2021学年高二数学选修2-3第02章 随机变量及其分布(B卷提高篇)同步双测人教A(学生版)
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-1离散型随机变量
一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变
量．
答案： B
2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完 则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为 ()
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标 解析： 射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验 结果“前4次均未击中目标”． 答案： C
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现 哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机 的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机 的，因此是随机变量．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1.1 离散型随机变量
课前预习
1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X. [问题1] X取什么数字？ [提示] X＝0,1,2…10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结 果．
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其 中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析： 依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的 值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}
4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ ＝4所表示的随机试验的结果．
[问题2] 这种试验的结果能用数字表示吗？ [提示] 可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向 上． [问题3] 10件产品中有3件次品，从中任取2件，所含次 品个数为x，试写出x的值． [提示] x＝0,1,2.
高二数学选修2-3第二章 随机变量及其分布
§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。
2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。
3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。
所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。
2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。
互斥事件的概率加法公式。
3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。
6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。
三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。
常用表示。
2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。
四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。
（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。
变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。
例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。
五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。
高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.2知识点总结含同步练习题及答案
4 3 1 ， ， ，且各轮问题能否正确回答互不影响． 5 4 3
5 ， 6
5 4 3 1 ，P (A 2 ) = ，P (A 3 ) = ，P (A 4 ) = ． 6 5 4 3 （1）设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则 P (A 1 ) = ¯ 3) P (B) = P (A 1 A 2 ¯¯ A
2
B．
96 625 96 4 2 ． ) = 625 5
4 ，那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 ( 5 192 256 C． D． 625 625
)
答案： B 解析：
概率为 C2 4 ( ) (1 −
2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概率是
1 2 0.095 0.0025
解析： 由题意，得
4. 将一枚均匀的硬币抛掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
答案： 解析：
．
5 6 依题意得，所求的概率等于 C4 6 ⋅ ( ) + C6 ⋅ ( ) + C6 ⋅ ( ) =
11 32
1 2
6
1 2
6
1 2
6
11 ． 32
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（2）设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 P1 ，则
¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯ ∩ ¯¯ ¯) P1 = P (¯¯ A A B B ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯ ) ⋅ P (¯¯ ¯) = P (¯¯ A A B B 1 2 = (1 − )2 (1 − )2 2 5 9 = . 100
事件的独立性与条件概率 独立重复试验与二项分布
数学教案 人教a版选修2_3 同步练习--第2章随机变量及其分布第2节跟踪训练含解析
条件概率[A 组 学业达标]1．已知A 与B 是两个事件，P(B)＝14，P(AB)＝18，则P(A|B)等于( )A.13 B.14 C.38D.12解析：由条件概率的计算公式，可得P(A|B)＝P ABP B ＝1814＝12.答案：D2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于( )A.49B.29 C.12D.13解析：由题意可知，n(B)＝C 1322＝12， n(AB)＝A 33＝6.∴P(A|B)＝n AB n B ＝612＝12.答案：C3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：根据条件概率公式P(B|A)＝P AB P A ，得所求概率为0.60.75＝0.8.答案：A4．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)等于( )A.112 B.14 C.29D.23解析：由题意事件A 包含的基本事件是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的基本事件是(1,3)，(3,1)共2个，所以P(B|A)＝29.答案：C5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A.18B.14C.25D.12解析：P(A)＝C 23C 22C 25＝25，P(AB)＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P(B|A)＝P ABP A ＝11025＝14.答案：B6．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和为X ，则X≤6的概率为________． 解析：设A ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B ＝“X≤6”， 则P(A)＝3036＝56，P(AB)＝13，∴P(B|A)＝P AB P A ＝25.答案：257．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活动25岁的概率是________．解析：设事件A 为“能活到20岁”，事件B 为“能活到25岁”， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B ⊆A ，故P(AB)＝P(B)， 于是P(B|A)＝P AB P A ＝P B P A ＝0.40.8＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5. 答案：0.58．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．