湖北省武汉市外国语学校高二数学下学期期末考试试题 文(无答案)
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高二上·长治月考) 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是（）A .B .C .D .2. （2分）在棱长为1的正方体中，则平面与平面间的距离（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·城关期中) 甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁4. （2分）直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）已知A={x|x2+（P+2）x+4=0}，M={x|x＞0}，若A∩M=∅，则实数P的取值范围________．6. （1分）(2019·浙江) 复数（i为虚数单位），则|z|=________7. （1分）(2019·金华模拟) 位同学分成组，参加个不同的志愿者活动，每组至少人，其中甲乙人不能分在同一组，则不同的分配方案有________种．（用数字作答）8. （1分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次冥项的系数之和为32，则a=________ 。
9. （1分）如图，在四面体ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且AD⊥AB，BC⊥AB，则二面角C﹣AB﹣D的余弦值为________．10. （1分） (2018高二上·武邑月考) 过点作直线交轴于点，过点作交轴于点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为________．11. （1分）已知i是虚数单位，则i2015=________12. （1分）一组数据的方差等于零，则极差等于________一组数据的方差等于1，则标准差等于________．13. （1分） (2019高二上·城关期中) 在圆x2＋y2＝5x内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1 ，最长弦长为an ，若公差，那么n的取值集合为________.14. （1分） (2018高二下·衡阳期末) 长方体的8个顶点都在球O的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为________.15. （1分） (2017高二下·寿光期中) 某校组织10名学生参加高校的自主招生活动，其中6名男生，4名女生，根据实际要从10名同学中选3名参加A校的自主招生，则其中恰有1名女生的概率是________．16. （1分） (2019高二下·上海期末) 对于无理数x,用表示与x最接近的整数,如 , .设，对于区间的无理数x,定义 ,我们知道,若 , 和 ,则有以下两个恒等式成立：① ；② ,那么对于正整数和两个无理数 , ,以下两个等式依然成立的序号是________；① ；② .三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分） (2016高二上·嘉兴期中) 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．求证：（1）AP∥平面BDM；（2）AP∥GH．18. （10分） (2015高二下·徐州期中) 已知（x+ ）n展开式的二项式系数之和为256（1）求n；（2）若展开式中常数项为，求m的值；（3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的值．19. （15分） (2016高二下·辽宁期中) 公车私用、超编配车等现象一直饱受诟病，省机关事务管理局认真贯彻落实党中央、国务院有关公务用车配备使用管理办法，积极推进公务用车制度改革．某机关单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个独立业务部门．为配合用车制度对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下：车尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车情况相互独立．（1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E（X）．20. （15分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 .（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.21. （15分）已知数列的前n项和，其中．（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
高二下数学测试1(解析版)(1)
武汉外国语学校高二下数学测试1一、单选题1．吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为()r V ，()r V '为()r V 的导函数．已知()r V 在03V ≤≤上的图像如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()12r r ''≤ C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭ D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=点之间的斜率，()0r V '表示00(,())C V r V 处切线的斜率，由于()012,V V V ∈，所以可以平移直线AB 使之和曲线相切，切点就是点C ,所以该选项正确.故选：D2．在1和10之间插入n 个实数，使得这()2+n 个数构成递增的等比数列，将这()2+n 个数的乘积记作n T ，则1211lg lg lg T T T +++=（ ）A ．132B ．11C ．44D ．521232121n n c q q qq+++⋅⋅⋅+++⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=1134513lg 2222T ++=+++⋅⋅⋅+=3．已知()f x 满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，21()f x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为( )A ．10x y +-=B ．320x y --=C ．330x y --=D ．20x y --=的切线方程为()031y x -=-，整理得330x y --=﹒故选：C ．4．若直线:l y x b =+与曲线y b 的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．D ．||b 5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14AB AD AA ===，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠==︒，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A B ．23C D ．13【答案】C 【详解】如下图，构建基向量AB ，AD ，1AA .则11AC A A AB AD =++，111BC AD AD AA ==+，所以22222111111()222AC AC A A AB AD A A AB AD A A AB A A AD AD AB ==++=+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅161616244cos120244cos120244cos90=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒14864()42=+⨯-=，222211111()2BC BC AD AA AD AA AD AA ==+=++⋅⋅1616244cos 6043=++⨯⨯⨯︒=，1111()()AC BC A A AB AD AD AA ⋅=++⋅+11111A A AD A A AA AB AD AB AA AD AD AD AA =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅44cos12044044cos604444cos608=⨯⨯︒-⨯++⨯⨯︒+⨯+⨯⨯︒=，所以11111183cos ,6443A C BC A C BC A C BC ⋅<>===⨯⋅.故选：C. 6．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1B ．42+2C．D ．2由题可知：:(1)C x -，所以点P 的轨迹方程上存在两点,A B ，使得)到直线l 的距离为7.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若||4AF =，则以下结论不正确的是（ ） A ．2p = B ．F 为AD 的中点 C ．||2||BD BF = D ．||2BF =二、多选题9.下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上单调递增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x答案ABD解析由奇函数的定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于A，y′＝6x2＋4>0，所以y ＝2x 3＋4x 在(0，1)上单调递增；对于B ，y ′＝1－cos x ≥0，且y ′不恒为0，所以y ＝x ＋sin(－x )在(0，1)上单调递增；对于D ，y ′＝2x ln 2＋2－x ln 2>0，所以y ＝2x －2－x 在(0，1)上单调递增．故选ABD. 3．【多选题】已知ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，x 2＋2y 2－4－2ln 2＝0，记M ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则( ) A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，x 2＝125C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，x 2＝65答案 BC解析 本题考查两点间距离的最小值的相关问题，导数的应用．由ln x 1－x 1－y 1＋2＝0得y 1＝ln x 1－x 1＋2，(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝ln x －x ＋2得y ′＝1x －1，与直线x ＋2y －4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，∴点(2，ln 2)到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0的距离为|2＋2ln 2－4－2ln 2|1＋4＝255，即函数y ＝ln x －x ＋2的图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为45.过点(2，ln 2)与直线x ＋2y －4－2ln 2＝0垂直的直线为y －ln 2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4－2ln 2＝0，2x －y －4＋ln 2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC.11．已知正三棱锥O ABC -的底面边长为2A ,B ,C 三点均在以O 为球心的球O的球面上，Q 是该球面上任意一点，下列结论正确的有（ ▲ ） A ．球O 的半径为43B ．三棱锥O ABC -的内切球半径为36C ．QA QB ⋅的取值范围是⎡⎢⎣⎦D ．若QA ⊥平面ABC ，则异面直线AC 与QB【解析】设2,,G H O 分别为,,BC AB AQ 的中点，1O 为ABC ∆的中心，ABC S ∆=S =表，COB S ∆∴=OG =，43OB ∴==,故A 对；13V S r =表，121333r =⋅，r ∴=B 对；2221QA QB QH BH QH ⋅=-=-，4433QH ⎡∈-⎢⎣⎦，141499QA QB ⎡-+∴⋅∈⎢⎣⎦,故C错；2//,//QB O H AC HG，222222222133cos 226O H HG O G O HG O H HG ⎛+- +-∴∠===-⋅，cos θ∴=D 对. 12.已知F为双曲线22:1C x y -=的右焦点，P 在双曲线C 右支上，点2K ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设PKF α∠=，PFK β∠=， KPF γ∠=，下列判断正确的是（ ▲）A ．α最大值为3πB．sin sin 2βα≤ C ．tan αβ=D ．存在点P 满足2γα= 【解析】过P向2x =作垂线，垂足为1P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为2P，设直线:2PK x ty =+不妨设0t >，221x ty xy ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，消y ，()221102t y ∴-+-=，2420t ∴∆=-=， 2t ∴=，1tan k t α∴===cos 3α∴=，cos 3α∴≥，故A错；sin 2βα≤⇔PK ≤（易得1PF PP =1PK ⇔=1PP PK ⇔≥cos 3α⇔≥，故B 对；tanαβ=⇔222PPPF KP =⇔=12⇔=（显然成立），故C 对；1sinsin sin sin 2KFPF αγγα=⇔=12sin cos 2ααα⇔=⋅cos 22P x α⇔=-⎭14cos P x α⇔=（已知cos 1α≤≤）1,44P x ⎡⇔∈⎢⎣⎦（显然成立），（也可用极限思想考虑）故D 对. 三、填空题13.设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝2x －ln x ，则f ′(1)＝________． 答案 2e －114．已知直线y ax b =+与曲线ln 2y a x =+相切，则223a b +的最小值为____________．15．在等比数列{}n a 中，5312a a -=，6424a a -=，记数列{}n a 的前n 项和､前n 项积分别为n S ，n T ，若()21n n S T λ+≤对任意正整数n 都成立，则实数λ的最小值为___________.122n -⋅⋅=时，()21nnS T +四、解答题17．求下列函数的导数： (1)y ＝sin 4x ＋cos 4x ；(2)y ＝x 3e cos x .解析 (1)∵y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 22x＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x ，∴y ′＝－sin 4x .(2)y ′＝(x 3)′e cos x ＋x 3(e cos x )′＝3x 2e cos x ＋x 3e cos x ·(cos x )′＝3x 2e cos x －x 3e cos x sin x .18.已知函数()()1e xf x x =-．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；(2)过点(),0A a 作曲线()1e xy x =-的切线，若切线有且仅有1条，求实数a 的值．【解析】（1）()()1e e e x x xf x x x =--=-'，令1x =，()1e f '=-，()10f =，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处19.已知等比数列n a 的前n 项和为n S ，且满足123112a a a -=，430S =，数列{}nb 满足：11b =，1231111123n n b b b b b n+++++=-，（*n N ∈） （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 的通项()()131nn n n c a b =+-+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【解析】（1）123112a a a -=，2111112a a q a q∴-=，220q q ∴--=， 2q ∴=或1q =-， 当1q =-时，40S =不符合，舍去， 当2q =时，()()4411411121530112a q a S a q--====--，12a ∴=，1222n nn a -∴=⋅=，，1231111123n n b b b b b n+++++=- ① 12311111231n n b b b b b n -∴++++=--， ② 2,*n n N ≥∈，∴①-②11n n n b b b n +=-，11n n b b n n+∴=+ 2,*n n N ≥∈，当1n =时，1211b b =-=，22b ∴=，21121b b ∴==，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，1n b n ∴=，n b n ∴=. （2）()()()()1312131nnn n n n c a b n =+-+=+-+，∴当n 为偶数时，()()()()()()212471013323112n n T n n -⎡⎤=+-++-+++--++⎣⎦-1132232222n n n n ++=-++⋅=+- 当n 为奇数时，()()11339212231=2222n n n n n n T T c n n n +-=+=+--+-+--， 11392,22322,2n n n n n T n n ++⎧--⎪⎪∴=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数（或()1351321244n n n T n +⎛⎫=++⋅-- ⎪⎝⎭）21.