人教高中数学选修2-2第二章《推理与证明》测试题A卷2

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(同步)高中数学人教新课标A版选修2-2(理科) 第二章推理与证明

高中数学人教新课标A版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.1.1合情推理同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高二下·西安期中) 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·荆门期末) 观察下列各式：，则的末尾两位数字为（）A . 49B . 43C . 07D . 013. （2分） (2015高二下·吕梁期中) 在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是（）A . 12B . 13C . 14D . 154. （2分） (2015高二下·宁德期中) 已知命题：若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m≠n，m、n∈N+）则am+n= ；现已知等比数列{bn}（bn＞0，n∈N+），bm=a，bn=b，（m≠n，m、n∈N+）若类比上述结论，则可得到bm+n=（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·宜昌期末) 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为a2013 ，则a2013﹣5=（）A . 2019×2013B . 2019×2012C . 1006×2013D . 2019×10066. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如4266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·赣县期中) 华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）将个正整数1、2、3、…、（）任意排成n行n列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a、b（a>b）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当n=2时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（）A .B .C . 2D . 3二、填空题 (共3题；共5分)9. （2分） (2020高二下·北京期中) 已知数列，，，则，分别为________，猜想 ________．10. （1分） (2020高三上·会昌月考) 已知等边的边长为2，过点的直线与过的平面交于点，将平面绕转动（不与平面重合），且三条直线，，与平面所成的角始终相等．当三棱锥体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为________．11. （2分） (2019高二下·浙江期中) 在数列中，已知，，则________，归纳可知 ________．三、解答题 (共3题；共30分)12. （10分） (2019高三上·上海月考) 如图所示，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为，设地铁在AB部分的总长度为．（1）按下列要求建立关系式：（i）设，将y表示成的函数；(ii)设，用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．13. （5分）(2019·江西模拟) 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.14. （15分） (2020高一下·上海期末) 定义：对于任意，满足条件且（M 是与n无关的常数）的无穷数列称为T数列.（1）若，证明：数列是T数列；（2）设数列的通项为，且数列是T数列，求常数M的取值范围；（3）设数列，若数列是数列，求P的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共5分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共30分)答案：12-1、答案：12-2、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、答案：14-3、考点：解析：。

人教A版选修2-2第二章推理与证明综合测试题

2．B
【分析】
否定原命题的结论可得解.
【详解】
反证法证明命题时，要假设结论不成立．故用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于 ”时的假设是“ 、、都小于 ”．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反证法的概念，属基础题．
3．B
【分析】
通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.
A．甲付的税钱最多B．乙、丙两人付的税钱超过甲
C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少
4．观察下列数的规律：，则第9个数是（）
A．21B．22C．33D．34
5．数列的前n项和，而，通过计算猜想 ( )
A． B． C． D．
6．n个连续自然数按规律排成下
根据规律，从2018到2020，箭头的方向依次为( )
16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是________．
三、解答题
17．已式，并用数学归纳法给出证明.
18．（1）用综合法证明：对于任意，，有；
（2）用分析法证明：对于任意时，有 .
3．《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱 ,乙持钱 ,丙持钱 ,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（）
【详解】
，
第7个数为，第8个数为，第9个数为 .
故选：D
【点睛】
本题考查数与式中的归纳推理，属于基础题.

高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-2第二章《推理与证明1》单元测试题单元练习题一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（）A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③+；④-2中，与等价的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（） A ．只有最大值 B ．只有最小值 C ．只有最大值或只有最小值 D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6．若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（）A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161-二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。

3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。

4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。

[精品]新人教A版选修2-2高中数学第二章推理与证明综合检测和答案

第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)>n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案] 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②si n 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12si n(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd . 由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。