解析：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球有x 个． 则P(A)＝1－C 210－x C 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)令“第2次取得白球”为事件B ，“第1次取得黑球”为事件C ，则P(BC)＝C 15·C 15C 110·C 19＝2590＝518， P(B)＝C 15·C 15＋C 15·C 14C 110·C 19＝25＋2090＝12. 故P(C|B)＝P BCP B ＝51812＝59.9．抛掷红、蓝两枚骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率； (2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．解析：抛掷红、蓝两枚骰子，事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件数为6×2＝12，所以P(A)＝1236＝13. 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4＞8,4＋6＝6＋4＝5＋5＞8,5＋6＝6＋5＞8,6＋6＞8. 所以事件B 的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10， 所以P(B)＝1036＝518.事件AB 的基本事件数为6. 故P(AB)＝636＝16.由条件概率公式得： (1)P(B|A)＝P ABP A ＝1613＝12.(2)P(A|B)＝P ABP B ＝16518＝35.[B 组 能力提升]10．将三颗骰子各掷一次，设事件A 表示“三个点数都不相同”，B 表示“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( )A.6091B.12C.518D.91216解析：因为P(A|B)＝P ABP B ，P(AB)＝C 13C 15C 1463＝6063＝60216，P(B)＝1－P(B )＝1－5363＝1－125216＝91216.所以P(A|B)＝P ABP B ＝6021691216＝6091.答案：A11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A.119B.1738C.419D.217解析：设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有一张假钞”，所以为P(A|B)．而P(AB)＝C 25C 220＝119，P(B)＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738.∴P(A|B)＝P AB P B ＝217. 答案：D12．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．解析：设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P(A)＝5100＝120，P(AB)＝C 15C 195A 2100＝19396. 所以P(B|A)＝P AB P A ＝9599.答案：959913．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为________．解析：设第一支取好晶体管为事件A ，第二支取好晶体管为事件B ，则P(A)＝610＝35，P(AB)＝P(A)·P(B)＝35×59＝13，则P(B|A)＝1335＝59.答案：5914．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解析：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为 n(Ω)＝A 26＝30，根据分步计数原理n(A)＝A 14A 15＝20， 于是P(A)＝n A n Ω＝2030＝23.(2)因为n(AB)＝A 24＝12，于是 P(AB)＝n AB n Ω＝1230＝25.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝P ABP A ＝2523＝35.法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝n AB n A ＝1220＝35.15．三行三列的方阵有9个数a ij (i ＝1,2,3，j ＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a 22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33解析：设事件A ＝{任取的三个数中有a 22}，事件B ＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，则B ＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C 28＝28，n(A B )＝2，故P(B |A)＝nA B n A＝228＝114，则P(B|A)＝1－P(B |A)＝1－114＝1314. 即已知取到a 22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为1314.事件的相互独立性[A组学业达标]1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)解析：恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决，甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.答案：B2．下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1 000小时”，B表示“一个灯泡能用2 000小时”解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．答案：A3．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.答案：A4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A 、事件B ，则P ＝P(A B )＋P(A B)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512. 答案：B5．甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为15，乙答对的概率为14，则两人中恰有一人答对的概率为( )A.720 B.1220 C.120D.220解析：第一种：甲答对，乙答错，此时概率为15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝320；第二种：甲答错，乙答对，此时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×14＝420.综上，两人中恰有一人答对的概率为320＋420＝720.答案：A6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P(A ∪B)＝________，P(A|B)＝________. 解析：因为A ，B 相互独立，所以P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.答案：0.65 0.37．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．解析：加工出来的零件的正品率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×(1－168)＝6770，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝370.答案：3708.如图所示，A ，B ，C 表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为________．解析：设P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7，则P(A )＝0.1，P(B )＝0.2，P(C )＝0.3，故该系统的可靠性为1－P(A )P(B )P(C )＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.答案：0.9949．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是13，12，23，求汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率．解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P(A)＝13，P(B)＝12，P(C)＝23.停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ，故概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.10．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}， B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}， 于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立．从而事件A 与B 是相互独立的．[B 组 能力提升]11.