已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1，a 为实数． (1)当a ≤2时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间[1，5]上单调递减，求实数a 的取值范围．解析 (1)根据题意知f (x )定义域为R ，f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]， 当a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，f (x )在R 上单调递增； 当a <2时，a －1<1，由f ′(x )>0得x >1或x <a －1， 由f ′(x )<0得a －1<x <1.∴f (x )在(－∞，a －1)与(1，＋∞)上单调递增，在(a －1，1)上单调递减． 综上所述，当a ＝2时，f (x )在R 上单调递增；当a <2时，f (x )在(－∞，a －1)与(1，＋∞)上单调递增，在(a －1，1)上单调递减． (2)由已知得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1≤0在区间[1，5]上恒成立， ∴a (x －1)≥x 2－1在区间[1，5]上恒成立． 当x ＝1时，a ∈R ；当1<x ≤5时，a ≥x ＋1.而函数y ＝x ＋1在(1，5]上单调递增，当x ＝5时，y max ＝6， 则a ≥6. 综上，a ≥6.22. 已知抛物线C ：()220x py p =>，F 为抛物线C 的焦点，()0,1M x 是抛物线C 上点，且2MF =；（1）求抛物线C 的方程；（2）过平面上一动点(),2P m m -作抛物线C 的两条切线P A ，PB （其中A ，B 为切点），求11AF BF+的最大值.【小问1详解】依题意得：=122p MF +=，∴2p =，∴24p =，所求抛物线2C 的方程为24x y =； 【小问2详解】抛物线2C 的方程为24x y =，即24x y =∴'2xy =，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),2P m m -则切线P A ，PB 的斜率分别为12x ，22x .所以切线P A ：()1112x y y x x -=-，∴211122x x y x y =-+，又2114x y =，11220y x x y ∴-+=，同理可得切线PB 的方程为22220y x x y -+=，因为切线P A ，PB 均过点(),2P m m -，所以112240y mx m -+-=，222240y mx m -+-=，所以()11,x y ，()22,x y 为方程2240y mx m -+-=的两组解.所以直线AB 的方程为2240y mx m -+-=. 联立方程222404y mx m x y -+-=⎧⎨=⎩，消去x 整理得()()2222420y m m y m --++-=，∴()()()222222442480m m m m m m ∆=-+--=-+≥，∴m R ∈.∴21224y y m m +=-+，()2122y y m =-由抛物线定义可知11AF y =+，21BF y =+，所以11AF BF AF BF AF BF++=，∵()()()121212111AF BF y y y y y y =++=+++2269m m =-+， ∴2223+112612+2692269m AF BF m m AF BF AF BF m m m m +-+===+-+-+，令32m t R +=∈，∴原式2111154545222621221222t t t t t +=+=++=-++-≤，即原式的最大值56+.。
武汉市高二下学期数学期末考试试卷(文科)(I)卷
武汉市高二下学期数学期末考试试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设函数f(x)=x(ax2+bx+c)（）在x=1和x=-1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）A . (a+b,c)B . (c,a)C . (b,c)D . (a,b)2. （2分） (2015高二下·太平期中) 若复数（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A . 1B . ﹣1C . 1或﹣1D . 不存在3. （2分） (2016高二下·永川期中) 《论语•学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A . 类比推理B . 归纳推理C . 演绎推理D . 一次三段论4. （2分）已知函数f（x）=x3+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为4，则函数g（x）= sin2x+bcos2x的最大值是（）A . 1B . 2C .D .5. （2分）给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，则；④若，，，，，则.其中为假命题的是（）A . ①B . ②C . ④D . ③6. （2分）工人的月工资y（元）与劳动生产率x（千元）的回归方程为 =50+80x，下列判断正确的是（）A . 劳动生产率为1000元时，工资为130元B . 劳动生产率提高1000元，则工资提高80元C . 劳动生产率提高1000元，则工资提高130元D . 当月工资为210元时，劳动生产率为2000元7. （2分） (2016高二下·信阳期末) 定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和．例如：1= + + ，1= + + + ，1= + + + + ，…，依此拆分法可得1= + + + + + + + + + + + + + ，其中m，n∈N* ，则m﹣n=（）A . ﹣2B . ﹣4C . ﹣6D . ﹣88. （2分）用反证法证明命题“若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是（）A . 假设a，b，c中只有一个为0B . 假设a，b，c都不为0C . 假设a，b，c都为0D . 假设a，b，c不都为09. （2分）流程如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A . f（x）=x2B . f（x）=C . f（x）=lnx+2x﹣6D . f（x）=sinx10. （2分）设复数，，若为实数，则b的值为（）A . 2B . 1C . -1D . -211. （2分）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A . [-5,-3]B . [-6,1]C . [-6,-2]D . [-4,-3]12. （2分） (2016高二下·会宁期中) 观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3 ，（cos x）′=﹣sin x，若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（﹣x）=（）A . f（x）B . ﹣f（x）C . f′（x）D . ﹣f′（x）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·泉州模拟) 已知曲线C：y=x2+2x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x=1围成的区域面积等于________．14. （1分）（3+4i）（﹣2﹣3i）=________15. （1分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 ，则a=________．16. （1分） (2018高二下·雅安期中) 某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产________（千台）．三、解答题 (共6题；共70分)17. （5分） (2017高二下·蚌埠期中) 已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1．求证：a、b、c、d 中至少有一个是负数．18. （15分） (2018高三上·西安模拟) 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？生产能手非生产能手合计25周岁以上组25周岁以下组合计0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828附：19. （10分）已知f（x）=（x﹣a）2+4ln（x+1）的图象在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（1）求实数a的值（2）求出f（x）的所有极值．20. （15分） (2017高一下·西华期末) 假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：x23456y 2.2 3.8 5.5 6.57.0（1）画出散点图并判断是否线性相关；（2）如果线性相关，求线性回归方程；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？21. （15分） (2016高三上·晋江期中) 设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）= ，已知曲线y=f（x）在x=1处的切线过点（2，3）．（1）求实数a的值．（2）是否存在自然数k，使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．（3）设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的较小值），对于实数m，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．22. （10分）(2020·河南模拟) 已知函数 .（1）若在上存在极大值，求的取值范围；（2）若轴是曲线的一条切线，证明：当时， .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
湖北省武汉市大学附属外语学校2021年高二数学文期末试卷含解析
湖北省武汉市大学附属外语学校2020-2021学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠?”的充要条件是（）A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥3参考答案：B【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于集合A的不等式，根据A∩B≠?”求出a的范围即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜a}，若“A∩B≠?”，则a＞﹣1，故选：B．2. 如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）A． B. C. D.参考答案：A略3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A． B． C． D．参考答案：D4. 若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P是抛物线上的一动点,则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为 ( )(A)(0,0) (B)(1,1) (C)(2,2) (D)（,1）参考答案：C5. 椭圆11x2+20y2=220的焦距为（）A．3 B．6 C．2D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解即可．【解答】解：椭圆11x2+20y2=220化为：，椭圆的焦距2c=2=6．故选：B．6. 已知，猜想的表达式为（）A. B.C. D.参考答案：D7. 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A.28B.76C.123D.199参考答案：C8. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，消去y，运用两根之和，运用双曲线的第二定义可得|AB|，以及P的坐标，计算即可得到．【解答】解：设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，由e=2，即c=2a，b=a．直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，可得（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0，即为（3a2﹣a2k2）x2+4a3k2x﹣4a4k2﹣3a4=0，x1+x2=．则由双曲线的第二定义可得|AB|=|AF+|BF|=2（x1﹣）+2（x2﹣）=2（x1+x2）﹣2a=8，即有2?=8+2a，即=8，①则m=，n=k（m﹣2a）=，弦AB的中垂线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），可得P（，0），则|PF|=|﹣2a|=||，由①可得，|PF|=8．故选C．9. 直线与圆相切, 则实数m等于（）A． B． C．或 D．或参考答案：C10. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为( ) A．240 B．160 C．80 D．60参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数是虚数单位)，则z的虚部等于______．参考答案：-1【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.12. 12．利用数学归纳法证明“”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是___ ______ ；参考答案：2(2k +1)略13. 已知△的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为▲．参考答案：略14. 已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n= ．参考答案：1【考点】复数相等的充要条件．【分析】化简原式可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解之即可．【解答】解：∵，∴2=（1﹣i）（1+ni），化简可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解得n=1，故答案为：115. 已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，段段AB总是位于A,B两点之间函数图象的下方，因此有结论成立。
湖北省高二(下)期末数学试卷(文科)(含参考答案)