高中数学第二章推理与证明检测A(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

第二章推理与证明检测(A )(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列2,5,11,20,x ,47,…中的x 等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27解析:由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.答案:B2.用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是( ) A.将结论与条件同时否定,推出矛盾 B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件答案:B3.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面 ”.( ) A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C. 答案:C4.已知c>1,a =√c +1−√c ,b =√c −√c -1,则下列结论正确的是( ) A.a>b B.a<bC.a=bD.a ,b 大小不定解析:∵a =√c +1−√c =√c +1+√c,=√c −√c -1=√c +√c -1而√c +1+√c >√c +√c -1,∴a<b. 答案:B5.下列结论正确的是( ) A.当x>0,且x ≠1时,lg x +1lg c ≥2B.当x>0时,√c+√c≥2C.当x≥2时,x+1c的最小值为2D.当0<x≤2时,x−1c无最大值解析:选项A错在lg x的正负不确定;选项C错在等号成立的条件不存在;根据函数f(x)=x−1c的单调性,当x=2时,f(x)取最大值32,故选项D错误.答案:B6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳推理:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+ 18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C7.设x i,a i(i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两名同学由命题“若x1+x2=1,则c1c1+c2c2≤(√c1+√c2)2”分别推理得出了新命题:甲:若x1+x2+x3=1,则c1c1+c2c2+c3c3≤(√c1+√c2+√c3)2;乙:若x1+x2+x3+x4=1,则c1c1+c2c2+c3c3+c4c4≤(√c1+√c2+√c3+√c4)2.他们所用的推理方法是()A.甲、乙都用演绎推理B.甲、乙都用类比推理C.甲用演绎推理,乙用类比推理D.甲用归纳推理,乙用类比推理答案:B8.已知数列{a n}的前几项为23,415,635,863,1099,…,则猜想数列{a n}的通项公式为()A.a n=2c2c(2c-1)B.a n=2(c-1)2c(2c-1)C.a n=2c(2c-1)(2c+1)D.a n=2(c-1)(2c-1)(2c+1)解析:23=2×11×3,415=2×23×5,635=2×35×7,863=2×47×9,1099=2×59×11,…,于是猜想数列{a n}的通项公式为a n=2c(2c-1)(2c+1).答案:C9.已知数列{a n}的前n项和S n=n2·a n(n≥2,n∈N),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想a n等于()A.2(c+1)2B.2c(c+1)C.22c-1D.22c-1解析:∵S n=n2·a n(n≥2),a1=1,∴S2=4a2=a1+a2⇒a2=13=23×2,S3=9a3=a1+a2+a3⇒a3=c1+c28=16=24×3,S4=16a4=a1+a2+a3+a4⇒a4=c1+c2+c315=110=25×4.故猜想a n=2c(c+1).答案:B10.用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12c-1<c(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.“已知x,y∈R,且x+y<2,则x,y中至多有一个大于1”,在用反证法证明该命题时,假设应为.解析:“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“x,y都大于1”.答案:x,y都大于112.观察数列√3,3,√15,√21,3√3,…,写出该数列的一个通项公式为.解析:将各项统一写成根式形式为√3,√9,√15,√21,√27,…,即√3×1,√3×3,√3×5,√3×7,√3×9,…,被开方数是正奇数的3倍,故a n=√3(2c-1)(n∈N*).答案:a n=√3(2c-1)(n∈N*)13.以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足c12+c22=1,则a1+a2≤√2”的证明过程:证明:构造函数f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2=2x 2-2(a 1+a 2)x+1,因为对一切实数x ,恒有f (x )≥0,所以Δ≤0,从而得4(a 1+a 2)2-8≤0,所以a 1+a 2≤√2.根据上述证明方法,若n 个正实数满足c 12+c 22+⋯+c c 2=1,你能得到的结论为(不必证明).