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且顺时针方向跳的概率是逆时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827解析：按A→B→C→A 的顺序的概率为13×13×13＝127，按A→C→B→A 的顺序的概率为23×23×23＝827，故跳三次之后停在A 叶上的概率为P ＝127＋827＝13.答案：A12.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )A.316B.34C.1316D.14解析：记“A，B ，C ，D 四个开关闭合”分别为事件A ，B ，C ，D ，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P(C )P(D )[1－P(AB)]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316，∴灯亮的概率为1－316＝1316. 答案：C13．国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立且P(A)＝13，P(B)＝14，P(C)＝15，∴至少有1人去北京旅游的概率为：1－P(A B C )＝1－P(A )·P(B )·P(C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＝1－25＝35.答案：3514．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P(B)＝25；②P(B|A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 解析：①P(B)＝P(A 1B)＋P(A 2B)＋P(A 3B)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，①不正确，⑤不正确；②P(B|A 1)＝510×51112＝511，正确；③事件B 与事件A 1有关系，故不正确；④A 1，A 2，A 3不可能同时发生，是两两互斥的事件，故正确．答案：②④15．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率． 解析：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)， 则P(A 1)＝0.6，P(A 2)＝0.4，P(A 3)＝0.5，P(A 4)＝0.2. (1)法一：该选手被淘汰的概率： P ＝P(A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)＋P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)＋P(A 1)P(A 2)P(A 3)P(A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.法二：P ＝1－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－P(A 1)P(A 2)P(A 3)·P(A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976. (2)法一：P ＝P(A 1A2∪A 1A 2A3∪A 1A 2A 3A 4)＝P(A 1)P(A 2)＋P(A 1)P(A 2)P(A3)＋P(A 1)P(A 2)·P(A 3)P(A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.法二：P ＝1－P(A 1)－P(A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.16．某示范性高中的校长推荐甲，乙，丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23，23，12，他们考核所得的等级相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列． 解析：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A ，B ，C 是相互独立事件，事件A B C 与事件E 是对立事件，于是P(E)＝1－P(A B C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P(ξ＝30)＝P(A B C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝118，P(ξ＝40)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝518，P(ξ＝50)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P(A BC)＝23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×12＝49，.P(ξ＝60)＝P(ABC)＝23×23×12＝29.所以ξ的分布列为：独立重复试验与二项分布[A 组 学业达标]1．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125 B.48125 C.16125D.96125解析：播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45＝48125.答案：B2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P(X ＝3)等于( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14解析：P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34.答案：C3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1]B ．(0,0.4]C ．(0,0.6]D ．[0.6,1]解析：由题意知C 14p(1－p)3≤C 24p 2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A. 答案：A4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89解析：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×23＝827.答案：A5．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝59，则P(η≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.1681解析：因为随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，又P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝59，解得p ＝13，所以η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134－C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1127. 答案：B6．如果X ～B(20，p)，当p ＝12且P(X ＝k)取得最大值时，k ＝________.解析：当p ＝12时，P(X ＝k)＝C k 20⎝ ⎛⎭⎪⎫12k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1220－k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220C k 20，显然当k ＝10时，P(X ＝k)取得最大值．答案：107．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次， 所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝1132. 答案：11328．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B(10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B(8，p)； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，即前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②9．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.用X 表示乙投篮3次的进球数，求随机变量X的分布列．解析：随机变量X 的可能值为0,1,2,3，则P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25k×⎝ ⎛⎭⎪⎫353－k (k ＝0,1,2,3)．X 的分布列为：10.根据以往统计资料，为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率．(2)用X 表示该地的5位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的分布列．解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C ＝A ＋B ， P(C)＝P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D ＝C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，由已知得X ～B(5,0.2)， 所以P(X ＝k)＝C k50.2k0.85－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，分布列如表：[B 组 能力提升]11．