湖北省高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足z=i2017，则z的共轭复数的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i2．设命题p：?x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．?x＞0，log2x≥2x+3 B．?x＞0，log2x≥2x+3C．?x＞0，log2x＜2x+3 D．?x＜0，log2x≥2x+33．已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B，命题乙：A?B，那么（）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． B．y=±2x C．D．5．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“Ｘ与Y有关系”的把握程度越大其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④6．设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，且f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1的解集为（）A．[﹣1，1]B．[0，4]C．[﹣2，2]D．[1，3]7．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x3456y 2.5t4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.58．四个人站成一排，解散后重新站成一排，恰有一个人位置不变的概率为（）A．B．C．D．9．我国古代名著《九章算术》用“辗转相除法”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．其程序框图如图，当输入a=1995，b=228时，输出的（）A．17 B．19 C．27 D．5710．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线11．已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置）13．函数的定义域为．14．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是．15．函数．若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，则f（x）的极小值（其中e为自然对数的底数）等于．16．已知函数y=f（x）恒满足f（x+2）=f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数g （x）=f（x）﹣|lgx|在R上的零点的个数是．三、解答题（本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=4x+m?2x+1（x∈（﹣∞，0]，m∈R）（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有零点，求m的取值范围．18．设命题p：方程表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点．若p∧q是真命题，求k的取值范围．19．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以x （单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；（Ⅱ）求食堂每天面包需求量的中位数；（Ⅲ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率．20．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，求的值．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．已知曲线 C 的极坐标方程为ρ2﹣4（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在该曲线上，求x+y 的取值范围．23．在直角坐标系中，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点A（﹣2，4），M（x，y）为直线x﹣y+8=0上的动点（Ⅰ）解关于x的不等式d（A，M）≤4；（Ⅱ）求d（A，M）的最小值．湖北省高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足z=i2017，则z的共轭复数的虚部是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i【考点】A1：虚数单位i及其性质．【分析】由已知求得，则答案可求．【解答】解：复数z满足z=i2016?i=i，则z的共轭复数=﹣i，则其虚部是﹣1，故选：A2．设命题p：?x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．?x＞0，log2x≥2x+3 B．?x＞0，log2x≥2x+3C．?x＞0，log2x＜2x+3 D．?x＜0，log2x≥2x+3【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题，则命题p：?x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为?x ＞0，log2x≥2x+3，故选：B3．已知A，B是非空集合，命题甲：A∪B=B，命题乙：A?B，那么（）A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题甲：A∪B=B，命题乙：A B，A∪B=B?A?B，A B?A∪B=B．由此能求出结果．【解答】解：∵命题甲：A∪B=B，命题乙：A B，A∪B=B?A?B，A B?A∪B=B．∴甲是乙的必要不充分条件．故选B．4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． B．y=±2x C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在y轴上，由离心率公式可得e2==5，变形可得=2；由焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在y轴上，且c=，若其离心率e=，则有e2==5，则有=2；又由双曲线的焦点在y轴上，其渐近线方程为：y=±x，即y=±x；故选：A．5．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“Ｘ与Y有关系”的把握程度越大其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】BL：独立性检验；B3：分层抽样方法；BK：线性回归方程．【分析】第一个命题是一个系统抽样；这个说法不正确，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；在回归直线方程中，代入一个x的值，得到的是预报值，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“Ｘ与Y有关系”的把握程度越大，【解答】解：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①不正确，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．②正确在回归直线方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2单位．③正确，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“Ｘ与Y有关系”的把握程度越大，④不正确．综上可知②③正确，故选B．6．设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，且f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1的解集为（）A．[﹣1，1]B．[0，4]C．[﹣2，2]D．[1，3]【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数为奇函数可得f（﹣1）=﹣f（1）=1，结合的单调性分析可得﹣1≤f（x﹣2）≤1?f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）?﹣1≤x﹣2≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若f（x）为奇函数，则f（﹣1）=﹣f（1）=1，则﹣1≤f（x﹣2）≤1?f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），又由f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则﹣1≤f（x﹣2）≤1?f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）?﹣1≤x﹣2≤1，解可得1≤x≤3；即[1，3]；故选：D．7．表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x3456y 2.5t4 4.5A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】BQ：回归分析的初步应用．【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t的一次方程，解方程，得到结果．【解答】解：∵由回归方程知=，解得t=3，故选A．8．四个人站成一排，解散后重新站成一排，恰有一个人位置不变的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】首先求得满足题意的排列的种数，然后利用古典概型公式进行计算即可求得概率值．【解答】解：使用乘法原理考查满足题意的排列方法，先从4个人里选3个进行调换，因为每个人都不能坐在原来的位置上，因此第一个人有两种坐法，被坐了自己椅子的那个人只能坐在第三个人的椅子上（一种坐法），才能保证第三个人也不坐在自己的椅子上．因此三个人调换有两种调换方法．故不同的调换方法有种，恰有一个人位置不变的概率为．故选：C．9．我国古代名著《九章算术》用“辗转相除法”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举．其程序框图如图，当输入a=1995，b=228时，输出的（）A．17 B．19 C．27 D．57【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；a=1995，b=228，执行循环体，r=171，a=228，b=171，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=57，a=171，b=57，不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=57，b=0，满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为57．故选：D．10．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【考点】KA：双曲线的定义．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．11．已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e﹣x，③f（x）=lnx，④f（x）=tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】63：导数的运算．【分析】根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件f（x0）=f′（x0），确实是否有解即可．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）=x2；则f′（x）=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）=e﹣x；则f′（x）=﹣e﹣x，即e﹣x=﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）=lnx，则f′（x）=，若lnx=，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）=tanx，则f′（x）=﹣，即sinxcosx=﹣1，变形可sin2x=﹣2，无解，④不符合要求；故选：B．12．设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．【考点】K9：抛物线的应用；K8：抛物线的简单性质；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置）13．函数的定义域为（] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：0＜2x﹣1≤1，解得：＜x≤1，故答案为：（]．14．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是甲．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故答案为：甲．15．函数．若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，则f（x）的极小值（其中e为自然对数的底数）等于2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值．【解答】解：由函数得f′（x）=﹣．∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0．即f′（e）=0，有﹣=0，解得k=e．∴f′（x）=﹣=，由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．∴f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，当x=e时f（x）取得极小值f（e）=lne+=2．故答案为：2．16．已知函数y=f（x）恒满足f（x+2）=f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数g （x）=f（x）﹣|lgx|在R上的零点的个数是8．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】作出f（x）与y=|lgx|的函数图象，根据函数图象的交点个数得出答案．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为2，令g（x）=0得f（x）=|lgx|，作出y=f（x）与y=|lgx|的函数图象如图所示：由图象可知f（x）与y=|lgx|在（0，1）上必有1解，又f（x）的最小值为，f（x）的最大值为1，∵lg2＜lg=，lg4＞lg=，lg9＜1，lg11＞1，∴f（x）与y=|lgx|在（10，+∞）上没有交点，结合图象可知f（x）与y=|lgx|共有8个交点，∴g（x）共有8个零点．故答案为：8．三、解答题（本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=4x+m?2x+1（x∈（﹣∞，0]，m∈R）（Ⅰ）当m=﹣1时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若f（x）有零点，求m的取值范围．【考点】34：函数的值域．【分析】（Ⅰ）当m=﹣1时，可得f（x）=）=4x﹣2x+1，转化为二次函数问题求解值域即可．（Ⅱ）f（x）有零点，利用分离参数m，讨论单调性即可得m的取值范围．【解答】解：当m=﹣1时，可得f（x）=）=4x﹣2x+1，令t=2x，x≤0，由指数函数的单调性和值域t∈（0，1]．（Ⅰ）函数f（x）化为y=t2﹣t+1=，t∈（0，1]．当t=时，y取得最小值为；当t=1时，y取得最大值为1；∴函数的值域为[，1]；（Ⅱ）f（x）有零点，即4x+m?2x+1=0有解（x∈（﹣∞，0]，∴m=．∵t=2x，t∈（0，1]．∴m==≤﹣2．（当且仅当t=1时，取等）即m≤﹣2．∴f（x）有零点，m的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．设命题p：方程表示双曲线；命题q：斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点．若p∧q是真命题，求k的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时，k的取值范围，再利用p∧q为真命题，即可求k的取值范围．【解答】解：命题p真，则（2+k）（3k+1）＞0，解得k＜﹣2或，…命题q为真，由题意，设直线l的方程为y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，…联立方程组，整理得ky2﹣4y+4（2k+1）=0，…要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足，…解得且k≠0…若p∧q是真命题，则，即所以k的取值范围为…19．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如图所示．食堂某天购进了90个面包，以x （单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；（Ⅱ）求食堂每天面包需求量的中位数；（Ⅲ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）当60≤x≤90时，利润T=5x+1×（90﹣x）﹣3×90，当90＜x≤110时，利润T=5×90﹣3×90，由此能求出T关于x的函数解析式．（Ⅱ）设食堂每天面包需求量的中位数为t，利用频率分布直方图能求出食堂每天面包需求量的中位数．（III）由题意，设利润T不少于100元为事件A，当利润T不少于100元时，求出70≤x≤110，由直方图能求出当70≤x≤110时，利润T不少于100元的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当60≤x≤90时，利润T=5x+1×（90﹣x）﹣3×90=4x﹣180，当90＜x≤110时，利润T=5×90﹣3×90=180，∴T关于x的函数解析式T=．…（Ⅱ）设食堂每天面包需求量的中位数为t，则10×0.025+10×0.015+（t﹣80）×0.020=，解得t=85，故食堂每天面包需求量的中位数为85个．…（III）由题意，设利润T不少于100元为事件A，由（Ⅰ）知，利润T不少于100元时，即4x﹣180≥100，∴x≥70，即70≤x≤110，由直方图可知，当70≤x≤110时，利润T不少于100元的概率：P（A）=1﹣P（）=1﹣0.025×（70﹣60）=0.75．…20．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x 的范围，即可得到答案；（Ⅱ）由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数b的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）.．若a≤0，则f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上递减；若a＞0，则由f'（x）＞0得：；由f'（x）＜0得：．∴f（x）在上递减，在递增．（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴f'（1）=0，即a﹣1=0，解得：a=1．∴f（x）=x﹣1﹣lnx．由f（x）≥bx﹣2得：x﹣1﹣lnx≥bx﹣2，∵x＞0，∴．令，则由g'（x）＞0得：x＞e2；由g'（x）＜0得：0＜x＜e2．