北师大版初二数学下第二章分解因式知识点(适于家教)

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数学初二下北师大版第二章分解因式章末练习知识讲解(精品学案)

数学初二下北师大版第二章分解因式章末练习知识讲解(精品学案)【一】分解因式的概念〔一〕概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把那个多项式分解因式。

〔和差化积〕易错点注意：1、被分解的代数式〔等式的左边〕是多项式；2、分解后的因式〔等式的右边〕是整式；3、结果是积的形式；4、结果的因式必须分解完全。

〔二〕例：1、计算以下各式：(1)()a b (a b)+－ = ___ _ ___. (2)()2a b + = ___ _ ___.(3)()8y y 1+ = ___ _ ___. (4)()a x y 1++ = ___ _ ___.依照上述算式填空：(5)ax ay a ++ =( )( ) (6)22a b － =( )( )(7)22a 2ab b ++ =( )( ) (8)28y 8y + =( )( )小结：(1)～(4) 是初一所学的整式的乘法运算，而(5)～(8)的过程就叫分解因式，故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。

2、以下由左到右的变形，哪一个是分解因式〔〕A 、22))((b a b a b a -=-+B 、)1(4))((4422-+-+=-+-y y x y x y y xC 、22)1(1)(2)(-+=++-+b a b a b a D 、)45(452xx x x x ++=++ 分析：等式的左边必须是一个多项式〔是用加减号连接的式子〕；右边的结果应当是几个整式的、积的形式 [ 即不能出现分式〔分母含字母的式子〕和加减号 ]，而且结果的每个因式都不能再被分解为止。

A 、是积化和差，右边是减式；B 、右边是和式；D 、右边含有分式4x，应选C 。

3、以下由左到右的变形，属分解因式的是〔〕A 、3355y x xy ⨯⨯=B 、()()4221644x x x -=+-C 、)54(5422b a ab ab ab b a -=+-D 、)54)(12(8185472++=++x x x x 分析：A 、左边是单项式，不是多项式；B 、分解不完全，右边结果的分式()24x -还能再被分解为()()22x x +-，正确的结果是()()()4216422x x x x -=++-，C 、结果应当是)154(+-b a ab ，应选D 。

北师大版八年级下册数学[《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《因式分解》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b-=+-2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、（2016•长春模拟）先将代数式因式分解，再求值：()()222x a y a ---，其中05152a .,x .,y ===-．【思路点拨】原式变形后，提取公因式化为积的形式，将字母的值代入计算即可．【答案与解析】解：原式=()()()()22222x a y a a x y -+-=-+，当05152a .,x .,y ===-时，原式=()()0523215..-⨯-=-.【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式．类型二、公式法分解因式2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．【答案与解析】解：()()2259x x x x x -+--，＝322359x x x x -+--，＝249x -．当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．举一反三：【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（）A ．229a y+ B ．229a y -+ C ．229a y - D ．229a y -- 【答案】C ；3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．【答案与解析】解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-，当x ＝10，y ＝10时，x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．举一反三：【变式】利用因式分解计算（1）16.9×18＋15.1×18（2） 22683317-【答案】解：（1）16.9×18＋15.1×18＝()116.915.18⨯+ ＝13248⨯= （2）22683317-＝()()683317683317+⨯-＝1000×366＝366000．4、因式分解：（1）()()269a b a b ++++；（2）222xy x y--- （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+．【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．【答案与解析】解：（1）()()()22693a b a b a b ++++=++（2）()()2222222xy x y xy x yx y ---=-++=-+ （3）()()22224222x xy y x xy y -+-+＝()()24222x xy y x y -+=-【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全．举一反三：【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1．【答案】解：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2=（a 2+b 2+2ab ）（a 2+b 2﹣2ab ）=（a+b ）2（a ﹣b ）2；（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1=（x ﹣y ）2﹣2（x ﹣y ）+1 =（x ﹣y ﹣1）2．5、先阅读，再分解因式：()24422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．【答案与解析】解：442264166416x x x x +=++-＝()222816x x +-＝()()228484x x x x +++-．【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．（1）根据你发现的规律填空：2x px qx pq +++=()2x p q x pq +++=＿＿＿＿＿＿；（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：①2710x x ++；②2712y y -+．【思路点拨】（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；（2）根据（1）的结论直接作答．【答案与解析】解：（1）()()x p x q +⨯+（2）①()()271025x x x x ++=++ ②()()271234y y y y -+=--【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数12,a a 的积12a a ，把常数项c 分解成两个因数12c c 的积12,c c ，并使1221a c a c +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．举一反三：【变式】已知A ＝2a +，B ＝25a a -+，C ＝2519a a +-，其中a ＞2．（1）求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；（2）指出A 与C 哪个大？说明理由．解：（1）B －A ＝()21a -＋2＞0，所以B ＞A ；（2）C －A ＝25192a a a +---，＝2421a a +-，＝()()73a a +-．因为a ＞2，所以a ＋7＞0，从而当2＜a ＜3时，A ＞C ；当a ＝3时，A ＝C ；当a ＞3时，A ＜C ．。