解析:依题意,构造函数f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-a n )2,则有f (x )=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+1,Δ=[-2(c 1+c 2+…+c c )]2−4n=4(a 1+a 2+…+a n )2-4n ≤0,即有a 1+a 2+…+a n ≤√c . 答案:a 1+a 2+…+a n ≤√c14.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ,则T 4, , ,c16c 12成等比数列.解析:本题是数列与类比推理相结合的问题,既考查了等差数列与等比数列的知识,又考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 答案:c 8c 4 c 12c 815.设C 1,C 2,C 3,…为一组圆,其作法如下:C 1是半径为a 的圆,在C 1的圆内作四个相等的圆C 2(如图),每个圆C 2和圆C 1都内切,且相邻的两个圆C 2均外切;在C 2的每一个圆中,用同样的方法作四个相等的圆C 3,依此类推作出C 4,C 5,C 6,….(1)其中C 2中每个圆的半径等于 (用a 表示); (2)猜想C n 中每个圆的半径为 (用a 表示). 解析:设圆C 2的半径为r.由题图可知四个圆C 2的圆心构成正方形,边长为2r ,对角线长为2√2c , 于是2r+2√2c =2a ,解得r=(√2−1)a. 以此类推,C n 中每个圆的半径长为(√2−1)n-1a. 答案:(√2−1)a (√2−1)n-1a三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)若x ,y>0,且x+y>2,求证:1+cc<2和1+cc<2中至少有一个成立.证明假设1+cc≥2,且1+cc≥2,则1+x ≥2y ,1+y ≥2x ,所以(1+x )+(1+y )≥2y+2x ,即x+y ≤2,与题设矛盾.故假设错误,故原命题成立.17.(8分)已知命题“若数列{a n }是等比数列,且a n >0,则数列{b n },b n =√c 1c 2…c c c (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论. 解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n }是等差数列, 则数列{b n },b n =c 1+c 2+…+c cc也是等差数列. 证明如下:设等差数列{a n }的公差为d ,则b n =c 1+c 2+…+c cc=cc 1+c (c -1)c2c=c 1+c 2(n-1),所以数列{b n }是以a 1为首项,c 2为公差的等差数列.18.(9分)设n ∈N *,x n 是曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)记T n =c 12c 32…c 2c -12,证明:T n ≥14c .(1)解y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x 轴交点的横坐标x n =1−1c +1=cc +1. (2)证明由题设和(1)中的计算结果知T n =c 12c 32…c 2c -12=(12)2(34)2…(2c -12c)2.当n=1时,T 1=14.当n ≥2时,因为c 2c -12=(2c -12c)2=(2c -1)2(2c )2>(2c -1)2-1(2c )2=2c -22c=c -1c, 所以T n >(12)2×12×23×…×c -1c=14c. 综上可得对任意的n ∈N *,均有T n ≥14c.19.(10分)如图,设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.求证:直线AC 经过原点O.证明因为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为c (c2,0),所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+c2,代入抛物线方程,可得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.因为BC∥x轴,且点C在准线x=−c2上,所以点C的坐标是(-c2,c2),故直线CO的斜率为k=c2-c2=2cc1=c1c1,即k也是直线OA的斜率.故直线AC经过原点O.20.(10分)设f(n)=1+12+13+⋯+1c,问是否存在关于自然数n的函数g(n)使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论.解:假设存在关于自然数n的函数g(n)使等式成立.则当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],得g(2)=c(1)c(2)-1=11+12-1=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],得g(3)=c(1)+c(2)c(3)-1=1+1+121+12+13-1=3,猜想g(n)=n(n≥2).下面用数学归纳法证明:当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立.①当n=2时,由上面计算知,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1].则当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)·[c(c+1)-1c+1]−c=(k+1)[f(k+1)-1],所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对一切n≥2的自然数n,等式都成立,故存在函数g(n)=n,使等式成立.。

