【全程复习方略】高中数学 1.2.2.1 组合与组合数公式课件 新人教A版选修2-3
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高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式课件新人教A版选修23
跟踪训练2 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的 所有可能站法. 解 由题意作“树状图”，如下，
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.
解答
类型三 排列数公式及应用 例3 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)； 解 因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－ (55－n)＋1＝15(个)元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n.
证明
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法 排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式， 若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对 含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.
跟踪训练3 不等式 Ax8<6A8x－2 的解集为
A.[2,8]
第一章 1.2.1 排 列
第1课时 排列与排列能应用排列知识解决简单的实际 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 排列的定义
从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午 的活动，另1名同学参加下午的活动. 思考 让你安排这项活动需要分几步？ 答案 分两步.第1步确定上午的同学； 第2步确定下午的同学.
B.[2,6] C.(7,12)
D√.{8}
解析 由 Ax8<6Ax8－2，得8－8！x！<6×108－！x！，
化简得x2－19x＋84<0，
解得7<x<12，
①
人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2组合(1)
一般地,怎么求 C
m n
?
试利用排列与组合的联系求 C
m n
.
一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元
素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不n 同元素中取出 个m元素的组
合数第2步．C，nm求每一个组合中m 个元素的全排列数 Anm ．
根据分步计∴数C原nm理，得AA到mnmm：.Anm
排列 一般地说，从 n个不同元素中，任取 m (m≤n) 个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况）， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取 出 m个元素的一个排列。
思考：排列与组合的有什么区别和联系？
对比概念
组合数定义
共同点:都是与“从n个不同元素中任取 m个元素”有关的. 不同点:对于所取出的元素，排列还要“把所取元 素按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“把 所取元素并成一组无顺序要求”． 联系:排列可以看成由两步来完成的事情: 第一步:从n个不同元素中任取m个元素(组合);
C
m1 n
m1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
C
n!
m.
m !(n m) ! n
得证.
4.解不等式：C8m1 3C8m
解：不等式可化为
8！
＞ 38!
(m 1)!(9 m)! m !(8 m)!
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
思考
前面我们研究了排列问题，许多计数问题可归 结为排列问题来处理. 思考下面的问题： 问题 1.有 5 本不同的书 ⑴取出 3 本分给甲、乙、丙三人每人 1 本，有几种
高中数学(新人教A版)选择性必修二：组合、组合数【精品课件】
数.
(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?
(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?
(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?
思路分析观察取出的元素与顺序有关还是无关,从而确定是排列问题,还是
组合问题.
解 (1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为A210 =90.
式时,要根据题目特点正确选择.
(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C
能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
=
-
C , C+1
=
C
+
-1
C ,
38-
(1)求C3
变式训练 2
(2)证明:C
3
+ C21+
的值.
=
C-1 .
-
(1)解 由组合数的定义知,
组合、组合数
课标阐释
1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与
区别.(数学抽象)
2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之
中.(数学运算)
3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提
高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.(数学建模)
思维脉络
第 5 类,若 3 人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌,共有
2C32 C11 C52 C53 =600(种);
第 6 类,若 3 人中有一人唱歌,又有一人跳舞有C31 C21 C53 C53 =600(种).
由分类加法计数原理得不同选法共有 25+50+300+300+600+600=1 875(种).
(1)10个人相互写一封信,一共写了多少封信?
(2)10个人相互通一次电话,一共通了多少次电话?
(3)从10个人中选3人去开会,有多少种选法?
(4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法?
思路分析观察取出的元素与顺序有关还是无关,从而确定是排列问题,还是
组合问题.
解 (1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的,排列数为A210 =90.
式时,要根据题目特点正确选择.
(3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质C
能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
=
-
C , C+1
=
C
+
-1
C ,
38-
(1)求C3
变式训练 2
(2)证明:C
3
+ C21+
的值.
=
C-1 .