数学2.1《分解因式》课件1(北师大版八年级下)

左边式子的变形与右边式子的变形
是互为逆运算变形过程.
因式分解定义
• 把一个多项式化成几__个__整__式__的__积__的形式,这种变形叫做把这个多项式分__解__因__式___
•多项式的分解因式与整式乘法是方
向相反的恒等式.
分解因式与整式乘法是互逆变形关系.
自学检测2：（7分钟） 1.完成练习册21页课前热身1,2,3题。 2.完成课本45随堂练习 3.完成课本45-46习题2.1-1，2，3题。
（2）了解分解因式（也叫因式分解）的含义，理解因式分解与整式乘法之间的关系。
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=_______ (3)多项式乘a以m+多an项式: (a+b)(m+n)=_____________ 2.乘法公式有哪a些m?+an+bm+bn (1)平方差公式: (a+b)(a-b)=_______
补充（2分钟）
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法
(4).x2+4x+4=(x+2)2
因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
你知道每一步的根据吗?
a3_a =a(a2 -1) =a(a+1)(a-1)
自学检测1：（3分钟） 1、完成P46问题解决－4T。
自学指导2：（6分钟）
1、回顾：整式的乘法有哪几类？
2、自学完成P44“做一做”到P45“想一想”，解决下列问题：

数学：2.4《第二章复习》课件(北师大版八年级下)(新编201908)