高中数学人教A版选修2-2《推理与证明》单元测试题含解析

阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．34．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋16．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×98．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于010．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a，b，c11．已知数列{a n}的前n项和S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋212．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．14．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．15．已知 2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋a b ＝6ab ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.18．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，a n＋1＝2a n1＋a n(n＝1,2，…)．(1)求证：a n＋1≠a n；(2)令a1＝12，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n(不要求证明)．19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－12，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2<m<－12，∴14＜m2＜4，∴Δ<0，即关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．20．(本小题满分12分)等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝S nn(n∈N*)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．21．(本小题满分12分)设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．22．(本小题满分12分)已知f(x)＝bx＋1(ax＋1)2⎝⎛⎭⎪⎫x≠－1a，a＞0，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列{x n}的项满足x n＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想{x n}的通项公式，并用数学归纳法证明．阶段质量检测（二）推理与证明参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n ＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85. 由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2nn ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b 2>lga ＋b 2.答案：m >n 15．已知 2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 6＋a b ＝6ab ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38. 答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，a n＋1＝2a n1＋a n(n＝1,2，…)．(1)求证：a n＋1≠a n；(2)令a1＝12，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n(不要求证明)．解：(1)证明：若a n＋1＝a n，即2a n1＋a n＝a n，解得a n＝0或1.从而a n＝a n－1＝…＝a2＝a1＝0或1，这与题设a1>0，a1≠1相矛盾，所以a n＋1＝a n不成立．故a n＋1≠a n成立．(2)由题意得a1＝12，a2＝23，a3＝45，a4＝89，a5＝1617，由此猜想：a n＝2n－12n－1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)．求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)．证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34， x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58，x 4＝58×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝35.(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k ＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。