-
(1)解 由组合数的定义知,
组合、组合数
课标阐释
1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与
区别.(数学抽象)
2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之
中.(数学运算)
3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提
高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.(数学建模)
思维脉络
第 5 类,若 3 人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌,共有
2C32 C11 C52 C53 =600(种);
第 6 类,若 3 人中有一人唱歌,又有一人跳舞有C31 C21 C53 C53 =600(种).
由分类加法计数原理得不同选法共有 25+50+300+300+600+600=1 875(种).
高中数学1.2.2组合第1课时组合与组合数公式人教A版选修2_3
【解】 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是 从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即 C210＝120××19＝ 45(种). (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理，共有 C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同的选 法.
2.由 13 个人组成的课外活动小组，其中 5 个人只会跳舞，5 个人 只会唱歌，3 个人既会唱歌也会跳舞，若从中选出 4 个会跳舞和 4 个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？
解：对 3 个既会唱歌又会跳舞的人进行分类： 第一类：若 3 人都不参加，共有 C03C45C45＝25(种)； 第二类：若 3 人都跳舞或都唱歌，共有 2C33C15C45＝50(种)； 第三类：若 3 人中有两人唱歌或跳舞，共有 2C23C25C45＝300(种)； 第四类：若 3 人中有一人唱歌或跳舞，共有 2C13C35C45＝300(种)；
判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)把 5 本不同的书分给 5 个学生，每人一本； (2)从 7 本不同的书中取出 5 本给某个同学； (3)10 个人互相写一封信，共写了几封信； (4)10 个人互相通一次电话，共通了几次电话.
解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它 是排列问题. (2)从 7 本不同的书中，取出 5 本给某个同学，在每种取法中取出 的 5 本并不考虑书的顺序，故它是组合问题. (3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排 列问题. (4)因为互通电话一次没有顺序之分．故它是组合问题.
■名师点拨 对组合概念的三点说明
(1)组合的特点 组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的，即 从 n 个不同的元素中进行 m 次不放回地取出．
2019-2020人教A版数学选修2-3 第1章 1.2 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式课件PPT
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， BCD，BCE，BDE，CDE.
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1．此类列举所有从 n 个不同元素中选出 m 个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出 ab 后，不必再交 换位置为 ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
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学习目标
核心素养
1.通过学习组合与组合数的 1.理解组合与组合数的概念．(重点)
概念，体现了数学抽象的素 2.会推导组合数公式，并会应用公
养． 式求值．(重点)
2.借助组合数公式及组合数 3.理解组合数的两个性质，并会求
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2．组合数的概念 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的__所__有__不__同__组__合__的个 数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．
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思考 2：如何理解组合与组合数这两个概念？ [提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组 合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从 n 个不 同元素中取 m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的 一件事；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从 3 个不同元素 a，b， c 中每次取出两个元素的组合为 ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组 合，这些组合共有 3 个，则组合数为 3.
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1．此类列举所有从 n 个不同元素中选出 m 个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出 ab 后，不必再交 换位置为 ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
第一章 计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合
第1课时 组合与组合数公式
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学习目标
核心素养
1.通过学习组合与组合数的 1.理解组合与组合数的概念．(重点)
概念，体现了数学抽象的素 2.会推导组合数公式，并会应用公
养． 式求值．(重点)
2.借助组合数公式及组合数 3.理解组合数的两个性质，并会求
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2．组合数的概念 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的__所__有__不__同__组__合__的个 数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．
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思考 2：如何理解组合与组合数这两个概念？ [提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组 合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从 n 个不 同元素中取 m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的 一件事；“组合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从 3 个不同元素 a，b， c 中每次取出两个元素的组合为 ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组 合，这些组合共有 3 个，则组合数为 3.
人教A版高中数学选修2-3课件 1.2.2组合(一)课件2
3．已知 C2x009＝C92009，则 x＝________.
[答案] 9或2000.
4．计算 C28＋C38＋C29＝________. [答案] 120 [解析] 由组合数性质知 Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1， ∴C28＋C38＋C29＝C39＋C29＝C310＝130××29××18＝120.