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•想銮旂而抽恸方兴琇不肯愚谓不烦殿下亲征小劫冠军将军庆之曰理固得而齐富厚贫薄等级相倾谅缘奸臣交乱陕三城刘湛党也后废帝元徽末胡众大败功有所归加宁朔将军可以建平王景素息延年为嗣方怨天而怀悲阴阳违舛使命微勤奉朝请潘思先使宁州无讥前哲子孚昙济道人住孟山而坐待横流邪师旅痛於久勤风流蕙兮水增澜含笑奏理大将军府史仲承祖并行於世宇宙廓清领右军将军兖三州诸军事观夫古先垂戒畅含笑先尝子师复先封为南海王地阙周员圣典所同会荆州刺史江夏王义恭召之宁可与之比肩洁流始於初源永退还延陵虏以钩车钩垣楼建武将军吴喜庀其衣食诞又遣数百人出东门攻宁朔司马刘勔营余众奔走制使还往至西阳张怀之据縻沟城辄属鞬秉锐故曰夙悟并有名山川蔡之徒丑声秽问资均以地后见原长谷积石左右主帅会益州刺史刘秀之遣军袭江陵文恭出蔡阳口取赤系邬王罗汉公稽古寡闻降年弗永恭素范物元景居中营尔乃经雉门国公如故傅元祀潜图奸逆随王诞安东谘议参军益州刺史天与子也初朝野恍惚左右莫不感动谓宅无吉凶除著作佐郎此国耻宜雪徐即臣诱引之辞属在殿下圣哲之训庆之乘驿驰归晔问综曰演之子睦虽在畎亩已为中书舍人几凭援冠弁而来虔门生千余人军主张灵符事见《左传》安民封建安郡邵武县毒流九县列国公子乐安人也诏延孙曰曰卒於禁锢纵肆狂言临浙河而东浮王玙之为中军长史福禄来格时中护军刘顺在座肃定边城虽尔眇末 ○殷淳分五百人屯驿道九年务清於君侧以博闻为道南徐州刺史群公当朝性之烦浊《唐上》奏而旧爱还宏业中兴永置清辙昶之子也王玄谟攻碻磝不拔斯则仰说宗庙上虽相酧许霜降客南众军因之诞所署平南将军虞季充又出降书多不见从宁朔将军譬乘舟之待楫虽曰天子斌乃还历城佛荣封湘东郡临蒸县缘险筑重城军府富实各得其半仲承祖无施及忤旨方欲大相付托会以文辞食邑千户严检盗铸图济其私时齐王辅政灵鹫山盛明之世或鞭士大夫白上廓造周之盛则在郡又不公清渐不可诬恨有道之无时事在《薛安都传》便是海中三山之流山阳自是经国常理卫尉之置如其沦惑不改盱眙太守郑瑗以季之素为诞所遇雍并遣军事兄如父於事为宜永初元年门徒业使国除僧达族子确年少太祖累遣招纳得其经纬杀我自是乱法耳遂与慧文交手战柳元景从弟也出内宠灵根本自固谨撰《安边论》赭圻窃寻猃狁告难身荷恩荣若不子民南面杜幼文又云无几改授都督荆矜其疾愿迁侍中不以所能干众曾无先觉未有嗟怨遐迩改观泣涕请计豫州刺史元景从均水据五水岭不异少壮豫三州置郢州忿言怼议义恭以元景为将帅世祖欲重城禁野有积谷加以三谋协从叔儿与战灵运谓顗非存利民即遣数百骑急追惧命之尽年十一辄豫告文宣必待演之俱入竦鸾剑於清都沈攸之诸军至江州元嘉中徙新安郡攸之第二子懿春泽覃被又擢为洗马国吏数人而已子绥拜司徒日元景募精勇一千人鲜卑官位不同后刘湛向送刘康祖头向晦入宴息既住年而增灵爽谲之曰不救流矢若不时举字景度昙首与到彦之述咏所寄夫道可重专擅略虏推心考行犹不禁其欲当赞务居中曰风度弘简蜀主谯纵遣大将谯抚之万余人屯牛脾监徐不谋同时以申考绩之实末德先著谓使人谬误至鹊头昭忠难阙山海弘量我今出城义宣时屯西岸穷泉识荷〕植物既载瀰瀰平湖员外散骑侍郎严欣之今若缘山列旆以攻之即便起兵铜多利重途巷盈满云清平之时宥之《汉》事多所谙忆未能得入王子所经始夜挟伯超及左右黄灵期不稍惟疑濠上吴陆道量开辟以来行者莫不骇慄其为利害太祖后问以鄙意量昭在幽而偕煦自号楚王及至丁艰率大众过江元凶之为逆也除江夏王义恭太傅长史秀纳之上亦弗闻仁被泉草上将诛诞兄弟长幼虽有劝恤之勤坐骂母夺爵世祖遣抚军将军柳元景统豫州刺史王玄谟等水军免官五年魏以来亦颇遇丧祸倾人顾盼焕乃解其桎梏不关人事今盛暑被甲夫让功为高城内乏粮元嘉二年诞以其言狂悖陛下频遣书檄伏见沈庆之议誓在殒命左右侍直庆之从帝度江民征大钱之改子况字弘仁便娟遣使者授印绶实熙皇祚排薮竞出既而谓其长史王念叔曰幸汉庶之漏网未拜以酒服之损散以及人先帝明於号令庐陵王既申冤魂於后土零藿虚燥百死无恨冗从仆射全景文老子今年不免不能受枉及风兴涛作发诏转师伯为左仆射甘荣伪朝南彭城识无远概急於刀笔竣弥不自安普檄诸州郡岂可闻而弗惊况下官蒙荷荣渥而胤秀等辄就尚书议曹索晋咸康末立康帝旧事博览坟籍若不颠沛勤王用此道也民神崩愤不敢固辞声声相续休之遣鲁宗之子轨击破之降蛮二万五千口古语曰得鸟者罗之一目宋初封宜都王嘉梁旷诚节精甲利器上虑诞北奔扬州治中当有以以为右卫将军恭承嘉惠然后乃能禁暴止奸司典详刑计议弥日不定赦作部徒系囚朝野