垂直弦的直径(垂径定理)
九年级数学垂直于弦的直径
在机械制造中应用
机械制造中的轴心定位
在机械制造中，垂直于弦的直径原理可用于轴心的定位。通过确保轴心与某个参考平面垂直，可以确保机械部件 的精确运动和定位。
机械制造中的切削工具设计
在切削工具的设计中，垂直于弦的直径可用于确定切削刃的角度和形状。这有助于确保切削工具在加工过程中能 够准确地去除材料，并获得所需的表面质量和精度。
九年级数学垂直于弦的直径
目
CONTENCT
录
• 垂直于弦的直径基本概念与性质 • 垂直于弦直径在圆中位置关系 • 垂直于弦直径判定方法 • 垂直于弦直径在几何证明中应用 • 垂直于弦直径在解决实际问题中应
用 • 总结回顾与拓展延伸
01
垂直于弦的直径基本概念与性质
定义及性质介绍
01
定义：垂直于弦的直径是指一 个圆的直径，它垂直于给定弦
80%
问题三
探讨垂径定理在解决实际问题中 的应用，如建筑设计、工程测量 等领域中如何利用垂径定理进行 计算和测量。
THANK YOU
感谢聆听
03
D、∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴DE=CE，故本选项正确；
04
故选C．
03
垂直于弦直径判定方法
利用垂径定理判定
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且平分该弦所对的两条弧。
判定方法
若一条直径垂直于弦，则该直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。因此， 我们可以通过观察图形或计算来验证这一条件，从而判断一条直径是否垂直于 弦。
解析
连接AC、FC，由于AB是⊙O的直径且AB⊥CD， 根据垂径定理可知弧AC=弧AD。因此， ∠AFC=∠ACF。又因为∠GFC是弧AC所对的圆周角， ∠ACF是弧AD所对的圆周角，所以∠GFC=∠ACF。 因此，∠AFD=∠GFC。
垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用
24.1.2(1.1)垂直于弦的直径--垂径定理1-条件具备直接用一．【知识要点】1.作弦心距构造黄金三角形解题,基本模型：二．【经典例题】1.如图，在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径长．2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点E,AB=10,CD=8,那么AE的长为( )A.2B.3C.4D.53. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．若⊙O的半径为1，CD则∠ABC的度数是________．6.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.(1)当AB=10,CD=6时,求OE的长;(2)∠OCD的平分线交☉O于点P,连接OP.求证:OP∥CD.三．【题库】【A 】1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB ＝10， 截面圆圆心O 到水面的距离OC ＝6，则水面宽AB ＝ （ ）A.8.B.10.C.12.D.16.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30º，⊙O的半径为3cm ， 求弦CD 的长. 3如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则BE 的长是( ).A.4B.3C.2D.1AB CO【B 】1.如图,☉O 的直径AB=12,CD 是☉O 的弦,CD ⊥AB,垂足为P,且BP ∶AP=1∶5,则CD 的长为( ) A.42 B.82 C.25 D.452.如图,AB 是☉O 的弦,AB 长为8,P 是☉O 上一个动点(不与A,B 重合),过点O 作OC ⊥AP 于点C,OD ⊥PB 于点D,则CD 的长为_______________.3.如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AE 的垂直平分线交⊙O 于点C ，CD ⊥AB 于D ，BD ＝1，AE ＝4，则AD 的长为（ ）．A ．33B ．4C ．5D ．52【C 】1.如图,MN 为☉O 的直径,A,B 是☉O 上的两点,过A 作AC ⊥MN 于点C,过B 作BD ⊥MN 于点D,P 为DC 上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB 的最小值是______________.【D】。
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径------垂径定理【教学内容】垂径定理【教学目标】1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。
【教学设计】一复习提问1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径．4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．二、实例导入，激疑引趣1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。
因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦ab的距离，也叫弓高）为7.2米。
请问：桥拱的半径（即弧ab所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
（图1幻灯片放映）三、尝试诱导，发现定理（一）学生活动1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
垂直于弦的直径
