高等数学课件完整版1-3

{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
n ( 1) n1 { } n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
故 lim x n a .
n
四、数列极限的性质
1.有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数M , 使得一切自 然数n , 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b ) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
例5 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的. 1 证 设 lim x n a , 由定义, 对于 , n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, 1两个数,
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
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正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2 ; 2 2 1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
a 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列 a x n 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意：.不等式 x n a 刻划了x n与a的无限接近; 1
2. N与任意给定的正数有关.
N定义 : lim x n a n
0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a x 2 x1 x N 1
2
a
xN 2
a
x3
1 1 给定 , 只要 n 10000时, 有 x n 1 , 10000 10000 1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切x n ,
n
n 任给 0, 若q 0, 则 lim q lim 0 0; 证 n n
若0 q 1,
x n 0 q n , n ln q ln ,
ln 取N [ ], 则当n N时, ln q
lim q n 0.
n
ln n , ln q
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { x n }是有界的, 但却发散.
3.(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 { xn } 收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也 是a
五.小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性唯一性.
思考题
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f (n).
三、数列的极限
( 1) 观察数列 {1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
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问题: 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
则对一切自然数n,皆有 x n M , 故x n 有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim x n a , 又 lim x n b,
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 x n a ;
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim 1. n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
[ M , M ]上.
定理1
收敛的数列必定有界.
n
证 设 lim x n a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当n N时恒有 x n a 1,
即有 a 1 x n a 1.
记 M max{ x1 , , x N , a 1 , a 1 },
x
当n N时, 所有的点 x n 都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个 ) 落在其外.
数列极限的定义未给出求极限的方法. 注意：
n ( 1) n 1 例1 证明 lim 1. n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n
指出下列证明lim n n 1 中的错误。
n
n
1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 得 0, 取 N ln 2 1 ln(1 )
就有 q n 0 ,
例4 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n a .
n
证 任给 0, lim x n a , n
N使得当n N时恒有 x n a 1 ,
从而有 x n a
xn a xn a 1 xn a a a
ln 2 反而缩小为 n ln(1 ) 从而 n N 时， ln 2 ln 2 仅有 ln(1 ) 成立， n ln n 但不是 ln(1 ) 的充分条件． n
练 习 题
一、利用数列极限的定义证明: 3n 1 3 ； 1、lim n 2n 1 2 .... 2、lim0.999 9 1
n
二、设数列 x n 有界，又lim y n 0 ，
n
证明：lim x n y n 0 .
n
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
思考题解答
1 ln n ln(1 ) （等价） n 1 n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
~
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值然数 n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim x n C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim q 0, 其中q 1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 , 由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000