高中数学二推理与证明练习新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

二推理与证明[A 基础达标]1.若复数a ＋i1－2i是纯虚数，则实数a 的值为（）A.2B.－12C.15D.－25解析：选A.因为a ＋i 1－2i ＝（a ＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝a －2＋（2a ＋1）i5是纯虚数，所以a ＝2.2.已知复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，则z ＝z 1z 2在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选 D.因为z 1＝12＋32i ，z 2＝－12＋32i ，所以z ＝12＋32i －12＋32i ＝1＋3i －1＋3i＝（1＋3i ）（－1－3i ）（－1＋3i ）（－1－3i ）＝12－32i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，在第四象限.故选D.3.对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，如此反复操作，则第2 018次操作后得到的数是（）A.25B.250C.55D.133解析：选C.由规定：第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，……，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 018＝3×672＋2，故第2 018次操作后得到的数等于第2次操作后得到的数，即55，故选C.4.已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1（n ∈N *）及其证明：（1）当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；（2）假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式也成立.由（1）（2），知对任意的正整数n 等式都成立. 则以下说法正确的是（） A.命题、推理都正确 B.命题正确、推理不正确 C.命题不正确、推理正确 D.命题、推理都不正确解析：选B.命题正确，但证明n ＝k ＋1时没有用到假设的结论，故推理不正确. 5.对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为（） A.0 B.1 C.2D.3解析：选B.若（a －b ）2＋（b －c ）2＋（c －a ）2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确.a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确.由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.6.已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝.解析：由m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i2，由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12.答案：127.在平面几何中：△ABC 中∠C 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥A BCD 中（如图），DEC 平分二面角A CD B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是Ｗ.解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD.答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD8.观察下列等式：S 1＝12n 2＋12n ， S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ， S 3＝14n 4＋12n 3＋14n 2， S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n ， S 5＝An 6＋12n 5＋512n 4＋Bn 2，…可以推测，A －B ＝.解析：由S 1，S 2，S 3，S 4，S 5的特征，推测A ＝16.又S k 的各项系数的和为1，所以A ＋12＋512＋B ＝1，所以B ＝－112.故A －B ＝16＋112＝14. 答案：149.已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |. 证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |，即证（x ＋y ）2≤（1＋xy ）2，即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2，即证（x 2－1）（1－y 2）≤0，因为|x |≤1，|y |≤1，所以x 2－1≤0，1－y 2≥0，所以（x 2－1）（1－y 2）≤0，不等式得证. 10.设f （x ）＝a x ＋a －x2，g （x ）＝a x －a －x2（其中a >0，且a ≠1）.（1）5＝2＋3，请你推测g （5）能否用f （2），f （3），g （2），g （3）来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 解：（1）由f （3）g （2）＋g （3）f （2）＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g （5）＝a 5－a －52，因此g （5）＝f （3）g （2）＋g （3）f （2）. （2）由g （5）＝f （3）g （2）＋g （3）f （2），即g （2＋3）＝f （3）g （2）＋g （3）f （2），于是推测g （x ＋y ）＝f （x ）g （y ）＋g （x ）f （y ）. 证明：因为f （x ）＝a x ＋a －x2，g （x ）＝a x －a －x2（大前提）.所以g （x ＋y ）＝a x ＋y －a －（x ＋y ）2，g （y ）＝a y －a －y2，f （y ）＝a y ＋a －y2，（小前提及结论）所以f （x ）g （y ）＋g （x ）f （y ）＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y2＝a x ＋y －a －（x ＋y ）2＝g （x ＋y ）.故推测正确.[B 能力提升]11.定义：如果函数y ＝f （x ）在定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0（a <x 0<b ），满足f （x 0）＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，例如y ＝x 2是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f （x ）＝x 3＋mx 是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值X 围是.解析：由f （x ）＝x 3＋mx 是[－1，1]上的平均值函数，知关于x 的方程x 3＋mx ＝f （1）－f （－1）1－（－1）在区间（－1，1）上有解，即方程x 3＋mx －m －1＝0在区间（－1，1）上有解，就是方程m ＝－x 2－x －1在区间（－1，1）上有解.因为当x ∈（－1，1）时，－x 2－x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－34∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－3，－34，所以m 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－3，－34. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－3，－3412.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }.可以推测：（1）b 2 016是数列{a n }中的第项；（2）b 2k －1＝（用k 表示）. 解析：观察知这些三角形数满足a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *，当n ＝5k －1或n ＝5k ，k ∈N*时，对应的三角形数是5的倍数，为数列{b n }中的项，将5k －1和5k 列为一组，所以b 2 016是第1 008组的后面一项，即b 2 016是数列{a n }中的第5×1 008＝5 040项；b 2k －1是第k 组的前面一项，是数列{a n }中的第5k －1项，即b 2k －1＝a 5k －1＝5k （5k －1）2.答案：（1）5 040 （2）5k （5k －1）213.设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. （1）证明：l 1与l 2相交；（2）证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上. 证明：（1）假设直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，由直线l 1与l 2的方程可知实数k 1，k 2分别为两直线的斜率，则有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，消去k 1，得k 22＋2＝0，k 2无实数解，这与已知k 2为实数矛盾，所以k 1≠k 2，即l 1与l 2相交.（2）法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1y ＝k 2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1，故l 1与l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1. 而2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1. 此即表明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上. 法二：l 1与l 2的交点P 的坐标（x ，y ）满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k 1x ，y ＋1＝k 2x ，故知x ≠0.从而⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝y －1x ，k 2＝y ＋1x .代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1x＋2＝0，整理后，得2x 2＋y 2＝1，所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上. 14.（选做题）观察下列各不等式： 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， 1＋122＋132＋142＋152<95， …（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数n （n ≥2）有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论.解：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n 有关的一般不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1n2<2n －1n（n ∈N *，且n ≥2）. （2）证明：①当n ＝2时，由题设可知，不等式显然成立. ②假设当n ＝k （k ≥2，k ∈N *）时，不等式成立，即 1＋122＋132＋142＋…＋1k 2<2k －1k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋122＋132＋142＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2<2k －1k ＋1（k ＋1）2<2k －1k ＋1k （k ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝2－1k ＋1＝2（k ＋1）－1k ＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何n ∈N *且n ≥2都成立.。

