数分知识总结及例题

数分近一周知识点总结 本周学习了第二章数列极限。由于在数学分析中，变量的取值范围是限制在实数集合内，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。 首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是R连续性的表述之一——非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。 接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化——无穷大量、无穷小量、极限等概念的引入，让我们知道数列是发散或收敛的。数列极限有唯一性，且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单调有界数列必收敛）提供了思路和工具。 数学是良好的工具。应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况，π、e、Euler常数的起源，感受了极限的魅力。接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题——实数集是否可列。Bolzano-Weierstrass定理是将收敛准则条件改动而得到的“稍弱的结论”，更重要的是它为我们最终证明Cauchy收敛原理提供了强有力的支持。而Cauchy原理也说明了实数系的另一个性质——完备性。

回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5个实数基本定理也是相互等价的。 下面我们以5定理互证为例题 补充：聚点 有界数列的一个收敛子列的极限称为该数列的聚点，又称称极限点，因此Bolzano-Weierstrass定理又称聚点定理。下面我们用聚点定理代替B-W,是等效的 例题：实数系完备性基本定理的循环证明

摘 要:循环论证了实数系的5个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美. (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．

(闭区间套定理） 设{[,]}nnab为一闭区间套： 1.11[,][,],1,2,,nnnnababn 2.lim()0nnnba 则存在唯一一点[,],1,2,.nnabn (聚点定理)又称Bolzano-WEierstrass定理 直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有S中无限多个点（本身可

以属于S，也可以不属于S）．或表述为：有界数列有至少一个收敛子列。 (柯西收敛准则) 数列{}na收敛的充要条件是：0,NN，nN、m , 恒有|-|柯西列，或基本列．） (确界存在原理) 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 . 单调有界定理对其它定理的证明 一．用单调有界定理证明闭区间套定理

证 由区间套定义,{na}为递增有界数列，依单调有界定理,{na} 有极限,

且有nan=1,2, (1) 同理,递减有界数列{nb}也有极限,并按区间套的条件有 limlimnnxxba= (2) 且 nb，n=1,2, (3)

联合(1) (3)即得nanb式. 最后证明满足的nanb的是唯一的,设数也满足 nanb ，n=1,2, 则由nanb式有 |- |  nb-na ，n=1,2, 由区间套的条件得 |- |lim()0nnxba，

故有=  二．用单调有界定理证明确界原理 证 我们不妨证明非空有上界的数集S必有上确界. 1.欲求一实数使它是非空数集S的上确界.利用非空有上界的数集S,构造一数列使其极限为我们所要求的实数.

选取性质p:不小于数集S中的任一数的有理数.

将具有性质p的所有有理数排成一个数列{n} ,并令 {nx}=max{1,2,,n}, 则得单调递增有上界的数列{nx}; 2.由单调有界定理得,limnxx,且对任意的自然数n 有nnx;

3.是数集S的上确界.用反证法.若有数0xS 使0x,取02x,由3.一定存在一个有理数N ,使n<+,从而N<0x,这与N是数集S的上界矛盾.所以对一切xS,都有x,即是数集S 的上界. 任给>0,若xS,都有x-,则存在有理数,使-<<,即x-< <  .这与3.矛盾,所以存在xS ,使x>-.即是数集S的最小上界. 于是,我们证明了所需结论. 三.用单调有界定理证明柯西收敛准则

证 ""

若{}na收敛，设limnnaa

则有对0，0N，当nN时有︱naa︱/2 任取mn，则有︱maa︱/2 从而︱nmaa︱︱maa︱︱naa︱ 即{}na是Cauchy列 ""设{}na是Cauchy列

(i) 则对0，10N，当11nN时有︱11nNaa︱ 从而111NnNaaa 取21Nn，22Nn，︱22Nnaa︱ 从而222NnNaaa … … 取1kkNn，kkNn，︱kkNnaa︱