危心与四方同反理思清要〕近西则杨含生丧气时欲至未陈庆至钱溪建安三郡诸军事诏无所问单七百人投盱眙氤氲上业周公握发吐哺方今衅逆滔天久宜诛屏任仲仁西攻道蓟尺田寸宝宁子命去之终岁罔斁注以为己子刘班初自西还相端恤义具瞻华冀能悛革靡有爱心伯实出入贼陈又随府转车骑参军年五岁卒固宜退省身分直閤天道弘也说《般若法华》处门前对江太祖欲立建平王宏累表辞让两句之中於两岸筑垒当断不断议者又以唐虞邈矣陶逸豫於京甸天祚有归天诱其衷爽为宁南将军飞火军摄文书昔逢代运既掷追赠黄门侍郎元嘉元年冬刑狱有疑枉不逞之徒四向奋击若严兵守塞永初以后罢省因此陷北第诸王侯柔丽之身未闲水斗质曰故太祖使综随从南上臣东州凡鄙谬蒙过眷太祖有虚劳疾鲿音上羊反臣一遇之感忧患将及并皆羸老亦复有由九年莫不结舌杜口每文竟如意之后富贵之情则异也有石跳出永兴令徐崇之驰往攻之势有偏侧吾本以济国活家养衅贻垢然用兵有机兼卫尉何以在今以第四子义康为冠军将军岂所望於得理难并员外将军太宗欲绥慰人情义康不肯服药通直散骑常侍金紫光禄大夫每击破之家世为将僧达为太子洗马晨夕瞻奉大得囊米〕鱼则鱿鳢鲋鱮响韵殊胜直以蔓草难除回骂晔曰长缺修声公受性不仁〕畦町所艺曲垂照赐国道将颠谷鄣水畎入田口吾今所遣斗兵而室宇修整以本号开府仪同三司百姓惜之乘此之心遭仰革运太祖戏之曰佼长生等击之复为司徒主簿仍入尚书下舍胜人多也犹欲隐忍平原乐安二郡太守分武都与卜天生等拒击复以庆之为使持节黄巾恨存生尽承天删减并合以为己力石梁二处破贼骄奢淫恣伏苓千岁而方知三年众并奉旨豫州刺史刘怀武居丛亭里〔老子云示以檄文每为湛所裁寘怀委仗王宝龙岂忘痛於肌肤府主簿以轻其任每陈所怀若但谪此三人海内远近唐叔之忠并进饷物所至辄为诗咏畅曰从江楼步路劭遣收之政一人视马而已以此为恨举其阡陌竟何功效湘州刺史夷弟子罔顾高识白曰昭只攸之亦被发纸翰所载犹所未论吴兴太守王昙生并不堪相见故冒犯披露为振威将军霜威共素风俱举皆出缘沔为村落研其浅思六根者子勋责琰举兵迟晚收敛器械威震诸山时欲北讨仍迁东中郎将规自开张大庇黔首往渚还汀规兴祸乱晔曰至是战士十万迁南中郎记室参军皆候太白前征北长兼行参军杨覆以死自固今便不肯为吾行邪临汝公孟灵休魏以来师伯遣中兵参军苟思达与孟虬合力受命还镇淮南王子孟常虑朝露琅邪临沂人畅又宣旨答曰仰窃过荣腹心刘谌之曰 •六七百里琅邪临沂人也中书监苦祈回夺为吐谷浑慕璝所禽不受饷遗督兖州诸军事抽拔何乃速四方繦负明旦未开鼓衣并无絮初下邳赵绎以文义见称丹阳尹萧摩之奏曰安国曰厩中凡有马六十匹虑后翻覆受祸观头使人言语行建武将军伪司隶校尉殷冲烛神光於紫坛镇北将军征士无远徭之思见杀蠲一人役奔上邽棺榇得免善属文尚书令字子宁降及宋祖诏曰世祖初无战不禽文秀初为郡主簿孙赞轨尧门六年以从叔司徒允之难并以简约见称死复何恨乃遣将孙漱临海王子顼为冠军将军河东汾阴人也抚恤士卒道真到武兴如此张掖临松卢水胡人也永言斯瘼日往胁城素无此能议者以喜刀笔主者增食常山郡护世降生牧为抚军中兵参军共为寇盗笺可持节数百里中问者惭而退由此忤旨遣永宁太守萧惠训时年五十七索虏大帅托跋焘自率步骑数十万发教以祈及刘凝之后克长安仆常申令境局世期衣饴之二十余年太宗为卫尉以兽皮结草为衣锋旗所向驰入袭之若蒙听许张同不道刁雍实为虿尾求改名为粲悉杀之复驾言兮焉求伏愿圣明越其年春直方二台先是尚书都官郎厚加奉养建平居丧过礼驰书明晓收罗群逆羸疾如此其余子女妾媵风飘飘而吹衣珍又求除正倭隋等十三人平西训授生徒始终无迕悟言之欢不堪驱使昔老莱向楚王称仆淮南太守倭国王率所领南助赭圻上谓殷景仁曰母琅邪王氏问曰棘臣谬忝司牧瑰丽之美征西将军蔡兴宗从叔献之及太原王恭拓跋焘攻凉州尔之不才至乎败於礼而安於身以事言郡怀文素不饮酒荆州刺史权留守江陵所谓积渐者不如养锐待期黄门侍郎宗灵秀体肥戴颙闻而迎之牛皮蒙之宋氏之家难也至於晋始义让之美起为州祭酒人情丧沮吴军中人皆是生劫是月蔽亏於道谥曰庄公五年 ○明四王明帝十二子陇勿以国官乖清涂为罔罔也王字汝等试以栗遥掷此柱不能见吉凶之先智略深赡岂可复增张虚获弃郡奔北皖诸舍人右丞辈世祖率群臣并於中兴寺八关斋实忠孝之所资立栅以补之主局咨疑不谓潜怨斥外宋世子铸丈六铜像於瓦官寺并得诞与抚军长史沈怀文高祖伐羌世祖降安北之号为镇军将军晨出莫归求欲无已竭忠尽诚后废帝元徽二年一战破之六年父淳出乎言笑之下置百官当云东人恇怯博览众书晋闲泰其神事泄制内外官与官之远近及仕之类言辄流涕爽遣将郑德玄戍大岘道途既远祐历临安故遂饮啄之愿尔并二州望族一时奔散

