垂直于弦的直径
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用
24.1.2(1.1)垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用一．【知识要点】1.作弦心距构造黄金三角形解题,基本模型：二．【经典例题】1.如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,AB=10,CD=8,那么AE的长为( )A.2B.3C.4D.53. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．若⊙O的半径为1，CD则∠ABC的度数是________．6.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.(1)当AB=10,CD=6时,求OE的长;(2)∠OCD的平分线交☉O于点P,连接OP.求证:OP∥CD.三．【题库】【A 】1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC ＝6，则水面宽AB ＝ （ ）A.8.B.10.C.12.D.16.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30º，⊙O的半径为3cm ， 求弦CD 的长. 3如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).A.4B.3C.2D.1AB CO【B 】1.如图,☉O 的直径AB=12,CD 是☉O 的弦,CD ⊥AB,垂足为P,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( ) A.42 B.82 C.25 D.452.如图,AB 是☉O 的弦,AB 长为8,P 是☉O 上一个动点(不与A,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C,OD ⊥PB 于点D,则CD 的长为_______________.3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，AE ＝4，则AD 的长为（ ）．A ．33B ．4C ．5D ．52【C 】1.如图,MN 为☉O 的直径,A,B 是☉O 上的两点,过A 作AC ⊥MN 于点C,过B 作BD ⊥MN 于点D,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB 的最小值是______________.【D】。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径简介在数学几何中，弦是圆上的线段，而直径是连接圆的两个点的线段，且经过圆心。
垂直于弦的直径指的是与弦互相垂直的直径。
本文将介绍垂直于弦的直径的性质和相关定理。
垂直于弦的直径的性质1.垂直性质：垂直于弦的直径与弦互相垂直。
也就是说，如果一条直径与一个弦相交，并且与这个弦的交点互相垂直，那么这条直径就是垂直于该弦的直径。
2.关于圆心的性质：垂直于弦的直径通过圆心。
由弦的性质可知，连接弦的两个端点和圆心的线段形成一个三角形，而垂直于弦的直径正好是这个三角形的高。
3.长度性质：垂直于弦的直径是所有以弦为直径的圆中最长的直径。
垂直于弦的直径的定理1.定理一：垂直于弦的直径平分弦如果一条直径垂直于计圆的一条弦，那么这条直径将会平分该弦。
即弦的两个端点到直径上的交点的距离相等。
2.定理二：以垂直于弦的直径为直径的圆相切于弦以垂直于弦的直径为直径的圆和原有的圆相切于弦的两个端点。
这意味着，以垂直于弦的直径为直径的圆与原有圆恰好有一个公共的切点。
3.定理三：垂直于弦的直径经过圆心垂直于弦的直径经过圆心，也就是说，垂直于弦的直径的两个端点和圆心三个点共线。
应用举例应用一：判定两条弦是否垂直对于给定的两条弦，如果它们的交点和圆心三点共线，那么这两条弦就垂直。
应用二：平分弦当我们需要将一条弦平分为两段时，可以通过构造垂直于弦的直径来实现。
只需在弦的中点上构造垂直于弦的直径，即可将弦平分为两段。
结论垂直于弦的直径在圆的几何性质中扮演着重要的角色。
它具有许多有趣的性质和定理，对于解决几何问题有着重要的作用。
通过理解垂直于弦的直径的性质，我们能够更深入地理解圆的几何特征，提升解题的能力。
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人教版九年级数学上《垂直于弦的直径》知识全解
《垂直于弦的直径》知识全解课标要求1．经历圆的轴对称性和垂径定理及其推论的探索过程，理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．会运用垂径定理及其推论解决一些证明、计算和作图问题．知识结构内容解析1．圆的对称性圆既是中心对称图形，又是轴对称图形．在⊙O中，将圆周绕圆心O旋转任意一个角度，都能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心O；圆可以绕圆心作任意角度的旋转变换，经过圆心O的任意一条直线，并沿次直线⊙O对折，直线两旁的部分能完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．2．垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是直径的基本图形：这个定理的条件有两项：（1）CD是⊙O的直径，AB是弦；（2）CD⊥AB，垂足为E．定理的结论有三项：（1）AE=BE；（2）AD=BD；（3）AC=BC．理解垂径定理要注意以下四点：（1）这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其实质是“过圆心”；（2）垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立；（3）垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了思考的方法和理论依据；（4）垂径定理也可以这样理解：一条直线，如果它具有两个性质：①经过圆心；②垂直于弦，那么这条直线就具有另外三个性质：①平分弦；②平分弦所对的劣弧；③平分弦所对的优弧．3．垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如图是垂径定理推论的基本图形：其条件有两项：（1）AB过圆心O；（2）AB平分非直径的弦CD与点M，其结论有三项：（1）AB⊥CD于点M，（2）AC=AD；（3）BC=BD．方法规律：垂径定理的内容可以概括为五二三或知二推三，一条直线如果具有：（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，则必然具备其余三条，简称“知二推三”．