从而kkkNnNaaa 即得对k有1kknnaa，由的任意性有1kknnaa (ii)由Cauchy列的定义，任取0，则N，当,mnN时有 ︱nmaa︱ 取1mN则1111NnNaaa 所以{}na为有界序列 由{}kna{}na有{}kna为有界序列 由有界单调收敛定理有{}kna收敛，设0limknkaa (iii)下证0limnnaa 因为对0，K，当kK时有︱0knaa︱/2 由{}na是Cauchy列有 当knn时有︱knnaa︱/2 所以︱0naa︱︱knnaa︱+︱0knaa︱ 所以{}na收敛，且0limnnaa 证毕 四.单调有界定理证明聚点定理 证 设S是以有界无限点集 ,则在S中选取一个由可数多个互不相同的点组成

的数列 {na},显然数列{na}是有界的.

下面我们从{na}中抽取一个单调子列, 从而由单调有界定理该子列收敛, 最后我们证明该子列的极限值 ,就是有界无限点集S的聚点 .分两种情况来讨论.

1)如果在{na}的任意一项之后 ,总存在最大的项( 因S是有界的且{na}S,这是可能的). 设 1a 后的最大项是1na; 1na 后的最大项是2na且显然2na1na; 一般地, kna后的最大项记为1kna kna,(k=1,2,…). 这样,就得到了{na}的 一个单调递减的子数列{kna},因为{na}有界,根单调有界定理知,{kna}收敛. 2)如果1)不成立. 即从某一项后, 任何一项都不是最大的 (为证明书写简单起见 ,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项). 于是, 取1na=1a,

因1na不是最大项, 所以必存在另一项2na>1na(2n>1n).又因为2na也不是最大项, 所以又有3na>2na( 3n>2n),…… 这样一直下去,就得到{na}的一个单调递增的子列 {kna}且有上界 单调有界定理知, {kna}收敛。 总之不论{na}属于情形 1）还是情形 2）都可作出{na}的一个单调收敛的子列. 设limknka=a,今证a是S的聚点 .对>0,存在自然数K,使得时

k>K时，

a- < kna< a+,

若这时{kna}单调递减 , 1kna< a+( k>K) 且1kna a,1kna S即a的领域内含有S中异于a的点,故a是 的S聚点.

单调递增时,类似可证 区间套定理对其它定理的证明 一.用区间套定理证明数列的柯西收敛准则

证 [必要性] 设limnxa= A.由数列极限定义,对任给的>0,存在N>0,当

m,n>N时有

|ma-A|< 2 , |na-A|<2 ,

因而 | ma-na| |ma-A|+ |na-A|< 2+ 2=. [充分性] 按假设,对任给的>0,存在N>0,使得对一切nN有 |na-Na| ,即在区间[Na-,Na+] 内含有{na}中几乎所有的项(这

里及以下,为叙述简单起见,我们用“ {na} 中几乎所有的项”表示“ {na} 中除有限项外的所有项”)

据此,令= 12,则存在1N,在区间[1Na-12, 1Na+ 12]内含有{na}中几乎所有的项.记这个区间为[1,1].

再令=212,则存在2N(>1N) ,在区间[2Na-212,2Na+212]内含有{na}中几乎所有的项.记 [2,2]=[2Na-212,2Na+212][1,1],

它也含有{na} 中几乎所有的项,且满足 继续依次令=312, , 12n, ,照以上方法得一闭区间列{[n,n]},

其中每个区间都含有{na} 中几乎所有的项,且满足 [n,n][1n,1n],n=1,2, , n-n112n0 (n), 即{[n,n]}是区间套,由区间套定理,存在唯一的一个数[n,n]( n=1,2,). .

现在证明就是数列{na}的极限.事实上,对任给的>0 ,存在N>0 ,使得当n>N 时有 [n,n]U(;).

因此在U(;)内含有{na} 中除有限项外的所有项,这就证得limnxa= . 二．用区间套定理证明聚点定理