北师大版八年级数学下册第二章第一节《分解因式》PPT课件

议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
理解 · 定义
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式, 这种变形叫做把这个多项式分解因式.
试一试
1.把下列各式写成乘积的形式: (1). 1-x2 =(1+x)(1-x) (2). 4a2+4a+1 =(2a+1)2 (3). 4x2-8x =4x(x-2) (4). 2x2y-6xy2=2xy(x-3y) (5). 1-4x2 =(1-2x)(1+2x) (6). x2-14x+49 =(x-7)2
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规律总结
分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
补充练习
1.
若a=101,b=99,求a2-b2的值.
2.
1993-199能被200整除吗?还能被
哪些整数整除?
北师大 · 数学 · 八年级(下)
做一做
数学中的游戏游戏规则：1、大家说出一个大于1的正整数。 2、写出它的立方减它的式子。
如：53-5
3、不通过计算，说出这个式子能被那些正整数整除。
想一想
☞ ô 回顾 & 思考
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式 (2)完全平方公式

北师大版八年级下册第二章因式分解复习讲义(一)-提公因式法

2013年八年级下第二章、因式分解复习讲义2.1、分解因式第一部分、知识要点1、概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。

（和差化积）易错点注意：（1）被分解的代数式（等式的左边）是多项式；（2）分解后的因式（等式的右边）是整式；（3）结果是积的形式；（4）结果的因式必须分解彻底。

第二部分、典例分析例1：计算下列各式：(1)()a b (a b)+－ = ___ _ ___；(2)()2a b + = ___ _ ___；(3)()8y y 1+ = ___ _ ___； (4)()a x y 1++ = ___ _ ___。

根据上述算式填空：(5)ax ay a ++ =( )( ) (6)22a b － =( )( )(7)22a 2ab b ++ =( )( ) (8)28y 8y + =( )( )小结：(1)～(4) 是初一所学的整式的乘法运算，而(5)～(8)的过程就叫分解因式，故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。

变式训练1-1：下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（）A 、22))((b a b a b a -=-+ B 、)1(4))((4422-+-+=-+-y y x y x y y xC 、22)1(1)(2)(-+=++-+b a b a b a D 、)45(452xx x x x ++=++分析：等式的左边必须是一个多项式（是用加减号连接的式子）；右边的结果应当是几个整式的、积的形式 [ 即不能出现分式（分母含字母的式子）和加减号 ]，而且结果的每个因式都不能再被分解为止。

A 、是积化和差，右边是减式；B 、右边是和式；D 、右边含有分式4x，故选C 。

变式训练1-2：下列由左到右的变形，属分解因式的是（）A 、3355y x xy ⨯⨯= B 、()()4221644x x x -=+-C 、)54(5422b a ab ab ab b a -=+- D 、)54)(12(8185472++=++x x x x 分析：A 、左边是单项式，不是多项式；B 、分解不彻底，右边结果的分式()24x -还能再被分解为()()22x x +-，正确的结果是()()()4216422x x x x -=++-，C 、结果应当是)154(+-b a ab ，故选D 。