特别提醒：以上“知二推三”中（3）“平分弦”为条件时，弦一定不能是直径，若是直径，则结论不一定成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直；“平分弦”为结论时，弦包括直径，因为垂径定理中的弦就包括直径．重点难点本节的重点是：垂径定理及其应用．教学重点的解决方法：从日常生活现象入手，循序渐进，引导学生归纳出垂径定理的有关内容，借助对垂径定理的探究来归纳出垂径定理的基本图形，学生利用由易到难的练习来加深垂径定理的理解．本节的难点是：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教学难点的解决方法：从生活中的垂径定理问题入手，让学生体会生活中的垂径定理的应用，并通过垂径定理的探究，逐步掌握垂径定理及其应用，最后通过课堂练习得到巩固．教法导引本节课采用的教学方法是“主体探究式”．整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证．令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理．学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人．学法建议圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题．另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识．由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章．。
垂直于弦的直径-教案
教案：垂直于弦的直径第一章：引言教学目标：1. 了解垂直于弦的直径的概念。
2. 掌握垂直于弦的直径的性质。
教学内容：1. 引入垂直于弦的直径的定义。
2. 解释垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 引入垂直于弦的直径的概念，让学生初步了解。
2. 通过示例，解释垂直于弦的直径的性质，让学生理解并能够应用。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的概念和性质的理解。
2. 让学生举例说明如何应用垂直于弦的直径的性质。
第二章：垂直于弦的直径的性质教学目标：1. 掌握垂直于弦的直径的性质。
2. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
教学内容：1. 回顾垂直于弦的直径的定义。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质。
教学步骤：1. 复习垂直于弦的直径的定义，让学生巩固记忆。
2. 讲解垂直于弦的直径的性质，并通过示例进行解释。
3. 让学生进行练习，巩固对垂直于弦的直径的性质的理解。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的性质的理解。
2. 让学生解决一些应用题，检验其对垂直于弦的直径的性质的掌握程度。
第三章：垂直于弦的直径的证明教学目标：1. 能够理解和证明垂直于弦的直径的性质。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法。
2. 引导学生进行证明练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的证明方法，让学生理解证明的过程。
2. 引导学生进行证明练习，让学生巩固证明方法。
教学评估：1. 提问学生关于垂直于弦的直径的证明方法的理解。
2. 让学生解决一些证明题，检验其对垂直于弦的直径的证明方法的掌握程度。
第四章：垂直于弦的直径的应用教学目标：1. 能够应用垂直于弦的直径的性质解决几何问题。
2. 能够运用证明来解决几何问题。
教学内容：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法。
2. 引导学生进行应用练习。
教学步骤：1. 讲解垂直于弦的直径的应用方法，让学生理解如何应用性质解决几何问题。
2. 引导学生进行应用练习，让学生巩固应用方法。
垂直于弦的直径
④⑤
①②③
注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平 分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径，CD⊥AB
O · A
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理推论
平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
知识点三：
垂径定理的推论
定理：如图,在下列五个条件中:
① CD是直径(一条直线过圆心) ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
C
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
A
M└
●
B
O
D
垂径定理的推论
条件
①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
结论
②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④
命题
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧． 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧． 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧． 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 分弦和所对的另一条弧． 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦 ，并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
垂直于弦的直径课件
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
垂直于弦的直径
C
E
B D
CD⊥AB AE=BE
变式一： 求弧AB的四等分点．
m F A E C G B n
D
弧AB的四等分点的典型错误．
错在哪里？
Ｅ
C
Ｍ
G
Ｐ
1．作AB的垂直平分线CD 2．作AT、BT的垂直平分 线EF、GH
Ｎ
强调：等分弧时一定 要作弧所对的弦的垂 直平分线．
O
E
A
D
B
求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理 来解决问题.