所以，g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+∞）递增．∴，∴．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，求的值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知可得a﹣c=2，b=，结合隐含条件求得a，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣4，0），B（4，0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得，再由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，可得k QA?k2=﹣1，由A，P，Q三点共线，可得k AP=k QA，k PA?k2=﹣1．进一步求得．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得a﹣c=2，b=，又b2=a2﹣c2=12，解得a=4．故所求椭圆C的方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣4，0），B（4，0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴．∵P（x1，y1）在椭圆C上，∴，即．∴．…①由已知点Q（x2，y2）在圆x2+y2=16上，AB为圆的直径，∴QA⊥QB．∴k QA?k2=﹣1．由A，P，Q三点共线，可得k AP=k QA，∴k PA?k2=﹣1．…②由①、②两式得．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．已知曲线 C 的极坐标方程为ρ2﹣4（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在该曲线上，求x+y 的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由题意可知即可求得曲线C的普通方程；（Ⅱ）设圆的参数，将P代入圆的方程，即可求得x+y的表达式，根据二次函数的性质，即可求得正弦函数的性质即可求得x+y的取值范围．+6=0，【解答】解：（Ⅰ）原方程变形为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ化直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，∴曲线C的普通方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2；…５分（Ⅱ）设圆的参数方程为（α 为参数），点P（x，y）在圆上，则x．所以x+y 的最大值为6，最小值为2，∴x+y 的取值范围[2，6]．…10分23．在直角坐标系中，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“直角距离”：d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点A（﹣2，4），M（x，y）为直线x﹣y+8=0上的动点（Ⅰ）解关于x的不等式d（A，M）≤4；（Ⅱ）求d（A，M）的最小值．【考点】7E：其他不等式的解法；IS：两点间距离公式的应用．【分析】（Ⅰ）根据新定义建立关系，利用绝对值不等式的性质，去绝对值求解即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质，求解d（A，M）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．∴d（A，M）≤4；即d（A，M）=|x+2|+|y﹣4|≤4，∵M（x，y）为直线x﹣y+8=0上的动点，∴x+8=y．∴d（A，M）=|x+2|+|x+4|≤4去掉绝对值：或或解得：﹣5≤x≤﹣4或﹣4＜x＜﹣2或﹣2≤x≤﹣1，∴不等式的解集为{x|﹣5≤x≤﹣1}；（Ⅱ）d（A，M）的最小值．即d（A，M）=|x+2|+|y+4|≥|（x+2）﹣（x+4）|=2当且仅当（x+2）（x+4）≤0，即﹣4≤x≤﹣2时取等号．故当﹣4≤x≤﹣2时，d（A，M）的最小值为2．。
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷(文科)
湖北省武汉市高二下学期数学期末考试试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·佛山月考) 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为（）A .B .C .D .2. （2分）若是向量，则“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高二上·贵阳期末) 某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（°C）181310﹣1用电量（度）24343864由表中数据得线性回归方程近似为，预测当气温为﹣4°C时，用电量度数为（）A . 68B . 67C . 65D . 644. （2分）用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A . 3B . 4C . 6D . 125. （2分） (2017高三上·甘肃开学考) 公差不为0的等差数列{an}中，3a2005﹣a20072+3a2009=0，数列{bn}是等比数列，且b2007=a2007 ，则b2006b2008=（）A . 4B . 8C . 16D . 366. （2分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A .B .C .D .7. （2分）在中，若，则A等于（）A . 或B . 或C . 或D . 或8. （2分）已知命题p：∀x＞0，x2﹣1≥2lnx，则￢p为（）A . ∃x≤0，x2﹣1＜2lnxB . ∃x＞0，x2﹣1＜2lnxC . ∀x＞0，x2﹣1＜2lnxD . ∀x≤0，x2﹣1＜2lnx9. （2分） (2017高二上·定州期末) 任取，直线与圆相交于A,B 两点，则的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，则数列{an}的通项公式为（）A . =2n﹣1B .C .D .11. （2分）已知焦点在y轴上的椭圆，其离心率为，则实数m的值是（）A . 4B .C . 4或D .12. （2分） (2016高二下·孝感期末) 设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A . （﹣1，0）∪（1，+∞）B . （﹣1，0）∪（0，1）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高一下·哈尔滨期末) 设x，y满足约束条件，则的最小值为________ .14. （1分） (2020高二上·兰州期末) 已知函数的图象在点M（1 ,f（1））处的切线方程是+2,则的值等于________15. （1分）若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如142+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f〔f1（n）〕，…，fk+1（n）=f〔fk（n）〕，k∈N* ，则f2012（8）=________．16. （2分）抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a= ________ ；线段FP中点M的轨迹方程为________三、解答题 (共7题；共60分)17. （15分） (2016高一下·随州期末) 已知数列{an}是首项为a1= ，公比q= 的等比数列，设bn+2=3an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an•bn ．（1）求证：{bn}是等差数列；（2）求数列{cn}的前n项和Sn；（3）若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．18. （10分） (2017高二上·长春期末) 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价（百元）与日销售量（件）之间有如下关系：（1）求关于的回归直线方程；（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？相关公式：，．19. （5分）(2018·南充模拟) 汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟从2012年开始就对二氧化碳排放量超过的型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下(单位： )：甲80110120140150乙100120100160经测算发现，乙类型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为 .（Ⅰ）从被检测的5辆甲类型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？(Ⅱ)求表中，并比较甲、乙两类型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.，其中，表示的平均数，表示样本数量，表示个体，表示方差)20. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知抛物线与直线交于两点，，点在抛物线上，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求点的坐标．21. （10分）已知函数f（x）=ax3﹣x2（a∈R）在处取得极值．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间．22. （10分）(2018·长春模拟) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，： .（1）求与的交点的极坐标；（2）设点在上，，求动点的极坐标方程.23. （5分）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、第11 页共11 页。
湖北省武汉市外国语学校2013-2014学年高二下学期期末考试数学(文)试题(无答案)
第I 卷（选择题 共50分）1. 若复数z ，满足12z z i +=+，则z 的虚部为（ ） A. 2iB. 1C. 2D. i2. 全集U 是实数集R ，{}234M x x x =-≥，13log (2)0N x x ⎧⎫=+≥⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ）A.32x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭B. {}1x x ≤- C . 312x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭D. {}12-≤<-x x 3. 设a R ∈，则“2a =-”是 “直线l 1：1:210l ax y +-=与直线2:(1)20l x a y +++=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果k =（ ）A.4B.5C.6D.7 5. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 下列命题正确的是（ ） A ．若//,//,a b a α则//b αB ．若,//,a αβα⊥则a β⊥C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥6. 已知双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，则此双曲线的离心率为（ ） ABCD ．57. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．48+8C ．D ．808. 已知锐角βα,满足： 51cos sin =-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则cos α=（ ） AB ．CD9. 用分期付款方式（贷款的月利率为1%）购买总价为25万元的汽车,购买当天首付15万元,此后可采用以下方式支付贷款:以后每月的这一天都支付相同数目的还款,20个月还完,则每月应还款约（ ）元（201.01 1.22≈） A ．5545B ．5546C ．5547D ．554810. 函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是（ ）A ．)40,abcd e ⎡∈⎣B ．562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭C ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 必有一个取值为134D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分11. 若实数,x y 满足 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,23x y z +=,则z 的取值范围是________________.12. 用1,2,3,4,组成不含重复数字的四位数，其中数字1,3相邻的概率是________________.13. 甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是________________.14. 不等式221x x +>+的解集是________________. 15. 平行四边形ABCD 中，已知4,3,60AB AD BAD ==∠=，点,E F 分别满足2,AE ED DF FC ==，则AF BE ⋅=________________.16. 已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是________________. 17. 设+∈N n ，n n f 131211)(++++= ，由计算得23)2(=f ，2)4(>f ，25)8(>f ，27)32(>f ，观察上述结果，可推出一般的结论为：≥)2(nf ________________.三、解答题（共65分）18. （本小题12分）已知函数21()cos()2sin 42f x x x x πωωω=⋅+++，直线1y =-与()f x 的图象交点之间的最短距离为π．（1）求()f x 的解析式及其图象的对称中心；（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3()282A f π+=，4,c a b =+=，求ABC ∆的面积.19. （本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .20. （本小题满分13分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB a ===，o 60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面（第13题）乙53甲6789847456690294866431ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AE a =，点M 在线段EF 上．（1）求证：BC ⊥平面ACEF ；（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．21. （本小题满分14分）已知函数()ln ()f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．（1）当34a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当12a c =+时，若1()4f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；22.（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C: 12322=+yx 交于),(11y x P 、),(22y x Q 两不同点，且△OPQ 的面积26=∆OPQ S ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2221x x +和2221y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得26===∆∆∆OEG ODG ODE S S S ?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.。
湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷含解析