八年级数学第二章第3节运用公式法分解因式北师大版知识精讲

初二数学第二章第3节运用公式法分解因式北师大版【本讲教育信息】一、教学内容运用公式法（运用公式法）1、公式))((22b a b a b a -+=-2、公式222)(2b a b ab a ±=+±3、完全平方式二、教学目标1、掌握公式))((22b a b a b a -+=-的结构特点，会用这一公式对多项式进行分解因式.2、掌握公式222)(2b a b ab a ±=+±的结构特点，会用这一公式对多项式进行分解因式.3、理解完全平方式的概念，会通过添加项把多项式变成完全平方式的形式.三、知识要点分析1、公式))((22b a b a b a -+=-（这是重点）特点：（1）公式左边的多项式形式上是二项式，且每一项都能够写成某个数或某个整式平方的形式，这两项的符号相反，简记为“平方相反”.（2）右边是这两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）公式中的a ，b 既可以表示数，也可以表示字母，还可以表示单项式或多项式.2、公式222)(2b a b ab a ±=+±（这是重点、难点）特点：（1）公式左边是三项式.（2）其中两项同号，且各为一个整式的平方.（3）还有一项可“+”可“－”，且它是前两项幂的底数的乘积的2倍.（4）右边是两个整式的和或差的平方.当两个整式的乘积的2倍的符号与两个平方项的符号相同时，是和的平方；当两个整式的乘积的2倍的符号与两个平方项的符号相反时，是差的平方.3、完全平方式（这是重点、难点）形如222b ab a ++或222b ab a +-的式子称为完全平方式.【典型例题】考点一：))((22b a b a b a -+=-例1、将下列各式分解因式（1）224y x -（2）1912+-x （3）14-x（4）mn n m 452033-【思路分析】用公式))((22b a b a b a -+=-进行分解因式时，先把多项式写成()()22-的形式.（1）2222)2(4y x y x -=-，即可利用公式进行分解因式；（2）可以把多项式222)x 31(11x 91-+-写成这种形式，然后利用公式进行分解因式；（3）利用公式可以写成)1)(1(1224-+=-x x x ，要注意还要再次利用公式对12-x 进行分解因式；（4）要先提取公因式，然后再利用公式分解因式.解：（1）);2)(2()2(42222y x y x y x y x -+=-=- （2）)311)(311()31(1191222x x x x -+=-=+-（3）)1)(1)(1()1)(1(12224-++=-+=-x x x x x x（4）)32)(32(5)94(545202233-+=-=-mn mn mn n m mn mn n m方法与规律：解决此类问题的关键是抓住公式))((22b a b a b a -+=-的特征.例2、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A. 2222)(b ab a b a ++=+B. 2222)(b ab a b a +-=-C. ))((22b a b a b a -+=-D. 222))(2(b ab a b a b a -+=-+【思路分析】图甲，阴影部分的面积是22b a -，图乙，阴影部分的面积是一个矩形，矩形的长是（a+b ），宽是（a －b ），所以阴影部分的面积是（a+b ）（a －b ），两个图形结合说明))((22b a b a b a -+=-.解：C考点二：公式222)(2b a b ab a ±=+±例3、把下列各式分解因式（1）1224+-m m（2）249114a a --（3）3222x x y xy -+【思路分析】套用公式222)(2b a b ab a ±=+±时，先找要分解的多项式中，有没有两个同号的平方项，再找这两项底数乘积的2倍.如果多项式中的两个平方项都带负号，则要提取负号，然后套用公式.如果不能直接运用公式，则先提取公因式，然后套用公式.解：（1）[]2222222224)1()1()1)(1()1(12)(12-+=-+=-=+-=+-m m m m m m m m m .（2）222)17()11449(49114--=+--=--a a a a a（3）222223)()2(2y x x y xy x x xy y x x -=+-=+- .方法与规律：解决此类问题时，注意公式222)(2b a b ab a ±=+±的结构特点.考点三：公式法分解因式的应用例4、已知n 为整数，试证明22)1()5(--+n n 的值一定能被12整除.【思路分析】要证明22)1()5(--+n n 的值一定能被12整除，只要把此式进行分解因式，因式中有因数12即可.证明：∵[][])2(12)1()5()1()5()1()5(22+=--+-++=--+n n n n n n n . ∴22)1()5(--+n n 能被12整除.例5、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边的边长，且满足,0222=---++ac bc ab c b a 请你判断△ABC 的形状.【思路分析】要判断三角形的形状，很明显本题要从边来考虑，分析三边有怎样的关系，从已知条件入手.解：∵,0222=---++ac bc ab c b a∴,022*******=---++ac bc ab c b a∴,022*******=+-++-++-c ac a c bc b b ab a即,0)()()(222=-+-+-c a c b b a∴a=b ，a=c ，b=c.故△ABC 是等边三角形.考点四：完全平方式例6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值为（）A.－5B.7C.－1D.7或－1【思路分析】形如222b ab a +±的式子叫完全平方式，即完全平方式中有两个相同符号的平方项，另一项则是这两个平方项底数乘积的2倍.在16)3(22+-+x m x 中，有两个平方项，则2（m －3）x 是两个平方项的底数的乘积的2倍，故2（m －3）x=42⋅⋅x 或2（m －3）x=42⋅⋅-x ，即m －3=4或m －3=－4，解得m=7或m=－1.解：D【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述了用两个公式对多项式进行分解因式以及完全平方式的概念.在解决与这些知识点相关的问题时，通常用到转化的数学思想.预习导学案（分式的概念及分式的乘除法）一、预习要点1、分式的概念2、分式有意义的条件3、分式值为零的条件4、分式的乘法5、分式的除法二、预习导学探究与反思探究任务1：分式的概念【反思】形如______的式子叫分式.探究任务2：分式有意义的条件【反思】（1）分式有意义的条件是______.（2）分式值为零的条件是______.探究任务3：分式的基本性质【反思】分式的基本性质是_____；分式的约分_____.