人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明测评A

【优化设计】 2015-2016 学年高中数学第二章推理与证明测评 A 新人教 A 版选修 2-2(基关卷 )(:90 分分:100分)第Ⅰ卷(共40分)一、 (本大共10 小 ,每小 4 分 ,共 40 分.在每小出的四个中,只有一是切合目要求的 )1.命“有理数是无穷循小数,整数是有理数,所以整数是无穷循小数”是假命,推理的原由是()A.使用了推理B.使用了比推理C.使用了“三段”,但大前提D.使用了“三段”,但小前提答案 :C2.察下边形的律,在其右下角的空格内画上适合的形()A.■B.△C.□D.○分析 :由每一行中形的形状及黑色形的个数,知A正确.答案 :A3.由“正三角形的内切切于三的中点”,可比猜想出正四周体的内切球切于四个面()A.各正三角形内任一点B.各正三角形的某高上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点分析 :正三角形的正四周体的面,即正三角形所在的正四周体的面, 所以的中点的就是正四周体各正三角形的中心.答案 :C4.察以下各式:a+b= 1,a2+b 2= 3,a3+b 3= 4,a4+b 4= 7,a5+b 5= 11, ⋯, a10+b 10= ()A .28B .76 C.123 D .199n n分析 : a +b =f (n), f(3)=f (1)+f (2)= 1+ 3= 4;f(4)=f (2)+f (3)=3+ 4= 7;f(5)=f (3)+f (4)= 11.*通察不f( n)=f (n-1)+f (n- 2)(n∈N ,n≥ 3),f(6 )=f (4) +f (5)= 18;f(7)=f (5)+f (6)= 29;f(8)=f (6)+f (7) =47;f(9)=f (7)+f (8)= 76;f(10)=f (8)+f (9)= 123.所以a10+b 10= 123.答案 :C5.数列{ a n}足a1= ,a n+ 1= 1- , a2 015等于()A .B .-1 C.2 D .3分析 :∵a1= ,a n+ 1= 1-,∴a2= 1-=- 1,a3= 1-= 2,a4= 1-,a5= 1- =- 1,a6= 1-= 2,∴a n+ 3k=a n (n∈N* ,k∈N* ).∴a2 015=a 2+3×671=a 2=- 1.答案 :B6.已知f( x+y)=f (x)+f (y),且f(1) = 2,f(1) +f (2)+ ⋯ +f (n)不可以等于 ()A .f(1)+ 2f(1)+ ⋯+nf (1)B.fC.D.f(1)分析 :f(x+y )=f (x)+f ( y),令 x=y= 1,得 f(2)= 2f(1),令 x=1,y= 2,f(3)=f (1)+f (2)= 3f(1)?f(n)=nf (1),所以 f(1)+f (2)+ ⋯ +f (n)= (1+ 2+⋯ +n )f(1)=f (1).所以 A,D 正确 . 又f(1) +f (2)+ ⋯ +f (n) =f (1+2+ ⋯ +n )=f ,所以 B 也正确 .故 C.答案 :C7.于奇数列1,3,5,7,9,⋯,在行以下分:第一有 1 个数 {1},第二有 2 个数 {3,5}, 第三有 3个数 {7,9,11},⋯⋯,依此推 ,每内奇数之和S n与其的号数n 的关系是 ()A .S n=n 2 B. S n=n 3C.S n=n 4D. S n=n (n+ 1)33分析 :∵当 n= 1 ,S1= 1;当 n= 2 ,S2= 8= 2 ;当 n= 3,S3= 27= 3 ;∴猜想S n=n 3,故 B .答案 :B8.在等差数列{ a n}中,若a n> 0,公差d> 0,有a4a6>a3a7,比上述性,在等比数列{ b n}中,若b n> 0,公比q> 1, b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A .b4+b 8>b 5 +b 7B .b4+b 8<b 5+b 7C.b4+b 7>b 5+b 8 D .b4+b 7<b 5+b 834分析 :b5 +b 7-b 4-b8=b 4(q+q-1-q )322=b 4(q-1)(1-q )=-b 4(q-1) (1+q+q )∵b n> 0,q> 1,∴-b4( q-1) ·<0,∴b4+b 8>b 5+b 7.答案 :A9.已知x> 0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,⋯,可推行x+≥n+ 1, a 的 ()A .2nB .n2 C.22n-2 D .n n分析 :由 x+ ≥2,x+=x+ ≥3,x+=x+ ≥ 4, ⋯,可推行 x+ ≥n+ 1,故 a=n n.答案 :D10.将石子成如的梯形形状.称数列 5,9,14,20,⋯“梯形数”.依据形的组成 ,此数列的第 2 012与 5 的差 ,即 a2 012-5= ()A .2 018×2 012B .2 018×2 011C.1 009×2 012 D .1 009×2 011分析 :由已知可得a2-a1= 4a3-a2= 5a4-a3= 6⋯⋯a2 012-a2 011= 2 014.以上各式相加得a2 012-a1== 1 009×2 011.∵a1= 5,∴a2 012-5= 1 009×2 011.答案 :D第Ⅱ卷(非共60分)二、填空 (本大共 5 小 ,每小 4 分 ,共 20 分 .把答案填在中的横上)11.在△ABC中,D BC 的中点 , ),将命比到三棱中获得的命.