数学人教版八年级上册第2课时 角的平分线的判定
19.5角的平分线(第2课时)(教学课件)-八年级数学上册【01】
练习 判断下面的证明过程是否正确，并说明理由.
已知：点D是射线AP上的一点，点E、F分别在AB、AC上，且DE＝DF.
求证：AP平分∠BAC.
B
E D
P
A F
C
证明：∵点D是射线AP上的一点，且DE＝DF（已知），
∴AP平分∠BAC（在一个角的内部且到角的两边距离相
等的点，在这个角的平分线上）.
回答：错误.因为点到线的距离是由垂线段的长度表示的，
所以必须由垂直这个条件才能够使用角的平分线性质定理及其逆定理.
课本练习
1.已知:如图,在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,AC=AE，AD 平分∠CAB,
交BC于点 D，联结 DE，求证:DE是AB 的垂直平分线
【解析】证明：∵AD平分∠CAB，∴∠DAE=∠CAD ∵AC=AE，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS） ∴∠AED=∠C=90°∴DE⊥AB， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴EA＝EB， CA＝CB（线段垂直平分线上的任意 A
D
B
一点到这条线段两个端点的距离相等）.
在△CAE与△CBE中，
CA CE （已证） EA EB （已证） CE CE （公共边）
例题2 已知：CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，分别
联结CA、CB、EA、EB.[来源:]
C
求证：∠CAE=∠CBE.
(1)求点O到△ABC三边的距离和；
B
12
O
P
A
DM
C
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
4.如图，在直角△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平 分∠BAC，BD平分∠ABC，AP、BD交于点O，过点O 作OM⊥AC，若OM＝4. (2)若△ABC的面积为32，求△ABC的周长.
12.3角的平分线的性质二章全等三角形导入新课讲授新课课堂小结第2课时角平分线的判定八年级数学上(RJ)
得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ 平分∠， 且⊥， ⊥
P
O
E
B
∴ 猜想:
思考：这个结 论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想
已知：如图，⊥，⊥，垂足分别是D、E，.求证：点P 在∠的角平分线上.
证明：作射线， ∵⊥⊥. ∴∠∠90°，
二 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证明结论
已知：如图，△的角平分线，相交于点P， 求证：点P到三边，，的距离相等.
几何语言描述： ∵ 平分∠， 且⊥， ⊥.
∴.
不必再证全等
A D
P到的距离
C 角平分线上的点
P
O
E
B P到的距离
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离 相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的 平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
一 角平分线的判定 问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道 路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距 离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△中，∥交于点E，∥交于点F， 点P是上一点，且点D到的距离与到的距离相等， 判断是否平分∠，并说明理由．
12.3 第2课时 角平分线的判定 初中数学人教版八年级上册课件
图形
C P
已知 条件
结论
OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
PD = PE
C P
PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB
当堂小结
内容
角平分线 的判定定
理
作用
相关 结论
角的内部到角两边距离相等 的点在这个角的_平__分__线__上
判断一个点是否在角的平分线上
位置关系
数量关系
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
O
A
D C
P EB
回顾导入
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路 和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为
500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ O
解：作夹角的角平分线 OC，
新知一览
全等三角形
“边边边”
全 等 三 角 形
三角形全等 的判定
“边角边” “角边角”“角角边”
“斜边、直角边”
角平分线的性质
角平分线的性质
角平分线的判定
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第 2 课时 角平分线的判定
人教版八年级（上）
新课导入 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路
B
A P2
P1 C
P3
典例精析 例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交 于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
分析：
求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
求证：D 到 BA，AC 的距离相等.
八年级数学人教版(上册)第2课时角的平分线的判定
∴OB＝OD．∴OE＝OD． 又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
(2)OA⊥OC． 证明：在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中，OAOB＝＝OAOE，， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝12∠BOE. 同理，∠COD＝∠COE＝12∠DOE. ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝12∠BOE＋12∠DOE＝90°.∴OA
4.(教材 P51 习题 T3 变式)如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于 点 E，BE，CD 相交于点 O.
(1)当∠1＝∠2 时，求证：OB＝OC． 证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD 和△COE 中，
∠BOD＝∠COE， OD＝OE， ∠ODB＝∠OEC， ∴△BOD≌△COE(ASA).
