2112垂直于弦的直径(1)
弦和直径的垂直关系
弦和直径的垂直关系弦和直径是圆形的基本构成要素之一，它们经常出现在数学和物理学的各种问题中。
对于一个给定的圆形，弦和直径的关系也有很多有趣的性质和特点。
其中，弦和直径的垂直关系是最为基础和常见的一种。
弦和直径在几何上的定义很简单：直径是一个圆上任意两点的连线的长度的两倍；而弦则是连接任意两点的线段。
而弦和直径之间的垂直关系，可以通过以下几步来进行阐述：第一步，概念介绍。
在圆形中，如果从圆心发出一条直线分别与弦和直径相交，那么这条直线与直径的相交点一定是直角。
这就是弦和直径的垂直关系。
这个性质是几何学中最基础的定理之一，也是数学和物理学中很多问题的基础。
第二步，证明方法。
对于这个基本的几何定理，有很多不同的证明方法。
其中一种简单的方法是使用勾股定理。
假设圆心为O，直径为AB，弦为CD，E为弦和直径的交点。
则有：OE² + CE² = OC² （勾股定理）OE² + BE² = OB² （勾股定理）又因为AB是直径，所以OC = OB = AB/2。
将这两个式子代入上面的两个式子中，可以得到：OE² + CE² = OE² + BE²CE² = BE²因此，CE = BE，即CE与BE是等长线段。
根据等边三角形的定理，CEB是一个等边三角形，因此角CEB也是60度。
又因为弦CD就是在这个等边三角形上的高，所以角CDE也是60度。
因此，角CDE和角OEB是补角，而补角之和为90度，因此它们两个是互相垂直的。
第三步，应用示例。
弦和直径的垂直关系在数学和物理学中都有很多应用。
例如，在一些圆形运动学中，圆的半径和角速度可以通过测量弦的长度和绕圆运动的时间来计算。
而在实际测量中，往往会用到角度计来测量角度，这也是利用垂直关系进行计算的基础。
另外，弦和直径的垂直关系也可以应用于计算弹性碰撞的物理问题，以及求解地球和月球之间的引力等问题中。
垂直于弦的直径--课件
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD E
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
·O
D
B
2、已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
x2=52+(x-1)2
解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=3*13=26
答：直径CD的长为26. 在来！你还能行吗？
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
O AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
Байду номын сангаас
解：
(1)
OB 650 (mm)
(2)
2
O
EB 600 (mm) 2
B
E
A
E A
B OE OB2 EB2
O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是___2cm 或14cm.
⌒⌒
⌒⌒
D
241.2垂直于弦的直径精品PPT课件
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴ CD=2OA=26 即直径CD的长为26.
例2
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，你能求赵州桥 主桥拱的半径吗？
37m
7.23m
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题 的能力. 3.通过圆的对称性，培养学生的数学审美观，并 激发学生对数学的热爱．
• 学习重点：理解圆的轴对称性，掌握垂径 定理及其推论，学会运用垂径定理等结论 解决一些有关证明、计算和作图问题。
解：连接OA，∵ OE⊥AB A E B
∴ AE = OA 2＋OE 2
O·
= 102＋62 = 8cm
∴ AB=2AE=16cm
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB于E，连接
OA ∴ AE
=
1 AB 2
= 4cm
OE = 3cm
AEB
∴ AE = AE 2＋OE 2
O·
= 42＋32 = 5cm
即⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
∴ AE=1/2 AB=5 B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
24.1.2-3圆的垂直定理及弦、弧、圆心角
B
(4)
(5)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD） _____________________________________________________ ， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O 到AB的距离是___________cm ，AB=_________cm. 2 4 A C E 。 O B 第1题图 D 。 O H
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ， ______________ ． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
解： E D C A
⌒
⌒ =⌒ = BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能 发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
垂径定理及推论
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 并且平分弦所对的另一条弧. 并且平分弦所对的另一条弧 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧 ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 并且垂直平分弦.
垂 径 定 理
垂径定理
• 定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦 定理: 垂直于弦的直径平分弦 于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧. 所对的两条弧
C
A
M└ └
●
B O
题设
D
结论
可推得
由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理的逆定理
条件 结论 命 题
C
A
M└ └
●
B O
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 并且平分弦所的两条弧. ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 D 平分弦(不是直径 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 不是直径)的直径垂直于弦 ①③ ②④⑤ 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦 垂直平分弦,并且平分弦所对的 另一条弧. ①⑤ ②③④ 另一条弧 ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 并且平分这条弦所对的两条弧. ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
垂径定理
O ED CBAOC BNMA NM AOr dd CBAO 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外 BC BD =AC AD =d=r直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 d<r 有两个交点 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点 d>R+r 外切（图2） 有一个交点 d=R+r 相交（图3） 有两个交点 R-r<d<R+r 内切（图4） 有一个交点 d=R-r 内含（图5） 无交点 d<R-r六、圆的有关线的长和面积。
24.1.2 垂径定理 人教版九年级上册数学课件
r2
d2
a 2
2
O
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为 5cm .
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= 1_0__3 cm .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 _1_4_c_m或2cm .
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关 系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE，
A CED B
即 AC＝BD.
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理及其推论
★垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
★推导格式
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，A⌒C
=B⌒C，A⌒D
⌒ =BD.
·O
AE B D
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转 化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？
同时，我们可以得到一条重要定理----垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直 于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 3cm≤OP ≤5cm.