答案 :在三棱 A-BCD 中 ,G △ BCD 的重心 , )*分析 :∵n> 1,∴第一步明当n= 2 不等式建立,不等式是.即 .答案 :13.f(n)= 1++ ⋯ + (n ∈ N * ), 算得 f(2) = ,f(4)> 2,f(8)> ,f(16)> 3,f(32)> ,推当 n ≥2 ,有 . 分析 :f(n)中 n 的律 2k (k= 1,2, ⋯不),等式右分 ,k= 1,2, ⋯,所以 f(2n )> (n ≥ 2). 答案 :f(2n )> (n ≥ 2)2, ⋯,x nn )] ≤f,称函数14.若定在区 D 上的函数 f(x) 于 112D 上的 n 个 x ,x , 足 [f(x )+f (x ) +⋯ +f (xf(x) D 上的凸函数 ; 已知 f( x)= sin x 在 (0, π)上是凸函数 , △ ABC 中 ,sin A+ sin B+ sin C 的最大是 . 分析 :因 f(x)= sin x 在 (0, π)上是凸函数 (小前提 ),所以 (sin A+ sin B+ sin C) ≤sin( ), 即 sin A+ sin B+ sin C ≤3sin.所以 ,sin A+ sin B+ sin C 的最大是 .答案 : 15. 察下 :第行的各数之和等于 2 0112.分析 : 察知 , 中的第 n 行的各数组成一个首 n,公差 1,共 (2n-1 ) 的等差数列 ,其各和 :S n = (2n-1)n+= (2n-1)n+ (2n-1)( n-1)= (2n-1)2.令 (2n-1)2= 2 0112,得 2n-1= 2 011,故 n= 1 006. 答案 :1 006三、解答 (本大共 5 小 ,共 40 分.解答写出文字明、明程或演算步 ) 16.(本小 6 分 )已知 a>b>c ,且 a+b+c= 0,求 :. 明 :因 a>b>c ,且 a+b+c= 0,所以 a> 0,c< 0.要明原不等式建立,只要明 a,2222即 b -ac< 3a ,进而只要明 (a+c ) -ac< 3a , 即 (a-c)(2a+c )> 0,因 a-c> 0,2a+c=a+c+a=a-b> 0,所以 (a-c)(2a+c )> 0 建立 ,故原不等式建立 .17.(本小 6 分 )已知数 22x,且有 a=x + ,b= 2-x,c=x -x+ 1,求 :a,b,c 中起码有一个不小于 1. 明 :假 a,b,c 都小于 1,即 a< 1,b< 1,c< 1,a+b+c< 3.∵a+b+c=+ (2-x)+ (x 2-x+ 1)= 2x 2 -2x+= 2+ 3,且 x 数 , ∴ 2+ 3≥3,即 a+b+c ≥3, 与 a+b+c< 3 矛盾 .∴假不建立 ,原命建立 .∴a,b,c 中起码有一个不小于 1.18.(本小8 分 )先以下不等式的法 ,再解决后边的:已知 a 1,a 2∈ R ,且 a 1+a 2 = 1,求 :.明 :结构函数 f(x)= (x-a 1) 2+ (x-a 2)2= 2x 2- 2(a 1+a 2)x+. 因全部 x ∈ R ,恒有 f(x) ≥ 0,所以 Δ=4- 8() ≤从0,而得 . n ∈R ,且 a 11 22 n;(1) 若 a ,a , ⋯,a +a + ⋯ +a = 1, 写出上述的推行式 (2) 参照上述法 , 你推行的加以明 .(1) 解 :若 a 1,a 2, ⋯,a n ∈ R ,a 1+a 2+ ⋯ +a n = 1,+⋯+.(2) 明 :结构函数f(x)= (x-a1)2+ (x-a2)2+ ⋯ +(x-a n)22=nx -2(a1+a 2+ ⋯ +a n)x++ ⋯+2=nx -2x++ ⋯ +.因全部x∈R,都有 f(x) ≥0,所以Δ=4- 4n(+ ⋯ + ) ≤0,进而得 + ⋯ +.19.(本小10分)已知等差数列{ a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45= 0的两根,数列{ b n}的前n 和 S n,且 S n=1-b n.(1)求数列 { a n},{ b n} 的通公式 ;(2)c n=a n·b n,求 :c n+ 1≤c n.(1) 解 :∵a3,a5是方程 x2-14x+45= 0 的两根 ,且数列 { a n} 的公差 d> 0,∴a3= 5,a5 =9,公差 d== 2.∴a n=a 5+ ( n-5)d= 2n-1.由意得 ,当 n= 1,b1=S 1= 1-,∴b1=.当 n≥2 ,b n=S n-S n- 1= (b n- 1-b n),∴b n=b n-1(n≥ 2).∴数列 { b n} 是以首 ,公比的等比数列.∴b n=.(2) 明 :由 (1) 知 ,c n=a n·b n= ,c n+ 1= ,∴c n+ 1-c n= ≤0.∴c n+ 1≤c n.22222*20.(本小10分)用数学法明 1 + 3 + 5 + ⋯ +(2n- 1) =n (4n -1)(n∈N ).明 :(1)当 n= 1 ,左 = 12,右 =×1×(4 ×1-1)= 1,左 = 右 ,等式建立 .22222(2)假当 n=k ,等式建立 ,即 1 + 3 + 5 +⋯ + (2k-1) =k (4k -1),当 n=k+ 1 ,12+ 32+ 52+ ⋯+ (2k-1)2+ (2k+1)2=k (4k2-1)+ (2k+ 1)22=k (2k+1)(2 k-1)+ (2k+ 1)2=(2k+ 1)(2 k + 5k+ 3)=(2k+ 1)(k+1)(2 k+3)=(k+ 1)(4k2+ 8k+3)=(k+ 1)[4( k+ 1)2-1],即当 n=k+ 1 ,等式成立 .由 (1)(2) 可知 ,全部 n∈N*等式建立 .。