武汉外国语学校2023-2024学年度下学期期末考试高二数学试卷命题教师：审题教师：考试时间：2024年6月26日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.6(12)x -的展开式中3x 的系数为（）A.160-B.160C.80- D.80【答案】A 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x 的指数为3，即可求出展开式中3x 的系数.【详解】解：()612x -展开式的通项公式为()162rr rx T C +=-，令3r =时，得展开式中3x 的系数为()3361026C =--.故选：A2.设α，β，γ是三个不同平面，且m αβ= ，n βγ= ，则“m n ∥”是“αγ∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，空间中直线与平面的位置关系，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】因为m αβ= ，n βγ= ，m n ∥，则,αγ可能相交，故“m n ∥”推不出“αγ∥”，充分性不满足；m αβ= ，n βγ= ，αγ∥，由面面平行的判定定理可知m n ∥，故必要性满足；所以“m n ∥”是“αγ∥”必要不充分条件.故选：B3.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在A 、B 、C 三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（）A.24B.36C.48D.72【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分组方式有12,2，与1,1,3，由分组分配的计算公式，代入计算，即可求解.【详解】若甲乙选择的景点没有其他人选，则分组方式为12,2，的选法为2333C A 18⋅=种；若甲乙选择的景点还有其他人选，则分组方式为1,1,3的选法为11332322C C A 18A ⋅=种；所以总的不同的选法种数为181836+=种.故选：B4.现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为1，将它重新制作成一个体积与高均不变的圆锥，则该圆锥的底面积为（）A. B.3πC.3π+D.【答案】B 【解析】【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式计算.【详解】设圆锥的底面积为S ，则()211113S ⋅⋅=⋅π，解得3πS =.故选：B.5.下列说法中正确的是（）A.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 6.88χ=.依据0.005α=对应的7.879x α=的独立性检验，结论为：变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005.B.在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差.C.()2,X N μσ~，当μ不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖.D.已知变量x 、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程式 0.4y x a=+，且由样本数据算得4x =，3.7y =，则 2a=.【答案】C【解析】【分析】根据独立性检验、残差分析、正态分布、线性回归方程相关知识进行分析，得出正确答案.【详解】对A ，2 6.887.879χ=<，所以结论为变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率超过0.005，A 选项错误；对B ，在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越好，B 选项错误；对C ，()2,X N μσ~，当μ不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，C 选项正确；对D ，由样本数据算得线性回归方程式 0.4y x a=+，且由样本数据算得4x =， 3.7y =，则 2.1a=，D 选项错误.故选：C.6.已知等差数列{}n a 中，6a 是函数()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个极大值点，则()48tan a a +的值为（）A.33B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可得62π22π,Z 3a k k =+∈，再由等差数列的性质可得4862+=a a a ，从而可求出()48tan a a +的值.【详解】因为6a 是函数()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个极大值点，所以6ππ22π,Z 62a k k -=+∈，所以62π22π,Z 3a k k =+∈，因为{}n a 为等差数列，所以4862+=a a a ，所以()()4862π2πtan tan 2tan 2πtan 33a a a k ⎛⎫+==+== ⎪⎝⎭故选：D7.设函数()31f x x ax =-+，则下列正确的是（）A.当0a =时，1y =不是()f x 的切线B.存在a ，使得()y f x =没有对称中心C.若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则1230x x x ++=D.当0a >时，若12,x x 是()f x 的极值点，则120x x ⋅=【答案】C 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求得()y f x =在店(0,1)处的切线方程1y =，可判定A 错误；根据则()()2f x f x -+=，得到()f x 关于(0,1)对称，可判定B 不正确；设()31f x x ax =-+的三个零点分别为123,,x x x ，结合31231()()()x ax x x x x x x -+=---，可判定C 正确；根据()23f x x a ='-，令()0f x '=，结合二次函数的性质，可判定D 正确.【详解】对于A 中，当0a =时，()31f x x =+，则()23f x x '=，可得()00f '=，所以曲线()y f x =在点(0,1)处的切线方程为1y =，所以A 错误；对于B 中，函数()31f x x ax =-+，可得()31f x x ax -=-++，则()()2f x f x -+=，所以函数()f x 关于点(0,1)对称，即对于任意a ，曲线()y f x =关于点(0,1)对称，所以B 不正确；设函数()31f x x ax =-+的三个零点分别为123,,x x x ，则有3321231231213231231()()()()()x ax x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+=---=-++-++-，对比含2x 的系数，可得1230x x x ++=，所以C 正确；对于D 中，当0a >时，由()31f x x ax =-+，可得()23f x x a ='-，令()0f x '=，即230x a -=，可得120x x a ⋅=->，所以D 错误.故选：C.8.已知n S 是数列{}n b 的前n 项和，若()202522025012202512x a a x a x a x -=++++ ，数列{}n b 的首项320251212320252222a a a ab =++++ ，()*12N n n n b b n +⋅=∈，则2025S =（）A.101432--B.1012232--⋅C.1012232-⋅ D.101432-【答案】D 【解析】【分析】分别将0x =和12x =带入，求解出1b 的值，根据()*12n n n b b n N +⋅=∈得出22n nb b +=，然后利用等比数列求和公式，得出答案.【详解】当0x =时，01a =；当12x =时，2025120220250222a a a a ++++= ，所以101b a =-=-，又212b b ⋅=，所以22b =-，因为112122n n n n n n b b b b ++++⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以22n nb b +=.()()202512342025132025242024S b b b b b b b b b b b =+++++=+++++++ 101310121014(1)(12)(2)(12)321212----=+=---.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()2,0A ，直线:3l x =-，动点P 到点A 的距离比到直线l 的距离小1.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A.点P 的轨迹曲线是线段B.2y x =+是“最远距离直线”C.过点A 的直线与点P 的轨迹交于M 、N 两点，则以MN 为直径的圆与y 轴相交D.过点A 的直线与点P 的轨迹交于M 、N 两点，则2MA NA +的最小值为3+【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知动点P 到点A 的距离等于到直线2x =-的距离，所以可知点P 的轨迹是以()2,0A 为焦点的抛物线，求出轨迹方程，然后逐个分析判断即可.【详解】因为点()2,0A ，直线:3l x =-，动点P 到点A 的距离比到直线l 的距离小1，所以动点P 到点A 的距离等于到直线2x =-的距离，所以点P 的轨迹是以()2,0A 为焦点，以2x =-为准线的抛物线，所以抛物线方程为28y x =，对于A ，点P 的轨迹是抛物线，所以A 错误，对于B ，由282y xy x ⎧=⎨=+⎩，得2440x x -+=，解得2x =，4y =所以直线2y x =+与抛物线28y x =相交于点(2,4)，所以2y x =+是“最远距离直线”，所以B 正确，对于C ，设过点()2,0A 的直线为2(0)x my m =+≠，1122(,),(,)M x y N x y ，由282y x x my ⎧=⎨=+⎩，得28160y my --=，264640m ∆=+>所以12128,16y y m y y +==-，所以212121222()484x x my my m y y m +=+++=++=+，所以21288MN x x p m =++=+，所以以MN 为直径的圆的半径为244r m =+，因为圆心到y 轴的距离为212422x x m r +=+<，所以以MN 为直径的圆与y 轴相交，所以C 正确，对于D ，2MA NA MA NA NA MN NA +=++=+21222810102px x p x m x =++++=++>，所以D 错误，故选：BC10.一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（）A.若有放回摸球，设摸出红色球的个数为X ，则方差()34D X =B.若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率316C.若无放回摸球，设摸出红色球的个数为X ，则期望()32E X =D.若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意有放回摸球时为二项分布，无放回摸球时为超几何分布，根据两种不同方式和条件概率判断各个选项；【详解】对于A ，根据题意有放回摸球时为二项分布，摸到红球的概率为4182=，依次摸出3个球，则1(3,)2X B ，所以()1133(1224D X =⨯⨯-=，A 正确；对于B ，根据题意有放回摸球时为二项分布，摸到黑球的概率为2184=，摸到白球的概率为2184=，摸到红球的概率为4182=，依次摸出3个球，所以摸出是同一种颜色球的概率3331115()(()44232++=，B 错误；对于C ，无放回摸球时为超几何分布，依次摸出3个球，设摸出红色球的个数为X ，X 的可能取值为0，1，2，3，则3438C 1(0),C 14P X ===214438C C 3(1),C 7P X ===124438C C 3(2),C 7P X ===3438C 1(3),C 14P X ===则期望()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，C 正确；对于D ，若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色有黑白、黑红、红白，则摸出的球只有两种不同颜色的概率为12211221122124242424222238C C C C C C C C C C C C 9C 14+++++=，摸出球是2红1白的概率为122438C C 3C 14=，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为31149314=，D 正确；故选：ACD.11.设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()212f x g x x -=-，()1g x +为偶函数，()()f x f x -=，则（）A.()()2232g f ''=+B.()24g '=C.()()33399f f ''⋅=D.2024140482025i i g =⎛⎫'= ⎪⎝⎭∑【答案】ACD 【解析】【分析】根据导数的运算法则取特征值判断A ，根据偶函数的性质和导数的运算法则可得()g x '的图象关于()1,0点对称，()f x '的图象关于()0,0点对称，利用对称性判断BC ，根据函数的运算性质和对称性判断D即可.【详解】选项A ：因为()()212f x g x x -=-，所以()()2212f x g x ''-=-，所以当2x =时()()2322f g ''=-，即()()2232g f ''=+，A 说法正确；选项B ：因为()1g x +为偶函数，所以()()11g x g x -+=+，所以()()11g x g x ''--+=+，即()()110g x g x ''-+++=，所以()g x '的图象关于()1,0点对称，()10g '=，又因为()()f x f x -=，所以()()f x f x ''--=，即()()0f x f x ''-+=，所以()f x '的图象关于()0,0点对称，所以由A 得()()()()21022112f g f g ⎧-'=''-=-'⎪⎨⎪⎩，解得()04'=g ，所以()24g '=-，B 说法错误；选项C ：因为()g x '的图象关于()1,0点对称，()f x '的图象关于()0,0点对称，所以由()()2212f x g x ''-=-得()()()()232223222f x f x g x g x ''''-=--=--=--，所以()()21232f x f x ''---=-，将()24g '=-代入()()2232g f ''=+得()33f '=-，所以()()33321533f '=-+-⨯=-，所以()()33399f f ''⋅=，C 说法正确；选项D ：因为()f x '的图象关于()0,0点对称，所以()21f x '-的图象关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()2212g x f x ''=-+的图象关于1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所以20241120242202310121013...2025202520252025202520252025i i g g g g g g g =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑410124048=⨯=，D 说法正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.求函数()sin xf x x=在点()π,0P 处的切线方程__________（请写成一般式）【答案】ππ0x y +-=【解析】【分析】由题干函数解析式可得()π0f =，求导可得()1ππf '=-，结合导数的几何意义代入点斜式方程求解，化为直线的一般式方程即可.【详解】因为()sin x f x x =，则()2cos sin x x xf x x -'=，可得()π0f =，()1ππf '=-，即切点坐标为()π,0，切线斜率1πk =-，所以切线方程为()1ππy x =--，整理可得ππ0x y +-=.故答案为：ππ0x y +-=.13.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心的圆与双曲线的两支分别在第一第二象限交于,A B 两点，且122F B F A =，则双曲线的离心率为___________【答案】333【解析】【分析】连接12,AF BF 交于点D ，由122F B F A =可得2ADF △与1BDF 相似，结合双曲线的定义可得12BF a =，24BF a =，12DF a =，再利用余弦定理列式即可求解.【详解】如图所示连接12,AF BF 交于点D ，因为122F B F A =，则12//F B F A ，所以2ADF △与1BDF 相似，设22AF BF R ==，则12R BF =，由双曲线的定义可得212BF BF a -=，解得4R a =，所以12BF a =，24BF a =，16AF a =，21433BD BF a ==，11123DF AF a ==，由余弦定理可得22222211121212112cos 22BF BD F DBF BF F F F BF BF BDBF BF +-+-∠==，即2222221644416494224223a a a a a c a a a a +-+-=⨯⨯⨯⨯，整理得22113c a =，所以333c e a ==，故答案为：314.小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣，思维也进入丰富的想象，他将自己想象成一颗粒子，在一个无限延展的平面上，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为14，记第n 秒末小明回到原点的概率为n p ，求4p =__________，2n p =__________（与n 有关的式子，附：220(C )C nk n n n k ==∑）.【答案】①.964②.222(C )4n n n【解析】【分析】由题意得粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可，第2n 秒未要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，表示出2n p .