第13课 垂径定理一、阅读教材P81-82 动手操作：（如图1）第一步，在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，作⊙O 的一条弦AB ； 第二步，作直径CD,使CD ⊥AB ，垂足为E ； 第三步，将⊙O 沿着直径折叠.你发现了哪些相等的线段和劣弧？如何证明？归纳：（1）圆是___ 对称图形，任何一条 都是圆的对称轴 . （2）圆是___ 对称图形，对称中心是 （3）相等的线段有 ，相等的劣弧有 。
二. 垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 的两条弧. 几何语言：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），且CD ⊥AB____________,____________,_____________∴推论：____________________________________________________________． 几何语言：如图2 CD 是直径（或CD 经过圆心），CD 与弦AB 相交于点E 且CE=EB____________,____________,_____________∴ 说明：1、应用垂径定理时应注意：① 这里的直径还可以是半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心” ② 平分弦所对的弧有两种情况，即平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧 ③ 定理中的弦为直径时，结论仍成立2、应用推论时应注意：弦一定是非直径的弦，否则命题不一定成立，当弦为直径时，不一定有垂直关系3、垂径定理可以推广为：一条直线若具备 ①经过圆心 ②垂直于弦 ③平分这条弦 ④平分这条弦所对的劣弧 ⑤平分这条弦所对的优弧， 中的任意两条性质，就具有其余三条性质例如由②③作为已知条件可得到：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧，我们可以用这个来确定圆心及找弧的中点4、运用垂径定理解题时的模型如下：如图设⊙O 的半径是r ，圆心到弦的距离是d ，弦长是a ，则三者的关系式是222)2(a d r += 常用的辅助线：连半径，过圆心向弦作垂线段，构造直角三角形 5、运用垂径定理解题时的常用数学思想：方程思想 三：垂径定理的应用例1.如图1，⊙O 的直径为10，OM ⊥AB,垂足为M ，且OM=3，求弦AB 的长 解：∵⊙O 的直径为10 ∴AO=5 ∵OM ⊥AB, ∴∠AMO=90°∴在Rt △AOM 中，由勾股定理得222OM AO AM -==25-9=16 ∴AM=4 ∵OM 过圆心，且OM ⊥AB,∴AM= （垂直于弦的直径 ）∴AB=2AM=8例2.如图，CD 是⊙O 的直径, AB ⊥CD 于E ，，若AB=10,CE=1,求⊙O 的半径 解：（图1）（图2）练习：1．做基础小练习59-60 2.判断下列说法的正误（1）垂直于弦的直径平分这条弦 （2）平分弦的直线必垂直弦 （3）平分弦的直径垂直于这条弦 （4）弦的垂直平分线必过圆心3.圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB= cm ．4．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径为 cm ． 5. 如图1，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为5，则OP=______． 6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=20，CD=16, 那么线段AE 的长为7、如图3在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是______． 图38.如图，已知弧AB ，请你利用尺规作图的方法作出弧AB 的中点以及弧所在圆的圆心。
垂径定理(2)
的同旁， （1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示 ） 、 在 的同旁 如右图所示: 作OE⊥AC,OF⊥AD ⊥ ⊥ C E A F ∵AB=16，AC=8，AD=8 3 ， ， ∴AE=CE=4,AF=FD=4 3 ,OA=8 1 O 在Rt△AOE中，AE= OA △ 中
，
的直径， 、 是 例3.AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两 是 的直径 的两 已知AB=16，AC=8，AD=8 3 ， 弦，已知 ， ， 求∠DAC的度数 的度数
A O
C
B
解： 设OA=R，在Rt△AOC中， ， △ 中 M AC=30，CD=18 ， R2=302+（R-18)2 （
D E C（m） （ ） O 解得 连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16 连接 ， ， △ 中 342=162+（34-x)2 （ 162+342-68x+x2=342 x2-68x+256=0 解得x ， 解得 1=4，x2=64（不合题意舍去） （不合题意舍去） 不需采取紧急措施． ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施．
如果一条直线来满足: 如果一条直线来满足 （1）过圆心 （2）垂直于弦 ） ） （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 ）平分弦（ ） （5）平分弦所对的劣弧 ） 上述五个条件中的任何两个条 件都可以推出其他三个结论
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。 r （3）一条直线平分弦（这条弦不是直 ）一条直线平分弦（ ），那么这 条直线垂直这条弦。 径），那么这 条直线垂直这条弦。 r A C O (1)B D A C •O (2)D B A C •O (3)D B