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，则P(X ＝2)＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233B.⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133 C ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133D ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233解析：∵随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， ∴P(X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫233.答案：D12．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为( )A.13B.25C.56D.34解析：事件A 在一次试验中发生的概率为p ，由题意得1－C 04p 0(1－p)4＝6581，所以1－p ＝23，p ＝13.答案：A13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球4次的概率为C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫132；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25； ④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23， 所以P(X ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫132，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}． 则P(A)＝23，P(AB)＝4×36×5＝25，所以P(B|A)＝P AB P A ＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确．答案：①②④14．张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝6581.答案：658115．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．解析：(1)①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P(A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P(A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，则P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P(X ＝1)＝C 12×710×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100.所以X 的分布列为：16.两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审，则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5，复审能通过的概率为0.3，各专家评审的结果相互独立．(1)求某应聘人员被录用的概率．(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列．解析：设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ∪BC ， 因为P(A)＝12×12＝14，P(B)＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，P(C)＝310，所以P(D)＝P(A ∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝25.(2)根据题意，知X ＝0,1,2,3,4，设A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，则P(A 0)＝C 04×⎝ ⎛⎭⎪⎫250×⎝ ⎛⎭⎪⎫354＝81625，P(A 1)＝C 14×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝216625，P(A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫252×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝216625，P(A 3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫253×35＝96625， P(A 4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫254×⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝16625.所以X 的分布列为：。
高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章随机变量及其分布 2.1离散型随机变量及其分布列一、学习任务1. 了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列．2. 通过实例理解两点分布、超几何分布，理解其公式的推导过程，并能简单的运用．二、知识清单离散型随机变量的概念离散型随机变量的分布列三、知识讲解1.离散型随机变量的概念在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这种对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量（random variable）．随机变量常用字母 ，，，， 表示．如果随机变量 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．X Y ξη⋯X 投掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）A．出现正面的次数 B．出现正面或反面的次数C．掷硬币的次数 D．出现正、反面次数之和解：A掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述一个随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量 ， 的取值是 ，，故选 A．而 B 中的事件是必然事件，C 中掷硬币次数是 ，不是随机变量，D 中对应的事件是必然事件，故选 A．ξξ011下列所述：①某座大桥一天经过的车辆数 ；②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数 ；③一天之内的温度 ；④一位射手对目标进行射击，击中目标得 分，未击中目标得 分，用 表示该射手在一次射击中的得分．其中 是离散型随机变量的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：B根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是不是离散型随机变量，就是看这一变量的所有可能的取值是否可以一一列出．①②④中的 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 可以取某一区间内的一切值，不可以一一列出．X X X 10X X X X。
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-2-1条件概率
1．某气象台统计，该地区下雨的概率为
4 15
，刮四级以
上风的概率为
2 15
，既刮四级以上的风又下雨的概率为
1 10
，
设A为下雨，B为刮四级以上的风，求P(B|A)，P(A|B)．
解析： 由题意知P(A)＝145，
P(B)＝125，P(AB)＝110，
1 故P(B|A)＝PPAAB＝140＝38.
知识重难点
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另 外，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定 是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
2 ． 在 条 件 概 率 的 定 义 中 ， 要 强 调 P(A) ＞ 0. 当 P(A) ＝ 0 时，不能用现在的方法定义事件A发生的条件下事件B发生的 条件概率．
C620
C620
11分
故所求的概率为1538.
12分
[规律方法] 1.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可 使求有些条件概率较为简捷，但应注意这个性质是在“B与 C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱 用这个公式．
2．求复杂的概率，往往把它分解为若干个互不相容的 简单事件，然后利用条件概率和乘法公式．