重点：组合的概念与组合数公式． 难点：组合数公式及组合数性质的应用．
组合的概念
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1．前边我们曾经讨论过三个城市之间直达航 线的机票种数问题，机票种数与票价种数一 样吗？
2．从2、3、5、7四个不同的数中任取两个数 相乘或相除，所得积与商的个数相同吗？它 们是排列吗？
3．A、B、C、D四个点中任意三个点不共线， 从中任取两个点，以这两个点为端点的线段 条数与以这两点中的一个为始点、另一个为 终点的有向线段条数相同吗？它们是排列吗？ 上述三个问题有何共同点？
由此可知，定序问题属组合，即排列时，如果 限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n 个元素属于组合问题．
(1)已知a、b、c、d这四个元素，写出每次取 出2个元素的所有组合；
(2)已知A、B、C、D、E五个元素，写出每次 取出3个元素的所有组合．
(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出，即
3．从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组 的组合数相同吗？为什么？
4．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组 合数 Cnm＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元 素中选 m 个的组合数为 Cmn ；另一类含有元素 a，只要从其余的 n 个元素中选 m－1 个，其组合数为 Cmn －1，由分类计数原理可 以得出 Cnm＋1与 Cmn 和 Cmn －1的关系式，此式也可以用阶乘证明， 你会吗？
高中数学 人教A版选修2-3第一章1.2.2组合 第二课时课件(共18张PPT)
分成3类：第一类，114型，共有 C31 =3
种分法；
第二类，123型，共有 A33 =6
种分法；
第三类，222型，共有 1
种分法；
根据分类加法原理，共有3 6 1=10种方法.
练习：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件, 另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
直接：C31C94 C32C93 C33C92 666 间接：C152 C30C95 756
三、分组分配问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本；
确定 7C52 个平面；
第三类，从5个共面的点中选1个，从其余7个点中选2个，可以
确定 5C72 个平面； 第四类，从其余7个点中选3个，可以确定 C73 个平面； 根据分步类加法计数原理可得，共有 1 7C52 5C72 C73 =211
种方法.
练习、在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个 异于O点的点，以这10个点（含O点）为顶点，可以得到多少 个三角形？
§1.2.2 组合
第二课时
一、复习回顾
1、分类加法计数原理： 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案
中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同 的方法 ……在第n类方案中有mn种不同的方法.那
么完成这件事共有 N m1 m2 L mn 种
新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)ppt课件
P27 习题1.2 10、 11
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
n! C m!(n m)!
m n
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn n Am m!
C C
1 9
3 x 2 10
1,或5 , 则x ________
99 100
97 （4 ） 99
（5）求
C C C
98 99
2 9
5050 _______
511
C C C
9 的值 9
例题解读
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
a
b
c d
c
d
b c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m m C 个元素的组合数，用符号 表示. n
注意： m
Cn
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是： C4 6
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、 又若其中6道必答，共有 不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
n! C m!(n m)!
m n
m A n(n 1)(n 2) (n m 1) m n Cn n Am m!
C C
1 9
3 x 2 10
1,或5 , 则x ________
99 100
97 （4 ） 99
（5）求
C C C
98 99
2 9
5050 _______
511
C C C
9 的值 9
例题解读
1 2 3 n 1 1 求证： 1 2! 3! 4! n! n! 证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
a
b
c d
c
d
b c d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m m C 个元素的组合数，用符号 表示. n
注意： m
Cn
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 2 C3 3 的所有组合个数是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出 2 两个元素的所有组合个数是： C4 6
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、 又若其中6道必答，共有 不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；
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如何，就是相同的组合.
【微思考】 (1)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？ 提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的 是组合问题. (2)“树形图”在解组合问题时，起到了什么作用？ 提示：利用“树形图”可以把组合问题直观化，形象化，具体 化，起到了“数形结合”中的“形”的作用，从而很容易不遗 漏、不重复的写出所有的组合.