第 11 题图
12.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，∠D＝ ∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．求证：
(1)CO 平分∠ACD． 证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的延长线相
交于点 E.若存在点 P，使得 S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点 P( D ) A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成∠E 的平分线
第 8 题图
D．组成∠E 的平分线所在的直线(点 E 除外)
9.如图，l1，l2，l3 是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加
6.如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别为 4，6，8，其 三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB∶S△OAC∶S△OBC ＝ 2∶3∶4 .
第2课时 角平分线的判定【习题课件】八年级上册人教版数学
6
7
8
9
10
11
12
第2课时
角平分线的判定
能力突破
基础通关
素养达标
9. 如图所示，直线 l1， l2， l3表示三条公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(
D
)
第9题图
A. 一处
B. 两处
1
2
3
4
C. 三处
5
6
7
8
D. 四处
9
10
11
12
第2课时
角平分线的判定
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时
角平分线的判定
第2课时
角平分线的判定
基础通关
能力突破
素养达标
角的平分线的判定
1. (2023·石家庄第40中学期末)如图，用一把长方形直尺的一边压住射
线 OB ，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线 OA ，两把直尺的
另一边交于点 P ，则射线 OP 就是∠ AOB 的平分线的依据是( C )
F ， DM ⊥ AC 于点 M ， AB ＝16 cm， AF ＝10 cm， AC ＝14 cm，动点
E 以2 cm/s的速度从点 A 向点 F 运动，同时动点 G 以1 cm/s的速度从点 C
向点 A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动
时间为 t (s).
(1)求 S△ ABD ∶ S△ ACD ；
F . 若 PE ＝ PF ，且∠ AOC ＝50°，则∠ EOP 的度数为(
A
)
第2题图
A. 65°
B. 60°
八年级数学上册高效课堂(人教版)12.3.2角的平分线的判定(第二课时)优秀教学案例
（一）导入新课
1.利用现实生活中的实例，如建筑设计中角的平分线应用，引入新课。
2.提出问题：如何判断一个线段是角的平分线呢？引发学生思考，激发学习兴趣。
3.引导学生回顾已学的角平分线的判定方法，结合几何画板软件动态展示，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.学生通过自主学习、探究学习，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生在解决实际问题的过程中，体验到数学知识的实用性和趣味性，增强学习数学的兴趣。
2.学生在探究角的平分线的过程中，培养勇于尝试、坚持不懈的精神，增强自信心。
3.学生通过小组合作，学会尊重他人、倾听他人意见，培养良好的团队合作精神。
（一）情景创设
1.利用现实生活中的实例，创设有趣、富有挑战性的问题情景，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
2.利用几何画板软件，动态展示角的平分线与角的两边垂直的性质，让学生直观地感受知识的发生和发展过程。
3.设计具有层次性的问题，引导学生从不同角度、不同层次去观察、思考问题，培养学生全面考虑问题的习惯。
这些亮点体现了本节课的人性化教学理念，关注学生的个体差异，培养学生的自主学习能力、团队协作能力和问题解决能力。在教学过程中，教师运用了多种教学方法和手段，使学生在轻松、愉快的氛围中学习，提高了学习效果。
在教学案例中，我以一个现实生活中的问题为导入：在画一个等边三角形的一个内角平分线时，如何判断这个线段确实是该角的平分线呢？这个问题引发了学生的思考，激发了他们的学习兴趣。接着，我引导学生通过观察、操作、猜测、推理、交流等环节，探索角的平分线的判定方法。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现角的平分线与角的两边垂直的性质。通过几何画板软件的动态展示，让学生直观地感受到角平分线与角的两边垂直的性质，从而加深对知识的理解。同时，我还设计了一系列的练习题，让学生在实践中运用所学知识，提高解决问题的能力。
人教八年级数学上册《角的平分线的判定》(共18张)
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与 铁路的距离相等．
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可建 多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路 与铁路的距离相等．
学习重点： 角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到 公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上 标 出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1） 这个集贸市场 应建于何处？这样的集贸市场可 建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁 路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线 上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性 质可用来证明线段相等．
