2α应为第二、三象限角或终边落在x 轴的负半轴上。

综上所述，2α是第三象限的角。

点评：由α所在象限，判断诸如2α，3α，4α等角所在的象限时，一般有两种办法：一种是利用终边相同的角的集合的几何意义，采用数形结合的办法确定2α，3α，4α所属的象限；另一种办法就是将k 进行分类讨论。

一般来说，分母是几就应分几类去讨论。

知识点二：同角三角函数基本关系式及诱导公式例题2 （1）已知π＜α＜2π，cos （α－7π）＝53-，求sin （3π＋α）与tan （α－27π）的值；（2）已知2＋sinAcosA ＝5cos 2A ，求tanA 的值；（3）已知sinα＋cosα＝51，且α∈（0，π），求sin 3α－cos 3α的值。

答案：（1）∵cos （α－7π）＝－cosα＝53-，∴cosα＝53。

又π＜α＜2π， ∴23π＜α＜2π，sinα＝－54， sin （3π＋α）＝－sinα＝54，tan （α－27π）＝.435453sin cos )27cos()27sin(==-=--ααπαπα （2）将已知式化为2sin 2A ＋2cos 2A ＋sinA·cosA ＝5cos 2A ，∵cosA≠0，∴2tan 2A ＋tanA －3＝0，tanA ＝1或tanA ＝－23。

（3）sinαcosα＝21)cos (sin 2-+αα＝2512-，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0， ∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝57cos sin 21=-αα， ∴sin 3α－cos 3α＝57×（12512-）＝12581。

点评：形如asinα＋bcosα和asin 2α＋bsinαcosα＋ccos 2α的式子分别称为关于sinα、cosα的一次齐次式和二次齐次式，对它们涉及的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用。

知识点三：三角函数的图象与性质例题3 对于函数f （x ）＝2sin （2x ＋3π），给出下列结论： ①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x ＝12π成轴对称；③图象可由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移3π个单位得到；④图象向左平移12π个单位，即得到函数y ＝2cos2x的图象。

其中正确结论的个数为（）个A. 0B. 1C. 2D. 3思路导航：∵f （x ）是非奇非偶函数，∴①错误。

∵f （x ）是由y ＝2sin2x 向左平移6π个单位得到的， ∴③错误。

把x ＝12π代入f （x ）中使函数取得最值， ∴②正确。

f （x ）＝2sin （2x ＋3π）−−−−→−个单位左移12πf （x ）＝2sin ［2（x ＋12π）＋3π］＝2cos2x ， ∴④正确。

答案：C点评：利用排除法求解选择题，是一个简单、易行的办法。

在用排除法时，要注意函数性质的应用。

例题4 设函数f （x ）＝sin3x ＋|sin3x|，则f （x ）为（） A. 周期函数，最小正周期为3π B. 周期函数，最小正周期为32π C. 周期函数，最小正周期为2π D. 非周期函数思路导航：本身可以直接把选项代入)()(x f T x f =+检验，也可化简=)(x f x x 3sin 3sin +。

答案：f （x ）＝sin3x ＋|sin3x|＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<++≤≤.3232332,0,33232,3sin 2πππππππk x k k x k x∴B 正确。

答案：B点评：遇到绝对值问题可进行分类讨论，将原函数写成分段函数。

本题也可以数形结合运用图象的叠加来考虑。

后者更简捷。

知识点四：三角函数的应用例题5 在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

若直角三角形中较小的锐角是θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是251，则sin2θ－cos2θ的值等于（）A. 1B.2524- C.257D. －257思路导航：由题意，设大正方形边长AB＝1，小正方形的边长是51，则BE＝sinθ，AE＝cosθ，∴cosθ－sinθ＝51。

平方得2cosθsinθ＝2524。

∴（cosθ＋sinθ）2＝1＋2cosθsinθ＝2549。

∴cosθ＋sinθ＝57。

∴sin2θ－cos2θ＝（sinθ－cosθ）（sinθ＋cosθ）＝2575751-=⨯-。

答案：D点评：三角函数的应用非常广泛。

将实际问题转化成数学中的同角三角函数问题，再利用三角函数的性质是解此题的关键。

例题6 函数y＝21cossin-+xx的定义域是_______________。

思路导航：由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥.21cossin21cossinxxxx作单位圆如图所示，图中双阴影部分即为函数的定义域{x|2kπ≤x≤2kπ＋3π，k∈Z }。

答案：{x|2kπ≤x≤2kπ＋3π，k∈Z }点评：解三角不等式基本上有两种方法：①利用三角函数线。

②利用三角函数图象。

例题7 求函数f（x）＝xxxxcossin1cossin++的最大、最小值。

思路导航：利用三角函数中1cossin22=+αα和ααcossin+与ααcossin⋅的关系，转化成同一个量的关系式。

答案：设sinx＋cosx＝t，则sinxcosx＝212-t，t∈［－2，2］，且t≠－1，则y＝2122112122-=+-=+-ttttt，t∈［－2，2］。

∴当t＝2，即x＝2kπ＋4π（k∈Z）时，f（x）的最大值为212-；当t＝－2，即x＝2kπ－43π（k∈Z）时，f（x）的最小值为212+-。

点评：利用三角函数的特殊性，将问题转化成求一元函数的最值问题。

例题（全国大纲理5）设函数()cos(0)f x xωω=＞，将()y f x=的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（）A.13B. 3C. 6D. 9思路分析：本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图象变换的关系。

此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x=的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

解答过程：由题意将()y f x=的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍，得2()3k k Zππω⨯=∈，解得6kω=，又0ω>，令1k=，得min6ω=。

答案：C规律总结：三角函数的图象只有平移周期的整数倍，平移之后的图象才可能与原图象重合。

在应用过程中，熟练掌握一些基本技能，要重视运算、作图、推理以及科学计算器的使用等基本技能训练，但要避免过于繁杂的运算。