[问题2] 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同 学无放回地抽取一张，奖品是“周杰伦武汉演唱会门票一 张”，那么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？
[提示] 设三张奖券为X1，X2，Y，其中Y表 示中奖奖券且Ω为所有结果组成的全体，“最后 一名同学中奖”为事件B，则所研究的样本空间Ω ＝{X1YX2，X2YX1，X1X2Y，X2X1Y，YX1X2，YX2X1}
3．P(B|A)＝
高中数学选修2-3(人教B版)第二章随机变量及其分布2.3知识点总结含同步练习题及答案
5 3 2 +1× +2× = 0.7, 10 10 10 5 3 2 D(Y ) = (0 − 0.7)2 × + (1 − 0.7)2 × + (2 − 0.7)2 × = 0.61 10 10 10 E(Y ) = 0 ×
由 E(X) = E(Y ) 知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但 D(X) > D(Y )，可见乙的技术水平比较稳定．
四、课后作业
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1. 设随机变量 ξ 的概率分布为 P (ξ = k) = p k ⋅ (1 − p)1−k (k = 0, 1) ，则 Eξ ， Dξ 的值分别是 ( A．0 和 1
答案： D 解析： 随机变量
)
C．p 和 1 − p
B．p 和 p 2
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为 X 、Y ，X 和 Y 的分布列如表．试对这两
名工人的技术水平进行比较．
X P Y P
0 6 10 0 5 10
1 1 10 1 3 10
2 3 10 2 2 10
解：工人甲生产出次品数 X 的数学期望和方差分别为
6 1 3 +1× +2× = 0.7, 10 10 10 6 1 3 D(X) = (0 − 0.7)2 × + (1 − 0.7)2 × + (2 − 0.7)2 × = 0.81. 10 10 10 E(X) = 0 ×
D(ξ) = (0 − 2.5)2 × 0.1 + (1 − 2.5)2 × 0.15 + (2 − 2.5)2 × 0.25 + (3 − 2.5)2 × 0.25 + (4 − 2.5)2 × 0.15 + (5 − 2.5)2 × 0.1 = 2.05
数学高二-选修2-3同步测控 第二章1离散型随机变量及其分布列
同步测控我夯基，我达标1.如果X 是一个离散型随机变量，那么下列叙述中不正确的是( ) A.X 取的每一个可能值的概率都是非负实数 B.X 取所有可能值的概率之和为1C.X 取某两个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D.X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和解析：X 在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，故D 项错. 答案：D则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )A.0.28B.0.88C.0.79D.0.51 解析：P(射击一次命中环数大于7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) =0.28+0.29+0.22=0.79. 答案：C3.设随机变量X 的分布列为P(X=i)=a(31)i，i=1,2，3，则a 的值为( ) A.1 B.139 C.1311 D.1327解析：由a·31+a·(31)2+a·(31)3=1，解得a=1327. 答案：D4.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述一次试验的成功次数，则P(X=0)等于( )A.0B.21C.31D.32 解析：P(X=0)表示试验失败，P(X=1)表示试验成功，∴P(X=0)+P(X=1)=1.又∵P(X=1)=2P(X=0)， 即有3P(X=0)=1.∴P(X=0)=31. 答案：C5.抛掷两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X=4表示的随机试验的结果是( ) A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：掷两颗骰子的点数及和的分布情况如表：由表知：1+3=4,2+2=4,3+1=4. 答案：D6.随机变量X 的分布列为P(X=k)=)1(+k k C，k=1,2，3，C 为常数，则P(0.5<X<2.5)=_________.解析：由P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1，得433221⨯+⨯+⨯C C C =1，解得C=34. X 123P3292 91 ∴P(0.5<X<2.5)=P(X=1)+P(X=2)=3+9=9.答案：987.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的X 0 21 P解析：P(X=0)=1012522=C C =0.1，P(X=1)=251213C C C =106=0.6， P(X=2)=2523C C =0.3〔或P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)=0.3〕.答案：0.1 0.6 0.38.袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X 的概率分布列.解析：直接考虑得分较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：4红得8分；3红1黑得7分；2红2黑得6分；1红3黑得5分.故P(X=5)=;354473314=C C C P(X=6)=;3518472324=C C C P(X=7)=3512471334=C C C ；P(X=8)=.35147344=C C C9.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： 不放回抽样时，抽到次品数X 的分布列.解法一：不放回抽样，抽到次品数X=0,1，2，不考虑次序得P(X=0)=15731038=C C ，P(X=1)=1573102812=C C C ，P(X=2)=1513102218=C C C . 解法二：不放回抽样，抽到次品数X=0，1,2，考虑次序得P(X=0)=15731038=A A ，P(X=1)=157310232812=A C C C ，P(X=2)=310332218A A C C =151.我综合，我发展10.下列表中成为随机变量X 的分布列的是( )解析：对于A ，由于P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1.1>1，故排除A. 对于B ，由于P(X=3)=-0.1<0，故排除B.对于D ，由于P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1.2>1，故排除D. 只有C 满足P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=1，且0≤P(X=-1)≤1，0≤P(X=0)≤1，0≤P(X=1)≤1两条性质，故选C. 答案：C若P(X 2<x)=12，则实数x 的取值范围是 …( ) A.4≤x≤9 B.4<x≤9 C.4≤x<9 D.4<x<9 解析：若P(X 2<x)=1211，则X 要取遍0，±1，±2各个值. 当x≤4时，X 2≤3，X 取不到±2； 当x>9时，X 2=9，X 取到3. 均与已知矛盾.∴4<x≤9. 答案：B请你将丢失的数据补齐.解析：∵p 1+p 2+…+p 6=1，而p 1+p 2+p 4+p 6=0.6， ∴p 3+p 5=0.4.∴p 3=0.25，p 4=0.15. 答案：2 5我创新，我超越13.A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y.求X ，Y 的概率分布.解：X ，Y 的可能取值分别为3,2,1，0. P(X=3)=32×52×52=758，P(X=2)=32×52×53+31×52×52+32×53×52=7528， P(X=1)=32×53×53+31×52×53+31×53×52=52，P(X=0)=31×53×53=253.根据题意知X+Y=3，所以P(Y=0)=P(X=3)=758， P(Y=1)=P(X=2)=7528，P(Y=2)=P(X=1)=52，P(Y=3)=P(X=0)=253.。
选修2-3：第二章 随机变量及其分布 单元测试题