6 5 4 【解析】(1)由组合数公式知 C3 20. 6 3 2 1
答案：20
20 19 2 (2)C18 C 190. 20 20 2 1
答案：190
100 99 98 2 3 (3)C3 161 700. 99 C99＝C100 3 2 1
n! m! n m ! Cm n =__________
n m m m1 m C C C Cm n n n Cn 1 =________ n =____，
Байду номын сангаас
备 注
C0 ①n，m∈N*且m≤n，②规定： n =1
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a，b，c三个不同的元素任取两个元素的一个组合是
要注意灵活运用.
2.组合数的两个性质及其关注点
n m 性质1： Cm C . n n
它反映了组合数的对称性.若m＞ n ，通常不直接计算 Cm ，而 n
2
m ，这样可以减少计算量. 改为计算 Cn n m m1 性质2： Cm n 1 Cn Cn .
特点是左端下标为n+1，右端下标都为n，相差1；左端的上标
m n
C
m n
n(n－ 1)… n－m 1 m!
Am n
n! n－m !
m m Am C n n Am
Cm n
n! m! n－m !
联系
【微思考】
(1)一个组合与组合数有什么区别？ 提示：组合数与组合是两个不同的概念，根据定义，一个组合 是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，
所有不同 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________ 组合数 组合 _____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 定义 组合数 表示法
组合数 公式 性 质 乘积式 阶乘式
m C n ____
Am n n 1 n 2 n m 1 n m A Cm m! m n =____=_____________________
它是一个数.
(2)在 Cm 中有m，n∈N*，且m≤n，为什么要规定 C0 =1? n n
提示：C0 =1是为了运算需要规定的，没有实际意义. n
【即时练】
4，则n的值是( 若 A3 6C n n
)
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.原方程可化为：
n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 6g 4 3 2 1
2 .( C3
) )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 C2 个积.( 4 (3)1,2,3与3，2,1是同一个组合.( (4)C3 =5×4×3=60.( 5 ) )
2 是组合数而不是组合. 【解析】(1)错误，C3
(2)正确，取出的两个数的积，与取出两个数的顺序无关， 是一个组合问题，有 C2 个积. 4 (3)正确，组合与元素的顺序无关.
答案：161 700
【要点探究】 知识点1 组合的概念 对组合概念的三点说明 (1)组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即 从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有
位置的要求.
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序
与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.
【知识拓展】排列数与组合数的比较 连接 排列数 组合数
定义
乘 积 公 式 式 阶 乘 式
从n个不同的元素中取出 从n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的不同排 m(m≤n)个元素的不同组合 列的个数 的个数
A n(n 1)…(n m 1)
5 4 3 (4)错误， C3 10. 5 3 2 1
答案：(1)×(2)√(3)√(4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是
2 ______.(2) C18 =______.(3) C3 ＝______. 20 99 C99
【即时练】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛 需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有 多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考 虑谁先谁后，没有顺序的区别. (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、 乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的.
知识点2 组合数与组合数公式
1.组合数公式的两种形式的适用范围
形式 适用范围
乘积式
阶乘式
含具体数字的组合数的求值
含字母的组合数的有关变形及证明
m m－1 的顺用、逆用、变形用.顺用是将一 要注意性质 Cm C C n 1 n n 1 个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式 Cm n m = Cm 的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中 n 1 Cn
1.2.2 组合 第1课时 组合与组合数公式
问题 引航
1.组合的概念是什么？
2.什么是组合数？组合数公式是怎样的？如何推导？ 3.组合数有怎样的性质？
1.组合的定义 合成一组 ，叫做从n个 从n个不同的元素中取出m(n≥m)个元素_________ 不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
【微思考】 (1)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？ 提示：关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的 是组合问题. (2)“树形图”在解组合问题时，起到了什么作用？ 提示：利用“树形图”可以把组合问题直观化，形象化，具体 化，起到了“数形结合”中的“形”的作用，从而很容易不遗 漏、不重复的写出所有的组合.