【详解】由题意得粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，①每一步分别是四个不同方向的排列，共有44A 种情况，②每一步分别是两个相反方向的排列，共有242C 种情况，所以424444A 2C 241294444644p ++===⨯⨯⨯，第2n 秒未要回到原点，则必定向左移动k 步，向右移动k 步，向上移动n k -步，向下移动n k -步，所以22222222200C C C 1(2)!44(!)[()!]k k n k nn n n k n k n n n k k n p k n k ---====-∑∑2222201(2)!(!)4(!)(!)[()!]n n k n n n k n k ==-∑2201C C C 4n n k n k n n n n k -==⋅⋅∑22201C (C )4n n k n n n k ==⋅⋅∑222(C )4n n n =.故答案为：964，222(C )4n n n .【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是分析得第2n 秒未要回到原点，粒子的运动情况，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 0a B c a ⋅-+=.（1）证明：2B A =；（2）若1sin 3A =，b =，求ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析（2）4629【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，结合正弦的和差角公式，即可证明；（2）根据题意，由二倍角公式可得sin B ，由正弦定理可得a ，代入2cos 0a B c a ⋅-+=可得c ，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：由2cos 0a B c a ⋅-+=可得2sin cos sin sin 0A B C A ⋅-+=，即2sin cos sin)sin 0A B A B A ⋅-++=（，化简得()sin sin A B A =-，因为,A B 为ABC 的内角，所以有A B A =-，得2B A =.【小问2详解】由（1）可知A 为锐角，由1sin ,3A =得22cos 3A =所以42sin 2sin cos 9B A A =⋅=，7cos 9B ==，由正弦定理sin sin b a B A =可得sin 3sin b a A B =⋅=，依题2cos 0a B c a ⋅-+=，带入相应得值可得233c =，所以Δ1462sin 29ABC S bc A ==.16.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>左焦点为1F ，离心率为22，且过点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线1AF 与椭圆C 相交于另一点B .（1）求E 的方程；（2）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别为1S ，2S ，若212S S =，求点M 的坐标.【答案】（1）22:12+=x E y （2）71,,,2510⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,,2510⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【解析】【分析】（1）由题意得22c a =，2222211a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，再结合222a b c =+可求出22,a b ，从而可求得椭圆方程；（2）将2MAB OAB S S = ，转化为在y 轴上取点P ，使得P 到直线AB 的距离是O 到直线AB 的距离的两倍，求出点P 的坐标，过21P P ，作与AB 平行的直线12l l ，，与椭圆方程联立可求出点M 的坐标.【小问1详解】由题可得222222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎪⎩，解的222,1a b ==，即22:12+=x E y ；【小问2详解】由（1）得1(1,0)F -，则直线():14AB y x =+，直线AB 与y轴交点为(0,N ，由题2MAB OAB S S = ，转化为在y 轴上取点P ，使得P 到直线AB 的距离是O 到直线AB 的距离的两倍，设点(0,)P t=24t =-，或324t =，所以122320,,0,44P P ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，过21P P ，作与AB 平行的直线()12:14l y x =-，()22:34l y x =+，两直线与椭圆E 的交点即为满足题意的点，由()221412y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得12x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，或75210x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1271,,,2510M M ⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()2223412y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得12x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，或1510x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得3411,,,2510M M ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上可得，M 的坐标为2721,,,2510⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21721,,,2510⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是正三角形，四边形11AA C C 为菱形，1π3A AC ∠=，1A B =.（1）证明：111A C A B ⊥；（2）求二面角11B AA C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据题意，取AC 的中点为O ，连接1,BO A O ，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面1A BO ，从而可得11A C ⊥平面1A BO ，即可证明；（2）方法一：根据题意，结合二面角的定义可得CMN ∠为二面角11B AA C --的平面角，再由余弦定理代入计算，即可求解；方法二：根据题意，取O 为AC 的中点，过O 作平面ABC 的垂线，以该垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式代入计算，即可求解.【小问1详解】取AC 的中点为O ，连接1,BO A O ，由题知1,ABC A AC 是正三角形，∴1,A O AC BO AC ⊥⊥，又11AA AC =，13A AC π∠=，∴1A AC △为正三角形，1A O AC ∴⊥，又1A O BO O ⋂=，AC ∴⊥平面1A BO ，又11//A C AC ，所以11A C ⊥平面1A BO ，1A B ⊂平面1A BO ，所以111AB AC ⊥.【小问2详解】方法1：几何法不妨设AB a =，则有1AB AC A A a ===，又11,A B A B =∴=，2221111,90A B A A AB A AB BA A A ∴=+∴∠=︒∴⊥，，取1A A 的中点M ，连接CM ，因为1A AC △为正三角形，所以1CM AA ⊥，取1A B 的中点N ，连接MN ，则1//,MN AB MN A A ⊥，可得CMN ∠为二面角11B AA C --的平面角，在CMN 中，1,22MN a CM ==，同理可得190BCA ∠=︒，112,,2BC CA a BA CN a ===∴=，由余弦定理，222222311442cos 2322a a a CM NM CN CMN CM NM +-+-∠====⋅，6sin 3CMNC ∴∠=.方法2：建系法取O 为AC 的中点，过O 作平面ABC 的垂线，以该垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AB a =，依题2AB AC BC a ===，1112,2,AA a AC a A B ===，则())()()10,,0,,0,0,0,,0,,,A a B C a A x y z -设，()()()2222222222224408x x y a z a x y a z a y x y z a z ⎧⎧=⎪+++=⎪⎪⎪⎪+-+=⇒=⎨⎨⎪⎪-++=⎪⎪=⎩⎪⎩，)()11,,,,,0,0,2,0A AA a AB a AC a ⎛⎫⎛⎫∴===⎪⎪⎪⎪⎭⎭，设平面1BAA 法向量为()1111,,n x y z =，则1111111111110000x ay n AB y n AA ay z =⎧⎧⎧++=⋅=⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+==⎩ ，所以(11,n = ，同理，平面1A AC 的法向量()2222,,n x y z = ，222222212024xayyayz⎧⎪=⎧⎪++=⎪⎪⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩，221,0,4n⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭，设锐二面角11B AA C--为θ，则cos=cos<1 ,2 >=323=∴sin=18.（1）设函数()()ln12axf x xx=+-+，当0x>时，()0f x>恒成立，求a的取值范围；（2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到20个号码互不相同的概率为p，证明：1929110ep⎛⎫<<⎪⎝⎭.【答案】（1）2a≤；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导后，分0,a≤02a<≤和2a>三种情况讨论导数的正负，可得函数的单调性，再结合(0)0f=分析判断即可；（2）由题意可得19999881100p⨯⨯⋅⋅⋅⨯=，利用放缩法可证得19910p⎛⎫< ⎪⎝⎭，要证1929110e⎛⎫<⎪⎝⎭，只要证92ln01019+<，结合（1）可证得结论.【详解】（1）()()()()22221(),012x a xf x xx x+-+'=>+⋅+，(0)0f=，若0,a≤则()0f x'>，所以函数()()ln12axf x xx=+-+在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x>恒成立；满足题意若0,a>()()()()224242=012x a x af x xx x+-+-'>+⋅+，方程()24242=0x a x a+-+-的判别式为2(42)4(42)4(2)a a a a∆=---=-，①02a<≤时，()0f x¢>，函数()()ln12axf x xx=+-+在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x>恒成立，满足题意②2a >时，方程()24242=0x a x a +-+-在(0,)+∞上的解为2x a =-当02x a <<-时，()242420x a x a +-+-<，()0f x '<，所以函数()()ln 12ax f x x x =+-+在(0,2a -+上单调递减，不满足()0f x >恒成立综上所述，a 的取值范围2a ≤（2）由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为20100202019A 100999881999881=100100100p ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，因为()()222998190990990990⨯=+-=-<，同理2988290⨯<，2978390⨯<，⋅⋅⋅，2819990⨯<，所以1999988190⨯⨯⋅⋅⋅⨯<，所以1919199199988190910010010⨯⨯⋅⋅⋅⨯⎛⎫<= ⎪⎝⎭，再证：1929110e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证：919ln 210<-，即92ln 1019<-，92ln 01019+<，由（1）得，当0x >时，()2()ln 102x f x x x =+->+，取19x =，则2119()ln 1019929f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭+，所以102ln 0919->，即92ln 01019-->，所以92ln 01019+<，综上，1929110e p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查独立事件的概率，第（2）问解题的关键是利用放缩法变形化简，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题.19.已知有穷正项数列{}()n a n m ≤，若将数列每项依次围成一圈，满足每一项等于相邻两项的乘积，则称该数列可围成一个“T-Circle”.例如：数列{}1,1,1，112,1,,,1,222⎧⎫⎨⎬⎩⎭都可围成“T-Circle”.（1）设1a a =，当5m =时，是否存在a 使该数列可围成“T-Circle”，并说明理由.（2）若{}n a 的各项全不相等，且可围成“T-Circle”，写出m 的取值（不必证明），并写出一个满足条件的数列.（3）若{}n a 的各项不全相等．．．．，且可围成“T-Circle”，求m 的取值集合.【答案】（1）存在，理由见解析（2）6m =，满足条件的一个数列为3112232233⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，，（3）*6,N m k k =∈【解析】【分析】（1）根据定义，列出方程组，解出来即可.（2）列举出满足题意的数列即可.（3）考虑用反证法证明.【小问1详解】当1a a =，5m =时，假设存在a 使该数列可围成“T-Circle”，有穷正项数列{}()5n a n ≤，由将数列每项依次围成一圈，满足每一项等于相邻两项的乘积，得213324435514152,,,,a a a a a a a a a a a a a a a =====，由最后两式可得241a a =，故31a =，故12a a a ==且45a a =，结合541a a a =可得11a =即1a =，故21a =，故3451a a a ===.故存在1a =，使得数列{}n a 可围成“T-Circle ”，此时数列{}n a 为：{}1,1,1,1,1.【小问2详解】6m =，满足条件的一个数列为3112232233⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，，.（有穷正项数列{}()n a n m ≤的各项全不相等，设第一、三项分别为,()x y x y ≠，按照“T-Circle ”定义有213324,,a a a xy a a a ===得3443521,a a a a a a x ===，得4554631,a a a a a a xy===，得5641a a a y==，此时有615a a a =，因为{}()n a n m ≤的各项全不相等，则1x y ≠≠，且6m =，只需选取合适的数字代入可得{}()6n a n ≤，例如令32,2x y ==得该数列为3112232233⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，，，）【小问3详解】（i ）若{}n a 的各项不全相等，且可围成“T-Circle ”．结合{}n a 为正项数列可得111121(1),,n m m n n m a a a n m a a a a a a -+-<<===，诸式相乘后可得121m a a a = ，又上述关系式即为11(11)n n n a a a n m -+=<≤+(若下标大于m ，则取下标除以m 的余数).故21(11)n n n a a a n m ++=<≤+，故211(11)n n a n m a -+=<≤+(若下标大于m ，则取下标除以m 的余数).所以15(11)n n a a n m -+=<≤+(若下标大于m ，则取下标除以m 的余数).设6,05m p r r =+≤≤，若1r =，则11m m a a a -=即为111m a a a -=，故11m a -=，从而61a =，31a =，而12m a a a =，故112a a a =，故21a =，故11a =，从而451a a ==，此时{}n a 均为1，与题设矛盾.若2r =，则11m m a a a -=即为22111m a a a a -==，而2122m a a a a ==，121a a ==，故34561a a a a ====，此时{}n a 均为1，与题设矛盾.若3r =，则11m m a a a -=即为312a a a =，而213a a a =，所以11a =，故41a =，从而32a a =，而1223m a a a a a ==，故321a a ==，故561a a ==，此时{}n a 均为1，与题设矛盾.若4r =，则11m m a a a -=即为413a a a =，而324a a a =，所以121a a =，而1224m a a a a a ==，故31a a =，故24111a a a ==，故11a =，故231a a ==，故41a =，故561a a ==，此时{}n a 均为1，与题设矛盾.若=5r ，则511141111m m a a a a a a a a -====⨯=，故122m a a a a ==，故2311a a a ==，故45331a a a a ===，故61a =，故3241a a a ==，故11a =，此时{}n a 均为1，与题设矛盾.综上，*6,N m k k =∈【点睛】对于数列新定义问题，我们应该根据定义进行推理，注意数列性质隐含的周期性等，这些性质往往便于问题的解决.。