角的平分线的判定 教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级上册
第2课时角的平分线的判定1.探究并证明角的平分线的判定定理.（难点）2.会判断一个点是否在一个角的平分线上.（重点）一、新课导入【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）学习了今天的内容，我们就能很快地解决这个问题了.二、新知探究知识点1角的平分线的判定【提出问题】我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？【学生猜想】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（也有一部分学生得不到准确答案）教师鼓励学生按照上节课学过的证明命题的步骤，验证一下他的猜想！【学生思考】给学生思考的时间，可同桌之间讨论.提醒应将文字语言转化为数学语言，同时画出图形，找准“已知”和“求证”，并写出证明过程.之后点名一位学生上台板演，对于错误和不完整的地方，其他学生纠正或补充.教师利用多媒体展示如下验证过程：如图，P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE.求证：点P在∠AOB的平分线OC上.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中，{PD＝PE，PO＝PO，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOC＝∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.学生有异议的，及时提出，教师予以纠正.【归纳总结】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.该性质定理的几何语言：∵P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.提醒学生：（1）前提条件：使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部，且该点到角两边的距离相等；（2）定理的作用：角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.【提出问题】现在你能解决集贸市场的问题了吗？【学生回答】教师点名一位学生回答解题过程及依据.教师利用多媒体展示如下作图过程：解：如图，作出公路和铁路相交的角的平分线OC，按照比例尺的比例，在OC上截取OD＝2.5cm.点D的位置即为建集贸市场的位置.知识点2三角形的内角平分线【提出问题】我们知道三角形有三条内角平分线，你会画出它的三条内角平分线吗？动手试一试吧？【实际操作】学生在已经剪好的锐角、直角和钝角三角形卡纸上分别画出它们的三个内角的平分线.之后我们发现：三角形三个内角的平分线交于一点，该交点位于三角形的内部.【提出问题】那么三角形的三条内角平分线的交点到三角形三边的距离有什么特点呢？【实际操作】学生继续在锐角、直角和钝角三角形卡纸上过交点分别作这三个三角形三边的垂线，并测量每一组垂线段的长度.我们发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.【提出问题】由于作图和测量存在误差，我们仍需来证明一下我们的猜想.教师利用多媒体展示如下验证猜想的题目.例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE.同理PE＝PF.∴PD＝PE＝PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.【提出问题】点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？【学生回答】学生集体回答.（由PD＝PF可知，点P在∠A的平分线上.从而也验证了“三角形的三条角平分线交于一点”这一结论.）知识点3角的平分线的性质定理与判定定理的关系教师利用多媒体展示表格，学生根据表格中的内容，集体回答；教师引导学生观察所填内容，由不同颜色标注的内容可知角平分线的性质定理中的“已知”变成了角平分线的判定定理中的“结论”.角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形已知条件∠1＝∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ⊥OA ，PE ⊥OB PD ＝PE 结论PD ＝PE ∠1＝∠2 【归纳总结】点在角的平分线上（角的内部）点到角的 两边的距离相等正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.【跟踪训练】判断，不正确的请说明原因.①如图，若PD ＝PE ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为PD 不垂直OA ，PE 不垂直OB ，即PD ，PE 均不是角平分线上的点到角两边的距离.②如图，若点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，则OC 平分∠AOB .（ ✕ ）因为没有说明PD 与PE 的等量关系，只有PD ＝PE 时，OC 才平分∠AOB .三、课堂小结角的平分线的判定{ 判定定理{内容➡角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上作用➡判定点在平分线上（判定两角相等）三角形的三条角平分线➡交于一点，且该点到三角形三边的距离相等角平分线的性质定理与判定定理的关系四、课堂训练1.如图，P 是△ABC 外部一点，PD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，PE ⊥AC ，交AC的延长线于点E ，PF ⊥BC 于点F ，且PD ＝PE ＝PF .关于点P 有下列三种说法：①点P 在∠DBC 的平分线上；②点P 在∠BCE 的平分线上；③点P 在∠BAC 的平分线上.其中说法正确的个数为（ D ）A.0B.1C.2D.32.如图， 已知D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，CE ＝BF ，且△DCE 的面积与△DBF 的面积相等.求证：AD 平分∠BAC .解：如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AC 于点N .∵△DCE 的面积与△DBF的面积相等，∴12BF ·DM ＝12CE ·DN .又CE ＝BF ，∴DM ＝DN .∴AD 平分∠BAC .。