6 5 4 【解析】(1)由组合数公式知 C3 20. 6 3 2 1
答案：20
20 19 2 (2)C18 C 190. 20 20 2 1
答案：190
100 99 98 2 3 (3)C3 161 700. 99 C99＝C100 3 2 1
n! m! n m ! Cm n =__________
n m m m1 m C C C Cm n n n Cn 1 =________ n =____，
Байду номын сангаас
备 注
C0 ①n，m∈N*且m≤n，②规定： n =1
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a，b，c三个不同的元素任取两个元素的一个组合是
要注意灵活运用.
2.组合数的两个性质及其关注点
n m 性质1： Cm C . n n
它反映了组合数的对称性.若m＞ n ，通常不直接计算 Cm ，而 n
2
m ，这样可以减少计算量. 改为计算 Cn n m m1 性质2： Cm n 1 Cn Cn .
特点是左端下标为n+1，右端下标都为n，相差1；左端的上标
m n
C
m n
n(n－ 1)… n－m 1 m!
Am n
n! n－m !
m m Am C n n Am
Cm n
n! m! n－m !
联系
【微思考】
(1)一个组合与组合数有什么区别？ 提示：组合数与组合是两个不同的概念，根据定义，一个组合 是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，
所有不同 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________ 组合数 组合 _____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 定义 组合数 表示法
组合数 公式 性 质 乘积式 阶乘式
m C n ____
Am n n 1 n 2 n m 1 n m A Cm m! m n =____=_____________________
它是一个数.
(2)在 Cm 中有m，n∈N*，且m≤n，为什么要规定 C0 =1? n n
提示：C0 =1是为了运算需要规定的，没有实际意义. n
【即时练】
4，则n的值是( 若 A3 6C n n
)
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.原方程可化为：
n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 6g 4 3 2 1
2 .( C3
) )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得 C2 个积.( 4 (3)1,2,3与3，2,1是同一个组合.( (4)C3 =5×4×3=60.( 5 ) )
2 是组合数而不是组合. 【解析】(1)错误，C3
(2)正确，取出的两个数的积，与取出两个数的顺序无关， 是一个组合问题，有 C2 个积. 4 (3)正确，组合与元素的顺序无关.
答案：161 700
【要点探究】 知识点1 组合的概念 对组合概念的三点说明 (1)组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即 从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有
位置的要求.
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序
与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1.
【知识拓展】排列数与组合数的比较 连接 排列数 组合数
定义
乘 积 公 式 式 阶 乘 式
从n个不同的元素中取出 从n个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的不同排 m(m≤n)个元素的不同组合 列的个数 的个数
A n(n 1)…(n m 1)
5 4 3 (4)错误， C3 10. 5 3 2 1
答案：(1)×(2)√(3)√(4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是
2 ______.(2) C18 =______.(3) C3 ＝______. 20 99 C99
【即时练】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题： (1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛 需要进行多少场次？ (2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有 多少种可能？ (3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【解析】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考 虑谁先谁后，没有顺序的区别. (2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、 乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别. (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的.
知识点2 组合数与组合数公式
1.组合数公式的两种形式的适用范围
形式 适用范围
乘积式
阶乘式
含具体数字的组合数的求值
含字母的组合数的有关变形及证明
m m－1 的顺用、逆用、变形用.顺用是将一 要注意性质 Cm C C n 1 n n 1 个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式 Cm n m = Cm 的使用，为某些项相互抵消提供了方便，在解题中 n 1 Cn
1.2.2 组合 第1课时 组合与组合数公式
问题 引航
1.组合的概念是什么？
2.什么是组合数？组合数公式是怎样的？如何推导？ 3.组合数有怎样的性质？
1.组合的定义 合成一组 ，叫做从n个 从n个不同的元素中取出m(n≥m)个元素_________ 不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质