2023-2024学年湖北省武汉外国语学校高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则＝（）A．（2，﹣2，2）B．（﹣2，1，2）C．（﹣2，﹣1，2）D．（2，﹣1，2）2．函数f（x）定义在R上的可导函数，若＝10）＝（）A．2B．3C．D．﹣33．函数f（x）的定义域为[1，+∞）n}满足a n＝f（n），则“函数f（x）为减函数”是“数列{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知椭圆的离心率为，则m＝（）A．B．C．D．15．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同），使点（2，0）与点（﹣2，4），点（2023，2024）与点（a，b）重合（）A．4046B．4047C．4048D．40496．已知等差数列{a n}公差不为零，S n为其前n项和，若S9＝0，下列说法正确的是（）A．a5＝1B．S5＝S6C．S9，S18﹣S9，S27﹣S18成等比数列D．S i（i＝1，2，…999）中数值不同的有995个7．已知a，b∈R，ab＜0（x）＝ax2+b（x∈R）．若f（s﹣t），f（s），f（s+t）依次成等比数列（s，t）的轨迹是（）A．直线和焦点在x轴的椭圆B．直线和焦点在y轴的椭圆C．直线和焦点在x轴的双曲线D．直线和焦点在y轴的双曲线8．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且S1002＞S1000＞S1001，则下列说法正确的是（）A．S2002＜0B．a1001＜0C．当n＝1001时，S n取得最小值D．d＜010．设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1没有公共点，则a的值可以为（）A．0B．C．D．﹣111．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点为F（1，0），经过点M（2，2），B两点，且抛物线C在A，D 为A，B中点，则（）A．抛物线方程为y2＝4x B．点P在直线x﹣y+2＝0上C．PD⊥y轴D．|F A||FB|＝2|FP|212．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M是棱A1B1的中点．P是正方体表面CDD1C1上的动点（如图），则下列说法正确的是（）A．若CP∥平面MBD，则动点P的轨迹长度为B．若，则动点P的轨迹长度为C．若∠MBP＝∠MBD1，则动点P的轨迹为双曲线的一部分D．以△BCB1的一边B1C所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥B﹣ACD1体积的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数 y＝在点（1，﹣）处的切线方程为．14．点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线，则点M的轨迹方程是．15．已知数列{a n}中，a1＝4，，b n＝a2n，则b2024＝．16．已知圆O的方程为x2+y2＝4，P是圆C：（x﹣2）2+y2＝16上一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则•．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{a n}满足：a1+a2＝4，a1，a2+2，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列b n＝a n•（3n+3），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（1）求角A；（2）若b＝8，求△ABC面积的取值范围．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6，2S n＝na n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知数列b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，A1B＝，点N为B1C1中点．（1）求BC1的长；（2）求直线AN与平面A1BC1所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆的离心率为，右顶点为A，点B为椭圆E上异于左右顶点的动点，△OAB的面积最大值为1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：x＝m交x轴于P，其中m＞a，直线PB交椭圆E于另一点C，是否存在实数m使得O，A，M，N四点共圆，求出m的值；若不存在22．（12分）已知点M（﹣2，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，过点M作直线l与抛物线C交于A、B两点（1）求抛物线C的标准方程；（2）①求证：直线BC过定点N；②若△ABN的面积为S，且满足，求直线l斜率的取值范围．2023-2024学年湖北省武汉外国语学校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则＝（）A．（2，﹣2，2）B．（﹣2，1，2）C．（﹣2，﹣1，2）D．（2，﹣1，2）解：＝（+＝（﹣1，3，3，3）＝（﹣2，2．故选：B．2．函数f（x）定义在R上的可导函数，若＝10）＝（）A．2B．3C．D．﹣3解：＝+＝3f′（x7）＝1，解得f′（x0）＝．故选：C．3．函数f（x）的定义域为[1，+∞）n}满足a n＝f（n），则“函数f（x）为减函数”是“数列{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，函数f（x）为定义域为[1，当n≥1且n∈Z时，则数列{a n}为递减数列，反之，当f（x）＝﹣（x﹣）2时，a n+7﹣a n＝﹣x+，数列{a n}为递减数列，但函数f（x）在定义域上不是减函数，故“函数f（x）为减函数”是“数列{a n}为递减数列”的充分不必要条件．故选：A．4．已知椭圆的离心率为，则m＝（）A．B．C．D．1解：根据题意可得或，解得m＝或．故选：C．5．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同），使点（2，0）与点（﹣2，4），点（2023，2024）与点（a，b）重合（）A．4046B．4047C．4048D．4049解：设点A（2，0），7），2024），b），根据题意，若线段AB的垂直平分线为l、B关于直线l对称、D也关于直线l对称．所以AB⊥l，CD⊥l，可得k AB＝k CD，即，整理得a+b＝4047．故选：B．6．已知等差数列{a n}公差不为零，S n为其前n项和，若S9＝0，下列说法正确的是（）A．a5＝1B．S5＝S6C．S9，S18﹣S9，S27﹣S18成等比数列D．S i（i＝1，2，…999）中数值不同的有995个解：因为等差数列{a n}公差不为零，若S9＝0，则a4+a9＝2a5＝0，即a5＝8，A错误；因为d≠0，所以a6≠3，故S5≠S6，B错误；因为S8＝0，C显然错误；因为a5＝8，d≠0，所以a4+a3＝a3+a7＝a7+a8＝a1+a2＝2a5＝5，所以S4＝S5，S5＝S3，S7＝S4，S8＝S1，故S i（i＝8，2…999）中数值不同的有995个．故选：D．7．已知a，b∈R，ab＜0（x）＝ax2+b（x∈R）．若f（s﹣t），f（s），f（s+t）依次成等比数列（s，t）的轨迹是（）A．直线和焦点在x轴的椭圆B．直线和焦点在y轴的椭圆C．直线和焦点在x轴的双曲线D．直线和焦点在y轴的双曲线解：由题意得[f（s）]2＝f（s﹣t）f（s+t），即（as2+b）2＝[a（s﹣t）2+b][a（s+t）2+b]，即（as3+b）2＝（as2+at7﹣2ast+b）（as2+at2+2ast+b），整理得（as2+at4+b）2﹣（2ast）4﹣（as2+b）2＝2，所以（2as2+at7+2b）at2﹣2a2s2t4＝0，即（﹣2a2s2+a2t2+2ab）t2＝6，所以﹣2as2+at4+2b＝0或t＝7，即或t＝0，由ab＜4，可知，综上所述，点（s或直线y＝8．故选：D．8．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，B两点，F2为双曲线的右焦点且|AF2|＝|BF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．解：设AB的中点为M，A（x1，y1），B（x7，y2），M（x0，y8），双曲线的渐近线方程为＝0，由点A，B在渐近线上可得，，＝7，两式相减得，＝，所以＝，又∵k AB＝，k OM＝＝＝，∴k AB•k OM＝，又∵k AB＝，∴k OM＝，设直线AB的倾斜角为θ，∵|AF2|＝|BF5|，∴AB⊥MF2，又∵点O为|F1F3|的中点，∴|OM|＝|OF1|＝|OF2|，则直线OM的倾斜角为6θ，∴k OM＝tan2θ＝＝＝4，∴＝2，∴＝7，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且S1002＞S1000＞S1001，则下列说法正确的是（）A．S2002＜0B．a1001＜0C．当n＝1001时，S n取得最小值D．d＜0解：因为等差数列{a n}的前n项和为S n，且S1002＞S1000＞S1001，则a1001+a1002＞0，a1002＞0，a1001＜5，B正确；则S2002＝1001（a1+a2002）＝1001（a1001+a1002）＞0，A错误；因为a1002＞5，a1001＜0，所以n＝1001时，S n取得最小值，C正确；则d＝a1002﹣a1001＞0，D错误．故选：BC．10．设点A（﹣2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2＝1没有公共点，则a的值可以为（）A．0B．C．D．﹣1解：由题意知，直线AB的斜率为，所以直线AB关于y＝a对称的直线的斜率为，故对称直线的方程为y﹣a＝k（x﹣0），即（8﹣a）x﹣2y+2a＝3，由（x+3）2+（y+3）2＝1知，圆心为（﹣8，半径为1，因为对称直线与圆没有公共点，所以，整理，得6a2﹣11a+2＞0，解得a＜，结合选项可知A，C，D符合．故选：ACD．11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点为F（1，0），经过点M（2，2），B两点，且抛物线C在A，D 为A，B中点，则（）A．抛物线方程为y2＝4x B．点P在直线x﹣y+2＝0上C．PD⊥y轴D．|F A||FB|＝2|FP|2解：选项A，因为抛物线C：y2＝2px（p＞5）焦点为F（1，0），所以＝1，所以抛物线方程为y2＝8x，即选项A正确；下面推导在抛物线y2＝2px（p＞7）上一点（x0，y0）处的切线方程：由题意知，切线的斜率不可能为40＝t（y﹣y0），联立，得y2﹣2pty+7pty0﹣2px2＝0，因为相切，所以Δ＝（2pt）8﹣4（2pty2﹣2px0）＝5，化简得4（y0﹣pt）2＝0，即t＝，所以切线方程为x﹣x4＝（y﹣y0），即p（x﹣x7）＝yy0﹣，因为切点（x0，y0）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，所以0，代入上式得p（x﹣x5）＝yy0﹣2px4，整理得yy0＝p（x+x0），故在抛物线y3＝2px（p＞0）上一点（x4，y0）处的切线方程为yy0＝p（x+x4），对于选项B，设A（x1，y1），B（x4，y2），则切线AP的方程为yy1＝p（x+x8）①，切线BP的方程为yy2＝p（x+x2）②，联立两条切线方程，消去y可得x＝P＝，设经过点M（4，2）的直线l的方程为x﹣2＝m（y﹣8），所以x P＝＝＝＝2m﹣3，①+②得，y（y1+y2）＝p（5x+x1+x2），所以y＝，即y P＝，联立，得y2﹣7pmy+4p（m﹣1）＝2，所以y1+y2＝3pm，y1y2＝2p（m﹣1），所以x1+x6＝m（y1+y2）﹣8m+4＝2pm3﹣4m+4，x7x2＝＝m2，所以y P＝＝＝pm＝2m，2m），代入x﹣y+3＝0验证得2m﹣5﹣2m+2＝6，所以点P在直线x﹣y+2＝0上，即选项B正确；对于选项C，因为点D是线段AB中点，所以点D（，），即（6m2﹣2m+6，2m），因为y P＝y D，所以PD⊥y轴，即选项C正确；对于选项D，|F A||FB|＝（x1+）（x2+）＝（x7+1）（x2+2）＝x1x2+（x2+x2）+1＝m2+4m2﹣8m+4+1＝2m2﹣4m+3，|FP|2＝（2m﹣5﹣1）2+（6m﹣0）2＝6m2﹣12m+9，所以|F A||FB|＝8|FP|2不成立，即选项D错误．故选：ABC．12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M是棱A1B1的中点．P是正方体表面CDD1C1上的动点（如图），则下列说法正确的是（）A．若CP∥平面MBD，则动点P的轨迹长度为B．若，则动点P的轨迹长度为C．若∠MBP＝∠MBD1，则动点P的轨迹为双曲线的一部分D．以△BCB1的一边B1C所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥B﹣ACD1体积的取值范围为解：H是棱C1D1的中点，连接MH，又M是棱A8B1的中点，则有MH∥B1C5∥BC，MH＝B1C1＝BC，所以四边形HMBC为平行四边形，BM∥CH，CH⊄平面MBD，BM⊂平面MBD，若CP∥平面MBD，则动点P的轨迹为线段CH，C3C＝2，C1H＝6，，A选项正确；正方体中，B4C1⊥平面CDD1C8，则有MH⊥平面CDD1C1，P是正方体表面CDD2C1上的动点，若，MH＝2，动点P的轨迹为以H为圆心，2为半径的位于正方形CDD3C1内的一段弧，圆心角为，弧长为；∠MBD1为定值，若∠MBP＝∠MBD2，则点P在以B为顶点，BM为轴的圆锥的侧面上，又P在平面CDD1C1上，且BM∥平面CDD8C1，则动点P的轨迹为双曲线的一部分，故C选项正确；以△BCB1的一边B8C所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，设CB1，DA1的中点分别为N，Q，连接BC7，B1C，AD1，A7D，NQ，则点B的运动轨迹是平面BC1D1A内以N为圆心，半径为，正方体中CD⊥平面ADD1A1，AD3⊂平面ADD1A1，则CD⊥AD2，正方形ADD1A1中，AD7⊥A1D，A1D，CD⊂平面CNQ，A8D∩CD＝D，AD1⊥平面CNQ，AD1⊂平面ACD7，所以平面ACD1⊥平面CNQ，平面ACD1∩平面CNQ＝CQ，Rt△NQC中，NQ＝5，，则，设直线NQ与圆N的交点分别为（点E位于点F，Q之间），可知当点B分别位于点E，F时1的距离分别取到最小值和最大值，距离的最小值为，距离的最大值为，△ACD1是等边三角形，，，，所以在旋转过程中，三棱锥B﹣ACD2体积的取值范围为，D选项正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数 y＝在点（1，﹣）处的切线方程为2x﹣2y﹣5＝0．解：函数 y＝，函数 在点（5，﹣．所求切线方程为：y+＝x﹣1．故答案为：5x﹣2y﹣5＝8．14．点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到直线，则点M的轨迹方程是．解：由点M（x，y）与定点F（4的距离之比是常数．可知：点M的轨迹方程是以定点F（4，8）为一个焦点为准线的椭圆．设标准方程为，（a＞b＞5）．则解得．∴点M的轨迹方程为：．故答案为：．15．已知数列{a n}中，a1＝4，，b n＝a2n，则b2024＝8097．解：∵数列{a n}中，a1＝4，，∴a2n+1＝a2n+4，a2n+2＝a7n+1+1＝a5n+4，∴b n+1﹣b n＝a8n+2﹣a2n＝2，即数列{b n}是等差数列，公差为4，又b1＝a8＝a1+1＝a8+1＝5，∴b n＝6+4（n﹣1）．故b2024＝3+4×2023＝8097．故答案为：8097．16．已知圆O的方程为x2+y2＝4，P是圆C：（x﹣2）2+y2＝16上一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则•．解：设∠APB＝2θ，根据圆的切线长性质可得|P A|＝|PB|，∴•＝＝（|PO|2﹣4）（3﹣2sin2θ）＝（|PO|7﹣4）[1﹣8（）2]＝，又|PO|∈[2，令|PO|8＝t，则t∈[4，∴•＝，t∈[4，由对勾函数的性质可得：y＝在[5，，在（，∴，又y|t＝2＝0，，∴，∴•的范围为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知等比数列{a n}满足：a1+a2＝4，a1，a2+2，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列b n＝a n•（3n+3），求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2＝7，可得a1+a1q＝5，由a1，a2+4，a3成等差数列，可得2（a4+2）＝a1+a6，即2（a1q+6）＝a1+a1q5，解得a1＝1，q＝2，则a n＝3n﹣1；（2）b n＝a n•（8n+3）＝（n+1）•5n，T n＝2•3+8•32+5•33+...+（n+7）•3n，3T n＝4•32+3•33+5•34+...