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教案人教版数学八年级上册
12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。
八年级数学上册-人教版八年级上册数学12.3第2课时角平分线的判定教案1
第 2 课时角均分线的判断证明：∵ ⊥的延伸线于点，⊥DE AB E DFAC 于点 F，∴∠ BED＝∠ CFD，∴△ BDE 与1．掌握角均分线的判断定理． ( 要点 )△ CDF是直角三角形．在Rt△ BDE和Rt △CDF2．会用角均分线的判断定理解决简单BE＝ CF，的实质问题． ( 难点 )中，∵BD＝ CD，∴ Rt △BDE≌ Rt △CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠ BAC的均分线．一、情境导入方法总结：证明一条射线是角均分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点中新网和田 2015 年 2 月 25 日电，新疆在角均分线上．考古团队近期在斯皮尔古城及周边发现迄今为止最早的园林之城．如图，某考古队为【种类二】角均分线性质和判断的综进行研究，找寻一座古城旧址．依据资料记合载，该城在丛林邻近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是 3000m.依据这些资料，考古队很快找到了这座古城的旧址．你能运用学过的知识在图中合理地标出古城旧址的地点吗？请你试一试．(比率尺为1∶100000)如下图，△ABC中，AB＝ AC，AD二、合作研究是∠ BAC的均分线， DE⊥ AB，DF⊥ AC，垂足研究点一：角均分线的判断定理分别是、，下边给出四个结论，①AD 平E F【种类一】角均分线的判断分∠ EDF；② AE＝ AF；③ AD 上的点到B、 C两点的距离相等；④到AE、 AF 距离相等的点，到 DE、 DF 的距离也相等．此中正确的结论有 ()A．1个 B ．2个 C．3个 D．4个分析：由 AD均分∠BAC，DE⊥ AB，DF⊥如图， BE＝ CF， DE⊥ AB的延伸线于点 E， DF⊥ AC于点 F，且 DB＝ DC，求证：AC 可得 DE＝ DF，由此易得△ADE≌△ ADF，AD是∠ BAC的均分线．分析：先判断 Rt △和 Rt △全等，故∠＝∠，即①均分∠正确；BDECDFADE ADF AD EDF得出 DE＝ DF，再由角均分线的判断可知AD② AE＝AF正确；角均分线上的点到角的两边是∠ BAC的均分线．的距离相等，故③ 正确；∴④ 到AE、AF距离相等的点，到D E、DF的距离也相等正确；①②③④都正确．应选 D.方法总结：运用角均分线的性质或判断时，能够省去证明三角形全等的过程，能够直接获得线段或角相等．【种类三】增添协助线解决角均分线的问题如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角均分线交于点 D.求证： AD 是∠BAC的均分线．分析：分别过点 D 作 DE、DF、 DG垂直于 AB、BC、AC，垂足分别为 E、 F、 G，而后利用角均分线上的点到角两边的距离相等可知 DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角均分线上证明．证明：分别过 D作 DE、 DF、 DG垂直于AB、 BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分∠ CBE，DE⊥ BE，DF⊥ BC，∴ DE＝ DF.同理DG＝ DF，∴ DE＝ DG，∴点 D在∠ EAG的均分线上，∴ AD是∠ BAC的均分线．方法总结：在碰到角均分线的问题时，常常过角均分线上的一点作角两边的垂线段，利用角均分线的判断或性质解决问题．研究点二：三角形的内角均分线【种类一】利用角均分线的判断求角的度数在△ ABC中，点 O是△ ABC内一点，且点 O 到△ ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为 ()A． 110°B． 120°C． 130°D． 140°分析：由已知， O到三角形三边的距离相等，因此 O是心里，即三条角均分线的交点，AO，BO，CO都是角均分线，因此有∠CBO11＝∠ ABO＝2∠ABC，∠BCO＝∠ ACO＝2∠ACB，∠ABC＋∠ ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠ OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故选 A.方法总结：由已知， O到三角形三边的距离相等，得 O是心里，再利用三角形内角和定理即可求出∠ BOC的度数．【种类二】三角形内角均分线的应用已知：如图，直线 l 1，l 2，l 3表示三条互订交错的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地址有几处？(2)你能画出塔台的地点吗？分析： (1) 依据角均分线的性质得出符合条件的点有 4 处． (2)作出订交构成的角的均分线，均分线的交点就是所求的点．解： (1) 可选择的地址有 4 处，如图：P1、 P2、 P3、P4，共4处．(2)能，如图，依据角均分线的性质的作三条直线订交的角的均分线，均分线的交点就是所求的点．方法总结：三角形内角均分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角均分线的交点，这一结论在此后的学习中常常遇到．三、板书设计1．角均分线的判断定理．2．三角形三条内角均分线订交于一点，这点到三角形三边的距离相等．本节课借助于直观的模型指引学生进行察看、猜想和考证，进而指引学生在自主研究的基础上，经过与别人的合作沟通研究出角均分线的性质定理和逆定理，这样有效地提升了讲堂的教课成效，促使了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少量学生在应用角均分线的性质定理和逆定理解题时，简单忽略“角均分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在此后的教课和作业中增强稳固和训练．。