选修2-3 第二章 随机变量及其分布列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．已知随机变量ξ的概率分布列如下：则P (ξ＝A.239 B.2310 C.139 D.1310 2．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是( )A ．0.146 2B ．0.153 8C ．0.996 2D ．0.853 8 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：则其数学期望E (ξ)等于( )A ．1B ．0.6C ．2＋3mD ．2.4 4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.80243 5．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是( )A.38B.12C.58D.786．在比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率是23，那么在五次比赛中运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.202437．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1,2,3,4,5,6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4 8.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为( )A.516B.532C.16 D ．以上都不对 9．已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ 10 20 30 P0.6a14－a 2则D (3ξ－3)等于( )A ．42B ．135C ．402D ．405 10．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)等于( )A.12p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 11．一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率为12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.164B.5564C.18D.116 12．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A1B．A2 C．A3D．A4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设随机变量ξ只能取5,6,7，…，14这10个值，且取每一个值的概率均相等，则P(ξ≥10)＝______；P(6<ξ≤14)＝________.14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．15．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3,4,5,6,7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．18.(12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．19．(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )； (2)求乙至多击中目标2次的概率； (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．20．(12分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．21．(12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X 稳定在7,8,9,10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图如下图所示：(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P (X 乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．22．(2012·陕西)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望．第二章 随机变量及其分布列1.答案 C解析 P (ξ＝10)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)－…－P (ξ＝9)＝1－23－232－…－239＝139.2.答案 A解析 所求的概率为1－C 237C 240＝1－37×3640×39＝0.146 2.3.答案 D解析 ∵0.5＋m ＋0.2＝1，∴m ＝0.3. ∴E (ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4.答案 D解析 P (X ＝2)＝C 26·(23)4·(13)2＝80243. 5.答案 D解析 P (至少有一枚正面)＝1－P (三枚均为反面)＝1－(12)3＝78.6.答案 B解析 所求概率为C 35(23)3×(1－23)2＝80243. 7.答案 C解析 P (ξ＝k )＝16(k ＝1,2,3，…，6)，∴E (ξ)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝16(1＋2＋ (6)＝16×[6×(1＋6)2]＝3.5. 8.答案 A解析 由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25.而从出口出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516. 9.答案 D 10.答案 D解析 由于随机变量服从正态分布N (0,1)，由标准正态分布图像可得P (－1<ξ<1)＝1－2P (ξ>1)＝1－2p . 故P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1)＝12－p .11.答案 B解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ，则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34，所以灯亮的概率为P ＝1－P (T )·P (R )·P (C )·P (D )＝5564.12.答案 C 13.答案 25，45解析 由题意P (ξ＝k )＝110(k ＝5,6，…，14)，P (ξ≥10)＝4×110＝55.P (6<ξ≤14)＝8×110＝45.14.答案 0.8解析 P (敌机被击中)＝1－P (甲未击中敌机)P (乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8. 15.答案 3,1解析 ∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1. 16.答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.17.解析 ξ的取值分别为3,4,5，P (ξ＝5)＝C 22C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝3)＝C 24C 35＝35，所以ξ的分布列为18.解析 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P (ξ＝0)＝C 4C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15. ∴ξ的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ， 则P (C )＝C 34C 36＝420＝15.∴所求概率为P (C )＝1－P (C)＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12；P (B |A )＝C 14C 25＝410＝25.19.解析 (1)X 的概率分布列为E (X )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5或E (X )＝3×12＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C 33(23)3＝1927. (3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝38×127＋18×29＝124.20.解析 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则X 为离散型随机变量，且X 服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，当X ＝2时，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，当X ＝3时，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16，则可得X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝12＋16＝23.21.解析 (1)由图可知：P (X 乙＝7)＝0.2，P (X 乙＝9)＝0.2， P (X 乙＝10)＝0.35.所以P (X 乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25. 同理P (X 甲＝7)＝0.2，P (X 甲＝8)＝0.15， P (X 甲＝9)＝0.3.所以P (X 甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. 因为P (X 甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65， P (X 乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为 P ＝P (X 甲≥9)·P (X 乙≥9)＝0.65×0.55＝0.357 5.(2)因为E (X 甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E (X 乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7， E (X 甲)>E (X 乙)，所以估计甲的水平更高．22.解析 设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)方法一X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.方法二X的所有可能取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49.所以X的分布列为：E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.。