+（n+6）•3n+1，两式相减可得﹣3T n＝2•3+42+37+...+3n﹣（n+1）•7n+1＝6+﹣（n+6）•3n+1＝﹣（n+n+1，化简可得T n＝•3n+6﹣．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．（1）求角A；（2）若b＝8，求△ABC面积的取值范围．解：（1）因为，由正弦定理可得3sin A cos C＝2sin B﹣sin C，在锐角三角形中，sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，可得sin C＝2cos A sin C，sin C≠6，可得cos A＝，而A∈（7，），可得A＝；（2）由题意，可得B∈（，），可得tan B∈（，+∞）∈（0，），因为b＝8，＝，可得c＝＝，S△ABC＝bc sin A＝＝2•＝2•＝16•＝8）∈（8）．所以△ABC面积的取值范围（8，32）．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6，2S n＝na n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）已知数列b n＝（﹣1）n•，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）根据题意，2S n＝na n+1，当n≥5时，2S n﹣1＝（n﹣3）a n，以上两式相减，得2（S n﹣S n﹣1）＝na n+6﹣（n﹣1）a n，即2a n＝na n+8﹣（n﹣1）a n，整理得na n+1＝（n+4）a n，所以（n≥2），当n＝1时，2S1＝a2＝8，得a1＝3＝7×1也适合上式，故a n＝3n（n∈N*）；（2）由（1）的结论，可知b n＝（﹣4）n•＝（﹣1）n•＝（﹣1）n •，①当n为偶数时，＝；②当n为奇数时，＝．综上所述，．20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，A1B＝，点N为B1C1中点．（1）求BC1的长；（2）求直线AN与平面A1BC1所成角的正弦值．解：（1）取AC的中点O，连接OA1，OB，因为△A1AC和△ABC均是边长为2的等边三角形，所以OA1⊥AC，OB⊥AC1＝OB＝，因为A1B＝，所以1⊥OB，故以O为坐标原点，OB，OA2所在直线分别为x，y，z轴，则B（，0，5），C1（0，5，），所以|BC1|＝＝．（2）由（1）知，A（7，0），A1（8，0，），B（，0，C1（2，2，），所以＝＝（，7，＝（，5，﹣），，2，0），所以B4（，1，），因为N为B1C1中点，所以N（，，），所以＝（，，），设平面A1BC1的法向量为＝（x，y，则，即，取x＝1，则z＝1，所以，3，1），设直线AN与平面A1BC2所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＝＝，故直线AN与平面A1BC4所成角的正弦值为．21．（12分）已知椭圆的离心率为，右顶点为A，点B为椭圆E上异于左右顶点的动点，△OAB的面积最大值为1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：x＝m交x轴于P，其中m＞a，直线PB交椭圆E于另一点C，是否存在实数m使得O，A，M，N四点共圆，求出m的值；若不存在解：（1）由椭圆的离心率为，得，解得a＝2b，设B（x1，y7）（y1≠0），而A（a，则，当且仅当|y1|＝b时取等号，则，解得b＝5，所以椭圆E的标准方程为．（2）假设存在m∈R，m＞2，A，M，N四点共圆，由（1）知，A（2，P（m，设C（x2，y2），显然直线BC不垂直于y轴，设直线BC的方程为：x＝ty+m，由，消去x得（t2+4）y6+2tmy+m2﹣4＝0，，直线AB的方程为，则，同理，由O，A，M，N四点共圆，即∠MOA＝∠ANP，则∠MOA+∠NAP＝90°，所以tan∠MOA•tan∠NAP＝1，AN的斜率k OM•k AN＝1，即，所以，又＝＝，所以与m＞4矛盾，所以不存在实数m使得O，A，M，N四点共圆．22．（12分）已知点M（﹣2，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，过点M作直线l与抛物线C交于A、B两点（1）求抛物线C的标准方程；（2）①求证：直线BC过定点N；②若△ABN的面积为S，且满足，求直线l斜率的取值范围．解：（1）由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣＝﹣2，所以p＝5，所以抛物线的方程为y2＝8x．（2））①证明：设A（x2，y1），B（x2，y8），C（x3，y3），设直线AB的方程为x+7＝m（y﹣2），联立，得y2﹣8my+16（m+1）＝6，Δ＝64m2﹣64（m+1）＞2，解得m＜或m＞，y1+y2＝6m，y1y2＝16（m+4），所以y1+y2＝y1y7﹣8（*），又k AC＝＝＝＝2，所以y1+y6＝4（**），同理k BC＝，所以直线BC的方程为y＝（x﹣x2）+y8，把（**）代入（*）得4﹣y3+y6＝（2﹣y3）y2﹣7，所以y2y3＝7（y2+y3）﹣24，所以直线BC的方程为（y3+y3）y＝8（x﹣x7）+y2（y2+y4），（y2+y3）y＝5x﹣8x2++y2y7，（y2+y3）y＝7x+y2y3，（y2+y3）y＝8x+5（y2+y3）﹣24，所以直线BC的方程为（y3+y3）（y﹣2）＝6（x﹣3），所以直线BC恒过定点N（3，3）．②S△ABN＝S△BNM﹣S△ANM＝|MN||y B﹣y A|＝|y1﹣y7|＝＝20，所以0＜m7﹣m﹣1≤5，所以﹣4≤m＜或＜m≤3，所以直线l的斜率k＝满足k∈（﹣，﹣，）．。
湖北省武汉外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题
湖北省武汉外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．()812x -展开式中第4项的二项式系数为（ ）A ．448-B ．1120C ．56D ．702．对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型2()0,()Y bx a e E e D e s =++ìí==î得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如下图所示，模型误差（ ）A ．满足一元线性回归模型的所有假设B ．不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C ．不满足一元线性回归模型的2()D e s =假设D ．不满足一元线性回归模型的()0E e =和2()D e s =的假设3．设随机变量X 的概率分布列如图所示，则()27D X +=（ ）A ．120．设随机变量(~X N A ．()1e 2πx f x -=C ．()21e 2πxf x -=．设随机变量(X B :B ．当0x >时，()12e 22ln 2x x x x -+³++C ．当x m >-且2m £时，()e ln x x m >+D ．当x ÎR 时，sin x x£参考答案：1．C【分析】根据二项式定理结合二项式系数的定义即可得解.【详解】()812x -展开式中第4项的二项式系数为38C 56=.故选：C.2．C【分析】根据用一元线性回归模型2()0,()Y bx a eE e D e s=++ìí==î有关概念即可判断.【详解】解：用一元线性回归模型2()0,()Y bx a e E e D e s=++ìí==î得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据对应的残差图，残差的均值()0E e =可能成立，但明显残差的x 轴上方的数据更分散，2()D e s =不满足一元线性回归模型，正确的只有C.故选：C.3．B【分析】由均值和方差的公式求出(),()E X D X ，再由方差的性质求解即可.【详解】因为()10.220.330.440.1 2.4E X =´+´+´+´=，则2222()(1 2.4)0.2(2 2.4)0.3(3 2.4)0.4(4 2.4)0.10.84D X =-´+-´+-´+-´=，所以2(27)2()40.84 3.36D X D X +==´=.故选：B.4．B【分析】改量词，否结论即可.【详解】“R x "Î，*N n $Î，使得2n x ³”的否定是“R x $Î，*N n "Î，使得2n x <”，故选：B 5．B【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解.【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅱ有4种涂色方法，Ⅲ有3种涂色方法，此时共有543160´´´=种涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有5种涂色方法，Ⅳ有4种涂色方法，Ⅱ有3种涂色方法，Ⅲ有2种涂色方法，此时共有5432120´´´=种涂色方法，综上共有60120180+=种不同的着色方法.故选：B.6．A【分析】根据正态分布的定义可求得0,1m s ==，从而可求X 的密度函数.【详解】因为()~0,1X N ，所以20,1m s ==，即1s =，所以X 的密度函数为A.故选：A 7．C【分析】由11k k k k p p p p -+³ìí³î可得()()111n p k n p +-££+，分析可判断BC 选项，进而根据二项分布的图象性质可判断A 选项；根据二项分布的期望公式可判断D 选项.【详解】因为(),X B n p :，()C 1n k k k k np p p -=-，0,1,2,,k n =L ，由11k k k k p p p p -+³ìí³î，得()()()()111111C 1C 1C 1C 1n k n k k k k k n n n k n k k k k k n n p p pp p p p p --+-----++ì-³-ïí-³-ïî，解得()()111n p k n p +-££+，导得：22(()e x x x x f x ¢--=-=-1-或2x >时，()0f x ¢<，当-在(,1),(2,)-¥-+¥上单调递减，在，函数()f x 在=1x -处取得极小值(f答案第251页，共22页。
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湖北省武汉市外国语学校2013-2014学年高二数学下学期期末考试试题 文（无
答案）
第I 卷（选择题 共50分）
1. 若复数z ，满足12z z i +=+，则z 的虚部为（ ）
A. 2i
B. 1
C. 2
D. i
2. 全集U 是实数集R ，{}234M x x x =-≥，13
log (2)0N x x ⎧
⎫=+≥⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A.32x x ⎧
⎫≤-⎨⎬⎩⎭ B. {}1x x ≤- C. 312x x ⎧
⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭
D . {}12-≤<-x x 3. 设a R ∈，则“2a =-”是 “直线l 1：1:210l ax y +-=与直线2:(1)20l x a y +++=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果k =（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
5. 设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则
下列命题正确的是（ ）
A ．若//,//,a b a α则//b α
B ．若,//,a αβα⊥则a β⊥
C ．若,,a αββ⊥⊥则//a α
D ．若
,,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥
6. 已知双曲线22
22 1 (,0)x y a b a b
-=>的一条渐近线
与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且
4=MN ，则此双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
D ．5
7. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．48
B ．
C ．
D ．80
8. 已知锐角βα,满足： 51cos sin =
-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则cos α=（ ）
A
B ．
C
D
9. 用分期付款方式（贷款的月利率为1%）购买总价为25万元的汽车,购买当天首付15万元,此后可采用
以下方式支付贷款:以后每月的这一天都支付相同数目的还款,20个月还完,则每月应还款约（ ）元（201.01 1.22≈）
A ．5545
B ．5546
C ．5547
D ．5548
10. 函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，
交点横坐标依次记为,,,a b c d ，下列说法错误的是（ ）
A ．)
40,abcd e ⎡∈⎣ B ．562112,2a b c d e e e e ⎡
⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭
C ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 必有一个取值为
134 D ．若关于x 的方程()=f x x m +恰有三个不同实根，则m 取值唯一
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分
11. 若实数,x y 满足 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
,23x y z +=,则z 的取值范围是________________.
12. 用1,2,3,4,组成不含重复数字的四位数，其中数字1,3相邻的概率是________________.
13. 甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中
成绩较好的是________________.
14. 不等式221
x x +>+的解集是________________. 15. 平行四边形ABCD 中，已知4,3,60AB AD BAD ==∠=，点,E F 分别满足2,AE ED DF FC ==，
则AF BE ⋅=________________.
16. 已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是
________________.
17. 设+∈N n ，n n f 131211)(++++= ，由计算得23)2(=f ，2)4(>f ，25)8(>f ，2
7)32(>f ，观察上述结果，可推出一般的结论为：≥)2(n f ________________.
三、解答题（共65分）
18. （本小题12分）
已知函数21()cos()2sin 42
f x x x x πωωω=
⋅+++，
直线1y =-与()f x 的图象交点之间的最短距离为π． （1）求()f x 的解析式及其图象的对称中心；
（2）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3()282
A f π+=
，4,c a b =+=，求ABC ∆的面积.
19. （本小题满分12分）已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列
{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上.
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设b n ＝
3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .
20. （本小题满分13分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，（第13题）乙53甲67898474566902948664310
AD DC CB a ===，o 60ABC ∠=．平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是矩形，AE a =，点M 在线段EF 上．
（1）求证：BC ⊥平面ACEF ；
（2）当FM 为何值时，//AM 平面BDE ？证明你的结论．
21. （本小题满分14分）已知函数()ln ()f x a x x c x c =+--，0a <，0c >．
（1）当34
a =-，14c =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当12a c =
+时，若1()4
f x ≥对(,)x c ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；
22.（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C: 12322=+y x 交于),(11y x P 、),(22y x Q 两不同点，且△OPQ 的面积2
6=∆OPQ S ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2221x x +和2221y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求PQ OM ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得26=
==∆∆∆OEG ODG ODE S S S ?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.。