练习1:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
A D
F E O C B
练习2. 已知AB，如图，用直尺和圆规求作 这条弧的中点
⌒
作法：⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分 线 CD，交弧AB于 点E. 点E就是所求弧AB的中点．
A
Ｔ
B
F
D
Ｈ
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？ 方法：只要在圆 弧上任意取两条 a 弦，画这两条弦 的垂直平分线， A 交点即为圆弧的 圆心． C
b
B O
变式三.你能找到原来车轮的圆心吗?
提高练习: 1． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD， AB=12，CD=16，则AB和CD的距离 为 2或14 ． 2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于 点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的 A 长．
B
定理演绎:
C O A E
推论二.
CD⊥AB AE=BE
CD是直径 (或CD过圆心)
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垂直于弦的直径
------垂径定理
【教学内容】垂径定理
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】
一复习提问
1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？
2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径．
4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
二、实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。
因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400
多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，
也叫弓高）为7.2米。
请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
（图1幻灯片放映）
三、尝试诱导，发现定理
（一）学生活动
1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。
如图，ab是⊙o的一条弦，做直径cd，使cd⊥ab，垂足为e．2教师用电脑演示重叠的过程。
提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
⌒
⌒
⌒
⌒
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是cd．
（2）ae=be，ad=bd ac=bc
（二）引导探究，证明定理
1．引导证明：
引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“ae=be”，可通过连结oa、ob来实现，利用等腰三角形性质证明。
共2页，当前第1页12
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
3．巩固定理：
a
d
在下列图形能否利用“垂径定理”得到相等的线段和相等的弧？若不能，说明理由；。
a
b
c
c
e
a
b
o
e
b
c
o
c
c
e
e
a
b
e
b
a
b
a
d
d
d
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
四、例题示范，变式练习
1．运用定理解决赵州桥的问题。
〖例1〗导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，⌒
⌒
也叫弓高）为7.2米。
请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？
o
d
a
c
r
⌒
分析：如图，用ab 表示主桥拱，设ab 所在圆的圆心为o，半径为r．经过圆心o 作弦ab 的垂线oc，d为垂足，oc与ab 相交于点d，根据前面的结论，d 是ab 的中点，c是ab 的中点，cd 就是拱高在图中ab=37.4，cd=7.2
b
ad=1/2ab=1/2×37.4=18.7
od=oc-cd=r-7.2
在rt△oad中，由勾股定理，得
oa2=ad2+od2
即r2=18.72+（r－7.2）2
解得：r≈27．9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
e
b
a
例2 如图，在⊙o中，弦ab的长为8cm，圆心o到ab的距离为3cm，求⊙o的半径．
解
答：⊙o的半径为5cm.
五小结
请大家围绕以下两个问题小结本节课
①学习了一个与圆有关的重要定理，定理的内容是什么？
②在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？
归纳：
1.垂径定理相当于说一条直线如果具备
（1）过圆心；
（2）垂直于弦
则它有以下性质
（1）平分弦；
（2）平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧.
2.在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
六作业
1教材88页练习1，2题
2教材95页习题24.1 7、8、9；。