高二数学 人教A版选修2-3习题 第2章 随机变量及其分布2.2.2 Word版含答案
选修2-3 第二章 2.2 2.2.2一、选择题1．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23[答案] D[解析] 由P (A ∩B )＝P (B ∩A )得P (A )P (B )＝P (B )·P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A ∩B )＝19，∴P (A )＝P (B )＝13.∴P (A )＝23.2．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( )A ．1532B ．932C ．732D ．1732[答案] A[解析] 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.不发生故障的事件为(A 2∪A 3)∩A 1， ∴不发生故障的概率为 P ＝P [(A 2∪A 3)∩A 1] ＝[1－P (A 2)·P (A 3)]·P (A 1) ＝(1－14×14)×12＝1532.故选A ．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( )A ．512B ．12C ．712D ．34[答案] C[解析] 由题意P (A )＝12，P (B )＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712.4．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49B ．29C ．23D ．13[答案] A[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49.5．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( )A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球D ．2个球中恰好有1个白球 [答案] C[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P 1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为P ＝1－P 1＝56.6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A ．12B ．512C ．14D ．16[答案] B[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.二、填空题7．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________.[答案] 0.65 0.3[解析] ∵A 、B 相互独立，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65. P (A |B )＝P (A )＝0.3.8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为_______. [答案]1124[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A 1，则P (A 1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， 乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A 2，则P (A 2)＝13×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－14＝18， 丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A 3，则P (A 3)＝14×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13＝112. 甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝14＋18＋112＝1124.9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________ .[答案]516[解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ， 则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． [解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P(A B)＝14，P(B C)＝112，P(AC)＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P(A)·[1－P(B)]＝14，①P(B)·[1－P(C)]＝112，②P(A)·P(C)＝29.③由①、③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.解得P(C)＝23或119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.一、选择题1.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是()A．13B．29C．49D．827[答案] A[解析]由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.2．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )A ．35B ．34C ．12D ．310[答案] C[解析] 解法1：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是在含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为12.解法2：设A ＝“第一次取到白球”，B ＝“第二次取到白球”，则 P (A )＝35，P (AB )＝C 23C 25＝310，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12.二、填空题3．某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的，且遇到红灯的概率都是13，则最多1名同学遇到红灯的概率是________.[答案]1627[解析] P ＝(23)4＋C 14·(13)·(23)3＝1627. 4．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________.[答案] ⎣⎡⎦⎤－13，13 [解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧P (ξ＝x 3)＋P (ξ＝x 1)＝2P (ξ＝x 2)P (ξ＝x 1)＋P (ξ＝x 2)＋P (ξ＝x 3)＝1， ∴P (ξ＝x 2)＝13，∵P (ξ＝x i )≥0，∴公差d 取值满足－13≤d ≤13.三、解答题5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6、0.4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手被淘汰的概率；(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率． [解析] 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1,2,3,4)， 则P (A 1)＝0.6，P (A 2)＝0.4，P (A 3)＝0.5， P (A 4)＝0.2.(1)方法一：该选手被淘汰的概率：P ＝P (A 1∪A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.方法二：P ＝1－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.(2)方法一：P ＝P (A 1A 2∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.方法二：P ＝1－P (A 1)－P (A 1A 2A 3A 4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415.(2)方法1：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.方法2：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为 P (A B )＝P (A )·P (B )＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－1415＝145. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P (A B )＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.。