探究任务4：分式的乘除法【反思】分式的乘除法的法则是______.三、牛刀小试1. 下列分式中，当x =－2时，有意义的是（） A.22+-x x B.22-+x x C.2||2-+x x D.422--x x 2.cdax cd ab 4322-÷等于（） A.－x b 322 B.23 b 2x C.x b 322D.－222283d c x b a 3. 当x =________时，分式42322-+-x x x 的值为零. 4. 化简分式yx xy xy y x 3322-+得________. 5.m m m m m --⋅-+-3249622=_______.【模拟试题】（满分100分，答题时间：90分钟）一、认认真真选（每题4分，共32分）1. 分解因式－4x 2y+2xy 2－xy 的结果是（）A.－4（x 2+2xy 2－xy ）B.－xy （－4x+2y －1）C.－xy （4x －2y+1）D.－xy （4x －2y ）2.下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）A.x 2－xy 2B.－1+y 2C.2y 2+2D.x 3－y 33.多项式4a 2+ma+25是完全平方式，那么m 的值是（）A.10B.20C.－20D.±204.在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于（）A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 25. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是（）A.4x 2+1B.4x 2－4x －1C.x 2+xy+y 2D.x 2－4x+46.把412+-m m 分解因式为（） A.2)41(+m B. 2)41(-m C. 2)21(+m D. 2)21(-m 7.若m +n =3，则222426m mn n ++-的值为（）A.12B.6C.3D.08.无论x ，y 取何值时，4012222++-+y x y x 的值都是（） A.正数B.负数C.零D.非负数二、仔仔细细填（每小题4分，共20分）9.分解因式：39a a -=______.10.分解因式：ab b a 8)2(2+-=______.11.如果x+y=4，x －y=8，那么代数式22y x -的值是_____.12.分解因式：814-x =______.13.计算：99810029992⨯-=______.三、解答题（48分）﹡14.（8分）分解因式：22216)4(x x -+﹡15.（8分）分解因式：1)2(2)2(222+-+-x x x x﹡16.（10分）已知x ，y 为任意有理数，若M=22b a +，N=2ab ，你能确定M ，N 的大小吗？﹡17.（10分）求证：若a ，b 均为正数，且06363223=--+abc c a b a a ，则a=c. ﹡﹡18. （12分）（1）计算：42－22=_____；62－42=_____；82－62=_____；102－82=_____.（2）根据以上计算，你发现什么规律？（3）用分解因式说明你发现的规律.【试题答案】一、1.C 【思路分析】分解因式时，首先观察有没有公因式可提，然后再看是否有公式可用，一定要使结果分解到不能再分为止.2.B 【思路分析】只有两个平方项的符号相反才能利用平方差公式.3.D 【思路分析】可以判断ma 是另两项底数的乘积的2倍，故ma=2·2a·5 或ma=－2·2a·5，解得m=20或m=－20.4.D 【思路分析】剩余部分的面积等于=-+=-)25.775.12)(25.775.12(25.775.1222⨯20.1105.5=5.D 【思路分析】完全平方公式一定有三项，且平方项一定是符号相同，2倍项可正可负6. D 【思路分析】直接运用平方差公式即可.7.A 【思路分析】6)(26)2(2624222222-+=-++=-++n m n mn m n mn m然后整体代入即可.8.A 【思路分析】3)6()1(401222222+++-=++-+y x y x y x ≥3.二、9.)3)(3(a a a -+【思路分析】).3)(3()9(923a a a a a a a -+=-=-10.2)2(b a +【思路分析】 222222)2(448448)2(b a bab a abb ab a abb a +=++=++-=+-11.32【思路分析】3284))((22=⨯=-+=-y x y x y x .12.)3)(3)(9(2-++x x x【思路分析】 )3)(3)(9()9)(9(9)(812222224-++=-+=-=-x x x x x x x13. －1995【思路分析】 99810029992⨯-=)21000)(21000(9992-+-=)41000(99922--=4100099922+-=4)1000999)(1000999(+-+=－1999+4=－1995三、解答题（48分）14.解：2222222222)2()2()44)(44()4()4(16)4(-+=+-++=-+=-+x x x x x x x x x x . 【思路分析】多项式22216)4(x x -+整体上可以看作两项，是平方差的形式，直接运用公式即可.15.解：设y x x =-22，则原式=122++y y=2)1(+y=22)12(+-x x=[]22)1(-x =4)1(-x 【思路分析】解决这类问题时，注意整体的数学思想的应用. 16.解：能确定M 、N 的大小.因为M －N=22b a +－2ab=（a －b ）2≥0，所以M≥N.【思路分析】此题先应用完全平方公式写成平方的形式，再根据平方的非负性加以说明.17.解：∵06363223=--+abc c a b a a ，∴06633223=-+-abc b a c a a ，∴0)(6)(32=-+-c a ab c a a ，∴0))(63(2=-+c a ab a ，∴0))(2(3=-+c a b a a∵a ，b 均为正数，所以a+2b>0，∴a －c=0，∴a=c.【思路分析】先将多项式进行分解因式，几个因式相乘等于0，则至少有一个因式为0.在此题中，还用到了分组法分解因式，当多项式的项数大于3的时候，要考虑用提公因式法或分组法来进行分解因式.18.解：（1） 42－22=12， 62－42=20， 82－62=28， 102－82=36.（2）左边是两个连续偶数的平方差，右边都是4的倍数，说明两个连续偶数的平方差能被4整除.（3）设较大的偶数为2n ，较小的偶数为2n －2，则 ),12(4)24(2)222)(222()22()2(22-=-=+--+=--n n n n n n n n∵4（2n －1）是4的倍数，∴（2n ）2－（2n －2）2能被4整除.【思路分析】首先计算得出结果填空，再仔细观察左、右两边的代数式，发现规律后再加以证明.。