高中数学(人教A版)选修2-2第二章推理与证明测试题(含详解)

第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2ab C.12 D ．a答案 A2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能解析大前提是：指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．答案 A3．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定解析 a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，∵c ＋1＋c >c ＋c －1，∴a <b .答案 B4．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 解析由类比出的结果应正确知选C. 答案 C5．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18B.14C.12D ．1解析 ∵y ＝ax 2＋1，∴y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝x 0，y 0＝ax 2＋1，⇒a ＝14.答案 B6．已知f (x )＝sin(x ＋1)π3－3cos(x ＋1)π3，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．－ 3D ．0解析 f (x )＝2[12sin(x ＋1)π3－32cos(x ＋1)π3]＝2sin π3x ，∴周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝2(32＋32＋0－32－32＋0)＝0，∴f (2011)＝f (6×335＋1)＝f (1)＝2sin π3＝ 3.答案 B7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数为( )A ．2k －1B ．2k ＋1C ．2k －1D ．2k解析当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k＋1－1，所以增加的项数为(2k＋1－1)－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.答案 D8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}( )A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n＋a n＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．答案 C9．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为：a n＝an＋2，b n＝bn ＋1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析假设存在相同的项是第n项，即an＋2＝bn＋1，∴(a－b)n＝－1(a>b，n∈N*)，矛盾．答案 A10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )A．平行四边形的对角线相等B．正方形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上都不是解析大前提②，小前提③，结论①.答案 B11．观察下表：1 2 3 4……第一行2345……第二行3456……第三行4567……第四行⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( ) A．2n－1 B．2n＋1C．n2－1 D．n2解析观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.答案 A12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q ∈R，若(1,2)⊗(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于( ) A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－4)解析由(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.所以(1,2)⊕(p ，q )＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析 ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b 2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.答案 m >n14．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．解析等式左边从n 项起共有(2n －1)项相加，右边为(2n －1)2，∴n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 15．若数列{a n }是等差数列，则有数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }为等比数列，且c n >0(n ∈N *)，则d n ＝________时，{d n }也是等比数列．答案nc 1c 2…c n16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________”．答案如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知0<a <1，求证：1a ＋41－a ≥9.证法1 (分析法) 要证1a ＋41－a ≥9，∵0<a <1，∴1－a >0，∴只需证1－a ＋4a ≥9a (1－a )，即证1＋3a ≥9a (1－a )，即证9a 2－6a ＋1≥0，即证(3a －1)2≥0，上式显然成立． ∴原命题成立．证法2 (综合法) ∵(3a －1)2≥0，即9a 2－6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )． ∵0<a <1，∴1＋3a a (1－a )≥9，即1－a ＋4aa (1－a )≥9，即1a ＋41－a ≥9. 证法3 (反证法) 假设1a ＋41－a <9，即1a ＋41－a －9<0，即1－a ＋4a －9a (1－a )a (1－a )<0，即9a 2－6a ＋1a (1－a )<0，即(3a －1)2a (1－a )<0，而0<a <1，∴a (1－a )>0，∴(3a －1)2<0，与(3a －1)2≥0相矛盾， ∴原命题成立．18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实数．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，解得－2<m <－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14<m 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解 (1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．19．(12分)已知数列{a n }和{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .求证：数列{c n }不是等比数列．证明假设{c n }是等比数列，则c 1，c 2，c 3成等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p 和q ，且p ≠q ，则a 2＝a 1p ，a 3＝a 1p 2，b 2＝b 1q ，b 3＝b 1q 2.∵c 1，c 2，c 3成等比数列， ∴c 22＝c 1·c 3，即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.∴p＝q与已知p≠q矛盾．∴数列{c n}不是等比数列．20．(12分)证明：若a>0，则a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明∵a>0，要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，只需证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋4＋22(a＋1a)，即证a2＋1a2≥22(a＋1a)，即证a2＋1a2≥12(a2＋1a2＋2)，即证a2＋1a2≥2，即证(a－1a)2≥0，该不等式显然成立．∴a2＋1a2－2≥a＋1a－2.21．(12分)如右图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC ＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，∴PQ∥EB，又DC∥EB.∴PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，∵Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，∴CQ ⊥AB .∵DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，∴EB ⊥平面ABC .∴CQ ⊥EB ，故CQ ⊥平面ABE .由(1)知，PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ， ∴四边形CQPD 为平行四边形．∴DP ⊥平面ABE .故∠DAP 为AD 与平面ABE 所成角．在Rt △DAP 中，AD ＝5，DP ＝1，∴sin ∠DAP ＝55. 因此AD 与平面ABE 所成角的正弦值为55. 22．(12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2(x ≠－1a，a >0)，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13<0)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝(1－f (1))(1－f (2))＝34×(1－19)＝23，x 3＝23(1－f (3))＝23×(1－116)＝58，x 4＝58×(1－125)＝35.(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋2. 证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·[1－1(k ＋1＋1)2]＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。

人教A版选修2-2第二章推理与证明本章练测.docx

第二章推理与证明本章练测建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本题共8小题，每小题7分，共56分） 1.已知p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的（）Ａ. 充分不必要条件Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充要条件Ｄ. 既不充分也不必要条件 2．设a 、b 、c 都是正数，则1a b +,1b c +,1c a+三个数（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于23．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos a bA B=，则△ABC 一定是（）Ａ. 等腰三角形Ｂ. 直角三角形Ｃ.等边三角形Ｄ. 等腰直角三角形4．给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（）A ．251×22 007 B.2 007×22 006 C.251×22 008 D.2 007×22 005 5.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则 a 2 009+a 2 010+a 2 011等于( )A.1 003B.1 005C.1 006D.2 0116.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（）A.29B.30C.31D.32 7.下面使用类比推理正确的是A ．“若33,a b ⋅=⋅则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”D ．“()nnnab a b =”类推出“()nnna b a b +=+ 8.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（）Ａ.2log y x = B.y x =C.2y x =D.3y x =二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。

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高中数学选修2-2第二章《推理与证明》测试题A卷
考试时间：100分钟，满分：150分
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）
1.如图(1)是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
(1)
2．下面几种推理是合情推理的是 ( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③ C．①②④ D．②④
3.已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.
证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B.
∴a＜b，其中，画线部分是演绎推理的( )
A．大前提B．小前提
C．结论D．三段论
4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
5.观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
6.用数学归纳法证明不等式1＋1
2
＋
1
4
＋…＋
1
1
2n
>
127
64
(n∈N*)成立，其初始值最小。