垂径定理(2)
A
1.5
OB
2
4.已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A （1,0），B（5,0），C（0,5）三点。
（1）求抛物线的函数关系式。
（2）若过点C的直
线y=kx+b与抛物线
y
相交于点E（4，m）， 请求出△BCE的面积 S的值。
C P1
P4
（3）在抛物线上找出
AB
x
所有使得△ABP为等
O
腰三角形的P点，一共 有几个P点。
P5P2PPP6E3
A
O
N
CD
M
B
2.在半径为1的⊙O中，弦AB,AC的长分别 为 3和 2 ，求∠BAC的度数。
A
C
O
C B
3.某条公路隧道的形状如 图，半圆拱的圆心离地 面2m，半径为1.5m，一 辆高3m，宽为2.3m的集 装箱卡车能顺利通过这 个隧道吗？如果要使高 度不超过4m，宽为2.3m 的大货车也能顺利通过 这个隧道，且不改变圆 心到地面的距离，半圆 拱的半径至少为多少米？
（3）圆中不与直径垂直的弦
（不是直径）必不被这条直径
平分.
（√ ）
（4）平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧（×）
（5）圆内两条非直径的弦不
能互相平分.
（√）
（6）平分弦的直径，平分这
条弦所对的弧。
（×）
（7）平分弦的直线，必定过
圆心。
（×）
（8）弦的垂直平分线一定是
圆的直径。
（ ×）
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE,
∴CD⊥AB
A
（等腰三角形三线合一） ∴A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C
垂径定理
可推得
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
, ④ AC=BC
, ⑤ AD=BD源自判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，
任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
（2）圆也是中心对称图形
Ｃ
2.垂径定理
垂直于弦的直径平 分弦，并且平分弦 所对的两条弧.
Ｏ Ａ Ｅ Ｂ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AE=BE,
可推得
Ｄ
④ , AC=BC ⑤
AD=BD
.
新知强化
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A 图1 O A E A E O D B
C B
E
O D D
图2
C 图4 B
图3
A E C
O
B
练一练
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解：OE AB
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
A
E
B
O
·
AO 2 OE 2 AE 2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
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垂直弦的直径（垂径定理）
一、复习与思考： 1．如下图，弦AB 对应的弧为为 ；此图是不是轴对称图形？如果是，求你画出它的一条对称轴.
二、新课学习
垂径定理：垂直于弦的直径________弦，并且平分弦所对的两条________． 几何语言：∵________________，
∴________________；________________ ；________________.
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________，
∴________________；________________；________________.
练习：
2．如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，则下列结论：①EA ＝EB ②EO ＝ED ③DA DB =④
CA CB =.一定成立的有
3．如图，在⊙O 中，半径OC ⊥AB 于点E ，AE ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．OE ＝2 B ．EC ＝2 C ．AB 垂直平分OC D ．OC 垂直平分AB
E
D
C
B
A
O
第2题 第3题 第4题 第5题 4．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，AB ＝8，OE ＝3，则⊙O 半径为 及ED 的长为 ．
5．如图，⊙O 半径为5，OC ＝3，OC ⊥AB ，求AC 的长为 及AB 的长为 ．
6．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥AB ，AB ＝6，ED ＝1，求⊙O 半径．
C B
A
O
7．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，拱高CD =9米，求圆的半径．
小结：“垂径三角形五线段，知二求三”
k l
2AB=l
h d r C D B
A
O
8．如图，AB 是⊙O 的弦，点C ，D 是直线AB 上的点，且OC ＝OD .求证AC ＝BD .
9．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），⊙P 的半径为
，则点P 的坐标为 ．
10．如图，AB 为⊙O 的直径，E 为OB 与CD 的中点.试猜想：△OBD 是什么特殊三角形？四边形OCBD 是什么特殊四边形？并证明你的猜想.
D
B
A
O。