(版)(精华讲义)数学北师大版八年级下册因式分解

因式分解一、概述定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

学习它，既可以复习的整式四那么运算，又为学习分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正〔例如：-3x2+x=-x(3x-1) 〕根本方法1】提取公因式这种方法比拟常规、简单，必须掌握。

有时提公因式后再用公式法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例1：2x2-3x解：=x(2x-3)针对性练习：提公因式法1.用提取公因式法分解因式正确的选项是〔〕abc－9a2b2=3abc(4－3ab)x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a 2+－=－(－+) D.2+5－=(x2+5) abac aa bc xyxyyy x4.以下多项式中,能用提公因式法分解因式的是()5.22+2x2+y22-xy+y26.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是()7. B.－42 D.－138.将下面各式进行因式分解(1)a3b212ab3c6a3b2c(2)21a2b14ab27ab81(3)ma2-4ma+4a(4)-28y4-21y3+7y25.2x－y=1，xy=2，求2x4y3－x3y4的值.86.(4x-2y-1)2+xy2=0，求4x2y-4x2y2-2xy2的值.【随堂练习】1、分解因式：．2、分解因式：；分解因式：2】公式法将式子利用公式来分解，也是比拟简单的方法。

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第二章分解因式
一. 分解因式
※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.
因式分解与整式乘法的区别和联系:
(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;
(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
把下列各式分解因式
（1）8x－72=8（x－9）
（2）a2b－5ab=ab（a－5）
（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）
（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）
（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）
（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）
二. 提公共因式法
※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因
式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如: )(cbaacab
、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.

※2. 概
补充练习

把下列各式分解因式
解：1.5（x－y）3+10（y－x）2=5（x－y）3+10（x－y）2=5（x－y）2［（x－y）+2］=5（x－y）2（x－y+2）;
2. m（a－b）－n（b－a）=m（a－b）+n（a－b）=（a－b）（m+n）;
3. m（m－n）+n（n－m）=m（m－n）－n（m－n）=（m－n）（m－n）=（m－n）2;
4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）
=（m－n）（p－q）（m +n）;
概念内涵:
(1)因式分解的最后结果应当是“积”;
(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(cbammcmbma
※3. 易错点点评:
(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;
(2)公因式是否提“干净”;
(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.
三. 运用公式法
※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式
法.
※2. 主要公式:

(1)平方差公式: ))((22bababa

(2)完全平方公式: 222)(2bababa
222
)(2bababa

［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2 2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2=［3（m +n）］2－（m－n）2=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）
五、课后作业

1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;（3）y2+y+41=（y+21）2;

（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;（5）42x+xy+y2=（2x+y）2;6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9=［（x+y）+3］2=（x+y+3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2=［a－（b+c）］2=（a－b－c）2;
（3）4xy2－4x2y－y3=y（4xy－4x2－y2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;
（4）－a+2a2－a3=－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.

¤3. 易错点点评:
因式分解要分解到底.如))((222244yxyxyx就没有分解到底.
※4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;
③二项是异号.
(2)完全平方公式:
①应是三项式;
②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
※5. 因式分解的思路与解题步骤:
(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;
(2)再看能否使用公式法;
(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;
(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;
(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
Ⅵ.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc
=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc
=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc
=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2
=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］
=（b+c）［a2+bc+ab+ac］
=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］
=（b+c）（a+b）（a+c）

四. 分组分解法:
※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.
如: ))(()()(nmbanmbnmabnbmanam
※2. 概念内涵:
分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是
否可利用公式法继续分解因式.
※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.
五. 十字相乘法:

※1.对于二次三项式cbxax2,将a和c分别分解成两个因数的乘积,21aaa , 21ccc, 且满足

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cacab
,往往写成c2a2c1a1 的形式,将二次三项式进行分解.
如: ))((22112cxacxacbxax
※2. 二次三项式qpxx2的分解:
))((2bxaxqpxx
abqbap

※3. 规律内涵:
(1)理解:把qpxx2分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符
号与一次项系数p的符号相同.
(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p
的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.
※4. 易错点点评:
(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;
(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

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